開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇垂直與平行，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。

第1篇

教學過程：

一、談話導入，理解相互關系

（放音樂《最炫民族風》）

師：同學們，剛才的歌，最炫民族風，聽過嗎，這首是鳳凰傳奇的作品，鳳凰傳奇，傳奇鳳凰，傳奇鳳凰，傳鳳，我的名字叫傳鳳，廖傳鳳，大家可以叫我廖老師。剛才大家認識了我，讓我也來認識一下大家吧。你們是四年級幾班的？你們四年級有幾個班，為什么選你們班來上課呢？

生：因為我們很優秀，很聰明。

師：你們挺自信得嘛。優秀不優秀一會上課就知道。

同學們，剛才你認識了我，我認識了你。這就算……互相認識了一下，你們怎么理解互相認識呢？

生：互相認識就是你認識了我，我認識了你。

師板書：互相。

師：一個人能不能說互相呢？

生：不能。

師：互相是一種關系。好，上課，起立，同學們好。

今天我們研究也是關系，線與線的關系，直線與直線的關系，一條直線與另一條直線的位置關系。今天研究的兩條直線的特殊的位置關系，一種是垂直，一種是平行。

板書課題《垂直與平行》

二、預習反饋，提出問題

全班齊讀課題（聲音洪亮）。

師：同學們，結合課題與昨天的預習，你能提出哪些相關的數學問題？

生：什么叫平行？什么叫垂直？在同一個平面內有幾種位置關系？兩條直線重合在一起了叫什么？

師：你們能提出這么多問題，最棒。那到哪尋找答案呢，如何解決這些問題呢？

三、了解解決問題的方法

生：問家長，上網查資料，看書，翻字典……

真是會想辦法的好孩子，當我們遇到困難時，我們要動腦筋，想辦法，最終一定會解決。

1.讀一讀解決問題

師：書是我們的好朋友，那我們先看看數學書上是怎么介紹的。誰來讀一讀（謝謝這個孩子）？

生讀到“平行”那里停住。（聲音響亮，真不錯）

師：讀完后，你覺得哪個詞很重要，為什么，可以用小棒解釋自己的意思？

生：同一個平面，因為在兩個平面上就可能不平行了。（兩個平面的手勢）

師板書孩子的關鍵詞在黑板上。

生：兩條直線，曲線是不可以的（同學們想得很周到）

生：互相，沒有互相就沒有辦法表示他們的關系，A平行于B，B平行于A。（思維嚴謹，真厲害，說到關鍵之處）

師：后面這一段，用剛才的方法，孩子們小組合作學習，先自己輕聲地讀，再和同桌交流你的想法。（你的關鍵詞讀得好，讓我一聽就明白，很好）

生：同一平面……

生：兩條直線……

生：互相垂直……

師：垂足，垂足的足是什么意思，

生：腳（足球的足）。

師：對，這個很形象，看大屏幕，如果人筆直地站在地面上，把人看成一條直線，地面也看成一條直線，兩條直線相交成直角，那么這兩條直線的交點，就是垂足。看來每個詞都很重要。

2.查字典解決問題

師：看大屏幕，這本書叫新華字典，我們語文課上經常用，其實學數學也可以用到它。我們翻閱字典查查平行的意思，同學們看到了嗎？

師：兩個平面始終不相交，叫做互相平行。這個知識要進入中學才學習。同一個平面內，兩條直線不相交就不相交吧，為什么要說始終？

生：暫時不相交，延長后可能相交的也算相交。

（對了，直線是可以無限延長的）

師：通過看書，查字典，我們剛才的問題，基本上都由同學們自己解決了，大家真不錯，不愧是最優秀的班集體。

四、應用知識，練習中加強理解垂直和平行的概念

下面考考大家，請三選一。

1.下面兩條直線的位置關系是什么？（圖略）

生：相交。

師評價：只是相交嗎，垂直嗎？不能準確地判斷，那應該怎么辦？

生：用三角板靠一靠。

師：這個暫時沒有相交，延長后就會相交，那你想象一下，交點可能在哪？

2、數學課上和作業當中常見的垂直與平行：

+（互相垂直）×（相交或者互相垂直）

師：其實相交是肯定的，互相垂直嗎？乘法也表示幾個相同的加數相加，也可以說是幾個相同的數滾動相加而成，所以乘號就是把加號滾動了幾下而已。依然互相垂直。

=（互相平行）

約等號（相交嗎？平行嗎？先說觀點，再說理由？）

生：雖然2條線在同一個平面內，但不是直線，所以既不互相垂直，又不互相平行，也不相交。

（我們班的孩子果然很優秀）

3.在圖形中認識“平行”與“垂直”

下面看看圖形中能不能找到平行與垂直。

師：長方形中，長與長，寬與寬，長與寬分別是什么關系？

那長方形變一變形狀呢？（平行四邊形）

師：這個名字里就有平行2個字，那誰與誰平行？

生：上下2條邊平行，左右2條邊平行。

師：用一句話說叫對邊平行。

把平行四邊形變了叫什么？（梯形）梯形也有4條邊，你看看

生：上下2邊平行，左邊與上邊相交。

師小結：梯形里找到一組對邊平行。

師：梯形又變了，誰與誰平行，誰與誰相交？

生：這是三角形，相鄰的2條邊都相交。

師這有一個鈍角，這幾個鈍角能組成一個？邊形（正6邊形）

師：那誰與誰平行？

生：上下2條邊互相平行，左上與右下互相平行……

師：一句話概括3組對邊分別平行。

五、歸納知識，在同一平面的2條直線的位置關系的分類判斷

1.理解3種位置關系的包含關系

師：剛才通過練習，我們進一步理解了同一平面內兩條直線的位置關系，我們用一個橢圓表示他們的各種關系，現在來排隊集合，在同一平面內，兩條直線，相交的排這邊，那不相交的就叫平行，排哪里呢？那垂直又放哪里呢，為什么？

相交里面，如果相交了，而且相交成直角，那么兩條直線就互相垂直。

剛才我們畫出的圖，數學家很早以前就畫出了。

師小結：其實這種圖，在以后的學習中會出現得越來越多。

2.判斷題練習

師：根據這第幅圖，我們來做3道判斷題。

（1）兩條直線相交，那么一定互相垂直。

（2）兩條直線互相垂直，那么一定相交。

（3）兩條直線互相平行，那么一定不相交。

六、拓展提高

下面的幾道填空題，有點難度。

①與b平行，b與c平行，那么與c（ ）

（師：我們先想象一下，再用手比劃一下或者擺一擺。）

②與b垂直，b與c垂直，那么與c（ ）

③與b相交，b與c相交，那么與c（ ）

（師：我們研究一下，用筆比劃一下，也許答案不唯一，延長可以發現，轉一轉，還可以發現……這3種都可以，孩子們能想到一種就很不錯了。）

七、走進生活，找生活中的垂直與平行

這是我們生活中的樓梯，你能找一找，說一說我們生活中的平行線和垂線嗎？

八、聯想記憶，歌曲記憶

師：孩子們，要下課了，老師回到重慶后，可能我們會變成平行線，永不相交。

但是，可能以后聽到鳳凰傳奇的歌，能想起重慶有個叫傳鳳的老師給我上過一節垂直與相交的數學課，那我們還會在記憶里相交，對嗎？

給孩子們布置一個口頭作業，把我們今天學習的內容編成一首歌曲，或者小品，相聲，說給爸爸媽媽聽好嗎？比如：像《2只老虎》，可以這樣唱：

2條直線，2條直線，真奇怪，真奇怪，在同一平面，在同一平面，真有緣，真有緣，

2條直線，2條直線，真奇怪，真奇怪，相交成直角，相交成直角，垂直了，垂直了。

2條直線，2條直線，真奇怪，真奇怪，永不相交，永不相交，平行了，平行了；

第2篇

【例1】 如圖,四面體ABCD中,M、E、F分別為BAC,ACD及ADB的重心．

求證：(1) 平面MEF∥平面BCD；

(2) 求SMEF∶SDBC．

分析 本題考查面面平行的判定以及面面平行的性質。

(1) 根據重心的性質易知應該連接AM,AE,AF,再根據相似比可知MEF的三邊分別與DBC的三邊平行,進而可得結論；

(2) 因為兩個三角形所在的平面互相平行,因此,求兩三角形面積之比,實質求這兩個三角形對應邊之比。

解 (1) 連接AM,AE及AF,分別延長使之交BC、CD、BD于G、H、P三點,由E、F、M分別為三角形的重心,

所以AMAG=AEAH=AFAP=23,所以連接GH、HP、PG，后有ME∥GH,EF∥PH,

可證ME∥平面BCD,EF∥平面BCD,

故平面EFM∥平面BCD．

(2) 由(1)知AMAG=AEAH=23,

即ME=23GH=13BD，

同理可證MF=13CD,EF=13BC,

所以MEF∽DBC,其相似比為1∶3,

所以SMEF∶SDBC=1∶9．

點撥 由于M、E、F分別是三個三角形的重心,從而聯想到重心將三角形的三條中線三等分,

由于平行線分線段成比例,由此聯想到直線ME∥GH,ME=23GH,進一步可以證明直線ME與平面BCD平行,從而使命題得證。

題型二 面面垂直問題

【例2】 (2011年江蘇卷第16題)如圖,在四棱錐PABCD中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分別是AP、AD的中點.

