時間：2023-05-30 08:54:02
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇解方程五年級，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關鍵詞：小學五年級;數學;教學;方程
一、解方程在數學教學中存在的問題
新課標把解方程方面的知識編排在第九冊的教科書上，給教師在這個階段的教學帶來了很大的不便之處，需要教師花費更多的精力和心血來講授方程，讓學生更能理解方程的基本性質。因此，教師可以在教學中適當改變教授方程知識的順序，讓學生能夠在課堂中通過思考問題的本質，并嘗試通過自己的研究來理解解未知方程的學習過程，對于解未知方程有一個具體的理解思路，找出解方程的學習規律。因此，教師應該有自己的一套解方程的教學方式方法。
二、在教學中教育學生解方程的方式方法
解方程方面的知識教學方法多種多樣，一個好的教學方法是決定學生是否能夠更好、更有效率地學習到小學數學解方程的知識點。而由于個人性格上的差異，每個教師在教育中都有一種獨具特色的教育方法。
1.教師應在教學中合理地安排自己的教授內容
科學地安排教授學習任務對于教師和學生來說是非常有必要的。如果教師想要在解方程方面給學生打下學習的基礎，就必須學會科學地安排自己教授的學習任務，這樣能使得學生進一步認識到解方程在小學數學教育中的重要性，更加能夠理解方程中的基本性質和解方程的一般規律。
2.教師要正確引領學生，讓學生進行知識的探索
一個方程必定有兩種及以上的解法，教師可以在教學中用方程的性質引領學生的思維，把復雜的方程逐漸的簡單化，盡量與學生的日常生活融為一體，使學生在生活中學習到更多數學方程的新知識，讓學生在日常生活中積累一定關于方程的數學知識，使學生在生活中逐漸地了解小學數學解方程的知識;加強小學生自主探索小學數學解方程的能力。例如，小學數學一元一次方程中，“2x+10=22”學生可以通過直接移項得到2x=22-10，合并方程等式的右邊得到2x=12，兩邊再同時除以一個2，就可以得到答案x=6。但是教師如果讓學生自己進行解方程運算，就能夠找出另外一種解題的方法：先等式兩邊同時除以2得到x+5=11，再通過移項得到x=6。從方程的解法中，就能夠發現第二種解題方法比第一種解法較之簡單。所以，教師的教學方法對于學生的學習來說是非常重要的。
3.遵循循序漸進的原則，多與學生在課堂中進行溝通
溝通是教師與學生進行解方程知識交流的一座橋梁。教師通過在課堂教學中與學生建立良好的師生關系并進行溝通交流，可以啟發學生學習小學數學知識的思想，使學生通過觀察事物的本質、思考事物本身的性質，慢慢地嘗試問題的解決方法，并進行相互討論、總結，得出方程的解決方案來。所以，教師應該更加傾向于對于學生來說更為有利的交流式教學。
總而言之，小學數學解方程在數學知識中起著非常大的作用。所以作為小學數學教師就必須改良自己的教學方法，整理出一套獨具特色的教學方案，改善學生學習數學知識的質量和學習知識的效率。
參考文獻：
[1]崔鳳蓮.對小學階段根據“等式的性質”解方程的冷思考[J].中國科教創新導刊，2011（15）：111.
小學階段是學生數學思維形成的奠基時期，也是以形象思維為主的時期。小學階段的數學教學區別于高中和大學階段的以抽象邏輯思維為主的教學，它以實用性和生活化為主要特點，強調數學知識的簡單應用。數學模型思想強調對實際問題情境的抽象和概括，即將實際問題抽象、簡化為由各種數學符號組成的普通表達式、公式、運算法則、已知定理等數學模型。模型思想是《義務教育數學課程標準》著重強調的一種數學思維能力。基于此，小學數學的學習和模型思想的培養存在契合點，而且也是可行的。在小學階段培養學生的模型思想是十分必要和緊迫的。
《義務教育數學課程標準》中指出：“讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學的理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。”這實際上就是要求每一個數學教師把學生學習數學知識的過程當做幫助學生建立數學模型的過程，并在建模過程中培養學生的數學應用意識，引導學生自覺地用數學方法去分析、解決生活中的問題。它還明_要求教師引導學生建立數學模型，不但要重視結果，更要關注學生自主建立數學模型的過程，讓學生在進行探究性學習的過程中科學地、合理地、有效地建立數學模型。
此外，在小學數學教學中還要重視學生數學思想方法的培養。教師要善于引領學生運用多種思想方法思考問題，可以將未知的問題轉化為已知的問題，使學生將這一模型的構建與已學知識進行對比，拓展學生解決問題的視野，為以后其他未知問題的解決架橋鋪路，也為以后的數學問題找到新的解決途徑。
五年級學生初學解方程，在出示課本中解方程例1時，學生借助圖示比較輕松地列出等量關系和方程。
例1圖意：左邊盒子里有x個球，右邊有3個球，一共有9個球。
學生列出等量關系：
盒子里球的個數+3個球=球的總數
x+3=9
五年級學生已經有了豐富的數學知識，能夠一眼看出來左邊盒子里有6個球。追問學生是怎么知道盒子里球的數量時，學生很一致地回答：“9-3=6。”接著問學生這是利用什么知識找出的x的值，有學生答：“移項變號。”這是學生在課外學習班老師教給學生解方程的方法。統計了班上已經學過解方程的學生人數，舉手的有50人，全班一共有56人，已經在課外班學習的人數占全班人數的89%。這么多學生都學過了解方程，按說老師應該很高興，教學也應該很輕松，但在我的追問下，所有學習過解方程的學生都利用的是移項變號的知識來解方程，這里的移項變號也就是學生在四年級下冊學習的加、減、乘、除各部分間的關系，學生借用四則運算解方程已經是近十年前的教學要求了。在實驗版教科書中，就已經把原來利用四則運算解方程的方法修改為利用等式的性質來解方程。也就是說，從實驗版教材出版的那一刻，實驗版教材已經依據《義務教育數學課程標準》的要求，建立了義務教育階段數學知識的階梯。利用等式的性質解方程是與初中階段利用方程解決問題的知識相通。包括求出方程的解后，有關方程的檢驗學生也沒有學習。通過比較，學生在課外學習班提前學習的知識只能是速成，忽略了學生獲得知識的過程，學生只是一個個學習的機器，忽略了學生是獨立的個體，他們有思想、有創新、有激情、有學習的沖動。雖然學生沒有學習過利用等式的性質解方程，但知識之間是相通的。
在解方程之前引領學生學習等式的性質，學生掌握得很扎實。所以直接向學生提出要求：為了與初中教科書的知識做好銜接，學生必須掌握利用等式的性質解方程的方法。思考一：如何利用等式的性質也就是天平平衡的原理，才能既讓天平保持平衡又可以看出x表示多少呢？思考二：怎樣把這個過程在方程中表現出來，使方程左右相等，又能得出x等于多少？在問題提出后，學生認真思考，并說出自己的想法。然后借助直觀課件的演示，印證學生的思路。在直觀課件的幫助下，學生的思維得以調整和完善，并借助直觀實物抽象出解題的模型，完善學生利用加法等式性質進行解方程的過程。學生借助利用等式的性質解方程的模型，并能利用建立的模型方法解決同一類方程。求出方程的解后，引導學生對所解方程進行檢驗，即結合用字母表示數的知識，引領學生把x的值代入方程進行檢驗，方程左邊=方程右邊，x的值就是方程的解。
在熟練掌握了利用加法的等式性質解方程的基礎上，學生已建立了利用等式性質解方程的模式，再讓學生解決減法、乘法、除法的方程時，學生會利用已有的知識儲備，利用對應的等式性質去解決。同時學生對利用方程解決生活中的問題比較容易接受，擺脫了五年來只會用數學方法解決問題的局限，學生會大膽嘗試用不同的方法解決，既起到互相檢驗的作用，解決問題的能力也大大提高了。從長遠來看，學生的綜合能力和數學素養也得到了有效提高！
