時(shí)間：2023-05-30 08:55:35
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇求和公式，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
1、首先打開需要求和的數(shù)據(jù)文件
2、然后選中需要求和的數(shù)據(jù)
3、再然后選擇菜單欄的“公式”,點(diǎn)擊“自動(dòng)求和”選項(xiàng)
4、然后再點(diǎn)擊“求和”
5、最后就進(jìn)行了求和，就可以了
（來(lái)源：文章屋網(wǎng) ）
1.掌握等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.
（1）理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想；
（2）用方程的思想認(rèn)識(shí)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，利用公式知三求一；與通項(xiàng)公式結(jié)合知三求二；
2.通過(guò)公式的靈活運(yùn)用，進(jìn)一步滲透方程的思想、分類討論的思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.
3.通過(guò)公式推導(dǎo)的教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維的嚴(yán)謹(jǐn)性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.
教學(xué)建議
教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
先用錯(cuò)位相減法推出等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，而后運(yùn)用公式解決一些問(wèn)題，并將通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式結(jié)合解決問(wèn)題，還要用錯(cuò)位相減法求一些數(shù)列的前項(xiàng)和.
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用.公式的推導(dǎo)中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想、方法（如分類討論思想，錯(cuò)位相減法等），這些思想方法在其他數(shù)列求和問(wèn)題中多有涉及，所以對(duì)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的要求，不單是要記住公式，更重要的是掌握推導(dǎo)公式的方法.等比數(shù)列前項(xiàng)和公式是分情況討論的，在運(yùn)用中要特別注意和兩種情況.
教學(xué)建議
（1）本節(jié)內(nèi)容分為兩課時(shí)，一節(jié)為等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，一節(jié)為通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式的綜合運(yùn)用，另外應(yīng)補(bǔ)充一節(jié)數(shù)列求和問(wèn)題.
（2）等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)是重點(diǎn)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)例，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納總結(jié)，證明結(jié)論.
（3）等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)的其他方法可以給出，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.
（4）編擬例題時(shí)要全面，不要忽略的情況.
（5）通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式的綜合運(yùn)用涉及五個(gè)量，已知其中三個(gè)量可求另兩個(gè)量，但解指數(shù)方程難度大.
（6）補(bǔ)充可以化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的數(shù)列求和問(wèn)題.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
課題：等比數(shù)列前項(xiàng)和的公式
教學(xué)目標(biāo)
（1）通過(guò)教學(xué)使學(xué)生掌握等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，并能初步運(yùn)用這一方法求一些數(shù)列的前項(xiàng)和.
（2）通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生猜想、分析、綜合能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).
（3）通過(guò)教學(xué)進(jìn)一步滲透從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥獾霓q證觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.
教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)是公式的推導(dǎo)及運(yùn)用，難點(diǎn)是公式推導(dǎo)的思路.
教學(xué)用具
幻燈片，課件，電腦.
教學(xué)方法
引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法.
教學(xué)過(guò)程
一、新課引入：
（問(wèn)題見(jiàn)教材第129頁(yè)）提出問(wèn)題：（幻燈片）
二、新課講解：
記，式中有64項(xiàng)，后項(xiàng)與前項(xiàng)的比為公比2，當(dāng)每一項(xiàng)都乘以2后，中間有62項(xiàng)是對(duì)應(yīng)相等的，作差可以相互抵消.
（板書）即，①
，②
②－①得即.
由此對(duì)于一般的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和，如何化簡(jiǎn)？
（板書）等比數(shù)列前項(xiàng)和公式
仿照公比為2的等比數(shù)列求和方法，等式兩邊應(yīng)同乘以等比數(shù)列的公比，即
（板書）③兩端同乘以，得
④，
③－④得⑤，（提問(wèn)學(xué)生如何處理，適時(shí)提醒學(xué)生注意的取值）
當(dāng)時(shí)，由③可得（不必導(dǎo)出④，但當(dāng)時(shí)設(shè)想不到）
當(dāng)時(shí)，由⑤得.
于是
反思推導(dǎo)求和公式的方法——錯(cuò)位相減法，可以求形如的數(shù)列的和，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列.
（板書）例題：求和：.
設(shè)，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比為，利用錯(cuò)位相減法求和.
解：，
兩端同乘以，得
，
兩式相減得
于是.
說(shuō)明：錯(cuò)位相減法實(shí)際上是把一個(gè)數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問(wèn)題.
公式其它應(yīng)用問(wèn)題注意對(duì)公比的分類討論即可.
三、小結(jié)：
1.等比數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)中蘊(yùn)含的思想方法以及公式的應(yīng)用；
2.用錯(cuò)位相減法求一些數(shù)列的前項(xiàng)和.
關(guān)鍵詞：取數(shù)代入 公式 倒序 錯(cuò)位 分組 分段 合并
在文科數(shù)學(xué)中，數(shù)列的求和問(wèn)題不僅僅是高考中數(shù)學(xué)試題的一個(gè)重點(diǎn)，還是一個(gè)難點(diǎn)。很多學(xué)生都在這里遭遇挫折。但是，如果教師教授的解題方法得當(dāng)，讓學(xué)生加以練習(xí)，要想掌握也不太困難。下面通過(guò)幾個(gè)具體的實(shí)例來(lái)介紹文科數(shù)學(xué)中幾種常用的數(shù)列求和的方法，希望能夠幫助學(xué)生提高得分率。
一、取數(shù)代入法求和
在選擇題中，若數(shù)列已知，要求和，可取n=1或n=2代入，即可得出答案。
例1.已知an=n2，則前n項(xiàng)和Sn等于（ ）
A.■ B.■
C.■ D.■
分析：本題可直接取n=1代入可得，A=1，B=2，C=1，D=1，排除B，再取n=2代入可得，A=3，C=4，D=5，排除A，C，所以正確答案為D。
注：在解決此類選擇題時(shí)，此法通用，但是要注意s■=a■，s■=a■+a■，千萬(wàn)不要直接用s■=a■來(lái)解題。
二、利用常用公式法求和
利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式求和是數(shù)列求和的最基本也是最重要的方法，而且也是學(xué)習(xí)其他求和方法的前提。
1.等差數(shù)列求和公式：
S■=■=na■+■d
2.等比數(shù)列求和公式：
S■=na■ （q=1）■=■ （q≠1）
例2.求S■=a+a2+a3+...+an-1+an
分析：這個(gè)數(shù)列，與參數(shù)a有關(guān)，但是題目中沒(méi)有具體說(shuō)明參數(shù)a的取值范圍，因此，在計(jì)算的時(shí)候，我們要具體考慮參數(shù)a。當(dāng)a=0時(shí)，S■=0，當(dāng)a=1時(shí)，S■=n，當(dāng)a≠0，a≠1時(shí)，S■=■
注：在用等差數(shù)列的求和公式時(shí)，要注意項(xiàng)數(shù)，不一定每個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)都是n項(xiàng)。在用等比數(shù)列的求和公式時(shí)，以例1為例，要注意參數(shù)a的取值范圍，它會(huì)直接影響到計(jì)算的結(jié)果。
三、倒序相加法求和
這是課本中推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（倒序），把它與原數(shù)列相加，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可。
例3.求數(shù)列1+2+3+4+5+…+（n-1）+n的前n項(xiàng)和S■。
分析：S■=1+2+3+4+5+…+（n-1）+n，倒序，可得S■=n+（n-1）+（n-2） +…+3+2+1， 利用等差數(shù)列的性質(zhì)，m+n=p+q？圯a■+a■=a■+a■，所以1+n=2+（n-1）=3+（n-2）= …=（n-1）+2=n+1，因此，
2S■=（1+n）*n，所以S■=■。
注：倒序相加的方法，其本質(zhì)就是利用了等差數(shù)列的性質(zhì)。
四、錯(cuò)位相減法求和
用錯(cuò)位相減法來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，在高考試題中占有相當(dāng)重要的位置，因此需要學(xué)生認(rèn)真掌握。此法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列a■·b■的前n項(xiàng)和，其中a■■、b■分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。求和時(shí)一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列b■的公比q，然后再將得到的新的和式和原來(lái)的和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列來(lái)求和。
例4.已知c■=n·3■，求數(shù)列c■■的前n項(xiàng)和S■。
分析：通過(guò)觀察，c■=n·3■，由兩個(gè)部分組成，其中a■=n，b■=3■，a■、b■，分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列。因此，
S■=1·3■+2·3■+3·3■+...+（n-1）·3■+n·3■①
其中等比數(shù)列b■公比是3，將式①兩邊都乘上3，得到
3S■=1·3■+2·3■+3·3■+...+（n-1）·3■+n·3■②
①-②得：
-2S■=1·3■+1·3■+1·3■+...+1·3■+1·3■-n·3■
其中1·3■+1·3■+1·3■+...+1·3■+1·3■（可用等比數(shù)列的求和公式），等于■=-■+■（3■），所以-2S■=-■+■（3■）-n·3■，S■=■-■（3n+1）+■·（3■）。
注：在用錯(cuò)位相減法求和的過(guò)程中，式①，式②易得，但在用式①-②的過(guò)程中，最后一項(xiàng)“-n·3■”經(jīng)常被漏掉，因此學(xué)生在解題書寫的過(guò)程中，一定要注意。