求證：(1) 直線EF∥平面PCD；

(2) 平面BEF平面PAD．

分析 本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系,

考察空間想象能力和推理論證能力。要證線面平行可在所

求平面內找一條與已知直線平行的直線。要證面面垂直可在其中一個平面內找一條另一平面的垂線。

證明 (1) 在PAD中,因為E、F分別為AP,AD的中點,所以EF∥PD．

又因為EF平面PCD,PD平面PCD,所以直線EF∥平面PCD．

(2) 連接DB,因為AB=AD,∠BAD=60°,所以ABD為正三角形,因為F是AD的中點,所以BFAD.因為平面PAD平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF平面PAD.又因為BF平面BEF,所以平面BEF平面PAD．

點撥 由于E、F分別是AP、AD的中點,從而可以證明EF∥PD,由此可以證明EF與平面PCD平行。由平面PAD平面ABCD可以得到直線BF平面PAD,進一步可以證明兩個平面垂直。

題型三 面面平行與面面垂直的綜合問題

【例3】 如右圖,已知平面α∥平面β∥平面γ,且β位于α與γ之間.點A、D∈α,C、F∈γ,AC∩β=B,DF∩β=E．

(1) 求證：ABBC=DEEF；

(2) 設AF交β于M,AC∥＼DF,α與β間距離為h′,α與γ間距離為h,當h′h的值是多少時,BEM的面積最大？

分析 本題主要考查面面平行所涉及的綜合求解問題,這類問題不僅在平行時存在,同時在垂直時也存在,對同學們綜合知識的能力要求比較高。

證明(1) 連接BM、EM、BE.

β∥γ,平面ACF分別交β、γ于BM、CF,

BM∥CF.ABBC=AMMF,

同理,AMMF=DEEF.ABBC=DEEF．

(2) 由(1)知BM∥CF,

BMCF=ABAC=h′h.同理MEAD=h-h′h.

SBEM=12CF•ADh′h1－h′hsin∠BME.

據題意知,AD與CF是異面直線,只是β在α與γ間變化位置.故CF、AD是常量,sin∠BME是AD與CF所成角的正弦值,也是常量,令h′∶h=x.只要考查函數y=x(1-x)的最值即可,顯然當x=12,即h′h=12時,y=-x2+x有最大值.當h′h=12,即β在α、γ兩平面的中間時,SBEM最大．

點撥 要證明線段之比相等,一般可以轉化為平行線問題,而求解面積的最值問題,一般可將面積表示為某一變量的函數,利用函數知識求解最值問題。

牛刀小試

1. 如圖,在三棱錐PABC中,PA=3,AC=AB=4,PB=PC=BC=5,

D、E分別是BC、AC的中點,F為PC上的一點,且PF∶FC=3∶1．

(1) 求證：PABC；

(2) 試在PC上確定一點G,使平面ABG∥平面DEF；

(3) 求三棱錐PABC的體積．

2. 如圖,在三棱錐VABC中,VC底面ABC,ACBC,D是AB的中點,且AC=BC=a,∠VDC=θ0

(1) 求證：平面VAB平面VCD；

(2) 試確定角θ的值,使得直線BC與平面VAB所成的角為π6．

滿盈者，不損何為？慎之！慎之！――朱舜水

【參考答案】

1. (1) 在PAC中,PA=3,AC=4,PC=5,

PA2+AC2=PC2,

PAAC，又AB=4,PB=5,PA=3,

在PAB中,同理可得PAAB，

AC∩AB=A,PA平面ABC，

BC平面ABC,

PABC.

(2) 如圖所示，取PC的中點G,連接AG,BG,

PF∶FC=3∶1,F為GC的中點.

又D、E分別為BC、AC的中點,

AG∥EF,BG∥FD,

又AG∩GB=G,EF∩FD=F,

面ABG∥面DEF,

即PC上的中點G為所求的點.

(3) VPABC=5394．

2. (1) AC=BC=a,ACB是等腰三角形,又D是AB的中點,CDAB,

又VC底面ABC.VCAB.

于是AB平面VCD.

又AB平面VAB,平面VAB平面VCD．

(2) 過點C在平面VCD內作CHVD于H,則由(1)知CH平面VAB.

連接BH,于是∠CBH就是直線BC與平面VAB所成的角.依題意∠CBH=π6,所以在RtCHD中,CH=22asinθ；

在RtBHC中,CH=asinπ6=a2,sinθ=22.

第3篇

讓我們用兩根食指比劃比劃每組中直線的位置關系。如果讓你給這幾種情況分類，你打算怎么分?先自己獨立思考，再與小組同學交流交流，小組長做好記錄和總結。以下是為大家整理的數學兩條直線之間的關系教學案例資料，提供參考，希望對你有所幫助，歡迎你的閱讀。

數學兩條直線之間的關系教學案例一

兩條筆直的鐵軌，看成兩條直線，把它們畫在紙上，它們的位置關系如同等號。如果你也來畫兩條直線，還會有什么不同的位置關系呢?

學生畫一畫。

(二)、分一分，初步感知平行與垂直的特點

1、讓我們用兩根食指比劃比劃每組中直線的位置關系。如果讓你給這幾種情況分類，你打算怎么分?先自己獨立思考，再與小組同學交流交流，小組長做好記錄和總結。

2、、交流分類情況。

可能出現以下幾種分法：

第一種：分兩類——相交、不相交

第二種：分三類—— 相交、快要相交的，不相交

第三種：分四類—— 相交、快要相交的，不相交，相交成直角的。

(三)、歸納特點，探究規律

平行：

1、大家先來看第一類，這一類的兩條直線的位置有什么特點，想象一下再畫長點，會相交嗎?

2、像這樣的兩條直線我們就叫平行線，誰能用自己的語言說一說，什么是平行線?

3、我們打開書56頁，看看書中是怎么定義平行線的。(齊讀)

4、在這個概念中，你想提醒同學們注意些什么?(“同一平面內”，“互相平行”)

5、引導學生正確表述兩條直線互相平行。

6、介紹用符號表示平行線的方法。

7、出示課件：判斷是否成平行關系。

8、再一次出示鐵軌，你還能舉出生活中平行的例子嗎?

垂直：

1、下面我們再來看看第二類直線有哪些共同特點?(有交點，都成了四個角)能不能按照角的大小也把它們分分類?有的四個角都是直角，有的四個角不是直角)，你怎么知道他們相交后形成的角是直角呢?(三角板、量角器)，

2、誰知道像這樣兩條直線相交成直角是什么關系?

3、誰能用自己的語言說一說，什么是互相垂直?

4、我們打開書57頁，看看書中是怎么定義互相垂直的。(齊讀)

5、在這個概念中，你想提醒同學們注意些什么?(“相交成直角”，“互相垂直”)

6、引導學生正確表述兩條直線互相垂直。

6、介紹用符號表示互相垂直的方法。

7、完成題卡：判斷每組中兩條直線的位置關系，并用符號表示出平行和垂直,寫出讀法。

8、生活中，很多時候平行和垂直都是同時存在的，把它們摻雜在下起，同學們能區分出來嗎?

(四)、小結，梳理知識結構

剛才，同學們在畫一畫，分一分、說一說、找一找等探究活動中，知道了在同一個平面內的兩條直線的位置關系可以分成兩大類，相交和不相交。不相交的這一類叫做平行。相交的這一類按照是否成直角也可以分成兩類，其中相交成直角的叫做垂直。生活中有了平行和垂直，我們的世界變得更加有序和美麗。

(五)、拓展練習，鞏固知識

辨析題：1、兩條不相交的直線叫平行線。

2、同一平面內的兩條直線不平行就相交。

3、垂線和直角如同孿生兄弟，有垂線的地方就有直角。

4、如圖 + 直線b叫垂線。

(六)、拓展提升

本節課，我們主要研究了同一個平面內兩條直線平行和垂直的關系，如果再加入一條直線，你還能弄清它們之間的關系嗎?

出示：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么，這兩條直線之間是什么關系?

如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么，這兩條直線之間是什么關系?

(七)聯系生活實際，進一步提升平行與垂直的應用價值

出示圖片：(鉛錘測平行，水平儀定平行垂直，測量跳遠成績)

引導學生了解平行和垂直在生活中的應用，引發學生的深度思考，為下節課做滲透。

板書： 平行與垂直

不相交—平行 (∥ )( = )( )記作： a//b讀作：a平行于b

同一平面內

相交—成直角—垂直( )(+)(⊥) 記作：a⊥b讀作：a垂直于b

數學兩條直線之間的關系教學案例二

知識與技能目標：

1、使學生初步理解垂直與平行是同一個平面內兩條直線的兩種特殊的位置關系。

2、學生結合生活情境，通過自主探究活動，初步認識平行線、垂線。

過程與方法目標：

學生在小組合作學習的過程中理解垂直與平行是同一平面內兩條直線的兩種特殊的位置關系，培養學生的空間觀念及空間想象能力，合作探究能力。

情感、態度與價值觀目標：

1、 通過討論交流，使學生獨立思考能力與合作精神得到和諧發展。

2、 學生在具體的情境中感受“垂直與平行”來源于生活，在知識形成過程中體驗數學的價值。

【教學重點】

正確理解“同一個平面”“相交” “互相平行” “互相垂直” “平行線” “垂線”等概念，發展學生的空間想象能力。

【教學難點】

正確判斷兩條直線之間的位置關系(尤其是對看似不相交而實際上是相交現象的理解)和對“同一平面”的正確理解。

【教學用具】

白紙、尺子、三角板、水彩筆一支、小棒、多媒體

教學過程：

一、畫圖感知、研究兩條直線在同一平面內的位置關系。

1、 今天這節課老師請來了一個老朋友，他是一條直線，那么直線有什么特點呢? (沒有端點，可以向兩邊無限延伸)

師：直線就像孫悟空的…?