從算術發展到方程是人類認識的飛躍。方程對學生形成良好思維方法和品質，發展學習能力和解決實際問題能力具有獨特作用， 是小學數學跨越性教學內容。目前存在的不注重方程所導致的小學數學教學困惑，可以通過優化方程課改策略來破解。
一、小學數學教學的主要困惑
1.學習是為了解決問題，應用題必然是小學數學重點內容，而應用題卻還是教和學的難點。
2.方程是解應用題的良方，可教材中方程內容簡課時少，沒法保證熟練掌握，難以體現列方程解應用題的優勢。
3.一些學生受算術思維定勢影響，習慣用算術法解方程和應用題，不喜歡用等式基本性質解方程和列方程解應用題，遇到稍難方程或應用題時就害怕，從而不愛數學。
4.一些教師基于算術教學習慣和學生喜好，不注重方程教學。遇到較難應用題時，總是想用算術法，感覺也有點難。這時可能會想到方程，但列出方程后又把它轉化為算術式才呈現給學生，很別扭。
5.應用題難數學難，因而社會上熱充于“小學奧數”。有些所謂“小學奧數”，很多是用算術法難解答而用方程易解答的實際問題，卻總是誘導學生用算術法解答，以顯示其深奧和價值來吸引學生，實際上是誤導和折騰學生。
二、小學教學方程的獨特作用
1.方程是算術向代數發展的關鍵性開端。算術只是一種算法，而方程思想則體現了建模思想和化歸思想等數學思想方法，是一種最基本和應用廣泛的數學思想。各種類型的實際問題大多可轉化為數學問題；各種類型的數學問題大多可轉化為代數問題；各種類型的代數問題大多可轉化為方程來解決。在小學， 方程可以解決整數、小數、分數、百分數和比例的許多實際問題，解決代數和幾何的許多實際問題，解決雞兔同籠問題、植樹問題等許多所謂“小學奧數”問題。
2.在方程教學中，學生從己有的生活經驗出發，親身經歷將許多實際問題抽象成方程形式的數學模型，進而解決問題的過程，既獲得對數學知識理解掌握，又在思維能力、運算能力、分析解決問題能力、情感態度與價值觀等方面得到發展。
3.小學教學用等式基本性質解方程，用方程解應用題，有利于加強中小學教學銜接。在中學方程是一條主線，無論是代數還是幾何，方程思想都無處不在。小學生學好方程，可以更好地實現由算術向方程思想發展，為中學學習打好基礎。
三、小學方程課改策略的優化
1.優化教材編排
現行教材編排，一類是四年級學習解方程，五年級學習列方程解應用題。另一類是將方程內容都安排在五年級學習。分段編排把緊密聯系的知識割裂開來不利于系統學習掌握，把知識與解決實際問題割裂開來也不利于發展能力。完整編排比較好，但可以優化。一是在前期更多地滲透一些代數初步知識，孕育方程意識；二是方程的例題和練習題再豐滿些，課時多點，以突出重點和突破難點；三是后續應用方程多些，以鞏固方程知識和解決較難的實際問題；四是可考慮將方程從五年級前移到四年級編排，這有利于方程的學習掌握和應用，有利于幫助學習其它數學知識。
2.優化方程意識的孕育
在教學方程前，根據教學內容特點，更多地滲透一些代數初步知識，孕育方程意識。如用符號、、或（）等表示數；用字母表示運算定律；在形如方程的式子中求符號表示的數：+6=15，5×=20，（）÷8=4；在解答應用題時列出形如方程的算式，如一年級應用題“小明有12塊糖，吃了 5塊，還剩幾塊？”，可能有學生列出算式：5+7=12，回答還剩7塊。這時教師應肯定。
3.優化用字母表示數的教學
用字母表示數，可以表達和研究有普遍意義的數量關系，是學習方程的基礎。教材編排的四道例題層層遞進，各有重點。教學時，應引導學生參與一系列教學活動，用符號表示數過渡到用字母表示數，表示運算定律，表示計算公式，用含有字母的式子表示數量和數量關系，學習“平方”以及數與字母相乘的書寫方法，學習代入求值，感受字母代數的優點。用含有字母的式子表示數量和數量關系是重點和難點，應增加例題進行示范引導，并增加練習題進行專項訓練。可以補充形如方程的式子書寫訓練，如：比a少8的數是15，b的3倍是18，比a的5倍多2的數是32等，為后續教學列方程解應用題作鋪墊。
4.優化方程意義的教學
教學方程意義時，應先介紹天平使用方法，然后按步驟邊設問邊演示邊提問，讓學生邊觀察邊思考邊交流，進而揭示方程的意義。感悟方程意義只是初步，理解運用才是目的。因此應充分利用變式，突出對比，補充列舉不同類型的方程讓學生試作判斷。如：16+3y=7×4，18=2x-3.5，x÷5=6.4，8+a=b等。并且請每個學生試寫一個方程，嘗試運用。
教學等式基本性質時，也應是按步驟邊設問邊演示邊提問，讓學生邊觀察邊思考邊交流，感悟天平保持平衡的道理，進而揭示等式的基本性質。教材沒有出現“等式基本性質”的名稱和內容，給后續解方程造成了困難。因此，應引導學生從天平保持平衡道理到等式基本性質的知識遷移，概括出等式基本性質的內容，讓學生理解并熟練掌握，為學習解方程提前突破難點。
5.優化解方程的教學
解方程的教學應從復習鞏固天平保持平衡道理和等式基本性質引入。先以100+x=250為例，引導學生分別用四則運算各部分關系和等式基本性質求未知數x的值。應突出用等式基本性質解方程的過程及書寫：100+x-100=250-100，x=150，并強調這種方法在解更復雜方程時很有用，以提高學生積極性。然后引出方程的解與解方程和概念。在此基礎上，教學形如x+a=b， ax=b的方程解法，就可以直接引導學生用等式基本性質了。應結合解題過程正確板書，示范解題步驟和書寫格式，包括驗算。應針對教材中想一想的問題，補充例子，教學形如x-a=b和x÷a=b的方程解法。
為了熟練掌握用等式基本性質解方程的方法，體現這種解法的優勢，以及分散后續列方程解應用題的難點，應增加課時，補充教學一些稍復雜方程的解法，如2x-2.8=10.4，x+3x=16.8，2×（x-3.6）=5.8等。暫不教學形如a-x=b和a÷x=b的方程，因為方程變形過程及其算理解釋比較麻煩。回避這兩種類型方程，并不影響列方程解應用題，當需要列出這兩類方程時，總可以根據數量關系，列成形如x+b=a或bx=a的方程。這也體現列方程解應用題，可以化逆向思維為順向思維的優勢。
方程思想是一個建模和化歸過程，它必須經歷由簡入繁、由易變難、循序漸進的過程，不可能一蹴而就。那么如何在小學階段有序地培養學生的方程思想呢？筆者針對這一問題進行了探索。
一、早期滲透
一至四年級的數學學習學生主要運用的是算術思維，如果在算術思維中適當滲透代數知識的學習，對五年級方程的學習就能水到渠成。其實翻閱各版本教材，不難發現，在第一學段甚至是第一冊教材中就有許多方程的雛形，在很多練習中也能找到滲透“方程思想”的素材。
（一）早期滲透等式性質
學生認識方程的最大困難在于受等號是“輸出結果”的影響，如4+5=9，從左往右運算，始終拘泥于具體運算，而不會把“4+5”看成是一個結果，學生始終認為“4+5”是一個算式，一個式子，必須要寫出9才是答案。因此，在學生的頭腦中只有實現“=”由“輸出結果”向“相等關系”的轉變，其對方程的認識水平才能發展。在小學低年級日常教學中要加強等式性質的滲透，將方程思想貫穿于問題解決之中，為今后的方程教學打下良好的基礎。如一上計算5+（ ）=12時，教師可結合天平稱物體的具體情境（左邊5個壘球，右邊12個壘球，天平的左邊應增添幾個壘球，天平才平衡），通過演示來幫助學生學習，讓學生感悟到左邊必須加上7個壘球，這時天平才會平衡，即括號里的數填7。在此基礎上讓學生進行變式：寫出5+7=（ ）+（ ）的算式，然后轉化為圖形算式：5+7=+2，讓學生在操作天平的同時，體驗“代入”思路，構造圖形等式，推算結果，體驗等式性質。