五、分組法求和
有這么一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但若將這個(gè)數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為等差或等比數(shù)列，此時(shí)，若要求它的前n項(xiàng)和，就可以采用分組法。
例5.求數(shù)列1■，2■，3■，4■，...，n■的前n項(xiàng)和S■。
分析：數(shù)列的通項(xiàng)公式為c■=n+■，其中a■=n，b■=■，數(shù)列a■，b■分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列，所以
S■=（1+■）+（2+■）+（3+■）+...+（n+■）
=（1+2+3+...+n）+（■+■+■+...+■）
（分組）
分別利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，可得S■=■+■=■-■+1
注：本解法的關(guān)鍵在于，通過(guò)觀察，將原數(shù)列分組，然后分別利用已知的數(shù)列求和公式。
六、分段法求和
分段法求和，顧名思義，就是要分段，當(dāng)一個(gè)數(shù)列中，出現(xiàn)了兩段具有不同特點(diǎn)的項(xiàng)時(shí)，就采用此法。
例6.已知數(shù)列a■=9-n，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T■。
分析：通過(guò)觀察，易得數(shù)列a■，是首項(xiàng)為8，公差為-1的等差數(shù)列，設(shè)其前n項(xiàng)和為S■，而數(shù)列a■其前n項(xiàng)和設(shè)為T■，T■=8+7+...+1+0+-1+-2+...+8-n+9-n。我們知道，正數(shù)和0的絕對(duì)值是它本身，但負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)。因此當(dāng)項(xiàng)數(shù)n≤9時(shí)，前n項(xiàng)和T■=S■。但是當(dāng)項(xiàng)數(shù)大于9時(shí)，前n項(xiàng)和T■就要分成兩段，前面9項(xiàng)其和為S■，后面n-9項(xiàng)，每一項(xiàng)加了絕對(duì)值以后，都變成了正數(shù)，其和為S■-S■=S■-S■。綜上，當(dāng)n≤9時(shí)，T■=S■；當(dāng)n>9時(shí)，T■=2S■-S■。
注：以此例題為例，易錯(cuò)的地方就是當(dāng)項(xiàng)數(shù)n>9時(shí)，數(shù)列的和應(yīng)該如何來(lái)求，怎么與原數(shù)列的聯(lián)系起來(lái)，如何利用S■，來(lái)求T■。
七、合并法求和
針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求前n項(xiàng)和時(shí)，可將具有共同特性的這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求總的和。
例7.已知Sn=2-4+6-8+10-12+...+（-1）■2n，則S■+S■-S■=
分析：通過(guò)觀察，
a■+a■=a■+a■=...=-2
S■=2-4+6-8+10-12+...+26-28+30
=（2-4）+（6-8）+（10-12）+...+（26-28）+30
=（-2）×7+30
=16 同理
S■=2-4+6-8+10-12+...+38-40
=（2-4）+（6-8）+（10-12）+...+（38-40）
=-20
S■=（-2）×25=-50
S■+S■-S■=16+（-20）+（-50）=-54
因：循；勢(shì)：趨勢(shì)；利導(dǎo)：引導(dǎo)。因勢(shì)利導(dǎo)即順著事情發(fā)展的趨勢(shì)，加以引導(dǎo)。
一次全市的等比數(shù)列公開課上，我從等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義出發(fā)，對(duì)兩者的有關(guān)概念（公差與公比、等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)）、通項(xiàng)公式等進(jìn)行類比，學(xué)生積極思考，意猶未盡。順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式，公開課氣氛熱烈而又緊張。
順理成章地，我準(zhǔn)備執(zhí)行下一步教學(xué)計(jì)劃。但學(xué)生凱舉手問(wèn)：“等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)字面上聯(lián)系一致，但表達(dá)式相差太遠(yuǎn)，能否有一個(gè)統(tǒng)一的解釋？”凱平時(shí)成績(jī)一般，但思維活躍，也敢于提問(wèn)。我略一停頓，把探究的目光投向?qū)W生，并作提示：“注意所得結(jié)果?！睂W(xué)生的討論有了答案。虹答：“等差中項(xiàng)C是A、B的算術(shù)平均，而等比中項(xiàng)G是A、B的幾何平均，對(duì)了，應(yīng)該是G的絕對(duì)值?！焙绲幕卮鸬玫搅舜蠹业目隙?。
隨著知識(shí)聯(lián)系的進(jìn)一步拓展，課堂求知?dú)夥崭訚饬遥紤]到時(shí)間問(wèn)題，我想趕緊回到預(yù)計(jì)軌道上來(lái)。誰(shuí)知，學(xué)生銘漲紅了臉但很堅(jiān)決地舉手問(wèn)：“既然等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)有那么多的類似之處，我猜想這兩者的求和公式也有一個(gè)合理的統(tǒng)一解釋。因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)求和公式是S=，能否把等比數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式寫為“S=±？”顯然，他受了剛才討論的啟發(fā)和影響。銘是一個(gè)好思考的學(xué)生，既敢于猜想，又善于發(fā)現(xiàn)。他這一問(wèn)問(wèn)得突然，不僅我備課時(shí)沒(méi)有考慮到，而且教參中也沒(méi)有提到過(guò)此類猜想，就是今天，該問(wèn)題還折磨著我而一直沒(méi)有一個(gè)令人信服的解答。此問(wèn)一出，聽(tīng)課的老師和同學(xué)頓時(shí)炸了鍋，不一會(huì)又齊刷刷地靜下來(lái)，50多雙學(xué)生的眼睛在盯著我，還有20多雙同行的眼睛在等著我的裁決。這可不是一堂平常的課，我心想：不好，課要上砸了。不過(guò)我也知道我完全可以用“此問(wèn)題與高考無(wú)關(guān)，同學(xué)們可以在課后討論完成”來(lái)搪塞過(guò)去。但是學(xué)生的猜想難能可貴。如果這樣說(shuō)不與我一貫鼓勵(lì)學(xué)生要大膽探究相矛盾嗎？是我去驗(yàn)證還是讓全班學(xué)生一起做？是在課堂上還是在課后進(jìn)行？課上進(jìn)行，我心中無(wú)底；課后進(jìn)行呢，會(huì)打擊學(xué)生探究問(wèn)題的熱情，盡管同學(xué)們可以理解我上公開課的成敗之重，但我從此留給學(xué)生的就是一個(gè)對(duì)待困難缺乏勇氣的形象，從而影響他們探求真理的毅力，以后他們還會(huì)去大膽猜想、大膽設(shè)問(wèn)嗎？畢竟學(xué)生思維的火花一閃而過(guò)，稍縱即逝。
該是打破沉默的時(shí)候了，我主意已定：“銘的猜想是有些道理的，從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a=a+（n-1）d到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a=aq，由等差中項(xiàng)到等比中項(xiàng)±，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式S=到等比數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式S=±，銘的猜想是合情推理，但到底對(duì)不對(duì)呢？我們?cè)撛鯓优袛嗄?？?/p>
學(xué)生們聽(tīng)后開始思考，并相互討論起來(lái)。后面聽(tīng)課的老師也竊竊私語(yǔ)，一方面是考慮問(wèn)題的結(jié)果，另一方面是為我捏一把汗。但整個(gè)課堂沉浸在濃郁的探究氛圍中，大多數(shù)人把銘的猜想公式與等比數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式先相等，然后嘗試證明，不過(guò)，演算很復(fù)雜。這時(shí)，有一個(gè)學(xué)生建議說(shuō)：“不如我們找一個(gè)實(shí)例分別代入計(jì)算一下。”這個(gè)建議得到大家的一致認(rèn)同，約定：a=1，q=2，n=4，答案應(yīng)該是15，而銘的猜想公式算出來(lái)卻是±64。大家都笑銘：“你真是的，自己沒(méi)搞清楚，弄個(gè)錯(cuò)誤的命題來(lái)浪費(fèi)我們的時(shí)間?！便懙哪樢幌伦訚q得通紅。
看到這些，我心里不禁一愣，這樣的話，以后誰(shuí)還敢在課堂上提猜想，更不用說(shuō)去猜想了。我口氣稍強(qiáng)硬地說(shuō)：“哥德巴赫猜想至今無(wú)人給出證明而只是一個(gè)猜想，但無(wú)人否定它的偉大，因?yàn)樘岢霾孪氲囊饬x超越猜想本身，有了猜想才會(huì)有創(chuàng)新?！蔽衣砸煌ｎD，接著說(shuō)：“我們今天首先感謝銘，是他的猜想引起了我們的思考，鍛煉了我們的思維?！蔽沂婢徚丝跉猓骸斑@節(jié)課我們又一次靈活應(yīng)用了舉反例來(lái)判斷命題的真假，也體驗(yàn)了研究問(wèn)題的一個(gè)基本方法：猜想證實(shí)猜想或證偽猜想改進(jìn)猜想。那么，我們是否還能改進(jìn)銘的猜想呢？讓我們結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式和等比數(shù)列的特點(diǎn)再來(lái)探究。由等差數(shù)列的求和公式中出現(xiàn)(a+a)的形式類推到等比數(shù)列的求和公式中會(huì)有（aa）是合情推理。大家看看會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？”
一學(xué)生：“我發(fā)現(xiàn)，兩數(shù)列的定義決定了等差數(shù)列有(a+a)=(a+a)=…=定值，而有等比數(shù)列aa=aa=…=定值?！?/p>
另一學(xué)生：“那=（aa）=（aa）（aa）…（aa）=（a•a…a)（a•a…a），不就是說(shuō)（aa）=S′，這里S′是指項(xiàng)的積而不是項(xiàng)的和?！蓖瑢W(xué)們和我不約而同地釋懷，盡管還沒(méi)能解決銘提出的猜想，但改進(jìn)了他提出的猜想公式，也算是一種發(fā)現(xiàn)。
下課鈴聲響了，我和所有的老師和同學(xué)帶著多個(gè)疑問(wèn)結(jié)束了這節(jié)公開課。
大半節(jié)課都在被銘提出的猜想牽著鼻子走，教學(xué)計(jì)劃被徹底打亂了，預(yù)定的教學(xué)任務(wù)沒(méi)有完成，花一節(jié)課讓學(xué)生討論一個(gè)不屬于高考范圍的問(wèn)題是否有價(jià)值？下一節(jié)課又該怎么上？大家又會(huì)如何評(píng)價(jià)這節(jié)課？結(jié)果，大家對(duì)課的評(píng)價(jià)出乎我的預(yù)料：“教師應(yīng)變自然，對(duì)學(xué)生猜想的肯定引出了學(xué)生積極探索真理的欲望……值得提倡?！?/p>
關(guān)鍵詞：數(shù)列；求和；公式求和法；顛倒相加法；裂項(xiàng)相消法；錯(cuò)位相減法；分項(xiàng)求和法；并項(xiàng)求和法；歸納求和法；遞推求和法
中圖分類號(hào)：G638 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2017）08-0253-02
隨著素質(zhì)教育的不斷深入，高考數(shù)學(xué)試題越來(lái)越重視學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考查，其中數(shù)列的求和就是高考必考的知識(shí)點(diǎn)之一，在這個(gè)問(wèn)題上，僅僅掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，為了能夠求出較為復(fù)雜的數(shù)列的前有限項(xiàng)之和，還需要掌握一些其它較為常見(jiàn)的方法?，F(xiàn)簡(jiǎn)介如下，供參考。
1 公式求和法
1.1 方法的來(lái)源
等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及一些常見(jiàn)的恒等式：
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn==na1+
等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：q=1時(shí)，Sn=na1
q≠1時(shí)，Sn==
常用恒等式：1+2+3+……+n=
1+3+5+……+（2n-1）=n2
2+4+6+……+2n=n（n+1）
12+22+32+……+n2=n（n+1）（2n+1）