生：金箍棒。

2、想象活動(想象紙面上兩條直線的位置關系)

師：老師和同學們都有同樣的一張紙,現在請大家拿出來平放在桌上摸一摸這紙，然后談談你的發現。

生：這張紙很薄。

生：這張紙的表面是平平的。

師：也就是說我們手中的這張紙的面是一個平面。 (學生活動感知紙面是一個平面。)

師：同學們我們現在來想象一下，如果把這個面無限擴大，閉上眼睛想象一下，它是什么樣子?

生：很大很大，越來越大。 (學生閉上眼睛想象)

師：如果在這個無限大的平面上，出現了一條直線，又出現一條直線，現在請你想一想這兩條直線的位置關系是怎樣的?會有哪幾種不同的情況呢?(學生想象)

3、在紙上畫出想象中的兩條直線。 每個同學手中都有這樣的白紙，現在咱們就把它當成一個無限大的平面，把你剛才的想法畫下來。注意，一張白紙上只畫一種情況。開始吧。(學生試畫，教師巡視)

設計意圖：通過學生的觀察與想象，感知并感受無限大的平面。為下一步進行兩條直線間位置關系的想象提供一個可操作的平臺。想象平面上出現兩條直線，不是讓學生直接想象兩條直線，而是一條一條的出現，有利于學生想象出更多的兩條直線間的位置關系，培養學生空間想象力。一張紙上只畫一種情況，目的提高學生分類時的可操作性。

二、觀察分類，了解平行與垂直的特征。

(一)展示各種情況。

1、請你的同桌欣賞一下你的作品。

2、將你自己的作品展示給你所在的小組同學，并選出幾張有代表性的作品(小組交流)。 師：哪個小組愿意上來把你們的想法展示給大家看看? (小組展示，將畫好的圖貼到黑板上)

師：仔細觀察，你們畫的跟他們一樣嗎?如果不一樣，可以上來補充!(如果學生沒有把所有的情況都想到教師給予補充) 教師給學生的作品進行編號。

師預設有以幾種兩條直線的位置關系：

設計意圖：在學生自己確定了想法之后，再在小組中交流。充分利用學生自己的學習能力，然后選出有代表性的情況，展示在黑板上，其他小組觀察后，補充不同的情況，這樣學生的學習活動就經歷了一個從個人到小組再到全班的逐層遞進的過程。使在同一平面內兩條直線間位置關系的各種情況，可能地通過學生的思考、想象、動手操作展現出來，為分類提供材料。

三、師生共同探究 揭示平行與垂直的概念

(一)揭示平行的概念

1、那剩下的這組直線相交了嗎?(沒有)想象一下，畫長點，相交了嗎?(沒有)再長一點，相交了嗎?(沒有)無限長，會不會相交?(不會)(邊提問邊用課件演示)

2、那么，像這樣在同一個平面內的兩條直線畫得再長再長也不會相交，你們知道這種在同一平面內永不相交的兩條直線在數學上叫什么嗎?我們就說這兩條直線是平行線，這兩條直線互相平行。(板書：互相平行)(學生試說不完整的概念)

3、小結： 象這樣在同一平面內，永遠不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。(課件出示，并讓學生齊讀概念)

4、你們知道為什么要加“互相”嗎?(學生回答)

教師用誰是誰的同桌來說明平行線間的關系。 課件演示，老師強調：平行是兩條直線之間的位置關系，可以說直線L1與L2互相平行，或者說L1平行于L2，L2也平行于L1。能不能說L1是平行線?

5、你覺得在這句話中，還應注意哪些詞? 學生回答(同一平面、不相交)

師：“同一平面”是什么意思?(學生討論)學生發言后師舉例幫助學生理解，強調：判斷兩條直線是否是平行線時“在同一個平面內”和“不相交”這兩個條件缺一不可。指出如果不在同一平面的情況，以教室的幾個墻面為例。(假如在教室前面的墻面上畫一條直線，然后在教室的側面畫一條直線，它們不相交但它們平行嗎?)

6、辨析練習：課件出示，請學生判斷并說出原因。

(二)、揭示垂直的概念

1、咱們再來看看兩條直線相交的情況。你們發現了什么?(都形成了四個角)

2、你認為在這些相交的情況中哪種最特殊?(相交形成了四個直角)

3、兩條直線相交成直角，而其他情況相交形成的都不是直角，有的是銳角，有的是鈍角。

4、你是怎么知道他們相交后形成了四個直角呢?(學生驗證：三角板、量角器)(板書：成直角)

5、你們知道在同一平面內，兩條直線相交成直角，在數學上叫什么嗎?(互相垂直)什么叫互相垂直?誰能用自己的話說說。(學生試說) 課件出示互相垂直的概念，讓學生齊讀。

6、強調其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。

出示直線a1和a2互相垂直的情況，讓學生說說它們之間的關系。 即：直線a1是a2的垂線，或者說a1垂直于a2， 也可以說a2是a1的垂線，或者說a2垂直于a1。

7、強調看兩條直線是否互相垂直的關鍵是看它們相交所成的角是否直角，與兩條直線放置的方向無關。

四、 練習鞏固，深化垂直與平行的理解。

1、你能在運動場上找出平行或垂直的現象嗎?(課件出示主題圖)

2、生活中我們常常遇到垂直與平行的現象，你能舉幾個例子嗎?(學生舉例后教師適當添加學生沒想到的例子。)

3、小結：通過剛才的學習，我們已經知道了同一平面內兩條直線間有兩種關系一種是相交，一種是不相交。同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行;如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。

4、揭示課題。(板書課題)

五、拓展延伸，發展空間觀念。

下面咱們一起來做個游戲，(出示小棒)每根小棒代表一條直線。教師在電子白板上畫圖，學生用小棒在自己的課桌上擺放小棒。

(1)先擺一根3號的小棒，再擺一根1號小棒，使它與3號小棒平行。再擺一根2號小棒，使它也跟3號小棒平行。仔細觀察1號和2號小棒，說說你們發現了什么?(互相平行)看看你擺的是不是互相平行?想象一下，有多少條直線跟3號小棒平行?

(2)先擺一根3號小棒，再擺一根1號小棒，使它與3號小棒垂直。再擺一根2號小棒，使它也跟3號小棒垂直。想象一下，有多少條直線跟3號小棒垂直?仔細觀察1號和2號小棒，說說你們發現了什么?(互相平行)看看你擺的是不是互相平行?

六、 總結:

師：這節課你有什么收獲?

學生談自己的收獲。結合學生所談收獲教師總結全課。

師：同學們你們都滿載著收獲，我們的生活離不開數學，數學能使我們生活變得更加有序，更加美好，讓我們都做有心人吧!去感受數學的美，去感受生活的美。

七、 作業：

1、回家后繼續尋找生活中垂直與平行的現象，講給你的父母聽，并說一說它們有什么作用?

2、動手折一折：(!)、用一張白紙折出兩條互相垂直的折痕線。

(2)、用一張白紙折出兩條互相平行的平行線。

八、板書設計

垂直與平行

不成直角

相交

同一平面內的兩條直線 成直角 互相垂直

不相交 互相平行

數學兩條直線之間的關系教學案例三

[教學目標]

1、引導學生通過觀察、討論、感知生活中的平行與垂直的現象。

2、幫助學生初步理解平行與垂直是同一平面內兩條直線的兩種特殊的位置關系，初步認識平行線和垂線。

3.培養學生的空間觀念及空間想象能力，引導學生樹立合作探究的學習意識。

[教學重點]

正確理解“互相平行”“互相垂直”等概念，發展學生的空間想象能力。

[教學難點]理解“平行與垂直”這兩種關系的界定前提是“同一平面內”。

[教具、學具準備]

課件，水彩筆，尺子，三角板，長方形紙等。

[教學過程]

一、談話導入。

師：同學們，今天老師請來了一位老朋友，你們想知道它是誰嗎?(課件出示一條無限延長的直線)誰來介紹一下這位朋友?

師：直線就像孫悟空的…?

生：金箍棒。

二、探索體驗，經歷過程

(一)畫圖感知，確定研究對象。

過渡：今天我們繼續研究有關直線的知識，就是兩條直線在同一平面內的位置關系。

板書：兩條直線

1、想象活動，想象紙面上兩條直線的位置關系。

師：想一想，如果我們在這張長方形紙上畫兩條直線，這兩條直線會有怎么樣的位置關系呢?(學生想象)

2、動手操作。

(學生試畫，教師巡視)

3、收集展示。

4、觀察分類，了解平行與垂直的特征。

師：同學們的想象力可真豐富，畫出這么多種情況。根據兩條直線的位置關系你能給它們分分類嗎?