（二）早期滲透方程思想
一年級的教材中有這樣的習題：桌子上有5本書，書包里還有一些書，一共有12本書，書包里有多少本書？學生也會列成：5+7=12（本），答：書包里有7本書。很多教師都不會去思考學生的想法，直接判學生錯。學生對這種算法形成的原因到底是什么呢？一年級學生在解題時并未意識到未知數和已知數的不平等，他們更關注事情的發展順序。因此，當題目的敘述與事情的發展順序相反時，由于缺少“從結果推算出原有條件”的能力，往往將未知數與已知數混在一起，按照事情的發展順序列出算式。這一根據題目敘述“直陳直寫”的列式方式卻恰恰是小學中高年級方程思想的核心，是學生必須掌握的基本方法。
在教學中教師應該呵護學生這種同等看待已知數和未知數的想法，這是方程思維的萌芽。先肯定5+7=12的合理性，然后引導學生用、（ ）代替未知數進行列式：5+=12、5+（ ）=12或12-5= （ ），從而讓學生分清什么是已知的，什么是未知的。這樣的教學能使學生經歷從實物素材抽象到圖形素材，為從圖形素材抽象到字母符號素材的思維發展奠定基礎。同時，這樣的安排不僅符合學生的思維發展規律，而且促進了學生對減法意義的理解，最重要的是保護了學生與生俱來的方程意識。
二、現期調整
（一）重組教材，整合框架
人教版實驗教材正式進入方程學習是在五年級上冊第四單元，教材編排主線是先用字母表示數，然后在天平的演示下構建方程意義，接著是在具體情境中進行x±b=c和ax=b、x÷b=c的教學，最后是ax±b=c、（a±x）×b=c、ax±bx=c三類稍復雜方程的教學。教材將方程的解法融入具體情境中，算用結合，增加了學生學習的難度。學生一邊要在現實問題中收集分析有用的數學信息，將它們抽象成數學語言，同時又要關注方程解法技能的習得，往往會顧此失彼。所以在實際教學中，筆者在教學了方程意義后，先教學“x±a=b、ax=b、a-x=b、x÷a=b、ax±b=c、a（x±b）=c、ax±bx=c”等各類方程的解法，最后教學用方程解決實際問題。在教學稍復雜方程解法時，筆者有意不使用新的問題情境，而是用學生熟悉和已掌握的問題類型來幫助學生理解算理，讓學生從“以算促用”自然地過渡到“以用引算”。用新方法解決舊問題，對學生來說問題是熟悉的，只有解ax-b=c的方法是新的，無形中降低了學習的難度，找到學生學習方程的新的發展點，激發了學生學習、使用方程的動力。
（二）重構教學，建立模型
有許多教師在教學時總是將目標落在“知識與技能”這一維度上，把方程意義的學習等同于讓學生記憶“含有未知數的等式”這句話，在解方程中只重視結果，注重單純的技能訓練，沒有“建模”和“用模”的痕跡。
1.以“質變”為認知核心，識別“序”的架構
方程的實質是用等號將相互等價的兩件事情聯立起來，而小學生的思維發展規律是從實物到半抽象的圖形再到字母符號的過程。學生在低段的學習中已經經歷了實物到圖形的過程，在課堂教學中教師要把方程的本質作為學生認知的核心，注重實質，逐步建立方程思想。在教學“簡易方程”時不僅要讓學生理解“=”表示左右兩邊的相等關系，讓學生從“象形方程”到“簡寫方程”再到“符號方程”，幫助學生體驗符號代替數的簡潔，體會方程的意義，從而讓學生理解方程是關于已知數和未知數相等關系的“天平”，促進對方程實質的理解和領悟。
2.以“聯系”為思維路徑，洞察“聯”的因果
要讓學生初步領會方程思想，不能就題論題，而應當從方程的視角抓住眾多事物的共同普遍性的本質，以實質上具有同類關系的問題為主線突出相應的解法要點，達到觸類旁通、體驗方程的思想和價值。如稍復雜方程以“王阿姨到水果店買蘋果和梨各2千克，梨每千克2.8元，王阿姨一共付了10.4元，蘋果每千克多少元？”為切入口，讓學生形成“ax+ab=f”與“a（x+b）=f”的兩積之和模型。教師還可以將例題進行變式，把“王阿姨到水果店買蘋果2千克，梨每千克2.8元，買了3千克，梨比蘋果多付3.6元，蘋果每千克多少元？”變式為ax+m=bc的總量相等的模式，還可以變為其他一些形式。
學生在此類問題的分析、討論、驗證中可以逐步發現此類問題的共性，從而將本質屬性抽取出來：只有一個量作為未知數，不管如何變化，都是總量相等。同時，也在辨析中突破了“ax+ab=f”與“a（x+b）=f”兩積之和的基本型，從而打破了例題界限，在眾多形態各異的表象背后蘊藏著千絲萬縷的聯系和高度概括意義的數學思想方法，催化了兩積之和方程模型的建構，提升了方程建模的理性高度。
3.以“矛盾”為探究理念，豐富“探”的內涵
在方程教學中一直以來爭議最大的就是解方程是依據等式基本性質還是四則運算的關系？或者是兩者兼顧？到底哪一種好，眾說紛紜。在人教版教材中四則運算的方法只在解方程的起始課中出現了一次，教材的意圖是突出用等式的性質進行教學。針對這一“矛盾”，筆者在平行班中進行了對比教學：班級①先學習用等式基本性質解方程，然后學習用四則運算的關系解方程；班級②以等式基本性質為主，以四則運算的關系為輔；班級③只學習用等式基本性質，對四則運算的關系只在第一課時一筆帶過。教學之后，對三個班級進行了檢測，結果發現：班級③的正確率最高，學生解題基本上不受各部分關系的影響；但是班級③的學生雖然正確率高，而速度明顯要比其他班級慢得多。
在后續教學中，為了提高學生的書寫速度，筆者在教學列方程解決問題時先要求學生用完整、規范的步驟書寫。在學生熟悉步驟后，讓學生簡化書寫程序，可以將題目中表示未知數的量直接用“x”表示，然后列方程并解答。檢驗時運用直接代入法進行檢驗。這樣就大大提高了解答的速度，同時也提高了學生主動選擇用列方程解決問題的自覺性。
4.以“發展”為關注視角，追蹤“發”的軌跡
在實際教學中，教師要站在系統的高度來處理方程教學內容，以初中代數教學視角來統領小學方程教學，以發展的眼光看待學生方程思想的形成過程。
如在教學ax=b中，教師呈現了以下的題組：
① 一個正方形的周長是60厘米，它的邊長是多少？
② 某人騎自行車4小時行了60千米，平均每小時行了多少千米？
③ 甲筐有橘子60千克，是乙筐的4倍，乙筐有橘子多少千克？
學生通過分析都很快列出方程：4x=60。然后教師進一步引導學生質疑：“4x”在以上三題中分別表示了什么含義？以上題組創設的數學情境簡單易懂，易于讓學生找出基本的等量關系，當學生會用數學語言對等量事實進行清楚的描述與概括后，教師讓學生根據自己的生活經驗編一道用方程“4x=60”解答的實際問題。在教學中教師用“發展”的視角利用問題情境的變式，而保持基本數學模型的不變，引導學生領會問題間的內在聯系，抓住問題的實質，使學生在簡單的現實情境中感受數學建模思想。
三、后期延展
正如前文所述，學生方程思想的形成不是一蹴而就的，是一個由易到難、由簡到繁不斷螺旋上升的過程。學生雖然經歷了從文字方程到圖形方程，再從圖形方程到字母方程的過程，初步建立了方程思想，但要想讓方程思想在學生腦海里深深烙上印記，就必須在后續的教學中結合相應的教學素材不斷反復地加以強化。比如在學習人教版“簡易方程”后，教材緊接著安排了“多邊形面積”的內容，那么多邊形面積計算公式的推理過程，多邊形面積的等積變形，也可以與方程教學有機結合。如：一個等腰梯形的周長是52厘米，腰長為6厘米，如果下底縮短4厘米，面積就要減少9平方厘米。求這個梯形的面積。在分析解題時要讓學生建立“原梯形面積=現梯形面積+9”的加法模型，利用加法模型讓學生用方程思想解答平面幾何題。這一過程實質上是把幾何中的“形”的問題，借助于代數中的“數”去揭示幾何量之間的內在聯系，從而達到解決問題的目的。還有六年級的分數、百分數的應用、正反比例等知識的學習，教師都應有意識地和方程教學相聯系。