13+23+33+……+n3=n2（n+1）2
1.2 適用的范圍
主要適用于由特殊數(shù)列尤其是等差數(shù)列、等比數(shù)列的和、差構(gòu)成的數(shù)列以及可直接利用上述公式的數(shù)列的求和問(wèn)題。
1.3 注意的問(wèn)題
分組后數(shù)列的項(xiàng)數(shù)和等比數(shù)列中公比是否為1的討論。
例1：是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1?22+2?32+……+n（n+1）2=（an2+bn+c）對(duì)一切正整數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論！
分析：這是一道全國(guó)高考的壓軸題。事實(shí)上，等式的左邊即為數(shù)列{n（n+1）2}的前n項(xiàng)和，由n（n+1）2=n3+2n2+n容易看出它實(shí)際上是數(shù)列{n3}，{2n2}，{n}的和數(shù)列，從而可得：
左邊=（3n2+11n+10）。
所以使原等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立的常數(shù)a、b、c是存在的。a=3，b=11，c=10。
2 首尾相加法（也稱顛倒相加法）
2.1 方法的來(lái)源
等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，它是根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和的定義，將和式首尾顛倒，并與原和相加，通過(guò)求其二倍而求前n項(xiàng)和的方法。
2.2 適用的范圍
與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和相等的數(shù)列的求和。
2.3 注意的問(wèn)題：項(xiàng)數(shù)的確定
例2：求Sn=C+3C+5C+……+（2n-1）C
分析：由組合數(shù)公式C=C（r=0，1，2……n）知，C=C，C=C……同時(shí)Sn=（2n-1）C+（2n-3） C+……+3C+C與原式相加得2Sn=2nC+2nC+2nC+……+2nC=2n（C+C+C+C）=2n2nSn=n2n
3 裂項(xiàng)相消法（或拆項(xiàng)相消法）
3.1 適用的范圍
主要適用于通項(xiàng)公式為分式或三角形式特別是等差數(shù)列相鄰或相間項(xiàng)積的倒數(shù)列以及算術(shù)根和的倒數(shù)列的求和。
3.2 注意的問(wèn)題
一是恰當(dāng)?shù)夭痦?xiàng)（或裂項(xiàng)）。
二是拆項(xiàng)后的消去規(guī)律，也就是f是鄰項(xiàng)相消還是間項(xiàng)相消。
三是剩余項(xiàng)一般具有對(duì)稱性。
3.3 常見(jiàn)的裂項(xiàng)
（1）一般地：如果{an}是公差為d的等差數(shù)列，那么
（2）常用地：
（3）三角函數(shù)的積化差公式。
例3.已知數(shù)列{ }的各項(xiàng)如下：1，，，……，，求它的前n項(xiàng)和。
分析：an
所以Sn=a1+a2+a3+……+an=2[（1-）+（-）+（-）+ ……+（）]=2（1-）=
例4.sinα，sin（α+β）， sin（α+2β）， sin（α+3β）， ……sin[α+（n-1）β]的和。
分析：解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵是把各項(xiàng)分別拆成兩項(xiàng)使這兩項(xiàng)所含角度之差為β。由此，可設(shè)法利用三角函數(shù)的積化和差公式，為此用2sin乘數(shù)列的各項(xiàng)，得
2sin?an=cos（α+β）-cos（α+β）；因此，2sin?Sn=2sin（α+β）sin
Sn=sin（α+β）
誠(chéng)然，裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用還不只題中所述，只要可以將通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的差之后，可以相互抵消，都可以使用這種方法，但一定要牢記：拆項(xiàng)是手段，相消是目的。拆項(xiàng)之后抵消不了的話，這種拆項(xiàng)是沒(méi)有任何作用的。比如=就是一種無(wú)效的裂項(xiàng)方式。
4 錯(cuò)位相減法
4.1 方法的來(lái)源
等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法。
4.2 適用的范圍
它主要適用于由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的數(shù)列的求和。
4.3 注意的問(wèn)題
一是其中的等比數(shù)列中公比q是否為1的討論，二是相減后成等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。
例5.設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13。
（1）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式。
（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn。
分析：（1）設(shè)出{an}的公差d和{bn}的公比q（q>0），則由題設(shè)可得d和q的方程組，通過(guò)解方程組即得d=2，q=2，于是an=2n-1，bn=2n-1
（2）由（1）可知：，
于是Sn=，
這顯然符合錯(cuò)位相減法求和的條件，因此在上述等式的兩邊同乘以，再兩個(gè)等式相減即可求出Sn。
例6.設(shè)實(shí)數(shù)a≠0，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a，公比為-a的等比數(shù)列，記bn=anlg│an│（n∈N*），Sn=b1+b2+……+bn，求證當(dāng)a≠-1時(shí)，對(duì)任意n∈N*均有Sn=[1+（-1）n+1（1+n+na）an]
分析：由題設(shè)an=a（-a）n-1=（-1）n-1an，
bn=（-1）n-1 nan lg│a│O
Sn=alg│a│[1-2a+3a2-4a3+……+（-1）n-1nan-1]
@將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何求和S'=1-2a+3a2-4a3+……+（-1）n-1nan-1，這是由等差數(shù)列{n}與等比數(shù)列{（-1）n-1an-1}各對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的數(shù)列的求和問(wèn)題，為此，兩邊同乘以-a得：
（-a）S'n=-a+2a2-3a3+……+（-1）n-1（n-1）an-1+（-1）nnan兩式相減即可得證。
5 分項(xiàng)求和法
5.1 適用的范圍
主要適用于通項(xiàng)公式為分段函數(shù)的數(shù)列的求和。
5.2 注意的問(wèn)題
對(duì)項(xiàng)數(shù)奇偶性的討論。
例7.一個(gè)數(shù)列{an}，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=5n+1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)an=，求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和。
分析：其中{an}的通項(xiàng)公式顯然是分段式的，而且不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列{a2m-1}是以6為首項(xiàng)，公差為10的等差數(shù)列，數(shù)列{a2m}是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，這種發(fā)現(xiàn)就決定了此題的解法：
當(dāng)n為偶數(shù)的時(shí)候，令n=2m，那么m=n/2，于是
Sn=S2m=（a1+a3+……+a2m-1）+（a2+a4+……+a2m）
=[6m+?10]+=5m2+m+2m+1-2=n2++2n/2+1-2
當(dāng)n為奇數(shù)的時(shí)候，可以類似求出，或者利用n為偶數(shù)的結(jié)論，即n為奇數(shù)時(shí)，n-1為偶數(shù)，Sn=Sn-1+an。
6 并項(xiàng)求和法
6.1 適用的范圍
主要適用于正、負(fù)項(xiàng)相間的數(shù)列的求和問(wèn)題。
6.2 注意的問(wèn)題
項(xiàng)數(shù)奇偶性的討論
例8.求數(shù)列{（-1）nn}的前n項(xiàng)和Sn。
分析：顯然Sn=-1+2-3+4-……+（-1）nn，不難發(fā)現(xiàn)，若將相鄰兩項(xiàng)并作一項(xiàng)再進(jìn)行計(jì)算，可使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化。當(dāng)然，n取正奇數(shù)和正偶數(shù)應(yīng)分別計(jì)算；
當(dāng)n取正奇數(shù)時(shí)，Sn=-1+（2-3）+（4-5）+……+（n-1-n）
=-1-1-1-……-1=；
當(dāng)n取正偶數(shù)時(shí)，Sn=（-1+2）+（-3+4）+……+（n-1+n）
=1+1+……+1=；當(dāng)然，最后的結(jié)論中Sn要寫成分段函數(shù)的形式。
7 歸納求和法
當(dāng)Sn不易直接求出時(shí)，亦可先計(jì)算出S1，S2，S3……，通過(guò)觀察，用不完全歸納法歸納出Sn的表達(dá)式，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。
例9.已知數(shù)列：，Sn為其前n相和，計(jì)算S1，S2，S3，S4，觀察計(jì)算結(jié)果，推測(cè)出計(jì)算Sn 的公式，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。
分析：不難算出：，觀察這四個(gè)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，分母分別32，52，72，92，分子比分母少1，故而猜測(cè)：Sn=，再用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜測(cè)是正確的。
當(dāng)然，觀察變形能力較強(qiáng)的同學(xué)也不難看出：
，然后可以用裂項(xiàng)相消法求和。
8 遞推求和法
8.1 適用的范圍
這種方法比較特殊，它主要適用于前n個(gè)正整數(shù)的一定次冪的求和問(wèn)題。
8.2 注意的問(wèn)題
熟記前n個(gè)正整數(shù)的若干次冪之和。
例10.求和Sn=13+23+33+……+n3
分析：由（R+1）4=R4+4R3+6R2+4R+1得
24=14+4×13+6×12+4×1+1
34=24+4×23+6×22+4×2+1
……
（n+1）4=n4+4n3+6n2+4n+1
將以上各式相加得
（n+1）4=1+4Sn+6（12+22+32+……+n2）+4（1+2+3+……+n）+n=1+4Sn+n（n+1）（2n+1）+2n（n+1）+n
進(jìn)而求得Sn=n2（n+1）2
以上簡(jiǎn)要介紹了數(shù)列求和的八種常見(jiàn)方法，它們既是相互區(qū)別的，又是相互聯(lián)系的；一個(gè)復(fù)雜的數(shù)列求和問(wèn)題可能會(huì)用到其中的一種或幾種方法。在解題實(shí)踐中，只要做到以下口訣，即可確保準(zhǔn)確無(wú)誤。
觀察通項(xiàng)特征，判定數(shù)列類型；
若非特殊數(shù)列，分析怎樣構(gòu)成；
一、把握教學(xué)的尺度
尺度泛指“五度”，即高度、量度、難度、深度、密度，分述如下。
（一）高度，是指教學(xué)的目的與要求。必須條款清楚，把握分寸，切忌“唱高調(diào)，收低效”。如“了解”、“熟悉”、“掌握”、“熟練掌握”等，務(wù)必措詞準(zhǔn)確，立足實(shí)際。如在等比數(shù)列求和公式與應(yīng)用的教學(xué)中，可擬定為：（1）掌握公式推導(dǎo)方法——錯(cuò)位相減法；（2）熟練掌握公式及其使用條件；（3）直接應(yīng)用公式熟練求和；（4）了解相關(guān)雜級(jí)數(shù)求和問(wèn)題。如此以表示程度的不同。
（二）量度，是指授課與作業(yè)的份量。必須多少適量，負(fù)荷適宜，超飽和與低運(yùn)行都會(huì)導(dǎo)致效益的低下。其措施為：（1）細(xì)化授課時(shí)間，形成教學(xué)環(huán)節(jié)與教學(xué)時(shí)間的一一對(duì)應(yīng)；（2）教師下“深水”，對(duì)設(shè)置的作業(yè)題先行試做或理清思路，以摸清份量與深淺。有此兩條，量度必趨合理，臻于完善。
（三）難度，即教學(xué)內(nèi)容難易的程度。它決定于課堂教學(xué)的五個(gè)要點(diǎn)，即重點(diǎn)、難點(diǎn)、銜接點(diǎn)、適中點(diǎn)和拔高點(diǎn)。在“五點(diǎn)”設(shè)置中，須注意其科學(xué)性、合理性、準(zhǔn)確性、實(shí)踐性和可操作性，力求知識(shí)內(nèi)容與學(xué)生實(shí)際的和諧統(tǒng)一。