5、匯報分類情況。

在分類過程中通過課件展示重點引導學生弄清看似兩條直線不相交而事實上是相交的情況。(課件展示不相交的兩條直線延長后的情況，完善分類標準。)

教師根據學生的分類板書：相交 不相交

(二)師生共同探究，揭示平行與垂直的概念

1、揭示互相平行的概念。

(1)通過交流揭示互相平行的概念。

在同一個平面內不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。(課件出示，并讓學生齊讀概念，互說概念)

(2)練習。(辨析練習：課件出示，請學生判斷并說出原因。)

通過練習讓學生理解“同一個平面”、“不相交”等的意思。

(3)小結

2、通過交流揭示互相垂直的概念

師：我們再來看看兩條直線相交的情況。

(1)觀察。兩條直線相交成的四個角是什么角?

(2)匯報：兩條直線有的相交成直角，有的是銳角，有的是鈍角。

成銳角、鈍角

板書：相交

成直角 垂直

(3)引出互相垂直的概念，你們知道在同一平面內，兩條直線相交成直角，在數學上叫什么嗎?(互相垂直)什么叫互相垂直?

(4)課件出示互相垂直的的概念。(齊讀概念，互說概念)

(5)練習。(課件出示)

(6)自學互相平行、互相垂直的表示方法。

a與b互相平行，記作a∥b ，讀作 a平行于b

a與b互相垂直，記作a⊥b ，讀作 a垂直于b

(三)欣賞生活中的平行和垂直現象。

三、鞏固練習

四、總結全課

五、作業

板書：

平行與垂直

不相交 互相平行

兩條直線的位置關系 成銳角、鈍角

(同一平面內 ) 相交

第4篇

關鍵詞：小學；數學；教

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）11-311-01

一、自主學習，嘗試畫圖。

第一步，請學生畫出兩條直線互相平行。第二步，請學生畫出兩條直線互相垂直。第三步，小組里說一說什么是互相平行，什么是互相垂直，并互相檢查你們所畫的是不是正確的。第四步，選取組內一個同學的作品，做好向全班同學匯報的準備。

二、交流展示，觀察辨析

學生完成學習單內容后，自主完成導學提示單上的內容后，再課堂中引導學生進行交流，選出你認為是互相平行互相垂直的向全班匯報。師：誰來說說兩條直線怎樣的位置是互相平行？怎樣的位置關系是互相垂直？a：學生根據書上的定義準確描述互相平行和互相垂直的定義，并讓學生說說你認為哪些詞比較重要。b：教師在黑板上出現這兩條概念的表述。教師根據學生的想法、所提出的問題進行隨機評價，并對白板上學生的作品進行評價整理，歸類，會出現兩種如下情況：

三、理解互相平行

如何讓學生理解互相平行，根據定義抓住平行線的本質特征來判斷是否互相平行，學生對其中的不平行的線條生質疑，讓學生知道不平行的線條延長后會相交，再根據學生的回答，通過白板先把兩條直線延長，然后利用白板中的三角板功能量下兩條直線之間的距離相等。小結：通過剛才的學習，我們知道兩條直線的位置關系有兩種，一種是相交的，一種是不相交的，像這樣延長后永不相交的兩條直線在數學上叫互相平行，如兩條直線分別叫做a、b，記作a∥b，讀作a平行于b。（板書）誰能說一說：互相平行需要具備什么條件：一，兩條直線，二，永不相交，（三，同一平面，等會兒再得出）

四、理解互相垂直

通過書本上的定義抓住垂線的本質特征來判斷是否互相垂直，學生對不相互垂直的線條產生質疑，在質疑中概括出互相垂直的本質屬性。小結：像這樣兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足，讀作a垂直于b。師：誰也來說一說：互相垂直需要具備什么條件？（一兩條直線，二相交成直角， 三同一平面，等會兒再得出）

五、理解同一平面

引導學生質疑：（1）先讓學生說說為什么互相平行和互相垂直這兩條直線要在同一平面內。（2）出示一個只有4個面的長方形紙盒，前面和后面各畫了一條直線a和b，再展開（如右圖）：讓學生去想象平面和直線分別是無線延伸和延長的，不管直線怎么延長，它們都分別在自己的平面內，而互相平行的前提是在同一平面內。（3）再次深化“互相平行”和“互相垂直”，通過設計5個問題的過程進行深化凸顯概念的本質。如：①如何去找到直線a的平行線，能找到幾條？②與a平行的這兩條平行線是否也互相平行。③選取與a平行的兩條直線，要讓直線a與直線b互相垂直，應該怎么辦？④兩條直線是不是互相垂直了呢？（再次用三角板去驗證）⑤如果讓直線a繼續轉下去，還會發生情況。（出現重合情況）⑥讓其中一條直線平移，會出現什么情況。

六、教學設計反思效果

1、運用翻轉課堂，提高自學能力

教師提前創建視頻，運用翻轉課堂教學模式，學生在課前或家中觀看學習視頻中的內容，完成老師導學提示單中的問題，回到課堂上師生面對面交流和完成作業的這樣一種教學形態。垂直與平行這節課的內容基本上以陳述性內容為主，更要注重引導學生自主、有效的學習，本節課先通過讓學生自己想象兩條直線的位置并畫下來，再通過交流、分類，在分類中引導學生概括出“互相平行”和“互相垂直”的本質屬性。數學的學習就是思維不斷激烈碰撞的過程，也是師生互動、生生互動共同發展的過程，根據學生的知識起點，讓他們通過充分的交流和再創造“跳一跳”摘到果子，促進他們在動手實踐、自主探索和合作交流的過程中真正理解數學，使數學的課堂充滿生命和活力。

第5篇

一、抓住復習重點

從歷年高考試題可以看出，高考立體幾何的填空題主要涉及有關空間幾何體的計算問題，同學們復習時應抓住如下重點：

1.簡單多面體包含棱柱、棱錐、棱臺的概念，側面積、體積的計算，簡單旋轉體包含圓柱、圓錐、圓臺、球的概念，表面積、體積的計算.

2.以柱體、錐體和特殊簡單多面體為載體的立體幾何綜合型問題研究既要運用線面關系的判定定理、性質定理，又要運用其基本性質.

3.簡單幾何體面積與體積的計算.

側面積和體積的計算首先要熟記公式，能用函數的觀點去理解柱、錐、臺、球的面積公式和體積公式，理解其變化規律.

立體幾何解答題作為考查空間想象能力的唯一考題，是一道必考題，且一般難度適中.每一位考生應該引起足夠重視，必須從戰略高度看待，作為“自己必吃的菜”對待，明確復習職責，排除各種干擾，盡全力“啃下”這個“陣地”.為此，建議大家做到以下兩點：

1.復習時應該注重常規模型和常見考點解題思路尋找的反思與總結.通過近5年高考立體幾何解答題的統計與分析可以看出，三棱柱和四棱錐是高考常見的載體模型，有關垂直和平行的證明是最熱門的考點，在復習中，我們應該進行系統整理，熟練掌握這些重點、熱點問題解題思路和方法，并注重反思和總結，形成突破問題的基本思路鏈和策略鏈，達到模型化解題.

2.注重基礎知識（如公理、定理、性質、公式等）的記憶.立體幾何中有許多的公理、定理、性質、公式等，只有熟記了這些知識，在解題時才能靈活運用，找到切實可行的解題思路.例如，線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間的判定定理與性質定理是解決有關垂直問題的基礎；線線平行、線面平行、面面平行三者之間的判定定理與性質定理是解決有關平行問題的基礎.

二、把握命題趨勢

雖然2010年立體幾何試題在命題思路和方法上有些出人意外，考查了點到直線的距離問題，備受爭議，但近兩年來總體上還是保持了穩定，所以復習備考工作有章可循，有法可依.特別是立體幾何試題難度中等偏易，大題分步設問，層次分明，使得不同層次的學生都可得到一定的分數，相信2013年仍會堅持這一原則.

從近年高考立體幾何試題的命題來源來看，很多題目是出自于課本，或略高于課本.我們在復習備考中，一定要依綱靠本，控制好題目的難度，不做偏題、怪題.

2013年的命題方向：一是“定性”的分析（包括平行，垂直關系），二是簡單的定量計算（角，距離，面積，體積）以及可能的簡單探索題.

三、熟悉基本題型

題型1 判斷命題的真假

給出幾個有關立體幾何直線與平面位置關系的命題，要求判斷其真偽，這類問題一般在小題中出現，難度不大.

例1 設a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列四個命題：

①若ab，aα，則b∥α

②若a∥α，αβ，則aβ

③若aβ，αβ，則a∥α

④若ab，aα，bβ，則αβ

其中正確的命題的個數是 .

答案：1個；

解析：注意①中b可能在α內；③中a可能在α內；④中b∥α，或bα均有αβ，

故只有一個正確命題.

評注：線線、線面、面面垂直與平行的判定和性質定理，是解決此類問題的依據，實物的簡單演示法、特例法，是解決問題的法寶.

題型2 計算幾何體的體積

計算旋轉體、椎體、柱體或其組合體的體積，一般以小題形式出現，或出現在解答題中，難度中等或中等偏上.