關鍵詞：
開學后的第二周周末，一位以前曾經教過的學生通過QQ問了我一個六年級數學中的問題：有兩塊布料，第1塊長148米，第2塊長100米，兩塊布料各剪去同樣的一段后，第1塊剩下布料是第2塊剩下布料的3倍，兩塊布各剪去了多少米？學生設每塊布料剪去了x米，列方程：148－x＝3（100-x）。可是她自己卻解不了這個方程，而她的很多同學甚至列不出方程。
筆者在連續三年從事高年級數學教學，在高年級的《方程》單元教學中，也發覺了一些值得探索的現象和問題。
一、方程教學中的常見問題
蘇教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》教材要求學生根據等式的性質來解方程。
例題一：解方程x＋65＝100。
錯解1：
解：
＝x＋65＝100
＝100－65
＝35
錯解2：
解：
＝x＋65＝100
＝x＋65－65＝100－65
＝x＝35
第一種錯誤，學生并沒有掌握解方程的基本方法，沒有使用等式的性質解方程，而是受到以往算術方法的影響，使用“一個加數等于和減另一個加數”進行計算。第二種錯誤，學生雖然知道用等式的性質解方程，卻并沒掌握解方程的書寫格式，導致用等號將解方程的每一步進行了連接。
例題二：學校食堂原有1500千克大米，上一周用掉一些后，還剩1014千克大米。學校食堂上一周用掉多少千克大米？
學生設學校食堂上一周用掉x千克大米，得方程：1500－x＝1014。
學生列出的方程是正確的，然而這樣的方程，大多數學生卻解不出來。因為在五年級下學期學生只學習利用等式的性質解形如“x±a＝b，x÷a＝b，ax＝b”的方程，沒有學過形如“a－x＝b，a÷x＝b”的方程。而這樣的方程，利用“減數＝被減數－差”則很容易解決。
此類題目，讓教師非常為難。一方面，新教材考慮到小學數學和初中數學的銜接，采用等式的性質解方程，并不提倡再回到以往使用四則運算的算式各部分之間關系解方程的老路上來，從學生的認知水平出發，只教形如“x±a＝b，x÷a＝b，ax＝b”的方程；而另一方面，當遇到實際問題時，難保學生不列出形如“a－x＝b，a÷x＝b”的方程。不教使用四則運算的算式各部分之間關系解方程，怕學生考試吃虧，教了又怕學生在認知上產生混亂。
二、影響學生方程學習的原因
1.題目命制的影響
目前市面上的各種教輔材料層出不窮，有些解決實際問題類的題目，無法列出教材中所學習的幾種類型的方程，還有一些單純解方程的題目竟也超出了學生所學范圍，讓教師和學生無所適從。
2.教師因素的影響
在小學階段，算術方法不可能被方程方法所取代，導致一些教師對引導小學生從算術方法向方程方法的順利過渡沒有得到足夠的重視。另一方面，在列方程解決實際問題的教學中，教材所呈現的題目難度相對較低，有的甚至可以直接用算術方法口答。教師教學過程中注重強調方程格式，培養學生良好的解方程的習慣。而學生不習慣于寫“解：設……”，感覺算術解法簡單，列方程反而繁瑣復雜，甚至有學生覺得，這么簡單的題目還要列方程，這不是“沒事找事”嗎？這樣一來，學生對方程方法的接受和運用產生困難，必定影響其將來的學習。
三、促進小學生方程學習的建議
1.逐步滲透代數思維
在四年級進行“用字母表示數”的教學之前，教師就可以開始滲透代數思維。例如，在低年級可以用括號或者其他有趣的符號來表示數，到了四年級學習“用字母表示數”時，學生就已經有了一定的認知基礎，有利于高年級方程的學習。
2.突出方程方法的優越性
在列方程解決實際問題的教學中，教師除了注重格式的教學之外，還應當注重突出方程方法的優越性。教師可以有意識地設計一些用算術方法非常繁瑣、而用方程方法比較容易的題目，讓學生意識到方程的優越性。
3.注重教學過程中的引導
列方程解決實際問題的關鍵就是找準等量關系。教師在教學過程中，可以首先設計一些含有未知量的列式題，讓學生感受將已知量和未知量放在一起進行考慮。解決實際問題的過程中，可以適當地尋找同一題目的多種等量關系，選擇最適宜自己解題的等量關系列方程。
4.重視作業及試題設計
l.1.005讀作( )，它里面有( )個千分之一，精確到百分位是( )。
2.六億五千零七萬八千寫作( )，把它改寫成用萬作單位的數是( )，省略億后面的尾數是( )。
3.5千米60米=( )千米。 ( )日=36小時
9.08平方米=( )平方分米， ( )毫升=4.05立方分米。
4.4÷5=(——)=8∶( )=0.( )=( )%=( )成。
5.一節課的時間是( )分，再加上( )是l小時。
6.用分數表示下面各圖形中的陰影部分。
( ) ( ) ( )
7.把32分解質因數是( )。
8.12和18的公約數是( );16、24和48的毅小公倍數是( )。
9.4∶5和 ∶ 可以組成比例是因為( )。
10. 的倒數是5的( )%。
11.鐘表上分針轉動的速度是時針的( )倍。
12.右圖是由兩個棱長都是2厘米的正方體拼成的一個長方體，這個長方體的表面積是();體積是()。
13.要挖一個長60米，寬40米，深3米的游泳池，共需挖出( )立方米的土，這個游泳池的占地面積是( )。
二、判斷題。正確的在( )括號內打“√”，錯誤的打“×”。(共5分)
1.含有未知數的式子叫方程。 ( )
2.圓周長的計算公式C=2πr，其中的C和r成反比例關系。 ( )
3.不但可以表示出數量的多少，而且能夠清楚地表示出數量增減變化的情況，這樣的統計圖是折線統計圖。 ( )
4.植樹節學校一共種了2000棵樹，未成活的有4裸，成活率為96%。( )
5.右面正方形的面積為4平方厘米，則陰影部分的面積為2平方厘米。
( )
三、選擇題。將正確答案的序號填在()里。(共5分)
1.①粉筆;②硬幣;③水管，這些物體中，一定不是圓柱體的是( )
2.一個圓柱體和一個圓錐體等底等高，圓柱體的體積是圓錐體的( )。
[① ②3倍;③ ]
3.比3小的自然數有( )個。[①3;②2;③無數]
4.①圓;②三角形;③四邊形，這些圖形中，一定是軸對稱圖形的是( )。
5.把10克鹽溶于40克水中，鹽與鹽水重量的比值是( )[① l∶ ;② ;③ ]
四、操作題(共10分)
l.一個運動場長為200米，寬為120米，請用 的比例尺畫出它的平面圖。(先分別算出運動場的長和寬各應畫多少厘米)
2.①量一量右面線段的長為( )。
②以這條線段的長為半徑，畫出一個圓來。
③算一算所畫的圓的周長為( )，
面積為( )。
五、計算題(共35分)
l.直接寫出下面各題的得數。 (4分)
34×5= 0.37+ = 0.99÷1.l= 10.6- =
× = 0.375÷ = 40×101= 254+98=
2.解方程。 (6分)
① ② ∶ =5∶0.4 ③2.75 十 ×3=
3.下面各題，怎樣算簡便就怎樣算。 (15分)
①2.8÷ × ÷0.7 ② ×4.8÷( ÷ +0.2)
③0.4×9×25 ④ × +0.25×0.125
⑤ +5.8- +4.2 ⑥ ×[12.6-( +0.125÷12.5%)]
4.列式計算(5分)
①4.5與 的差的24%是多少?②一個數的6倍是10.2與 的和，求這個數。(列方程)
5.求圖中陰影部分的面積。 (5分)
六、應用題。 (共25分)
l.下面各題，只列出綜合算式，不解答。 (10分)
①六一兒童節，同學們做紙花，六年級做了120朵，五年級做了100朵，六年級比五年級多做百分之幾?