（四）深度，指對(duì)知識(shí)點(diǎn)發(fā)掘的程度。于此，須體現(xiàn)深刻性、拓展性和預(yù)見(jiàn)性。深刻性，須挖掘知識(shí)點(diǎn)的隱含內(nèi)容。例如，等比數(shù)列的定義中隱含著首項(xiàng)與公比不為零，宜用反證法證之。拓展性，須弄清知識(shí)點(diǎn)的遷移規(guī)律，以培養(yǎng)學(xué)生觸類旁通，舉一反三，以一馭萬(wàn)，以不變應(yīng)萬(wàn)變的能力。例如，一題多解、一題多變與一題多用的靈巧設(shè)置；“通法”、“巧法”與“誤法”的兼容并蓄，相映成趣，等等。預(yù)見(jiàn)性，須注重學(xué)生靈感思維，逆轉(zhuǎn)思維與發(fā)散思維的訓(xùn)練，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。例如，在求和Sn（x）=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1（n∈N）一題的解答中，利用錯(cuò)位相減法，一舉奏效。不難看出，式中各項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列前n項(xiàng)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積。那么，錯(cuò)位相減法是否對(duì)一切等差數(shù)列與等比數(shù)列的情形都適用呢？嚴(yán)密的推導(dǎo)，證明了這種預(yù)見(jiàn)與推測(cè)的正確性?？梢?jiàn)，有此“三性”，在課堂教學(xué)中，必能務(wù)本求實(shí)，走出照本宣科、花拳繡腿、做表面文章的誤區(qū)。
（五）密度，是指課堂教學(xué)疏密的程度。哪些該密，哪些該疏，說(shuō)到底，是一個(gè)詳略得當(dāng)?shù)膯?wèn)題。重點(diǎn)問(wèn)題，須緊鑼密鼓，集中解決；非重點(diǎn)問(wèn)題，須穿針引線，順其自然。力求張弛適度，節(jié)奏有致。以不斷調(diào)節(jié)學(xué)生心態(tài)，激發(fā)其興奮點(diǎn)，置他們于欲取欲求的憤悱狀態(tài)。
二、設(shè)置教學(xué)的坡度
要使課堂教學(xué)環(huán)環(huán)相扣，層層深入，步步拔高，就必須設(shè)置適宜的教學(xué)坡度。這就需要教者在全面考查與分析中，找準(zhǔn)教學(xué)的銜接點(diǎn)、適中點(diǎn)與拔高點(diǎn)。所謂銜接點(diǎn)，即是新舊知識(shí)的接軌點(diǎn)，它是新課的奠基石；所謂適中點(diǎn)，則是教學(xué)的基本要求，須面向大多數(shù)；所謂拔高點(diǎn)，乃是當(dāng)堂新知識(shí)拓展與延伸的終止點(diǎn)，須面向優(yōu)生，擴(kuò)大非優(yōu)生的知識(shí)視野，激發(fā)其積極向上的熱情。例如，等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式與應(yīng)用一節(jié)，宜確立銜接點(diǎn)為等比數(shù)列通項(xiàng)公式；適中點(diǎn)為運(yùn)用求和公式，熟練求和；拔高點(diǎn)為相關(guān)雜級(jí)數(shù)求和。
三、提煉教學(xué)的精度
“少而精”雖然是老調(diào)常彈，耳熟能詳，但卻是我們必須堅(jiān)持的重要教學(xué)原則。精則須純，純則須煉。因此，須注重教學(xué)內(nèi)容、方法與教師課堂語(yǔ)言的提煉。例如，我在等比數(shù)列求和公式與應(yīng)用的教學(xué)中，用鋪墊法引出了錯(cuò)位相減法；用三道例題訓(xùn)練解題的通法、巧法與誤法，顯示了一題多變，一題多解，循序漸進(jìn)，誘發(fā)推測(cè)與預(yù)見(jiàn)的特點(diǎn)；用教學(xué)詳案促進(jìn)了課堂語(yǔ)言的凈化與規(guī)范。這些，都是精于推敲，刻意提煉的結(jié)果。臺(tái)上一分鐘，臺(tái)下千日功。教師須認(rèn)真?zhèn)湔n，深鉆細(xì)究。像春蠶那樣細(xì)食綠桑而結(jié)成晶繭；像蜜蜂那樣，廣采芳粉而釀成甜蜜。
四、增大教學(xué)的力度
吸引力，感染力，激發(fā)力與凝聚力是課堂教學(xué)的驅(qū)動(dòng)力。那么如何加大其力度呢？其重點(diǎn)有二。
（一）激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。程頤曰：“教人未見(jiàn)意趣，必不樂(lè)學(xué)。”意趣是人生的調(diào)料，生活的味精。教者應(yīng)注意教學(xué)的趣味性，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，特別是激發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)本身的興趣。這是調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思維、提高教學(xué)效益的重要前提。常用的方法有多種。于此，重點(diǎn)說(shuō)明幾法。
其一，激疑法。設(shè)置適當(dāng)?shù)膯?wèn)題與矛盾，使學(xué)生急于解決而又不得其法，從而激發(fā)他們對(duì)新課的濃厚興趣。這種方法，多用于新課的導(dǎo)入。例如，在教學(xué)等比數(shù)列求和公式時(shí)，首先宜要求學(xué)生計(jì)算諸如3+32+33+…+310之類的問(wèn)題，以促使他們產(chǎn)生探求公式的強(qiáng)烈愿望。
其二，激趣法。化枯燥為生動(dòng)，化抽象為形象，化干癟為豐滿，是此法的基本特征。反實(shí)創(chuàng)虛是其有效方法之一。所謂反實(shí)創(chuàng)虛，是依客體創(chuàng)設(shè)形象，翻新激趣，以幫助學(xué)生記憶與鞏固。例如，馬克思生于1818年5月5日，可記為“馬克思一巴掌又一巴掌打得資本家嗚嗚直哭”，諧音即得。
其三，調(diào)味法。課堂教學(xué)的運(yùn)籌，恰如美味佳肴的烹調(diào)，須注意添以精料，調(diào)以美味，把握火候。課堂教學(xué)的“三劑”，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)皿w，則具奇效，可使師生樂(lè)不知疲。其為：搞好開場(chǎng)白，注入興奮劑；增強(qiáng)幽默感，添加劑；運(yùn)用過(guò)渡語(yǔ)，巧施催化劑。
（二）強(qiáng)化自身手段。要增大教學(xué)力度，教師須從自身著眼，最大限度地強(qiáng)化自身教學(xué)手段，力求做到如下幾點(diǎn)。一要潛心，進(jìn)入角色，物我兩忘，全力以赴；二要旺神，氣宇軒昂，熱情飽滿，精力充沛；三要熟記，倒背如流，胸有成竹，熟練駕馭；四要善辭，清晰悅耳，抑揚(yáng)頓挫，神情并茂；五要巧導(dǎo)，深入淺出，因勢(shì)利導(dǎo)，循循善誘。其中，“善辭”是指教師須善于言辭表達(dá)。要在語(yǔ)音、語(yǔ)氣、語(yǔ)調(diào)、語(yǔ)勢(shì)和語(yǔ)速上潤(rùn)色，提高語(yǔ)感系數(shù)。激昂時(shí)，如萬(wàn)馬奔騰；舒緩時(shí)，似閑云飄逸；低婉時(shí)，若夜琴輕扣。言難言之理，表難達(dá)之情，開啟智慧的門窗，撥動(dòng)學(xué)生的心弦?！扒蓪?dǎo)”是指教師須注意發(fā)揮主導(dǎo)作用中的技巧，做到引導(dǎo)，指明方向；啟導(dǎo)，觸動(dòng)靈感；誘導(dǎo)，誘發(fā)行為，如同施以誘餌，引魚上鉤。如在等比數(shù)列求和公式教學(xué)中，引導(dǎo)，在于觀察相鄰項(xiàng)間的關(guān)系；啟導(dǎo)，在于推廣試探，等式兩邊同乘q；誘導(dǎo)，在于誘使施用錯(cuò)位相減法。
五、調(diào)整教學(xué)的跨度
為了培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力與應(yīng)變能力，我們必須調(diào)整教學(xué)的跨度。即在課堂教學(xué)中，須適當(dāng)?shù)乜绯稣鹿?jié)，跨出教材，跨出年段，實(shí)施重新組合與兼融滲透的策略。
求數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列前[n]項(xiàng)的求和是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，也是考綱明確提出的知識(shí)點(diǎn)，年年在考，年年有變，但變的是試題的外殼，即在題設(shè)條件上有變化、有變革、有創(chuàng)新，但在這些變中更有不變的主題，即各種問(wèn)題的解答方法大致可以歸納為平平常常的幾種.因此，考生有效地進(jìn)行化歸是正確、準(zhǔn)確、迅速解題的前提，而合理地構(gòu)建方法是成功解題的關(guān)鍵，正確的處理過(guò)程是制勝的法寶.這部分內(nèi)容在高考中既有以選擇題、填空題形式的簡(jiǎn)單考查，也有以解答題重點(diǎn)考查的情況.求通項(xiàng)公式時(shí)，往往是把非等差等比類數(shù)列通過(guò)方法（待定系數(shù)法、特征方程法、不動(dòng)點(diǎn)法等）轉(zhuǎn)化成等差等比數(shù)列，有時(shí)需要反復(fù)轉(zhuǎn)化最終才能達(dá)到求解的目的，分值在6分左右；數(shù)列求和方法也是常規(guī)的幾種（錯(cuò)位相減、交叉相消、分組求和等），更多的考題在求和完成后要利用結(jié)果完成方程或不等式等類型的運(yùn)算或證明，分值在8分左右.各地文、理科試卷在選擇部分出現(xiàn)時(shí)的差別不大，往往文理科試卷題完全一樣，而若在填空題或大題中出現(xiàn)時(shí)文理通常以姊妹題的方式出現(xiàn).
命題特點(diǎn)
數(shù)列這講內(nèi)容的考點(diǎn)主要包括三個(gè)方面：一是要求求非等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，更多試題是借助整體換元的方式把普通數(shù)列轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列；二是求數(shù)列前[n]項(xiàng)，數(shù)列求和主要是分析通項(xiàng)，然后根據(jù)通項(xiàng)選擇相應(yīng)的求和方法.掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法.通過(guò)數(shù)列求和考查學(xué)生的觀察能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力以及計(jì)算能力；三是數(shù)列求和常與其它知識(shí)點(diǎn)的交互考查，尤其與函數(shù)、方程、不等式、等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合在一起，既重視對(duì)數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)的考查，又突出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的考查.其類型如下：
1. 利用含[an，Sn]的等式求數(shù)列通項(xiàng)公式，并對(duì)求和公式加以考查
例1 設(shè)[Sn=（-1）nan-12n]為數(shù)列的前[n]項(xiàng)和，則
（1）[a3]=_____；
（2）[S1+S2+???+S100=]___________.
解析 （1）由[Sn=（-1）nan-12n]得：
[Sn+1=（-1）n+1an+1-12n+1]，[a1=（-1）1a1-121?a1=-14].
兩式相減得：[an+1=（-1）n+1（an+1+an）+12n+1]，
①當(dāng)[n]為奇數(shù)時(shí)，[an+1=an+1+an+12n+1]，
即[an=-12n+1].
②當(dāng)[n]為偶數(shù)時(shí)，
[an+1=-（an+1+an）+12n+1?an=-2an+1+12n+1]，
而此時(shí)[an+1=-12n+2]，
[an=-2?（-12n+2）+12n+1=12n].
[a3=-116].
（2）由（1）[an=-12n+1（n為奇數(shù)），12n（n為偶數(shù)），]結(jié)合題給條件
[Sn=（-1）nan-12n]可得，[Sn=-12n+1（n為奇數(shù)），0（n為偶數(shù)）.]
于是[S1+S2+???+S100=S1+S3+S5+???+S99]，
即[S1+S2+???+S100=-14[1-（14）50]1-14=13?（12）100-13].
點(diǎn)撥 本例題給條件是含[an，Sn]的混合恒等式，通過(guò)衍生含[an+1，Sn+1]的等式后作差，使恒等式中的[Sn]消失，變換為該數(shù)列[an]相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系式，從而使混合式變成單一的我們熟悉的式子.考慮到有[（-1）n]出現(xiàn)，通過(guò)對(duì)[n]的奇偶性討論來(lái)發(fā)現(xiàn)觀察問(wèn)題，最終解決了第一個(gè)問(wèn)題；在第二問(wèn)中盡管[Sn]是數(shù)列[an]前[n]項(xiàng)的和，但實(shí)際上又構(gòu)成了新數(shù)列[Sn]，并要求求新數(shù)列[Sn]前100項(xiàng)的和，于是先須求[Sn]的通項(xiàng)公式，再根據(jù)需要求解.