例2 如圖BD是邊長為3的ABCD為正方形的對角線，BCD將繞直線AB旋轉一周后形成的幾何體的體積等于

答案：18π；

解析：BCD繞直線AB旋轉一周后形成的幾何體是圓柱去掉一個圓錐，V=π×32×3-13π×32×3=18π

評注：對于規則的幾何體的體積計算，可直接利用體積公式；對于不規則幾何體的體積問題，通常通過“割”與“補”的方法，將其轉化為幾個規則幾何體的體積的和與差.

題型3 與球有關的問題

與球有關的問題包括與球有關的體積、表面積等問題，一般以小題形式出現，難度不大.

例3 一個正方體的八個頂點都在同一個球面上，已知這個球的表面積是12π，那么這個正方體的體積是 .

答案：8；

解析：設球的半徑為R，則4πR2=12π，從而R=3，所以正方體的體對角線為23，故正方體的棱長為2，體積為23=8.

評注：記住球體的有關性質和球體的體積公式、表面積公式，以及正方體的內接球和外接球的直徑與正方體邊長之間的關系，可以輕松破解此類問題.

題型4 空間平行關系問題

空間平行關系包括線線平行、線面平行和面面平行，一般出現在解答題中，以證明題為主，難度中等.

例4 如圖，三棱錐PABC中，PA=BC=CA，E為PC的中點，M為AB的中點，

點F在PA上，且AF=2FP.求證：CM∥平面BEF；

思路分析：當平面BEF內與CM平行的直線不易找到時，可考慮通過面面平行來證線面平行.

證明：取AF的中點G，連接CG，GM，

E為PC的中點，AF=2FP，EF∥CG.

CG平面BEF，EF平面BEF，CG∥平面BEF.

同理可證：GM∥平面BEF.

又CG∩GM=G，平面CMG∥平面BEF..

CM平面CMG，CM∥平面BEF

評注：（1）平行關系是立體幾何中的重點，也是高考中常考熱點，在解決線面，面面平行的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”，而在應用性質定理時，其順序恰好相反，但也要注意轉化的方向總是受題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”.

（2）證明線面平行可以使用線面平行的判定定理，也可以使用面面平行的性質定理.在證明過程中，畫輔助線構造幾何圖形往往是必不可少的步驟，構造時應緊密結合已知條件和平面幾何的有關知識，主要是兩條直線平行的判定定理，可以從以下兩種情況進行考慮.

①用線面平行的判定定理來證：構造一個三角形.或一個平行四邊形，使其一邊在所證的平面內，利用相關的定理、性質證明兩直線平行.

②用面面平行的性質定理來證：構造一個平面圖形，往往是三角形，使三角形的一邊為所證的直線，證明這個三角形另兩邊與所證的平面平行.

題型5 空間垂直關系問題

空間垂直關系包括線線垂直、線面垂直和面面垂直，一般出現在解答題中，以證明題為主，難度中等.

例5 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1與截面A1B1C交于DE，

（1）求證：A1B1平面BB1C1C；（2）求證：A1CBC1；

（3）求證：DE平面BB1C1C.

思路分析：（1）利用面面垂直的性質；（2）先依據線面垂直的判定證明BC1平面A1B1C，再依據線面垂直的性質推出線線垂直.

證明：（1）三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，

側面與底面垂直，

即平面A1B1C1平面BB1C1C，又ABBC，A1B1B1C1，從而A1B1平面BB1C1C.

（2）由題設可知四邊形BB1C1C為正方形，BC1B1C，

又由（1）可知A1B1平面BB1C1C，而BC1平面BB1C1C，A1B1BC1，

又A1B1∩B1C=B1，且A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，BC1平面A1B1C，而A1C平面A1B1C，BC1A1C.

（3）直三棱柱的側面均為矩形，而D、E分別為所在側面對角線的交點，

D為A1C的中點，E為B1C的中點，DE∥A1B1，

而由（1）知，A1B1平面BB1C1C.DE平面BB1C1C.

評注：（1）垂直關系是立體幾何中的必考點，無論是線面垂直還是面面垂直，都源于線線的垂直，這種轉化為“低維”垂直的思想方法，在解題時非常重要，在處理實際問題的過程中，可以先從題設條件下手，分析已有的垂直關系，再從結論入手分析所需證明的垂直關系，從而架起已知與未知之間的“橋梁”.

（2）解決空間直線與平面平行與垂直的相關問題，特別要注意下面的轉化關系：

線線平行（垂直）判定性質線面平行（垂直）判定性質面面平行（垂直）.

題型6 立體幾何綜合（探究）問題

本題型以解答題形式考查立體幾何知識的綜合應用能力，難度中檔或中檔偏上.

例6 如圖：一簡單幾何體的一個面ABC內接于圓O，G，H分別

是AE，BC的中點，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC平面ABC.

（1）求證：GH∥平面ACD；

（2）證明：平面ACD平面ADE；

（3）若AB=2，BC=1，tan∠EAB=32，試求該幾何體的體積V.

思路分析：證明線面平行轉化為線線平行，要證明面面垂直，要轉化為線面垂直，最終轉化為線線垂直問題，要注意轉化的思想方法；對于不規則幾何體的體積求解可通過分割與補形的方法解答.

解析：（1）證明：據已知連結OH，GO，易知GO∥BE∥CD，即直線GO∥平面ACD，同理可證OH∥平面ACD，又GO∩OH=O，故平面ACD∥平面GHO，又GH平面GHO，故GH∥平面ACD.

（2）證明：DC 平面ABC，BC平面ABC，DCBC，

AB是圓O的直徑 BCAC且DC∩AC=C，BC平面ADC.

四邊形DCBE為平行四邊形，DE∥BC.DE平面ADC，

又DE平面ADE，平面ACD平面ADE.

（3）所求簡單組合體的體積：V=VEABC+VEADC.

AB=2，BC=1，tan∠EAB=EBAB=32.

BE=3，AC=AB2-BC2=3.

VEADC=13SADC·DE=16AC·DC·DE=12，VEABC=13SABC·EB=16AC·BC·EB=12

該簡單幾何體的體積V=1.

第6篇

【關鍵詞】數學思想；設計教學；小學數學

【基金項目】本文系湖北師范大學2015年度教學研究課題“反思型卓越教師培養的行動研究”的成果。

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）01-0098-03

一、教學理念

建構主義教學理論表明，當學習者通過理解學習材料來主動建構自己的知識體系時，建構性學習便產生了。關于建構性學習的3種不同觀點如下：①作為反映的強化學習；②作為知識獲得的學習；③作為知識的建構學習。教學“平行與垂直”時，應將學習者學習時教學方式的結構體現出來。通過學生已有的學習認知，將兩條直線的位置關系進行確立，將數學思想貫入課堂教學，讓學生大腦中建構圖形表象特征，為學習后期“平行四邊形和梯形”打下基礎。

二、學目標確定的依據

1. 教材分析

《平行與垂直》是小學數學四年級上冊第五單元的教學內容，以“圖形與幾何”為綱，見表1。

“平行與垂直”屬于“圖形與幾何”這一章節的內容之一，要求學生了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關系。教材上把它作為學習“平行四邊形和梯形”的鋪墊。

2. 學科價值

平行與垂直作為兩條直線的位置關系兩種特殊情況，這個知識點具有承上啟下的作用，學生在學習線段、射線、直線、角的內容之后再學兩條直線所處的特殊位置關系，可為后期學習平行四邊形與梯形打下基礎。

在實踐過程中，上述知識的運用也起到相當重要的作用，可以對物置關系進行判定，也可以利用垂直判斷兩條直線距離最短的情況解決生活中的數學問題。

3. 學生分析

（1）學生認知障礙點。通過直線和角的認識、長方形和正方形等知識的學習，為后續平行與垂直內容的學習奠定了基礎。但學生在學習“平行與垂直”這些概念時會產生很多障礙，因為學生并不理解同一平面、永不相交、互相平行、互相垂直等概念，學習起來較為困難，還會產生很多疑問：什么叫同一平面？這個平面有多大？什么叫永不相交，我們看得見嗎？互相平行、互相垂直這些條件應具備的條件是什么？

（2）學生思維發展點。首先，可以讓學生在白紙（平面）畫出兩條直線，看看學生畫出的幾種情況，在畫出的幾種情況下進行語言表達。表現出學生已有的前概念表征情況。其次，通過多媒體技術，對學生畫出的幾種典型情況進行視頻展示，再舉出生活中常見的實物，如建筑造型，進行解釋說明，讓學生在頭腦中建構起位置關系的表象特征。最后，學生在正確認識、判斷直線位置關系時，可以依據所學概念知識和技能進行正確判斷。

三、教學的具體目標

1. 認識目標

通過合作探究使學生知道，在同一平面內，兩條直線的位置關系存在相交和不相交兩種情況。

2. 能力目標

幫助學生初步理解平行與垂直是同一平面內，兩條直線的兩種特殊的位置關系。初步理解平行線和垂線的概念。

3. 情感目標

培養學生的空間觀念及空間想象能力，引導學生樹立合作探究的學習意識。

四、教學過程設計

1. 動手操作，感悟感知

（1）畫圖+想象。請學生拿出一張白紙（白紙是有限的平面），在這張白紙上畫出一條直線，然后教師在課件上展示一條直線兩端不斷延伸的情況。讓學生再畫出一條直線，這時兩條直線的位置關系會出現哪幾種情況？學生開始思考、討論，并對自己畫的兩條直線的位置關系進行展示。教師在一旁進行指導，讓學生繼續把直線延長后，看有沒有新的進展，兩條直線位置關系怎樣？