②六年級有男生80人，比女生多 ，女生有多少人?
③王莊去年總產值為23.5萬元，今年比去年增加了20%，今年的產值是多少萬元?
④小林的媽媽在農業銀行買了6000元國家建設債券，定期3年，年利率為2.89%，到期她可獲得利息多少元?
2.學校食堂五月份燒煤9.3噸，六月份燒煤9噸，兩個月平均每天燒煤多少噸? (5分)
首先，從編者的角度研讀教材。
教材是編者根據教學的總體目標、學習規律和學生的認知心理等特點精心編寫的，只有站在編者的角度上研讀教材、了解教材的編排體系和理解編者的意圖才能更好地把握教材。一般來說研讀教材可分以下幾個步驟。
系統了解全冊教材內容。掌握編排體系，明確各個部分與整體的關系，講課時才可以做到前后呼應：前邊做好孕伏工作，后邊逐步整理，便于學生形成認知結構。例如在教學五年級的“確定位置”之前就必須認真研讀二年級“確定位置”的教學內容，把握學生已有的知識基礎，再利用二年級課本上的“班級座位表中某生的位置有多種不同的表述方式”的情境作為教學引入，讓學生感到復雜、重復、無規則，從而產生尋找簡潔的述說方式的欲望，從而揭示課題“用數對確定位置”。
全面分析單元教材內容。教學一個新的單元，必須全面研究單元內容的層次與結構，明確單元教學的目的要求，掌握重難點，抓住知識點。一般情況下，各個知識點是依據學生的認知心理，由簡單到復雜，由此及彼，依次安排，以便學生逐步認識、積累和掌握相應的知識內容。例如，五年級的“方程”單元，首先教學方程的意義，再教學等式的性質，然后根據等式的性質解方程，最后用方程知識解決生活中問題。教師只有了解整個單元的知識脈絡，心中有數，才能致力于某一課的教學。
具體研究例題教學內容。首先必須明確教材中的例題主要讓學生學習什么，以便圍繞知識點組織教學、開展教學活動。研究例題的知識點，還需要關注例題所涉及的知識與運用范圍。例如，五年級“公倍數和最小公倍數”的例題讓學生通過動手操作感悟“兩個數的倍數就是這兩個數的公倍數，其中最小的一個就是最小公倍數，只要求學生掌握求兩數最小公倍數的方法就可以了”。但教材習題還擴展到“用最小公倍數方法解決生活中列車的發車問題”、“房屋裝修鋪地的問題”……所以教師應把例題所涉及的知識與運用范圍納入教學目標，才能使學生觸類旁通、靈活運用，進而發展能力。
其次，從教者的角度用好教材。
教師不僅要從作者、編者的角度來體會教材，更要從教者的角度來體會教材。教者角度就是教師以“主導者”的角度對教學目的、重點、難點、特點、疑點等加以綜合考慮，充分發揮教師個人的主觀能動性。
教師在研讀教材時應有整體觀念，不僅要了解本學期的全冊教學內容，還要了解前一冊和后一冊的教學內容。例如哪些內容過去放在這個年級學習，由于教材的改編，放在另一個年級了；有關某方面的內容學生已經有怎樣的知識基礎；哪些知識內容是和后面有聯系的，可以組合的……一定要全面了解，做到前后貫通，心中有數。教師的教學目標，也是學生的學習目標。因此，教師需圍繞編者的意圖，考慮學生的特點，對學生的興趣、難點和希望，要認真剖析、合理取舍：與教學目標關系密切的要巧妙運用，加以誘導、啟發；與教學關系不大的要稍加點撥；與教學毫無相關的要“棄之不惜”。
最后，從學生的角度理解教材。
一、數學教學中強化方程思想遇到的障礙分析
方程思想，是指從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型，然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲得解決。方程思想的核心體現就是建模思想與化歸思想。
1.滲透建模思想存在的障礙
（1）強勢的算術思維定勢
所謂的定勢，是指由于心理操作活動的積累而形成的解決問題的刻板和準備狀態，是人們在過去經驗的影響下，解決問題的傾向性。學生從一年級到四年級，所接觸的、學習的都是基于現實數字的操作。經過四年的數學訓練，學生已經習慣于用算術法解決問題，“通過運算得到結果”這一心理操作過程在學生頭腦中已根深蒂固。
（2）解題步驟繁雜，學生心理排斥
算術法是用算式來表示思維的過程，從形式上來看相對簡潔。而列方程解應用題有其嚴格、規范的步驟與格式，特別是要寫出一長串的文字，以說明將哪個未知數假設成已知數，學生感覺書寫上特別煩瑣，從而排斥用方程法解決問題。
（3）列方程存在方法上的缺陷
由于學生長期用算術法解決問題，而用方程法時未知數要參與列式、運算，這對于有些學生來說是一個比較難理解的過程，所以有些學生不是不喜歡“方程”，而是不會運用，只能“敬而遠之”。具體表現在以下幾方面：不會找等量關系式、不會假設合適的未知量、不會解方程。
2.滲透化歸思想存在的障礙
（1）學生方面的原因
①已有經驗的負向遷移
學生雖然從第二學段才開始學習解方程，但學生從一年級開始已積累了與方程思想有關的符號、等式的意義等經驗。筆者在教學完“等式的性質”后，請學生運用已有的經驗自主探究出解方程的方法，收集學生作品進行統計分析后發現，77.5%的學生傾向于運用已有的解方程的雛形經驗來解方程，這勢必對學生學習利用等式的性質來解方程帶來負面影響。
②學生嫌其書寫格式麻煩
為盡量避免學生運用四則運算關系解方程經驗的負向遷移，強化用等式的性質來解方程，教師往往要求學生寫出利用等式的性質的思維過程，而這種形式上的煩瑣又引起了學生心理上的反感。
（2）課程方面的原因
①解方程課時安排過少
新教材在編排上將解方程和列方程解決實際問題融合在一起，安排了10個例題的教學內容。學生既要學習列方程解決實際問題的策略，又要探索解方程的方法，這樣的安排難點過于集中，影響了學生解方程技能的形成。
②難點突出又過于集中
教材的解方程教學，只安排了形如x±b=c、ax=b、x÷a=b、ax±b=c、ax±bx=c，而忽略了a÷x=b、a-bx=c、3x+6=4x-2等類型方程解法的教學，而在具體的問題解決中列出這樣的方程是無法避免的。
二、小學高年級數學教學中強化方程思想的策略
1.在列方程教學中強化建模思想
（1）體會優勢，讓列方程成為學生的應然選擇
①方法對比，在過程中感受方程建模思想的價值
學生從開始學習到列方程解決稍復雜的實際問題，會面臨復雜的問題情境，學生運用算術思維解決問題受挫，沖突引發需求，此時教師引導學生運用方程建模的思想解決問題，學生經歷了實現頓悟的過程，從而體驗到方程分析法的優勢。
②問題比較，在運用中感受方程建模思想的適用性
當學生在進行了一定的列方程解決問題的訓練之后，也不可避免由算術思維的定勢走向了方程分析法的定勢。所以教師要通過設立對比性練習，讓學生感悟到根據順向思維能直接列出算式計算出結果的問題適用于算術法，而逆向思維的、數量關系隱蔽的問題應該嘗試用列方程的方法來解決。