例2 已知等差數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和為[Sn=（a+1）n2+a]，一個(gè)三角形三邊之比為[a2：a3：a4]，則該三角形最大角的正切值為 （ ）
A. [33] B. [1]
C. [3] D. [-3]
解析 因?yàn)閿?shù)列[an]是等差數(shù)列， [a=0，Sn=n2].[a2=3，a3=5，a4=7]，設(shè)三角形最大角為[θ]，由余弦定理得，[cosθ=-12，θ=2π3，tanθ=-3]，故選D.
點(diǎn)撥 本題運(yùn)用等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：[Sn=An2+Bn]，公式中缺常數(shù)項(xiàng)，得到[a=0].因此，在解題時(shí)要善于捕捉題給條件中所涉及的相關(guān)信息，形成最好的解題方案.
2. 利用特殊數(shù)列基本量去求解通項(xiàng)公式，并對(duì)求和公式加以考查
例3 已知等比數(shù)列[an]滿足：[|a2-a3| =10]，[a1a2a3=125].
（1）求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)[m]，使得[1a1+1a2+…+1am≥1]？若存在，求[m]的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.
解析 （1） 設(shè)等比數(shù)列[an]的公比為q，
則由已知可得[a13q3=125，|a1q-a1q2|=10，]
解得[a1=53，q=3，]或[a1=-5，q=-1.]
故所求通項(xiàng)公式為[an=53?3n-1]，或[an=-5?（-1）n-1]. （2）若[an=53?3n-1]，則[1an=35?（13）n-1].
故[1an]是首項(xiàng)為[35]，公比為[13]的等比數(shù)列.
從而[n=1m1an=35?[1-（13）m]1-13=910?[1-（13）m]
若[an=（-5）?（-1）n-1]，則[1an=-15（-1）n-1]，
故[1an]是首項(xiàng)為[-15]，公比為[-1]的等比數(shù)列.
從而[n=1m1an=-15， m=2k-1 （k∈N+），0， m=2k （k∈N+）.]故[n=1m1an
綜上，對(duì)任何正整數(shù)[m]，總有[n=1m1an
故不存在正整數(shù)[m]，使得[1a1+1a2+…+1am≥1]成立.
點(diǎn)撥 本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和及不等式運(yùn)算.考查靈活運(yùn)用基本知識(shí)解決問(wèn)題的能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新思維能力.對(duì)于通項(xiàng)公式，可以利用基本量求出首項(xiàng)和公比；對(duì)于數(shù)列求和，是通過(guò)對(duì)等比數(shù)列求和運(yùn)算來(lái)展開的，重視基礎(chǔ)，然后與不等式知識(shí)簡(jiǎn)單交叉.
例4 等差數(shù)列[an]中，[a1+a2+a3=-24，][a18+a19][+a20=78]，則數(shù)列前20項(xiàng)和等于_________.
解析 由已知可得，
[（a1+a2+a3）+（a18+a19+a20）][=-24+78=54].
[（a1+a20）+（a2+a19）+（a3+a18）=54?a1+a20=18.]
[S20=20（a1+a20）2=20×182=180].
點(diǎn)撥 本題主要運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，當(dāng)[p+q=s+r（p，q，s，r∈N*）]時(shí)，[ap+aq=as+ar]，同時(shí)也考查了等差數(shù)列求和公式的運(yùn)用.
3. 利用化歸思想對(duì)數(shù)列通項(xiàng)、求和公式的考查
例5 已知數(shù)列[an]中，[a1=1，an+1=anan+3].
（1）求數(shù)列[an]的通項(xiàng)分式；
（2）若數(shù)列[bn]滿足[bn=（3n-1）n2n?an]，數(shù)列[bn]的前[n]項(xiàng)和為[Tn]，若不等式[（-1）nλ
解析 （1）由題知[1an+1=an+3an=3an+1]，
變形為[1an+1+12=3（1an+12）]. [1an+12=（1a1+12）?3n-1=3n2，an=23n-1].
（2）由（1）可得，[bn=（3n-1）?n2n?23n-1=n?（12）n-1]，
[Tn=1×1+2×12+3×（12）2+…+n×（12）n-1]，
[12Tn=1×12+2×（12）2+3×（12）3+…+n×（12）n].
兩式相減得，
[12Tn=1+12+（12）2+（12）3+…+（12）n-1-n×（12）n]
[=1-（12）n1-12-n2n=2-n2n]，
[Tn=4-n+22n-1].
[Tn+1-Tn=（4-n+32n）-（4-n+22n-1）=n+12n>0]，
所以[Tn]為遞增數(shù)列.
①當(dāng)[n]為奇數(shù)時(shí)，不等式變形為[-λ
②當(dāng)[n]為偶數(shù)時(shí)，不等式變形為[λ
綜合①②得，[-1
點(diǎn)撥 通過(guò)對(duì)題給遞推公式兩次有目的的變形，把原數(shù)列[an]問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列[{1an+12}]的問(wèn)題，通過(guò)求數(shù)列[{1an+12}]的通項(xiàng)公式達(dá)到求原數(shù)列[an]通項(xiàng)公式的目的.在對(duì)數(shù)列[bn]求前[n]項(xiàng)和時(shí)運(yùn)用了錯(cuò)位相減的方法，運(yùn)算的過(guò)程相對(duì)固定，但運(yùn)算中很容易因失誤出錯(cuò)，為了避免這個(gè)失誤，除了嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真外，還應(yīng)該對(duì)最后的結(jié)果用[n=1，2]等進(jìn)行檢查.本題與恒成立不等式問(wèn)題交叉，先利用判斷數(shù)列單調(diào)性的方法求得數(shù)列最大（小）項(xiàng)的值，然后達(dá)到最終要求.
備考指南
（1）要熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)與基本操作解題技能， 復(fù)習(xí)時(shí)首先要在充分掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前[n]項(xiàng)和的公式基礎(chǔ)上，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想方法解決那些非等差、等比的問(wèn)題，要學(xué)會(huì)模式化的轉(zhuǎn)換策略，針對(duì)相關(guān)模式掌握好及時(shí)應(yīng)對(duì)方法.
（2）重點(diǎn)掌握數(shù)列求和的多種策略與方法，達(dá)到準(zhǔn)確熟練運(yùn)用的能力.
（3）善于抓住非等差（比）數(shù)列結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)適當(dāng)變形與處理，使它轉(zhuǎn)化為特殊的模式，如交叉相消、錯(cuò)位相減等，從而達(dá)到我們能從容應(yīng)對(duì)的目的.
（4）數(shù)列終歸是特殊函數(shù)，在與其它知識(shí)交叉時(shí)多多利用數(shù)列的函數(shù)特性.
限時(shí)訓(xùn)練
1. 設(shè)[Sn]為等差數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和，[S8=4a3，][a7=-2]，則[a9]= （ ）
A.[-6] B.[-4]
C.[-2] D.2
2. 設(shè)差數(shù)列[an]前[n]項(xiàng)和為[Sn，Sm-1=-2，Sm=0，][Sm+1=3]，則[m=] （ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
3. 若等比數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和為[Sn]，且[S4S2=5]，則[S8S4=] （ ）
A.35 B.17
C.4 D.25
4. 在等差數(shù)列[an]中，[a2=6，a5=15，bn=a2n]，則數(shù)列[bn]的前5項(xiàng)和[S5=] （ ）
A.45 B.78
C.90 D.105
5. 已知[an]的通項(xiàng)公式為[an=][1（n+1）n+nn+1][（n∈N*）]，其前[n]項(xiàng)和為[Sn]，則在數(shù)列[S1，S2，…，S2014]中，有理數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為 （ ）
A. 42 B. 43
C. 44 D. 45
6. 若等差數(shù)列前3項(xiàng)和為3，最后3項(xiàng)和為30，且數(shù)列所有項(xiàng)的和為99，則這個(gè)數(shù)列有 （ ）
A. 9項(xiàng) B. 12項(xiàng)
C. 15項(xiàng) D. 18項(xiàng)
7. 設(shè)[Sn]為等比數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和，若[8a2-a5=0]，則[S4S2=] （ ）
A. [-8] B. [5]
C. [8] D. [15]
8. 已知數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和為[Sn]，且[Sn=2an-2]，數(shù)列[bn]滿足[b1=1]，且點(diǎn)[P（bn，bn+1） ]在直線[y=x+2]上，則[anbn=] （ ）
A. [（2n-1）2n] B. [（2n+1）2n]
C. [2n（2n-1）] D. [2n（2n+1）]
9. 已知等比數(shù)列前20項(xiàng)和是21，前30項(xiàng)和為49，則前10項(xiàng)和是 （ ）
A. [7] B. [9]
C. [63] D. [7]或[63]
10.若等差數(shù)列[an]的第5項(xiàng)是二項(xiàng)式[（x-13x）6]展開式的常數(shù)項(xiàng)，則該數(shù)列前9項(xiàng)的和[S9=] （ ）
A. [259] B. [15]
C. [53] D. [-53]
11. 已知等比數(shù)列[an]是遞增數(shù)列，[Sn]是[an]的前[n]項(xiàng)和，若[a1，a3]是方程[x2-5x+4=0]的兩個(gè)根，則[S6=]________.
12. 已知[an]是等差數(shù)列，[a1=1]，公差[d≠0]，[Sn]為其前[n]項(xiàng)和，若[a1，a2，a5]成等比數(shù)列，則[S8]=_______.
13. 數(shù)列[an]是公差為[d（d>0）]的等差數(shù)列，且[a1=2，a3=a22-10]，設(shè)[bn]是以函數(shù)[y=4sin2πx]的最小正周期為首項(xiàng)[b1]，以3為公比的等比數(shù)列，則數(shù)列[{an-bn}]的前[n]項(xiàng)和[Sn=]__________.
14. 設(shè)[An=12，34，58，…，2n-12n][n≥2]，[An]的所有非空子集中的最小元素的和為[S]，則[S]=__________.
15. 已知在正整數(shù)數(shù)列[an]中，前[n]項(xiàng)的和[Sn]滿足：[Sn=18（an+2）2].
（1）求證：[an]為等差數(shù)列；
（2）若[bn=12an-30]，求數(shù)列[bn]的前[n]項(xiàng)和的最小值.
16. 已知[Sn]是等比數(shù)列[{an}]的前[n]項(xiàng)和，[S4]，[S2]，[S3]成等差數(shù)列，且[a2+a3+a4=-18].
（1）求數(shù)列[{an}]的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)[n]，使得[Sn≥2013]？若存在，求出符合條件的所有[n]的集合；若不存在，說(shuō)明理由.
17. 設(shè)[Sn]為數(shù)列[{an}]的前項(xiàng)和，已知[a1≠0]，[2an-a1][=S1?Sn]，[n∈N*]
（1）求[a1]，[a2]，并求數(shù)列{[an]}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{[nan]}的前[n]項(xiàng)和.
18.已知數(shù)列[an]滿足[a1=1]，且對(duì)任意非負(fù)整數(shù)[m，n（m≥n）]均有：[am+n+am-n+m-n-1=12（a2m+a2n）].
