時間：2023-05-29 18:24:28
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇平面圖形的周長和面積，希望這些內容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
關鍵詞：數(shù)學概念；本質；意義
“面積和面積單位”是青島版三年級下冊數(shù)學第五單元“我家買新房子了――長方形和正方形的面積”第一課時的教學內容。教材通過“餐廳和廚房哪個大呢？”引出面積的意義。通過“為什么結果不一樣呢”這一問題，讓學生體會統(tǒng)一單位的必要性，并向學生介紹常用的面積單位。
但在整個單元學完后，當把周長和面積混合在一起來解決實際問題時，學生卻區(qū)分不開到底要求的是周長還是面積，并且不能正確使用長度單位和面積單位。產生這些問題的根源到底在哪兒呢？筆者認為主要是學生沒能建立起正確的“周長”和“面積”概念，區(qū)分不開“周長”和“面積”的概念本質。為了幫助學生正確區(qū)分周長和面積，并能正確使用長度單位和面積單位，我們必須讓學生明確周長和面積的概念本質。現(xiàn)就“面積和面積單位”的教學思考及改進說明如下。
一、對教材的思考
教材通過“餐廳和廚房哪個大呢？”讓學生思考：比餐廳和廚房的大小，比的是什么，怎樣比才能知道哪個大？體會實際地面的大小不便于直接比較，可以借助平面圖比較。在比較的過程中，學生可能想到把兩個平面圖重疊起來進行比較，得不到答案，再將不重疊的部分剪接后比較；用圓片擺一擺；用正方形擺一擺等方法進行比較。在學生經歷了大量的探索后，教師向學生說明，廚房、餐廳地面的大小就是它們的面積，引出面積的意義。
《面積和面積單位》是一個傳統(tǒng)的教學內容，很多教學設計也大都從比較兩個圖形的大小來引出面積和面積單位。但這樣設計是否合理呢？我們深入思考一下，在比較時，我們的目標指向的是什么？我們的目標指向的是誰大誰小，學生當然思考的是怎樣才能比較出誰大誰小，所以他們往往就陷入方法的糾纏。（切、貼、補……）其實，比較大小是個外在的行為，而不是平面圖形本身的屬性。面積是一種量，量都是對事物具體屬性的描述，所以面積應是平面圖形本身的一種屬性。我們的教學設計應直接指向平面圖形的這種屬性。筆者想能否直接從描述圖形的大小來引出面積和面積單位。
再者，教材通過“為什么結果不一樣呢？”這一問題，引導學生發(fā)現(xiàn)由于選擇的測量單位不同，得到的結果也不相同。進而體會到統(tǒng)一單位的必要性，并向學生介紹常用的面積單位。
在學習計量單位前，通常都有這樣一個導入環(huán)節(jié)，講述學習計量單位的意義和必要性。不論在二年級還是在四年級，老師都要不斷重復計量單位的意義和必要性。在小學數(shù)學中，計量單位的學習內容是十分豐富的，有長度單位、質量單位、時間單位、面積單位、體積單位等等，基本貫穿了小學數(shù)學學習的始終。是不是每一類計量單位的學習都要設計這樣一個環(huán)節(jié)，重復這個過程呢？
該知識是在學生已經掌握了長度和長度單位，長、正方形的特征及其周長計算的基礎上進行的。是學生學習幾何初步知識的一次飛躍。作為教師我們要深刻鉆研教材，讓數(shù)學知識整體化、結構化。我們可以考慮將長度、面積、體積的概念學習結合起來，通過有目的的活動，讓學生感受到：學習長度應該要測量，應該有單位，學習面積也一樣，也要測量，也應該有測量單位。長度、面積、體積的知識本身及其教學，都存在著一種可類比的結構，面積和體積的學習基礎就是長度。
教學中，我們可以以學生已有的長度單位作為新的面積單位學習的起點，強調兩者之間的聯(lián)系和區(qū)別，既有利于面積單位空間概念的主動建構，又加強了面積單位與長度單位的對比，以避免對于面積單位和長度單位產生的混淆，并且有助于數(shù)學知識結構網的形成。
二、對教學方法的改進
1.引入的修改
（1）復習周長和長度單位。課件出示小明家新房的平面圖。說明：這是小明家剛買的新房。他們準備對廚房的四周裝上石膏線（課件顯示裝修的位置），如果想要知道需要多長的石膏線？接下來你會做哪些事情？告訴你廚房的長是3米，寬是2米，你能算出來嗎？這里的10米是什么意思？你能比劃一下10米有多長？因此我們要給周長加上一個長度單位。