（2）重點突破，加強尋找等量關系的方法指導
教師要尋求合適的教學策略幫助或促進學生識別、分析問題中的數量關系，建構起問題中的等量關系，這是方程教學的關鍵。要注重從情境本身去建構等量關系，而不是只強調抽象的等量關系。
①抓關鍵句轉譯數學語言，確定等量關系
語言表達是完善思維活動過程的必要手段。方程分析法的顯著優勢是順向思考，教師給予學生說的機會與時間，學生抓住關鍵語句將題中的事理按順序說出，能進一步促使學生將生活情境轉譯成數量關系，這是學生把握等量關系的有效前提。
②數形結合有效表征問題，確定等量關系
學生對問題進行正確的表征，是有效解決問題的前提。在數學教學中要引導學生將問題中的信息用畫線段圖的方式進行表征。借助直觀形象的線段圖，學生能更容易找到等量關系，從而順利實現方程的建模。
③根據常見的數量關系，確定等量關系
有些數量關系在生活中經常接觸，學生比較熟悉。對于這樣的數量關系，可以讓學生在充分體驗的基礎上再進行抽象。在解決問題的應用中，教師要關注鞏固常見的數量關系，這對幫助學生尋找等量關系有著至關重要的作用。
④把握不變量，確定等量關系
面對復雜的問題情境，學生往往會感到束手無策，不知如何確定等量關系式。筆者在教學中常利用“不變量”的思維，讓學生通過“不變量”找出等量關系列出方程，這樣就大大降低了教學的難度。
2.在解方程教學中強化化歸思想
（1）運用操作原型，專項突破體會抵消思想。
學生在理解了等式的性質之后，教師引導學生利用等式的性質來解方程，發現學生在接受上有很大困難。仔細研究教材，再次發現學生缺乏消元的相關經驗，特別是面對形式化的方程時，不知該如何消元，為何要消元。
[案例1]教學x+10=15
師：你能運用自己的方法求出x的值嗎？
（大多數學生運用四則運算的關系來求解，學生交流后，教師進一步引導。）
師：你能運用我們今天學習的等式的性質來解方程嗎？
（只有少數幾個同學舉手）
師：有點困難，看老師為你提供的材料，能給你帶來啟發嗎？
生1：我們可以將左邊拿去10g，要使天平保持平衡右邊也要拿去10g。
生2：我們將等式的左右兩邊都減10就可以了。
師：等式兩邊為什么要同時減去10呢？
生：這樣就可以把x+10變成x，我們就可以求出答案了。
操作原型是跨越算理與算法之間的橋梁。教師注重拉長相關教學細節，以使學生操作本身所蘊藏的抵消思想得以逐步顯性化。學生在操作的過程中，豐富了體驗，順利實現抵消經驗的自然積淀。在此基礎上，教師要加強抵消思想的專項訓練，例如：x-15=60，x-15+15=60，以實現算法的自動化。
（2）延續利用畫圖，以用促算體會化歸思想
新教材將方程教學與列方程解決問題融合在一起，在解決復雜問題時，很多教師都能引導學生畫圖來表征問題以實現方程的建模，但畫圖的價值也僅限于列方程。在實際教學中，筆者將實際問題的解決與解方程結合到一起，“以用促算”收到了良好的效果。
這樣的微調更為直觀形象，方程的運用本身促進了算法的內化，化歸思想也能更容易為學生所理解。
（3）題型延伸類比，整體建構提升化歸思想
慈溪陽光實驗學校505班 孫璐瑤
“世上只有媽媽好，有媽的孩子像個寶……”這首兒歌讓我們真切的感受到了媽媽對我們的愛是多么偉大。雖然愛體現在幾件平凡的小事中……
昨天晚上我睡著后，不知過了多少時間，我又迷迷糊糊地醒來了。忽然，我仿佛看到了一個人影走進了我的房間。由于我不知道這到底是不是做夢，而且又很困，所以又馬上睡著了。
今天早上，媽媽跟我說：“璐瑤，昨天晚上你睡著時，把被子踢到了地上。幸好我去你房間看過幾次，要不然你的感冒又要加重了！”
“什么？”我問道，“怪不得昨天三更半夜我感到有人影進我房間，我還以為是夢。原來是媽媽來給我蓋被子呀！謝謝媽媽！”
“媽媽，那么晚了你還來我房間幫我蓋被子，你不困嗎？而且天那么黑，你不怕有鬼？”沒等媽媽說話，我又搶著說。
“傻孩子，要是你沒睡好，我怎么能睡得安穩？”媽媽笑道。
還有幾次，我學奧數那里的家庭作業中，出現了幾道難題。我不會做，去問媽媽。媽媽先用解方程的方法教我，見我聽不懂，媽媽再找到另外的方法解釋給我聽。直到我聽懂后，媽媽才肯放心的走開。
媽媽的愛，是需要你去發現的。說不定在幾件平凡小事中，卻能體現出媽媽對我們的大愛。
五年級:孫璐瑤
[教學內容]
人教版五年級上冊73頁
[教學目標]
1.使學生初步理解和掌握列方程解決一些簡單的實際問題的步驟，掌握簡易方程的解法，提高解簡易方程的能力。
2.讓學生自主探究，分析數量之間的等量關系，并正確地列出方程解決實際問題，培養學生的主體意識、創新意識以及分析、觀察和表達能力。
3.使學生感受數學與現實生活的密切聯系，體會數學在生活中的應用價值和學習數學的樂趣。
[教學重點]
正確設未知數，找出題目中的等量關系，會列方程，并會解方程
[教學難點]
根據題意分析數量間的等量關系
[教學方法]
創設情境、自主探索、合作交流
[教學過程]
一、鋪墊引入
1.解方程
x+8=16 43Ha x=38
2.說出下列題中的等量關系
（1）我們班男生比女生多8人。（2）實際用煤比計劃節約5噸。（3）實際水位超過警戒水位0.64m。
3.引入新知
師：同學們平時經常鍛煉身體嗎？你們平時都喜歡做哪些運動呢？
生：跑步、打羽毛球……
師：看來同學們喜歡的運動還真不少！
出示教材第73頁例1主題圖，分析圖中獲得的信息，看圖分析。
生：小明的成績為4.2lm，超過了學校原紀錄0.06m。
師：根據剛才的信息，你能提出一個數學問題嗎？
生：學校的原跳遠紀錄是多少？
師：原跳遠紀錄不知道我們能否用未知數表示？你能用一種新的方法來計算嗎？
這節課我們就來一起學習如何用方程解決實際問題。
（板書課題：實際問題與方程）
二、探究建模
1.合作探究，解決問題
個人獨立思考列式，小組內交流自己的想法。
2.交流匯報，達成共識
師：怎么列式呢？哪個小組來匯報下你們的想法？
生：4.21Ha0.06=4.15（m），所以學校原跳遠紀錄是4.15m。
師：同學們還有其他方法嗎？你能找出題里的數量關系嗎？
生：也可以用方程來求解。由于原紀錄是未知數，可以把它設為xm，再根據題意列出方程。
師：你能寫出具體解題過程嗎？
生：解：設學校原跳遠紀錄是xm，
原紀錄+超出部分=小明的成績
x+0.06=4.21
x+0.06Ha0.06=4.21Ha0.06
x=4.15
所以學校原跳遠紀錄是4.15m。
答：學校的原跳遠紀錄是4.15m。
師：很好！但是這位同學忘了檢驗計算結果是否正確。有同學能說說該如何檢驗嗎？
生：把x=4.15代入方程，得
方程的左邊=x+0.06