（1）求[a0]及[a2]；
一、教學(xué)設(shè)計(jì)和背景
（1）知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握等比數(shù)列項(xiàng)前n項(xiàng)求和公式，能較熟練應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式。
（2）過(guò)程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷公式的探索性推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，學(xué)會(huì)觀察思考。
（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
重點(diǎn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式的推導(dǎo)及簡(jiǎn)單應(yīng)用。
難點(diǎn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式的推導(dǎo)過(guò)程。
數(shù)列是刻畫離散現(xiàn)象的函數(shù)，是一種重要的數(shù)學(xué)模型。其等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式的推導(dǎo)過(guò)程學(xué)生接受起來(lái)感覺(jué)比較困難，為了突破這個(gè)難點(diǎn)，本節(jié)課設(shè)計(jì)采用“多媒體優(yōu)化組合――激勵(lì)――發(fā)現(xiàn)式教學(xué)”，以問(wèn)題創(chuàng)設(shè)情境，激活學(xué)生原有的知識(shí)，激發(fā)學(xué)生“想知道”的欲望，形成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體。
二、教學(xué)片斷
“老師，今天的課太有意思了！我都聽(tīng)懂了！”班里一位平時(shí)上課經(jīng)常睡覺(jué)的學(xué)生下課時(shí)對(duì)我說(shuō)，我稱贊并鼓勵(lì)他以后也要認(rèn)真聽(tīng)講，心思又回到了今天這節(jié)課：
“同學(xué)們，我們知道就在前天，我國(guó)自行研制的神州六號(hào)載人航天飛船發(fā)射成功，舉國(guó)上下一片歡騰，每個(gè)中華兒女都倍感自豪，下面我們先來(lái)回顧一下那個(gè)劃時(shí)代的歷史鏡頭！”
首先是給出關(guān)于神六發(fā)射的視頻，激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)興趣。
教師：阿基米德說(shuō)過(guò)：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我能橇起整個(gè)地球?！比绻覀冇幸粋€(gè)理想的平臺(tái)，是否可以登上月球呢？今天我們就要來(lái)建造一個(gè)理想的平臺(tái)，看看是否可以登上月球呢？
第一位同學(xué)造一層1米高（五級(jí)）的臺(tái)階，第二們同學(xué)在第一位同學(xué)的基礎(chǔ)上造一層2米高的臺(tái)階，第三位同學(xué)再在第二位同學(xué)的基礎(chǔ)上造一層4米高的臺(tái)階，假定往后每位同學(xué)所造的臺(tái)階高度都是前一位同學(xué)所造高度的2倍，依次類推，直到我們班里最后一位同學(xué)，那么大家共同建造的這個(gè)臺(tái)階能否從地球到達(dá)月球？（月球距離地球大約是40萬(wàn)公理）
我把學(xué)生分成四人小組，讓學(xué)生輪流開始“建造”臺(tái)階了……
老師：這是一個(gè)什么樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題？很快就有多數(shù)學(xué)生舉手，一學(xué)生答：“現(xiàn)在我們班里有47同學(xué)，那么臺(tái)階能達(dá)到的高度是1+2+22+……+247米，所以現(xiàn)在把這個(gè)問(wèn)題就是和式的值與4×108的大小比較。”話音剛落，另一學(xué)生又補(bǔ)充說(shuō)：“這實(shí)際上是求以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列的前47項(xiàng)和的問(wèn)題?！?/p>
老師：“如何算出這個(gè)和式的值呢？”。同學(xué)分別動(dòng)手，有的用計(jì)算器、有的在用小高斯的求和方法等進(jìn)行試探。從而進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生去分析項(xiàng)的特點(diǎn)，從探究過(guò)程中得到啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)“錯(cuò)位相減法”。
老師：把2改q，則Sn=1+q+q2+……+qn-1（等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)質(zhì)），如何化簡(jiǎn)？（體現(xiàn)從特殊到一般的思想）。學(xué)生仿照上面的方法，不難得到。這樣，最后一問(wèn)就是一般的等比數(shù)列的前n項(xiàng)的求和。這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，也就能得到等比數(shù)列的求和公式，這樣就解決了本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。……
在最后我還設(shè)置了開放性的課堂小結(jié)方式：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)你得到了哪些知識(shí)，有什么啟發(fā)？學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？同時(shí)把同學(xué)們的知識(shí)小結(jié)，用卡通畫表示出來(lái)，如下（圖1）。最后，教師：“最后希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)當(dāng)中，像這條魚兒一樣在知識(shí)的海洋里暢游，早日到達(dá)成功的彼岸！”
并給出了兩道情境式的習(xí)題，如下：
作業(yè)1：中國(guó)有首古詩(shī)：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍自增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？
作業(yè)2：“神舟六號(hào)”發(fā)射成功，某移動(dòng)公司立即發(fā)出短信：“請(qǐng)你把中國(guó)神六發(fā)射成功的消息轉(zhuǎn)發(fā)給10位朋友，并且注明您是第x位接收此消息的……”
假定這家公司發(fā)出的10條短信中的x值均為1，以后每一位收到短信后將x值都增加1，再將短信發(fā)出。據(jù)統(tǒng)計(jì)，所發(fā)短信中x的最大值為10，試問(wèn)通過(guò)這家公司最多發(fā)了多少條短信？
三、教學(xué)反思
這堂課的課堂氣氛熱烈，學(xué)生興趣高漲，參與積極，效果出乎意料的好，而那個(gè)平常經(jīng)常睡覺(jué)的學(xué)生對(duì)我說(shuō)的話更使我有了很多的思考：我類學(xué)校，那些上課不聽(tīng)的學(xué)生未必是對(duì)學(xué)習(xí)毫無(wú)興趣，只要教師立足于學(xué)生的興趣與基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)好情境，就能使學(xué)生不知不覺(jué)地滋生出學(xué)習(xí)動(dòng)力與學(xué)習(xí)熱情。所以，對(duì)于學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)做為我類學(xué)校的重點(diǎn)來(lái)抓，并把激發(fā)學(xué)生興趣滲透到每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程。激發(fā)學(xué)生興趣，我認(rèn)為可以從以下方面著手：
1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣
從近年來(lái)高考試題中分析得知，考查數(shù)列的比重越來(lái)越大，其價(jià)值越來(lái)越得到重視。尤其是相關(guān)數(shù)列的題型不僅能夠鍛煉學(xué)生的探究能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力，而且對(duì)學(xué)生分析能力、歸納能力的培養(yǎng)也起著不可替代的作用。同時(shí)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和也是上節(jié)課等差數(shù)列的后繼內(nèi)容。本節(jié)課的主要內(nèi)容是：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及運(yùn)用。
二、教學(xué)目標(biāo)
1.知識(shí)與技能目標(biāo)：
（1）掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式以及推導(dǎo)過(guò)程；
（2）會(huì)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和解決相關(guān)的一些問(wèn)題。
2.能力目標(biāo)：
通過(guò)讓學(xué)生自主推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式來(lái)鍛煉學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力
通過(guò)相關(guān)問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力和探究能力。
3.過(guò)程與方法：
自主探究模式、數(shù)學(xué)思想的滲透。
三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)。
難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的靈活運(yùn)用。
四、學(xué)生分析
“以學(xué)生為中心”的教學(xué)思想是新課程改革下的基本教學(xué)理念，也是學(xué)生健全發(fā)展的保障。所以，對(duì)于高中階段的學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們已經(jīng)具備了自主學(xué)習(xí)的能力，而且多年的學(xué)習(xí)也促使學(xué)生有了特有的學(xué)習(xí)方法，因此，我們可以借助自主探究式教學(xué)模式來(lái)給學(xué)生搭建自主學(xué)習(xí)的平臺(tái)，進(jìn)而為學(xué)生獲得更大的發(fā)展空間打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
五、教學(xué)過(guò)程
導(dǎo)入環(huán)節(jié)：回顧等差數(shù)列的通項(xiàng)公式[（a■=a■+（n-1）d）]。思考：如果將某個(gè)等差數(shù)列各個(gè)項(xiàng)相加，會(huì)得到怎樣的結(jié)果？
（設(shè)計(jì)意圖：一是讓學(xué)生回顧和復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容；二是提出問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知欲，使學(xué)生帶著問(wèn)題走進(jìn)課堂。）
情境創(chuàng)設(shè)：德國(guó)偉大數(shù)學(xué)家高斯在九歲那年，用很短的時(shí)間完成了教師布置的一道數(shù)學(xué)題：對(duì)自然數(shù)從1到100的數(shù)進(jìn)行求和。老師非常驚訝高斯為什么能在這么短的時(shí)間里計(jì)算出對(duì)這個(gè)年齡來(lái)說(shuō)相當(dāng)困難、相當(dāng)耗費(fèi)時(shí)間的題目。思考：高斯用了什么方法？
（設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)該環(huán)境只是為了要將本節(jié)課的正題引出，因?yàn)閷?duì)于這樣的題，學(xué)生很容易回答出答案為5050；對(duì)50對(duì)構(gòu)造成和101的數(shù)列求和（1+100，2+99，3+98…）也就是我們通常所說(shuō)的首尾相加。）
接著，讓學(xué)生簡(jiǎn)述解題過(guò)程。接著，引導(dǎo)學(xué)生思考：如果這道試題改為“對(duì)自然數(shù)從1到n的數(shù)進(jìn)行求和？”會(huì)得到怎樣的答案。即求1+2+3+4+…+（n-1）+n
學(xué)生1：延續(xù)高斯的首尾相加。
第一項(xiàng)和倒數(shù)第一項(xiàng)相加：1+n
第二項(xiàng)和倒數(shù)第二項(xiàng)相加：2+（n-1）=n+1
第三項(xiàng)和倒數(shù)第三項(xiàng)相加：3+（n-2）=n+1
……
第n項(xiàng)和倒數(shù)第n項(xiàng)相加：n+[n-（n-1）]=n+1
于是所有的前n項(xiàng)和為■
學(xué)生2：借助等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。
設(shè)y=1+2+3+4+…+n
觀察可以看出，該式子各項(xiàng)之間是等差為1的等差數(shù)列。
即an=n所以，y=a■+a■+a■+a■+…+a■（1）
y=a■+an-1+an-2+an-3+…+a■+a■（2）
將（1）+（2）=（a■+a■）+（a■+an-2）+（a■+an-3）+…+（a■+a■）=2y
（1+n）+[2+（n-1）]+…（n+1）=2y
y=■
所以，1+2+3+…+n=■
……
（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性，積極動(dòng)手、動(dòng)腦尋找解答的過(guò)程，這樣一來(lái)不僅能夠加深學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的印象，提高學(xué)生的理解能力，而且對(duì)學(xué)生綜合能力的提高也起著非常重要的作用。同時(shí)，該環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)出來(lái)的前提。）