設計意圖：讓學生繼續動手畫直線，鍛煉學生的動手能力，培養學生使用直尺量具的習慣，第二次延伸直，是為了讓學生鞏固直線可以無限延伸這一概念。

教師在PPT上展示兩條直線無限延伸之后的情況，讓學生發揮想象力，這兩條直線延伸到屏幕外面還會有什么變化？讓學生大膽想象，培養想象力。

（2）梳理+分類。同伴小組同學對自己畫的兩條直線的位置關系進行展示。讓學生進行分類，并說出為什么會這樣分，有什么依據？可以通過自身已有的量具進行測量，分析相交和不相交的兩種情況。如果相交，那么它的角度能成為多少？

設計意圖：讓學生分類。小學一年級下冊第三單元就有分類與整理這一單元，小學生學會對物體進行分類，把相同一類和不同一類的物體分到一類，這樣對物體區分度有前概念的了解。對于兩條直線的位置關系進行分類并不是難事。

2. 分類比較，掌握特征

（1）想象+演示。讓兩條直線“動”起來，在PPT上進行展示，讓學生將分類的兩條直線進行展示，從位置關系的視角進行概念學習。

首先，觀察兩條直線不相交的情況，解說不相交兩條直線循環變動的樣子。對兩條直線不相交的情況――平行進行解說，說出平行的定義概念，讓學生記住這個規則。

其次，告知學生如果有兩條直線，分別叫作直線A、直線B。如果它們是互相平行的兩條直線，可以記作A//B，讀作直線A平行直線B。

第7篇

一、證明兩直線平行或垂直

根據∥?圳=λ（λ≠0）將證兩線平行轉化為證兩向量共線（平行）。根據?圳?=0，將垂直問題轉化為證兩向量的數量積等于0.

例1.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB1=1，AA1=2點E為CC1的中點，點F為BD1的中點.求證：EF是BD1與CC1的公垂線。

證明：建立空間直角坐標系，則B（1，

1，0），C（0，1，0），C1=（0，1，1），D1（0，0，1），E=（0，1，），F=（，，），=（，，0），=（0，0，1），=（-1，-1，1），所以?=0，?=0，即，.故EF是CC1與BD1的公垂線。

若用立體幾何中的理論來證明這道題目則可以通過證明三角形ED1B和三角形FC1C為等腰三角形來達到目的。證明過程中需利用已知邊長，垂直等條件求出其他邊長。而用向量的性質來解則只需將各點坐標表示出來，再利用兩向量的數量積是否等于0便可以得出結論。相較而言，利用向量更為簡便，計算量也相對較少。

二、證明線面平行或垂直

證明線面平行，可轉化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明線面垂直，可轉化為證明直線的方向向量與平面的法向量平行，從而得出結論，達到解決問題的目的。

例2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F，G分別是BC，CD，CC1的中心，求證：（1）AD1∥平面EFG.（2）A1C平面EFG.

證明：以D為坐標原點建立空間直角坐標系D-xyz，則D（0，0，0），A（2，0，0），A1（1，1，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（1，2，0），G（0，2，1）所以=（-2，0，2），=（2，-2，2），=（-1，-1，0），=（-1，

0，1）。設=（x，y，z）是平面EFG的一個法向量，則，，所以?=-x-y=0?=-x+z=0?圯y=-xz=x，令x=1，

則=（1，-1，1）.

（1）因為?=（1，-1，1），所以，又A1C?埸平面EFG，所以AD1∥平面EFG.

（2）因為=（1，-1，1），=（2，-2，2），=2所以∥，即A1C平面EFG.

用常規方法解第一小問比用向量解簡單，而用第二小問需要證明直線A1C與平面EFG內兩條相交直線都垂直。A1CEF很容易證明，若再證A1C與EF或FG垂直則比較麻煩。相較于用向量，只需聯立一個方程組求出平面EFG的一個法向量，再利用向量的性質判斷平行或垂直，問題便迎刃而解。

三、證明面面平行或垂直

一般來說，面面關系可以轉化為線面關系來分析解決，這樣就要能夠靈活的做出輔助線或輔助面來解決。若利用平面的法向量解決這類問題則不需要過多的引輔助線的技巧，步驟少而簡潔。只需仔細觀察，集思廣益，就能開拓思維，是難解的立體幾何簡單化、代數化。

1.證明面面平行

證明平面與平面平行，需證明一個平面內的兩條相交直線分別平行另一個平面，或者證明一個平面內的兩條相交直線分別平行另一個平面內的兩條直線。而尋求線面平行或線線平行是個難點，如果轉化為證明這兩個平面的法向量平行，則避免了這一麻煩，顯得更為簡便。

例3.正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為4，已知M，N，E，F分別是A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點.求證：平面AMN∥平面EFBD.

證明：建立空間直角坐標系D-xyz，則A（4，0，0），M（4，2，4），N（4，2，4），=（-2，0，4），=（0，2，4）.設=（x，y，z）為平面AMN的法向量，則，，所以?=0，?=0可取=（2，-2，1）.同理可求出平面EFBD的一個法向量，=（2，-2，1）所以=，即，共線，所以平面AMN∥平面EFBD.

2.證明面面垂直

按兩平面垂直的判定定理證明，必須證明一個平面經過另一個平面的垂線，而這一過程是學生的難點。如果轉化為證明這兩個平面的法向量互相垂直，則可避免這一復雜的過程。

從上述3個例題可以看出，利用向量解決立體幾何中的平行或垂直關系具有思路清晰，輔助線較少，步驟少而簡潔等優點。但并非所有題目用向量解都簡單，比如例2第一問，用常規方法只需幾句話便可以證明出來。而利用向量需要建立坐標系，表示出各向量坐標，再求出法向量，比用常規方法更繁瑣。所以有些題目不一定就要用向量解，分析題目之后選擇更為簡單的方法。

總之，在解答立體幾何問題時，若能把立體幾何問題轉化為空間向量的代數運算淡化了傳統立體幾何從“形”到“形”的推理方法，使解題過程簡潔、直觀、形象，易于操作與接受。運用空間向量知識解決立體幾何問題實現由“平面向量”到“空間向量的自然轉化”，調動學生學習“空間向量”的積極性。通過“空間向量的工具性”提高學生解決立體幾何問題的自覺性和靈活性。

第8篇

論文摘要：本文作者就高中教材中兩條直線的位置關系。從教學背景分析、教法學法分析和教學過程與設計三方面闡述了對這節課的教學設計。

一、教學背景分析

1．教材結構分析。“兩直線的位置關系”安排在《全日制普通高級中學教科書(必修)數學》第二冊(上)第七章第3節第一課時。主要內容是兩直線平行與垂直條件的推導和公式的應用。從初中平面解析幾何中平行和垂直的定性過渡到高中解析幾何的定量計算。它是學生在研究了直線傾斜角、斜率、直線方程的基礎上學習的又一平面解析幾何的基礎知識。本節的研究，將直接影響以后的曲線方程、導數、微分等的進一步學習，貫穿于高中教學的始終，具有承上啟下的作用。

2．學情分析。兩條直線位置關系的探究是學生在已經掌握了三角函數、平面向量的基礎上進行的。說明學生已具備了一定的利用代數方法研究幾何問題的能力。但由于學生接觸平面解析幾何的時間還不長學習程度較淺，特別是處理抽象問題的能力還有待提高，在學習過程中可能會出現困難。因此，教師要在今后的教學滾動中逐步深化，使之和學生的知識結構同步發展完善。

3．教學目標。(1)知識和技能目標。①理解兩條直線平行與垂直充要條件的推導、公式及應用。②能夠根據直線的方程判斷兩條直線的位置關系。(2)過程與方法目標。①通過探索兩條直線平行或垂直的充要條件和推導過程，培養學生“會觀察”、“敢歸納”、“善建構”的邏輯思維能力，滲透算法的思想。②通過靈活運用公式的過程，提高學生類比化歸、數形結合的能力。(3)情感態度和價值目標。徐利治先生曾指出：“數學教育與數學教學的目標之一，應當讓學生獲得對數學美的審美能力，從而既有利于激發他們對數學科學的愛好，又有助于增長他們的創造發明能力。”因此，培養學生主動探究知識、合作交流的意識，在體驗數學美的過程中激發學生的學習興趣即成為本節的情感目標。

4．教學重點與難點．

根據學生現狀、教學目標及教材內容分析，確立本節課的教學重點為兩條直線垂直和平行的條件。一個定理、公式的運用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推導過程中所蘊含的數學思想與方法，通過啟發學生用平行線同位角關系的判定、性質定理，以及傾斜角、斜率的對應關系探求兩直線平行與垂直的充要條件，引導學生理清思考脈絡，培養學生勤于動腦、勇于探索的精神。

教學難點為兩直線平行與垂直問題轉化為與兩直線斜率的關系問題。突破難點的戈鍵足在設計j-采Hj了南特殊到一般、從具體到捕象的敦學策略，利片J類比歸納的思想，由淺人深，讓學生自主探究，分析發現兩百線平、幣直的規律