=4.15+0.06
=4.21
=方程的右邊，
所以求解結果正確。
3.歸納小結，提升認識
師：同一個問題，我們用了幾種不同的方法解決？都合理嗎？
（可以用算術的方法，也可以列方程解答。）
用方程的思路解決問題，你認為關鍵是什么？
生：尋找分析題目里的數量關系，找到等量關系，根據等量關系列出方程。
三、練習鞏固
1.完成教材第73頁“做一做”的第（1）小題和第（2）小題。
你從題中能知道哪些信息？有哪些等量關系？說出所給條件的單位不統一，要化成統一的單位。
2.小組討論怎樣找到相等的關系，指名匯報并板書。
四、回顧小結
師：這節課學習了什么？用方程解決問題應注意哪些問題？（列方程解應用題，關鍵是要找出題目中的等量關系，根據等量關系式假設未知數為x，然后再列方程解應用題。）
[板書設計]
實際問題與方程
解：設學校原跳遠紀錄是xm。
原紀錄+超出部分=小明的成績
x+0.06=4.21
x+0.06Ha0.06=4.21Ha0.06
x =4.15
把x =4.15代入方程，得
方程的左邊 =x+0.06
=4.15+0.06
=4.21
=方程右邊，
關鍵詞：教學反思；利用；借鑒 教學反思的重要性是眾所周知的，幾乎所有的教育專家都強調課后反思對教師專業成長的重要性。然而，卻很少有人會想到去利用這些寶貴的教學反思。“前事不忘，后事之師”，自己或他人教學反思中所提及的教學問題一般都是教學上的難點，是普遍存在的教學問題，是需要我們教師去仔細琢磨、研究的問題。而教學反思中出現的亮點部分或許就是解決教學難點的一種方法或嘗試。平時多多琢磨自己或他人的教學反思，不但有助于教師教學水平的提高，避免一些不必要的失誤，而且能夠有效地提高教學成效。
一、“磨”教學反思——有效發現認知盲點，對癥下藥
一些缺乏經驗的教師，盡管課前做了精心準備，教學中還是會遇到許多實際問題。不同教師在同一課時教學中出現的問題往往雷同，如果事先借鑒了教學反思，就可以及時對癥下藥，有效避免同類問題的出現，從而提高學生學習效率，提升他們的學習自信心。
例如：教學“小數乘整數”（人教版五年級上冊第1頁）這一課時，本校的一位教師依照優秀教案，先教學例1，出示教材主題圖（買風箏），詢問學生從中了解到什么信息，再提問：“買3個風箏多少錢？”引導學生列式后，先讓學生嘗試計算，再交流不同的算法，最后重點引導學生用豎式計算。在教學例2時，出示“0.72×5”，重點討論小數乘整數的計算方法，最后是練習“做一做”。布置課后作業（以下是“作業本”中部分有代表性的題目）：
1.28×4 18.3×15 7.25×4 4.66×150
一堂課下來，教師自我感覺良好，但學生課后作業卻錯誤百出，問題何在？原因是教材中出示的兩個例題，第二個因數都是一位數，而在課后練習中，學生需要獨自面對的幾個認知盲點，教學設計中并未給予解答（如下表）。
本人在備課時，由于事先參考了“人教論壇版主王飛云的‘人教版新課標教材五年級上冊教案（且行且思）’中關于‘第1課時小數乘以整數’的教后小記”，在課堂教學時，有針對性地選擇題目進行練習，及時掃清學習盲點，課后作業表明學生掌握得十分理想。
二、“磨”教學反思——合理安排課時，分散難點
新教材沒有固定的課時安排，教師可以根據本班實際靈活安排。把握本班實際和課時難度是合理安排課時的前提，教師也可根據平行班中水平相似班級的教學情況來確定本班教學課時數。
例如：在教學“稍復雜的方程（一）”（人教版新課標教材五年級上冊第65頁例1）時，我事前認為先依據“比黑色皮的2倍少4塊”列出相等關系“黑色皮的塊數×2－4=白色皮的塊數”，寫出方程“2x－4=20”，學習方程的解法是可以用一課時來完成的。但實際教學后發現這一課時過于匆忙，教學效果并不理想。原因是初次接觸稍復雜的方程解法，中下水平的學生一時難以掌握，而且練習中還出現了諸如“4x－3×9=29”之類的變式練習，再加上檢驗，許多學生難以掌握；同時，學生仍習慣于用算術思維解題，以至于獨立練習時出現“x÷2+4=20，x÷2－4=20或x－4÷2=20”之類的錯誤。同級段的施老師聽說了我的教學情況后，結合本班實際，將這一部分內容分為兩課時，第一課時專門用來學習解方程，將此類方程的解法學扎實；第二課時專門用來學習列方程解決問題，逐步導入，有效地減輕了教學難度，并獲得了很好的效果。
三、“磨”教學反思——減少失敗的概率，提高教學成效
教學中總是存在著許多難點，善用教學反思提早做好準備，能有效地提高教學成效。
例如：第一次教學“人教版新課標教材四年級上冊第112頁數學廣角中的烙餅問題”時，我是根據自己的理解，將食物模型操作與表格統計法（如下表）相結合的。
但由于學生本身對表格的解讀能力不強，再加上表格不能體現出鍋里有沒有位置浪費這個關鍵性的問題，實際教學效果并不理想。事后我琢磨了很多教師教學本教時出現的問題以及不同的教學策略，發現一位教師的畫圖法能起到很好的教學效果，畫圖法既能將動態的過程以靜態的形式形象地顯示出來，還能讓鍋的利用情況一目了然，如下圖：
有了前車之鑒，第二次教學“烙餅問題”時，我就完全放棄了表格法，先花半節課時間讓學生充分地通過畫圖來表示自己的想法，結合圖形來發表自己獨到的見解，再在豐富感性材料的基礎上探究其中的奧秘。事實證明，這種教法有效地突出了重點、突破了難點，很適合當前學生的認知水平，從課后作業情況來看，全班除3人外都已掌握這一課時的內容，效果極佳。
四、“磨”教學反思——杜絕“師源性錯誤”的發生
“師源性錯誤”是指由于教師教學的錯誤而造成學生間接性的認知錯誤。教師由于經驗不足、一時疏忽或教材意圖不明都會造成“師源性錯誤”。
如：教學人教版新課標教材四年級上冊第115頁“數學廣角”中的“排隊等候問題”時，許多教師會產生誤會，自己等候的時間是否計算在內，如果僅按個人想法就容易背道而馳。如果事先了解過他人的教后反思或調查過教研論壇中相關的信息，就會發現很多人都猶豫過自己等候的時間是否計算在內的問題，最后都是依據教參的意思計算在內的，難怪部分教師備課時稍不留神就會誤入歧途。
一個教師，在鉆研教材、自我探索的基礎之上，如果還能多“磨磨”自己或他人教學反思中提及的教學問題或建議，所收獲的可能不僅僅是課堂教學的效率和效益，更重要的是在不斷思考、不斷借鑒的過程中伴隨著教師逐步成長的自身能力的提升。如果說寫反思是教師成長的基礎，那么“磨”教學反思就是教師成長的催化劑。讓我們行動起來，多“磨磨”教學反思，提高教學成效吧！
參考文獻：
［1］張萬祥，萬瑋.教師專業成長的途徑.華東師范大學出版社，2005-10.
［2］朱永新，袁振國.中國教師：專業素質的修煉.南京師范大學出版社，2003-12.