在學(xué)生給出不同的解答過(guò)程之后，我接著引導(dǎo)學(xué)生思考：如果對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列，第一項(xiàng)未知用a1表示、公差未知用d表示，你能否推導(dǎo)出該等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。（學(xué)生思考，并在上述解答的思路中給予證明。）
證明：先求出等差數(shù)列的通項(xiàng)：an=a■+（n-1）d
設(shè)前n項(xiàng)和為Sn，即Sn=a■+a■+a■+a■+…+a■=a■+（a■+d）+（a■+2d）+…+[a■+（n-1）d]
=a■+a■+d+a■+2d+…+a■+（n-1）d
=na■+[d+2d+…+（n-1）d]=na■+d[1+2+3+…+（n-1）]
=na■+■d
當(dāng)然方法不止這一種，在此不再進(jìn)行詳細(xì)的介紹?？傊?，在對(duì)學(xué)生的解題過(guò)程給予肯定之后，我明確了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，并板書該公式，而且導(dǎo)入環(huán)節(jié)的問(wèn)題也隨之得到了解決。
（設(shè)計(jì)意圖：該過(guò)程的設(shè)計(jì)就是為了讓學(xué)生自主動(dòng)手推導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式，這樣不僅能夠加深學(xué)生的印象，而且對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力也起著非常重要的作用。）
思考問(wèn)題：（1）在等差數(shù)列{an}中，a3+a7-a10=8，a1-a4=4，則S13等于 ； ；。
（2）設(shè)等差數(shù)列{a■}的前n項(xiàng)和為S■，若a■=S■=12，則{a■}的通項(xiàng)a■= ； ；。
（3）已知等差數(shù)列前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求前3m項(xiàng)和為多少？
（4）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S■，已知：a■=12，S■>；0，S■<；0，求公差d的取值范圍？
……
（設(shè)計(jì)意圖：這幾道試題從難度上來(lái)說(shuō)，由簡(jiǎn)至難，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，而且對(duì)學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力的培養(yǎng)也起著非常重要的作用。）
關(guān)鍵詞：創(chuàng)造思維；思想；學(xué)生主動(dòng)參與
那么在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維呢？結(jié)合本人教學(xué)實(shí)踐，談幾點(diǎn)體會(huì)。
一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引入創(chuàng)造思維境界
創(chuàng)新教育家蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“如果學(xué)生們沒(méi)有學(xué)習(xí)愿望的話，我們所有的想法、方案和設(shè)想都會(huì)化為灰燼，變成木乃伊。”因此，在導(dǎo)入新課時(shí)要力求新穎、有趣，使學(xué)生在上課伊始就被要學(xué)的內(nèi)容所吸引，思維處于積極的興奮狀態(tài)。創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景就其內(nèi)容形式來(lái)說(shuō)，有故事法、生活事例法、實(shí)驗(yàn)操作法、聯(lián)系舊知法、伴隨解決實(shí)際問(wèn)題法等；就其意圖來(lái)說(shuō)，有調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性引起興趣的趣味性問(wèn)題，有以回顧所學(xué)知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)的類比性問(wèn)題，有與實(shí)際相結(jié)合的應(yīng)用性問(wèn)題等。例如：在上“等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式”時(shí)，引用了國(guó)際象棋的例子，從而激發(fā)了學(xué)生思維的火花和求知的欲望。
二、采用啟發(fā)式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造才能
一堂課效率的高低，不光要看教師能傳授給學(xué)生多少知識(shí)，還要看能否教給學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的方法，即不僅要使學(xué)生“學(xué)會(huì)”還要使學(xué)生“會(huì)學(xué)”，成為獲取知識(shí)的主人和新知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”。因此，教師必須用啟發(fā)式教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生自己去探索新規(guī)律，提出新問(wèn)題，并給出解決問(wèn)題的方法。例如：在等差數(shù)列、等比數(shù)列前幾項(xiàng)和公式的教學(xué)中，由于過(guò)多地受應(yīng)試教育的影響，一般都把求和公式的推導(dǎo)的思想方法看得較輕，而把如何利用求和公式解答習(xí)題的技能技巧的訓(xùn)練看得較重。而創(chuàng)造性思維教學(xué)的觀點(diǎn)不只是要求學(xué)生能掌握和利用求和公式，而且要求學(xué)生首先要深刻理解推導(dǎo)求和公式的思想方法。也就是要求學(xué)生在已掌握“加法”“乘法”“等差數(shù)列的性質(zhì)”等舊知識(shí)的基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)化出推導(dǎo)等差數(shù)列前幾項(xiàng)和的公式的新的思想方法。即在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)d=0時(shí)，Sn=na1，當(dāng)d≠0時(shí)，讓學(xué)生較獨(dú)立地想到：（1）為了求n個(gè)不相同的數(shù)的和，應(yīng)轉(zhuǎn)化為求n個(gè)相同數(shù)的和；（2）為完成上述轉(zhuǎn)化，怎樣去根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)去構(gòu)造一個(gè)輔助數(shù)列，進(jìn)而得到Sn=n（a1+an）/2，這里還應(yīng)把推導(dǎo)公式的思想引入深入，即利用合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)多項(xiàng)式的思維方法，有了這種思想基礎(chǔ)，我們?cè)趯W(xué)習(xí)等比數(shù)列{an}前幾項(xiàng)和公式時(shí)，當(dāng)q≠1時(shí)，雖然這里不能夠根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)把n個(gè)不同數(shù)的和轉(zhuǎn)化為n個(gè)相同數(shù)的和，但學(xué)生是能夠獨(dú)立想到根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)構(gòu)造等比數(shù)列{qan}，利用錯(cuò)位相消法（實(shí)質(zhì)上仍是合并同類項(xiàng)）求得Sn=a1-anq/1-q。實(shí)踐證明，教師準(zhǔn)確地把握好教學(xué)時(shí)機(jī)，有利于在思維的最佳突破口點(diǎn)撥學(xué)生，啟迪學(xué)生智慧的火花。所謂“不憤不啟，不悱不發(fā)”，即是要求教師當(dāng)學(xué)生心憤求通、口悱難達(dá)，急需教師啟示開導(dǎo)的時(shí)候，適時(shí)而教，便如“時(shí)雨化之”，可收到良好效果。同時(shí)，教師啟發(fā)思維的問(wèn)題的難易要適中，速度的快慢要得宜，廣度的大小要恰當(dāng)，量度的多少要相應(yīng)，恰到好處地引發(fā)學(xué)生積極思維。另外，教師啟發(fā)思維還應(yīng)注意遵循學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，循序漸進(jìn)。學(xué)生的思維發(fā)展總是從具體到抽象、從個(gè)別到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的，教師循其“序”而導(dǎo)引，可以使學(xué)生課堂思維活動(dòng)富有節(jié)奏感和邏輯性。
三、讓學(xué)生主動(dòng)參與，開發(fā)創(chuàng)造思維
要培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維能力，就要讓學(xué)生主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，主動(dòng)地參與教學(xué)活動(dòng)。例如：在教學(xué)“棱柱的性質(zhì)”時(shí)，教師把事先準(zhǔn)備好的材料（塑料棒，502膠水等）要求學(xué)生分組制作四棱柱然后對(duì)照模型，進(jìn)行思考和討論，最后教師從中挑出幾個(gè)特殊的四棱柱，全班進(jìn)行交流。我們深深體會(huì)到：讓學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)，不僅能激發(fā)不同層次知識(shí)水平學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且還能有效開發(fā)他們創(chuàng)造思維的潛能。另外，在教學(xué)過(guò)程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)難。愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要，因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題也許是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問(wèn)題、新的理論，從新的角度去看舊的問(wèn)題，都需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步?！比魏慰茖W(xué)的發(fā)現(xiàn)無(wú)不是從提出問(wèn)題開始的，因此，教師在教學(xué)中，要有意識(shí)地設(shè)置一些問(wèn)題，使學(xué)生形成認(rèn)知沖突，從而激發(fā)他們的創(chuàng)造思維?？傊?，學(xué)生能提出問(wèn)題，說(shuō)明有創(chuàng)新思維的意向；能分析：解決問(wèn)題，說(shuō)明有創(chuàng)新思維能力。
四、誘發(fā)學(xué)生的靈感，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維
靈感是一種突發(fā)性的創(chuàng)造勞動(dòng)。它一經(jīng)觸發(fā)，就會(huì)被突然催化，使感性材料突然升華為理性認(rèn)識(shí)；靈感能沖破人的常規(guī)思路，為人類創(chuàng)造性思維活動(dòng)開啟一個(gè)新的境界。歐幾里得幾何學(xué)的五個(gè)公設(shè)都是基于直覺(jué)和靈感，從而建立歐幾里得幾何學(xué)這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上迸發(fā)了構(gòu)造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了判別王冠真假的方法。凱庫(kù)勒發(fā)現(xiàn)了苯分子環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是一個(gè)直覺(jué)思維的成功典范。因此在教學(xué)中，教師應(yīng)及時(shí)捕捉和誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的靈感，對(duì)于學(xué)生別出心裁的想法，違反常規(guī)的解答，標(biāo)新立異的構(gòu)思，哪怕只有一點(diǎn)點(diǎn)的新意，都應(yīng)及時(shí)給予肯定。同時(shí)，還應(yīng)當(dāng)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、變換角度、類比形式等方法去誘導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)和靈感，促使學(xué)生能直接越過(guò)邏輯推理而尋找到解決問(wèn)題的突破口。
總之，要在中學(xué)數(shù)學(xué)中能真正做到培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，教師應(yīng)在教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)一種民主、寬松、和諧的教學(xué)環(huán)境和教學(xué)氣氛。同時(shí)教師還要注意自身的知識(shí)和能力儲(chǔ)備，要用自己創(chuàng)造性的勞動(dòng)去組織教材，特別是要挖掘教材內(nèi)容中所隱含的數(shù)學(xué)思想與方法。只有當(dāng)教師自己能夠打破傳統(tǒng)定勢(shì)，提高自身的認(rèn)知水平，才能更加靈活地去引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展，更好地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)教書育人的目的。
參考文獻(xiàn)：
[關(guān)鍵詞]Excel 辦公自動(dòng)化 應(yīng)用 技巧
[中圖分類號(hào)]TP391.13 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1009-5349（2014）02-0032-01
胡振猛（1983-），男，河北衡水人，衡水市人力資源和社會(huì)保障局助理電子工程師。研究方向：電子計(jì)算機(jī)。