二、教法學法分析

1．教法分析。基于本節通過引導學生了解數形結合數學方法，我采肘合作探究式教學法及類比發現式教學模式，對數學知識結構進行創造性的“教學加lI”，將教材中單一、靜態的數學知識轉化為學生多樣、動態的思號我用環環相扣的問題將探究活動層層深入，使課堂教學體現“參與式”、“生活化”、“探索性”，促進學生和諧、F{主、個性化發展。

2．學法分析。我讓學生通過觀察直線萬程的特點．將初巾學過的兩直線平行和垂直的判定定理和性質轉化成坐標系中的語言，用斜率重新刻有關條件；并啟發學生用平面幾何巾平行線與同位角關系的判定定理和性質定理．以及傾斜角與斜率的對應關系．由學生自己得兩條直線平行和垂直的充要條件．使學生在思維訓練的過程巾，感受數學知識的魅力，成為學習的主人．．

三、教學過程與設計

教學于段：幾何J面板、汁算機課件輔助教學。

1．復習舊知，以舊悟新。(1)復習初巾的平面幾何知識。(2)自問自答：為什么我們現在義要來學習兩條直線的位置關系呢?因為我們現存學習平面解析幾何，所以就可以在直角坐標系中把直線的方程建立起來。也就是說存前而引入了斜率、點斜式、斜截式等概念后，我們就能夠用代數的方法來討論一些幾何的問題，所以，怎樣通過兩直線方稗的特點來判斷兩直線平彳了與垂冉的位置關系呢?這就是我們這節課討論問題的主要任務日的：我通過對已有知識的同顧和深入分析，以問題制造懸念、帶著問題走進課堂，讓學生主動去探究問題，體驗知識發生發展的過程。

2．提出問題，尋找規律。第…部分為新知的發現奠定基礎后，我分別給出兩組平行的直線．讓學生自己做．然后在自主合作的探究氛同中思考、質疑、傾聽、表述。我利用幾何板工具引導學生觀察同位角、傾斜角、斜率的對應關系，引導葉1溉說明了平行條件的證明，又回避了教材巾單獨的、枯燥的證明．然后巧妙地加以引導、點撥．放大到兩條直線垂直關系的探究上。目的：由特殊到一般，由具體到抽象，南低級到高級的認知順序引出平行的充要條件，學生比較容易接受，同時激發學生發現平行充要條件的強烈欲望。

3．深入探究．獲得新知。(1)創設問題：平行的時候，學生能夠把直線的平行轉化為討論直線方程的斜率來判定．同樣的我們能否用斜率來討論兩直線的垂直關系呢?(2)分別給出兩組垂直的直線，讓學生自己作圖、發現規律。在討論巾提醒學生：若兩直線的斜率存在，他們之間有何關系?用量角器或三角形來量一下面出的圖形的夾角有什么特點?(3)根據高二年級學生的學習狀況和認知規律，我給出幾組直線的數據讓學生利用其發現的規律來驗證，將教學信息及時反饋給教師(4)教師教學講究深入淺出，對于本課的教學難點，待學生發現了規律后引導其利用向量知識來證明．讓學生達到從感性認識上升到理性認識的平衡。

目的：現代教學論指出：“教學是師生的多邊活動，在教師的‘反饋一控制’的同時．每個學生也都在進行著微觀的‘反饋一控制’。”閃此，教師要及時掌握學生接受知識的程度，從而進行有效淵控。對平行和垂直的討論中，我鼓勵學生將其討論的結果以分享的方式和大家交流．構造這樣一種雙向交流、寬松的環境組織教學，既鍛煉他們的表達能力，又培養他們的數學思維能力。

第9篇

（1）求證：PA∥平面EDB；

（2）求證：PB平面EFD；

（3）求二面角C-PB-D的大小.

難度系數0.65

思路分析要想證明PA∥平面EDB，可以取BD的中點為O，連接EO，證明PA∥EO即可；要想證明PB平面EFD，可以證明PB垂直于平面EFD內的兩條相交直線；要想求二面角C-PB-D的大小，可知∠DFE即為所求角的平面角.

方法1（1）證明：連接AC交BD于點O，連接EO.PE=CE，AO=CO，PA∥EO.PA∥平面EDB.

（2）證明：PD底面ABCD，BCPD.又BCDC，BC平面PCD，即BCDE.PD=DC，PE= CE，DEPC.DE平面PBC，則有DEPB.PBEF，PB平面EFD.

故二面角C-PB-D的大小為60°.

思路分析要想證明線面平行，可以證明面面平行，作一個輔助面PKH平行于平面EDB；要想證明線面垂直，可以利用三垂線定理進行證明；二面角一般是按作、指、證、求的步驟求解，可以過點C向平面PBD作垂線，再過垂足向棱PB作垂線交PB于一點M，連接CM，可得所求角的平面角.

方法2（1）證明：如圖2所示，延長CB到點H，使BC=BH；延長CD到點K，使CD=DK.連接HK且過點A.PE=CE，EB∥PH，ED∥PK.平面EDB∥平面PKH.PA∥平面EDB.

（2）證明：PD底面ABCD，平面PCD平面ABCD.BC平面PCD.平面PCD平面PBC.

DEPC，DE平面PBC.EFPB，DFPB.又EF∩DF=F，PB平面EFD.

思路分析建立適當的坐標系，利用空間向量證明直線與平面平行或垂直，求二面角的大小可建立空間直角坐標系，設點D為坐標原點，且DC=1.

思路分析利用平面的法向量進行證明.要想證明PA∥平面EDB，可以證明PA與平面EDB的法向量垂直；要想證明PB平面EFD，可以證明PB與平面EFD的法向量平行；要想求二面角C-PB-D的大小，可以求平面PBC與平面PBD的法向量所成的角.

方法4建立空間直角坐標系，設點D為坐標原點，且DC=1.

規律總結證明線面平行的方法一般有三種：①證明線與線平行，常用技巧是取邊的中點，利用中位線證明；②先證明面面平行，然后證明線面平行；③利用向量法可以證明線與面的法向量垂直.證明線面垂直，可以證明直線垂直于平面內的兩條交線，也可以證明直線與平面的法向量平行.

求二面角常用的方法有：①定義法；②垂面法，如方法1；③利用三垂線法，如方法2.

第10篇

圖1

題目：如圖1，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，射線BE與CE交于E.

求證：BECE.

分析1：由角平分線的定義易得∠ 1、∠2與∠BCD、∠ABC之間的倍分關系，再利用“兩直線平行，同旁內角互補”的結論進行整體代換，即可解決問題.

解法1：整體轉化法

因為BE平分∠ABC，

所以

∠2=12∠ABC

（角平分線的定義），

同理∠1=12∠BCD，

所以∠1+∠2=12（∠BCD+∠ABC）（等式性質）.

又AB∥CD，

所以∠BCD+∠ABC=180°（兩直線平行，同旁內角互補），

所以∠1+∠2=12×180°=90°（等量代換）.

所以∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°（三角形的內角和等于180°）.

即BECE（垂直的定義）.

點評：解法1綜合運用的知識點有：角平分線定義、垂直定義、平行線的性質、等式性質、等量代換、三角形內角和等，運用的數學思想方法是整體代換和轉化思想.

分析2：作平行線把∠E分成兩個角，并將這兩個角與∠1、∠2聯系起來，進行有效轉化.

圖2

解法2：分解轉化法

如圖2，過點E作EF∥AB交BC于F，又AB∥CD，

所以AB∥EF∥CD（平行線的傳遞性），

所以∠BEF=∠ABE=∠2=12∠ABC （平行線的性質、角平分線的定義）

所以∠FEC=∠ECD=∠1=12∠BCD（同上），

所以∠BEC=∠BEF+∠FEC=

12（∠ABC+∠BCD）（等量代換），

又由AB∥CD知∠ABC+∠BCD=180°（兩直線平行，同旁內角互補），

所以∠BEC=12×180°=90° （等量代換）.

即BECE（垂直的定義）.

點評：解法2運用作平行線的方法把∠E分成兩個角，并運用平行線的性質和等量代換解題.運用的數學思想方法是分解思想（即化整為零）和轉化思想.

變式1：在原圖基礎上，增加另一組同旁內角的平分線.

圖3

例1（2012年安徽中考題）如圖3，已知AB∥CD，BE、CE、BF、CF分別是∠ABC、∠BCD、∠NCB、∠MBC的角平分線，BC不與ND垂直，則圖中與∠FBE相等的角共有 個.

解析：由原命題的解答可知∠E=90

°，同理可得：∠F=90°； 又

∠FBE=∠FBC+∠CBE=

12（∠MBC+∠CBA）=

12×180°=90°，

同理可得

∠FCE=90°.因此∠FBE=∠E=∠F=∠FCE=90°.

即與∠FBE相等的角共有3個.

變式2：在原圖基礎上，增添兩個相等的角或一組平行線.

圖4

例2（2012年希望杯試題）如圖4，∠GEF與∠DFE的角平分線交于點H，AB∥CD，∠B=∠D.

求證：EHHF.