一、 教科書中“式與方程”的銜接特征
1. 主體內容的獨立單元式螺旋上升
小學數學中的“式與方程”主要包括用字母表示數、簡易方程和列方程解決簡單的實際問題等內容。蘇教版小學數學教科書就“式與方程”的內容，根據學生的心理特征、知識間的邏輯關系等情況，在編排方式上采用了螺旋上升式。其具體的設置情況如表1所示。
表 1 蘇教版教科書“式與方程”主體單元設置情況
蘇教版教科書在四年級下學期最后一個單元安排了用字母表示數，這是在學生經過第一學段的準備后，明確設置代數知識，要求滲透代數思想方法的獨立單元。在此單元中教材大部分內容是先通過簡單的問題情境，讓學生先理解字母可以表示數，進而逐步提升原有問題情境的復雜性，循序漸進地引導學生熟練地使用含有字母的式子表示各種基本的數量關系。其中的例題大多數采用了歸納的思想方法，通過特例、由算式表示數量等，啟發學生歸納出一般的規律，而這個一般規律需要用含有字母的式子來表示。如下例所示：
擺1個三角形用3根小棒
擺2個三角形用小棒的根數是：2×3
擺3個三角形用小棒的根數是：（ ）×3
擺4個三角形用小棒的根數是：（ ）×3
……
擺a個三角形用小棒的根數是：（ ）×（ ）
問題：你知道這里的a可以表示哪些數么？[1]
接著再學習化簡形如“ax±by”這樣含有字母的式子，這部分需要列出的含有字母的式子已經達到了以三步運算為主，且是后繼學習形如ax+by=c式方程的基礎。
到五年級下冊第一單元方程部分，教材首先結合具體情境――“用式子表示天平兩邊物體的質量關系”，引導學生了解等式和方程的關系，理解并會應用包含四則運算的簡單方程。其中有關等式的性質是貫穿整個方程學習的核心――“等式兩邊同時加上或減去同一個數，所得的結果仍然是等式”，“等式兩邊同時乘以或除以同一個不等于0的數，所得的結果仍然是等式”。這樣使先前等式性質與新知充分聯系起來。教材另外重點強調的是未知數的表達既可以是“x”，亦可以是“y”，還可以是“a”，甚至可以是任何字母，即數學不再是單純地研究量的科學，還是研究結構的科學，“變量不再表示數，而是表示一個給定域中的類[2]”（如在五年級下冊蘇教版教材第2頁到第3頁都刻意用不同的字母來表示等式中的未知量）。同時拓展了字母代數的含義，做到有機地與“式與方程”前一單元內容的銜接。
到六年級上冊的方程單元，考慮到學生已經能夠熟練地運用等式的性質來解形如x+a=b、ax=b和x÷a=b的方程，對于ax±by的化簡也已學過，教科書主要設置用形如ax+b=c、ax÷b=c和ax+bx=c的方程來解決實際問題，并引導學生自主探索有關方程的解法。三個獨立單元的學習使學生分析、抽象概括的能力得到增強，符號感得到逐步發展，與此同時，對方程解的準確性檢驗，在文化層面上還傳遞了一種自省的內涵。
2.多層面的漸進式前置滲透
表 2 “式與方程”前置性內容簡要分析
由符號“”“”“（ ）”“”這些既可表示填寫數的空位，也可用來表示數的符號這樣的孕伏階段逐漸過渡到圖形面積計算公式和一些運算定律的前置性知識，為正式學習字母表示數做好鋪墊。由25+（ ）=18+（ ）等算術或代數的結構關系式進行呈現與滲透，體現代數知識的結構特征與代數思維的關系性等。如此形成從不同層面的情境、不同層面的知識、不同層面的思維進行前置性滲透，為學生后繼“式與方程”的學習奠定基礎。
3.多元化的散點式后置拓展
小學數學的“式與方程”實際上是代數學習的一個開端與顯性知識模塊，后繼其他知識點的學習可以此為基礎進行拓展。現選取“比與比例”以及六年級上冊《解決問題的策略》中的“替換與假設策略”內容對方程知識的隱性延伸做稍微的闡述：第一，方程“等價思想”的拓展應用。具體表現為六年級上冊認識比單元《大樹多高》中測量大樹高度的實踐活動就是利用“在同一地點，同時測量不同的竹竿，高度與影長的比值是相等的”這種等價思想列出具有對應性的方程的。第二，方程“假設思想”的拓展應用。具體表現如解決問題策略單元的例2“全班42人去公園劃船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有多少只？”教材試圖啟發學生使用多種具體的假設方法解決問題，這些均屬于方程知識的實際應用，單元后面的“雞兔同籠”問題也有異曲同工之效。如此通過或顯性或隱性、不同數學知識模塊以及不同知識領域對方程知識進行散點式的拓展、滲透與鞏固，有效地強化與提升了“式與方程”與其他知識內容的銜接與融合。
二、 教科書中“式與方程”銜接的建議
1.加強“式與方程”單元編排的系統性
“式與方程”模塊在蘇教版教科書劃分為四、五、六三個年級的各一個單元來編排，雖然設置了針對性的銜接點，但時間跨度較長，由于遺忘等會造成銜接的困難，同時也會對形成系統的數學知識產生不利影響。知識系統性的不完整，對學生的靈活運用是具有破壞性的，所以可適當集中設置，如將五、六年級兩單元合并為一單元，增強方程體系的系統性。這樣安排也能更好地貫徹《數學課程標準（2011版）》中降低的解方程的要求（由之前“理解等式的性質”到現今的“依據等式的性質來解方程”），在人教版的小學數學教科書中此內容就編排在5年級上冊的一個單元里。
2.注重“式與方程”內容與學生數學活動經驗的銜接
“式與方程”三部分內容的銜接符合知識之間的邏輯關系，強調了數學的現實情境，以及數學與現實的銜接，但在設置與銜接中缺少對學生數學活動經驗的關注。《數學課程標準（2011版）》明確要求：“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平與已有的知識經驗基礎上。教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會。幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。”因此教科書在前面的引入到后繼的復習階段，可由學生依據自身已有的知識經驗自主設計問題，來讓其他同學解答，使所學內容與學生的活動經驗緊密結合。通過相互間基于數學基本活動經驗的討論與交流，提升彼此的活動經驗與解決問題的能力，促進數學學習的個性化，拓展數學的本原性知識，獲得更廣泛的數學活動經驗。
3.增加“式與方程”與相關數學史知識的銜接與提升
蘇教版教科書在“式與方程”三個模塊中，僅有兩冊書在“你知道嗎？”中提及一點數學史知識，一個是最早有意識地系統使用字母的數學家韋達，另一點是介紹我國古代數學家李治的“天元術”與朱世杰的“四元術”，對相關數學史的滲透與拓展存在不足。如對方程及代數具有重要貢獻的笛卡爾的有關觀點：“如果我們要解決一個問題，我們首先假定解已經得到了，并且給解的結構中需要的每個量命名――不論是未知量還是已知量。平等對待未知量和已知量。然后，我們必須想方設法建立量和量之間的自然關系，直到我們發現用兩種表達式表示同一個量。因為這兩個表達式表示同一個量，所以可以建立等式[2]。”這是笛卡爾在1637年出版的《幾何學》中最早提出的方程，這一特別的等式的概念未曾提及。由此可見，具有明顯文化符號特征的數學史知識需要更多地在編排中給予關注，將相關史實所蘊含的人文內涵傳遞出來，體現數學作為人類文化子系統的特征[3]。
由于小學數學教科書綜合性強，可讀性與易讀性要求高，在關注整套教科書的編排，關注“數與代數”“圖形與幾何”等大模塊設計的同時，還要進一步關注各個主題之間的有機銜接與融合，注重各主題間的優化與滲透，以充分發揮教科書的功能與價值，增進教科書的有效使用。
參考文獻
[1] 義務教育課程標準實驗教科書《數學》（四年級下冊）[M].南京：江蘇教育出版社，2012：106.