隨著計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，計(jì)算機(jī)已經(jīng)成為人們辦公的必備工具之一。用的較多的就是對(duì)大量信息的處理，而這些文件總是以Excel文件的形式存儲(chǔ)。這對(duì)于不熟悉Excel操作技巧的人來(lái)說(shuō)是一個(gè)挑戰(zhàn)，下面對(duì)常用Excel的應(yīng)用技巧作以介紹，供相關(guān)用戶參考。
一、自動(dòng)填充數(shù)據(jù)
自動(dòng)填充數(shù)據(jù)是快速輸入數(shù)據(jù)的有效方法。而Excel具有“自動(dòng)填充”作用，可以快速地復(fù)制原來(lái)數(shù)據(jù)以及輸入等差、等比、日期序列預(yù)設(shè)序列和自定義序列。
（一）用“序列”對(duì)話框填充數(shù)據(jù)
對(duì)于步長(zhǎng)任意的等差、等比序列以及日期序列，可使用“填充”菜單中的“序列”菜單項(xiàng)，來(lái)完成數(shù)據(jù)的自動(dòng)填充，具體操作步驟如下：1.要在第一個(gè)單元格中輸入初值，選定要填充的單元格區(qū)域。2.從菜單中選擇“編輯”“填充”“序列”菜單項(xiàng)，打開“序列”對(duì)話框。3.在對(duì)話框的“序列產(chǎn)生在”中選擇“行”或“列”；在“類型”框中選擇需要的序列類型；在“步長(zhǎng)值”輸入框中輸入步長(zhǎng)值，日期序列要選擇日期單位，最后單擊“確定”按鈕即可。
（二）通過(guò)拖動(dòng)填充柄來(lái)填充數(shù)據(jù)
將鼠標(biāo)指向選定區(qū)域右下角單元格的填充柄，當(dāng)指針變成黑十字光標(biāo)后，沿著要填充的方向拖動(dòng)填充柄直到目標(biāo)單元格，松開鼠標(biāo)數(shù)據(jù)就自動(dòng)填入拖過(guò)的區(qū)域。
自動(dòng)填充數(shù)據(jù)時(shí)，初值決定以后的填充項(xiàng)，分為以下幾種情況：1.初值為字符型數(shù)字時(shí)，直接拖動(dòng)生成步長(zhǎng)為1的等差序列。原數(shù)據(jù)復(fù)制時(shí)應(yīng)按Ctrl的同時(shí)拖動(dòng)填充。2.初值為字符與數(shù)字混合體時(shí)，數(shù)字作字符型處理，直接拖動(dòng)字符復(fù)制，數(shù)字生成步長(zhǎng)為1的等差序列。原混合體數(shù)據(jù)復(fù)制，按Ctrl的同時(shí)拖動(dòng)填充。3.初值為漢字、字母、數(shù)值型數(shù)字時(shí)，直接拖動(dòng)為數(shù)據(jù)復(fù)制填充。4.初值為日期和時(shí)間時(shí)，直接拖動(dòng)填充按日或小時(shí)生成步長(zhǎng)為1的等差序列。5.初值為Excel預(yù)設(shè)填充序列、自定義序列的一員時(shí)，拖動(dòng)填充按預(yù)設(shè)填充序列或自定義序列填充即可。
二、輸入公式
使用公式可以方便地進(jìn)行計(jì)算、統(tǒng)計(jì)和分析。Excel中公式總是以英文的等號(hào)“=”打頭，等號(hào)后面是一個(gè)表達(dá)式，由常量、單元格引用值、名字、函數(shù)、運(yùn)算符等組成。
單元格中直接輸入公式的具體步驟為：?jiǎn)螕魧⒁斎牍降膯卧瘢辉趩卧窕蚓庉嫏诘妮斎肟蛑休斎氲忍?hào)“=”；輸入由數(shù)值、單元格地址、函數(shù)組成的表達(dá)式；按“Enter”鍵或單擊編輯欄上的“√”按鈕。如取消，可按“Esc”鍵或單擊編輯欄中的“取消”按鈕。
三、函數(shù)的使用
輸入函數(shù)有以下幾種方法：
（一）直接輸入函數(shù)
先輸入一個(gè)等號(hào)，然后，輸入函數(shù)本身及參數(shù)。常用的函數(shù)有兩個(gè)：1.SUM：對(duì)指定的區(qū)域中的值進(jìn)行求和。如：公式“=SUM（B3：C9）”表示對(duì)B3至C9的矩形區(qū)域內(nèi)所有單元格中的數(shù)據(jù)求和。2.AVERAGE：求指定的區(qū)域各單元格數(shù)據(jù)的平均值。如：公式“=AVERAGE（B1：B10，D1：D10）”表示求B1：B10和D1：D10兩個(gè)區(qū)域中所有單元格中數(shù)據(jù)的平均值。
（二）使用“粘貼函數(shù)”
粘貼函數(shù)是常用的輸入方法。具體操作步驟為：1.選定要輸入函數(shù)的單元格。選擇插入菜單中的函數(shù)菜單項(xiàng)，或單擊工具欄中的“粘貼函數(shù)”按鈕，即出現(xiàn)粘貼函數(shù)對(duì)話框。2.單擊對(duì)話框左邊函數(shù)分類列表框中的函數(shù)類別，右邊的列表框中就會(huì)列出該類別的所有函數(shù)，單擊其中要使用的函數(shù)，單擊“確定”按鈕，彈出函數(shù)選項(xiàng)面板，在Value1、Value2框中輸入?yún)?shù)，單擊“確定”按鈕即可。
（三）使用自動(dòng)求和
使用工具欄中“自動(dòng)求和”按鈕，可將工作表中選定區(qū)域的求和公式自動(dòng)填寫到目標(biāo)單元格中。具體操作步驟如下：1.單擊存放求和結(jié)果的單元格。2.單擊工具欄中的“自動(dòng)求和”按鈕∑。3.核對(duì)自動(dòng)生成的求和公式的參數(shù)是否正確，然后確認(rèn)即可。
（四）公式的復(fù)制和單元格地址的引用
公式的復(fù)制指在一個(gè)單元格輸入公式后，如相鄰的單元格中需進(jìn)行同一的計(jì)算，可利用自動(dòng)填充功能，來(lái)復(fù)制公式。操作步驟為：1.將鼠標(biāo)指針指向已輸入公式的單元格填充柄，當(dāng)指針變成黑十字光標(biāo)后，沿著要填充的方向拖動(dòng)填充柄至目標(biāo)單元格。2.松開鼠標(biāo)，公式就會(huì)自動(dòng)復(fù)制到拖過(guò)區(qū)域的單元格中，自動(dòng)計(jì)算出結(jié)果。
Excel在辦公自動(dòng)化系統(tǒng)中的應(yīng)用越來(lái)越普及，只要熟悉這些技術(shù)要領(lǐng)，多做多練習(xí)，人們就會(huì)應(yīng)用得得心應(yīng)手，增強(qiáng)工作技能，提高我們的工作效率。
【參考文獻(xiàn)】
■ 專項(xiàng)模擬
A. ［4，+∞）
B. （－∞，－4］∪［4，+∞）
C. （－∞，0］∪［4，+∞）
D. 不能確定
3. 數(shù)列｛an｝中，an=n2+λn（n∈N+），若｛an｝為遞增數(shù)列，則λ的取值范圍為____________.
4. 數(shù)列｛an｝中，a1=2，an+1=4an－3n+1（n∈N+）.
（Ⅰ）證明｛an－n｝是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求｛an｝的前n項(xiàng)和Sn；
（Ⅲ）證明不等式Sn+1≤4Sn對(duì)任意n∈N+恒成立.
（Ⅰ）證明｛an｝是等差數(shù)列；
6. 設(shè)｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=n2－4n+4.
（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.
（Ⅱ）設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列｛bn｝中，所有滿足bi?bi+1
8. 數(shù)列｛an｝，｛bn｝中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列.
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)｛an｝，｛bn｝的通項(xiàng)，并證明你的結(jié)論；
在x=bn處的切線斜率.
（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝，｛bn｝的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若Tn是數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，證明：當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn>Tn+3n.
10. 數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+）.
（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)；
11. 已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x），存在實(shí)數(shù)x0，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1，x2，總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+ f（x1）+f（x2）恒成立.
（Ⅰ）求x0的值.
12. 設(shè)an是關(guān)于x的方程xn+nx－1=0（n∈N+，x∈R+）的根，試證：
（Ⅰ）an∈（0，1）；
（Ⅱ）an+1
14. 函數(shù)f（x）=x2－4，曲線y=f（x）在點(diǎn)（xn，f（xn））?搖處的切線與x軸的交點(diǎn)為（xn+1，0）.
（Ⅰ）用xn表示xn+1；
（Ⅲ）若x1=4，bn=xn－2，Tn是數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，證明：Tn
（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.
（Ⅲ）正數(shù)數(shù)列｛cn｝中，an+1=（cn）n+1（n∈N+），求數(shù)列｛cn｝中的最大項(xiàng).
（Ⅰ）求a2，a3，并猜想數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；
17. 已知函數(shù)f（x）=x3+x2，數(shù)列｛xn｝（xn>0）的第一項(xiàng)x1=1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線y=f（x）在（xn+1，f（xn+1））處的切線與經(jīng)過(guò)（0，0）和（xn，f（xn））兩點(diǎn)的直線平行. 求證：當(dāng)n∈N+時(shí)，
18. 已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點(diǎn)都可導(dǎo)的函數(shù)，且xf ′（x）>f（x）在x>0上恒成立.
（Ⅱ）當(dāng)x1>0，x2>0時(shí)，求證：f（x1）+f（x2）
N+）.
（Ⅰ）證明：an≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）0成立，證明：an
（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；
（Ⅰ）求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
■ 解題反思
1. 研究數(shù)列單調(diào)性時(shí)，既可利用定義，通過(guò)比較前項(xiàng)與后項(xiàng)的大小關(guān)系得知數(shù)列單調(diào)性，又可借助與數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性得知該數(shù)列的單調(diào)性. 由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以在利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)研究數(shù)列的單調(diào)性時(shí)，還要注意區(qū)別. 因?yàn)閿?shù)列定義域中的取值是不連續(xù)的，所以數(shù)列的圖象是一些離散的點(diǎn)，這樣就能理解即使數(shù)列不在其對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間上，也可能具備單調(diào)遞增（或減）的性質(zhì). 也正因?yàn)檫@點(diǎn)，同學(xué)們解題時(shí)不能直接對(duì)2. 數(shù)列與不等式的內(nèi)容經(jīng)整合可形成證明不等式、求參量取值范圍等問(wèn)題. 數(shù)列不等式的證明方法相當(dāng)豐富，常見(jiàn)策略有：
（1）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)直接求和，將式子化簡(jiǎn)可證得不等式. 直接求和的方法有求和公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等，如第7、8題中的第（Ⅱ）問(wèn)就是利用裂項(xiàng)相消法求和.
（2）通過(guò)放縮，將不便于求和的式子變形為易求和的式子，即將通項(xiàng)化為可裂項(xiàng)相消或可等比求和的結(jié)構(gòu)，縮，將通項(xiàng)化為可裂項(xiàng)求和的結(jié)構(gòu).
（3）由于數(shù)列不等式是關(guān)于正整數(shù)的不等式，所以可以利用數(shù)學(xué)歸納法證明，如第9題中的第（Ⅱ）問(wèn)和第13題.
（4）可利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)證明以數(shù)列為載體的不等式問(wèn)題，如第15題中的第（Ⅲ）問(wèn)，先構(gòu)造函數(shù)f（x）
1. C
2. C
3. λ>－3
4. （Ⅰ）證明略，提示：an=4n－1+n
5. （Ⅰ）證明略
6. （Ⅰ）an=1，n=1，2n－5，n≥2
7. （Ⅰ）an=6n－5
（Ⅱ）m的最小值為10，提示：利用裂項(xiàng)求和將式子化簡(jiǎn)
8. （Ⅰ）a2=6，a3=12，a4=20，b2=9，b3=16，b4=25，猜測(cè)an=n（n+1），bn=（n+1）2，證明略，提示：用數(shù)學(xué)歸納法證明
9. （Ⅰ）an=2n，bn=2n－1
（Ⅱ）證明略，提示：其實(shí)質(zhì)是證2n+2>n2+3n+4，可用數(shù)學(xué)歸納法，也可用二項(xiàng)展開式進(jìn)行放縮
10. （Ⅰ）an=2n－1
11. （Ⅰ）x0=1
3n+1>2n+1
12. （Ⅰ）證明略
（Ⅱ）證明略
15. （Ⅰ）an=n
（17. （Ⅰ）證明略18. （Ⅰ）證明略
（Ⅱ）證明略，提示：利用（Ⅰ）中證得的單調(diào)性
（Ⅲ）證明略，提示：先用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)xi>0時(shí)，f（x1）+f（x2）+…+ f（xn）
19. （Ⅰ）證明略，提示：用數(shù)學(xué)歸納法證明