證明：因為AB∥CD，

所以∠A=∠C（兩直線平行，內錯角相等），

又∠B=∠D， 所以∠AEB=∠DFC（三角形內角和），

又∠AEB=∠GEF，∠DFC=∠MFE（對頂角相等），

所以∠GEF=∠MFE（等量代換），

所以EG∥FD（內錯角相等，兩直線平行），

則∠GEF+∠EFD=180° （兩直線平行，同旁內角互補），

又EH、FH為角平分線，

所以∠HEF+∠EFH=12（∠GEF+∠EFD）=

12×180°=90°（角平分線的定義），

第11篇

【關鍵詞】 電磁場

關鍵詞: 電磁場;小鼠;學習;記憶

摘 要:目的 探討動物在電磁場生物效應中的意義. 方法 通過經典的Y-型迷宮法和改良的開闊法檢驗電磁場照射后不同（身體長軸與磁力線方向平行、垂直或者自由）小鼠的學習記憶能力和主觀探索能力. 結果 電磁場照射后不同時間，不同小鼠學習記憶能力無顯著差別，而探索反射有差別.40kV m-1 電磁場照射后即刻，平行磁力線組小鼠探索性反射顯著低于自由組（P

Keywords:electromagnetic field;mice;learning;memory

Abstract:AIM To investigate the influence of animal body position on electromagnetic field（EMF）bioeffects.METHODS By using classical Y-maze method and improved open field method，the learning ability and the investigation reflex of mice in different body position（the long body axes of ani-mal are parallel，vertical or uncontrolled to the direction of magnetic force）after EMF exposure was measured.RESULTS There was no obvious difference in learning ability of mice between different position groups after exposure，but their investigation reflexes were different.Immediately after40kV m-1 -EMF exposure，the investigation reflexes of mice in parallel group was obviously lower than those of mice in uncontrolled group（P

0 引言

電磁場對電子通訊系統具有極強的破壞力.近年來研究表明，一定強度的電磁場能夠引起哺乳動物中樞神經系統結構、功能和代謝的變化［1-4］ .哺乳動物都是形狀不規則導體，當該機體處于電磁場中時，機體偶合到的電磁能量應與它在場中所處的相對位置有關.電磁場的生物效應與動物在電磁場場中的是否有關尚有待探討.為此，我們采用一些行為學方法，檢測不同的小鼠接受電磁場照射后的探索能力和學習記憶情況.

1 材料和方法

健康成年雄性昆明種小鼠80只，隨機分為10組，每組8只.分別接受強度為8，40和80kV m-1 的電磁場照射.每一強度照射3組動物，分別取身體長軸與輻射場磁力線平行、垂直和自由.另一組為對照組（0kV m-1 ）.單次脈沖場的參數:前沿20ns，半高寬340ns（Fig1）.照射后即刻、1和4wk分別檢測，以Y-型迷宮法檢測學習記憶能力，以改良的開闊法檢測主觀探索性反應［5］ .結果采用方差分析.

2 結果

不同強度的電磁場照射后小鼠學習記憶能力和主觀探索能力的差別我們已經另文報道［2］ .這里，我們注意了不同情況下各個指標的差別.照射后各個檢測時間點，不同的小鼠學習記憶能力無顯著差別.

圖1 略

電場強度為8kV m-1 時:照射后即刻和照射后1wk小鼠探索性反射高低順序為平行組>垂直組>自由組，但是各個組之間無統計學差別（P>0.05）.照射后4wk，小鼠探索性反射高低順序為自由組>垂直組>平行組，后兩組顯著低于自由組（P

電場強度為40kV m-1 時:照射后即刻小鼠探索性反射高低順序為自由組>垂直組>平行組，平行組數值顯著低于自由組（P0.05）.照射后4wk小鼠探索性反射高低順序為平行磁力線組>垂直磁力線組>自由組，前二者數值顯著高于自由組（P

電場強度為80kV m-1 時:照射后各個時間點小鼠探索性反射高低順序為垂直組>自由組>平行組，照射后4wk垂直組探索反射成績數值顯著高于自由組（P

表1 電磁場照射后即刻小鼠3min內在開闊槽中走的小格數Tab1 Investigation ability within3min of mice immediately after the radiation of electromagnetic field （略）

3 討論

學習記憶是哺乳動物中樞神經系統功能的外在 表現，許多類型的電磁輻射都可以干擾這一復雜的信息加工過程，如工頻電廠、高壓線、視頻終端等.單次電磁場也能降低大鼠和小鼠的學習記憶能力［4］ .本研究進一步證實，該試驗條件下，小鼠學習記憶的下降與小鼠在電磁場中的有關.

表2 電磁場照射后1wk小鼠3min內在開闊槽中走的小格數Tab2 Investigation ability within3min of mice1wk after the radiation of electromagnetic field （略）

表3 電磁場照射后4wk小鼠3min內在開闊槽中走的小格數Tab3 Investigation ability within3min of mice4wk after the radiation of electromagnetic field （略）

改良的開闊試驗原理是利用動物對陌生環境的探索性反應，檢測動物神經中樞興奮性，數值的高低反應了中樞神經系統興奮性的高低.另外，多次測試還能反映動物對陌生環境的記憶情況.本結果顯示，對于不同照射強度和不同檢測時間，對檢測數值的影響無統一規律.以強度為參考因素來分析:①正常情況下，對同一組動物進行多次檢測，檢測值應隨檢測次數的增加而降低，正如本試驗假照射組（0kV m-1 ）結果所示;②電場強度為8kV m-1 時，照射后即刻和照射后1wk小鼠探索性高低順序均為平行組>垂直組>自由組，但各組間均無顯著差別（P>0.05）.照射后4wk，各組的數值順序恰好與前兩次檢測相反，顯示平行組小鼠和垂直組小鼠檢測數值顯著高于自由組（P

考慮到檢測時間點時我們注意到，各照射強度下檢測到的數值在許多分組中與假照射組相比有明顯不同，尤其是8kV m-1 -垂直組、40kV m-1 -平行組、40kV m-1 -垂直組和80kV m-1 -平行組.這些組中3次檢測的數值不是呈現遞減趨勢，而是呈現不規則變化.平行和垂直時發生這種變化的多，更加支持各個照射強度可能有特殊的敏感.從強度上看，40kV m-1 照射時3種組均發生了這種變化，這可能是“窗效應”的表現.

綜上所述，得到如下認識:①輻照時動物能夠影響電磁場的生物效應;②40kV m-1 和80kV m-1 照射時，身體長軸與磁力線平行可能是敏感，其次為垂直和自由.8kV m-1 照射時，垂直更為敏感.

參考文獻

［1］Wu YZ，Jia YF，Guo Y，Zheng ZX，Zhou Y.The effects of electromagnetic pulse on catecholamine contents in mice brain ［J］.Di-si Junyi Daxue Xuebao（J Fourth Mil Med Univ），1997;18（5）:423.

［2］Wu YZ，Jia YF，Guo Y，Zheng ZX，Zhou Y.Effects of electro-magnetic pulse on the ability of learning and memory and inves-tigaory reflex of mice ［J］.Jiefangjun Yufang Yixue Zazhi（J Prevent Med Chinese PLA），1998;16（3）:170-172.

第12篇

第五單元第二課時垂線的畫法

同步測試A卷

姓名:________

班級:________

成績:________

小朋友們，經過一段時間的學習，你們一定進步不少吧，今天就讓我們來檢驗一下！

一、填空。

(共7題；共19分)

1.

（5分）

(2019四上·開福期末)

過點P畫出線段MN的垂線，并量出∠M的大小．

∠M=（

）°

2.

（2分）

從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段最短，它的長度叫作這點到線段的________；與兩條平行線互相垂直的線段的長度都________。

3.

（1分）

如圖，在點A與BF邊上的點相連的線段中，________最短。

4.

（2分）

在同一個平面里，兩條直線相交，有________個交點，形成________個角。

5.

（4分）

(2019四上·遵化期末)

從直線外一點可以畫________條已知直線的平行線，平行線間的垂直線段有________條，每條垂線段的長度都________；在同一個平面內，若兩條直線都和同一條直線平行，那么這兩條直線________．

6.

（2分）

(四上·諸暨期末)

如圖中與直線b互相平行的是直線________，與直線b互相垂直的是直線________。

7.

（3分）

下面的各組直線，互相垂直的是

A

.

B

.

C

.

D

.

二、判斷。

(共5題；共10分)

8.

（2分）

(2019四上·澗西期末)

兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直．（

）

9.

（2分）

下午三時整，鐘面上時針與分針相互垂直。

10.

（2分）

(2018四上·云南月考)

同一平面內，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線相互平行。

11.

（2分）

(2020四上·嘉陵期末)

過直線上一點可以畫無數條直線與這條直線互相垂直。（

）

12.

（2分）

圖中長方體的ABBD，BD∥EG，EGFG。

三、解答題。

(共3題；共20分)

13.

（5分）

如果兩只小貓跑得一樣快，哪只貓先吃到老鼠？

14.

（10分）

看圖回答

（1）

請你畫一條從蘑菇房到小木屋最近的路。

（2）

請你畫一條從蘑菇房通向小河最近的路。

15.

（5分）

(2018·貴陽)

①在圖中標出你從A穿過機動車道的最短的線路；

②求機動車道的實際寬度．

參考答案

一、填空。

(共7題；共19分)

1-1、

2-1、

3-1、

4-1、

5-1、

6-1、

7-1、

二、判斷。

(共5題；共10分)

8-1、

9-1、

10-1、

11-1、

12-1、

三、解答題。

(共3題；共20分)

13-1、

14-1、