（2）引出面積。他們還要給廚房的地面鋪上地板磚。你能指出要鋪的區(qū)域嗎？那這部分區(qū)域指的是什么呢？揭題。
2.面積意義的教學改進
“面積的認識”設計如下：（1）物體表面的大小就是它們的面積。a.我們一起來摸一摸數(shù)學書的封面。你摸到的數(shù)學書的面積在哪里？說給同學聽一聽。課桌呢？b.數(shù)學書的封面和課桌的面的面積哪個大？（2）理解平面圖形的面積。a.剛才大家指出了廚房的面積了，你還能指出哪些房間的面積？平面圖形的面積又是指什么？b.出示圖形。你覺得這個圖形的面積在哪里？（課件出示圖形的顏色把整個屏幕都涂滿了）這是怎么回事呢？c.只有封閉圖形才有大小，我們把封閉圖形的大小稱為它們的面積。
3.面積單位的教學改進
學習長度要測量，要有長度單位，請你回憶一下，我們學過的常用的長度單位有哪些？請你用手勢比劃一下。學習面積也一樣，也要測量，也應該有面積單位。你認為用什么做單位來測量比較好呢？（教師提供一角硬幣、小長方形、小正方形若干）為什么？長度單位有厘米、分米、米等，你認為面積單位應該有哪些？然后向學生介紹常用的面積單位。
劉加霞說：“把握數(shù)學的本質是一切教學法的根。”在概念教學中，有些教師往往對概念當中的名詞、術語等在形式上和細微處理上孜孜以求，出現(xiàn)了形式和繁瑣的傾向，沖淡了實質，脫離了學生的認知實際。我們應從事物的整體、本質和內在聯(lián)系出發(fā)，對概念進行全面分析，突出其本質屬性，才能使學生正確理解概念。
參考文獻：
關鍵詞：教育管理；小學數(shù)學；概念圖；構建
近二十年以來，把學生作為知識灌輸對象的行為主義學習理論，已經讓位于把學生看作是信息加工主體的認知學習理論。建構主義理論正是這種轉變中的主要理論研究成果。隨著多媒體計算機和Internet網絡教育應用的飛速發(fā)展，建構主義學習理論正愈來愈顯示出其強大的生命力，并在世界范圍內日益擴大其影響。
建構主義提倡在教師指導下的、以學習者為中心的學習，也就是說，既強調學習者的認知主體作用，又不忽視教師的指導作用。教師是意義建構的幫助者、促進者，而不是知識的傳授者與灌輸者。學生是信息加工的主體、是意義的主動建構者，而不是外部刺激的被動接受者和被灌輸?shù)膶ο蟆?/p>
如何在小學數(shù)學課堂中促進學生的主動、有效的建構呢？概念圖就是一個可以選擇的工具。下面是筆者借助概念圖，在數(shù)學復習課中引領學生建構知識的教學實踐。
一、借助概念圖，幫助學生建立知識的結構
學生學習數(shù)學的過程是數(shù)學認知結構形成的過程。在這個過程中，通過概念圖工具的應用，使學生在教師的指導下，把教材知識結構轉化成自己的數(shù)學認知結構，新知識和原有知識之間的聯(lián)系，從而不斷完善和修正自己的知識結構，獲得數(shù)學知識的提升。
例如，學習了課程標準（蘇教版）實驗教材六年級下冊《平面圖形的復習》后，教師引導學生將所學的四邊形歸一歸類，并表示出各類四邊形之間的關系。學生按照自己對所學內容的理解，結合著自己的記憶、思維和聯(lián)想，繪制出了概念圖（見圖1）。
概念圖幫助學生明確所學知識與前后知識之間的內在聯(lián)系，理清概念間的邏輯結構，讓學生在頭腦里形成不斷系統(tǒng)化的數(shù)學認知結構。
二、借助概念圖，引導學生經歷知識的形成過程
建構主義認為，知識不是通過教師傳授得到，而是學習者在一定的情境即社會文化背景下，借助其他人（包括教師和學習伙伴）的幫助，利用必要的學習資料，通過意義建構的方式而獲得。因此，只有發(fā)揮主觀能動性，根據(jù)已有的知識、經驗親身經歷、體驗，探究知識的形成過程才是最有效的學習。教師借助概念圖，有效引導學生經歷知識的形成過程，讓學生發(fā)揮自主精神，加深對知識的理解及記憶，提高學習效率。
如在教學《平面圖形的周長和面積復習》一課時，由于這部分內容涉及的概念很多，如周長、面積以及六種平面圖形的周長和面積計算公式等。如果教師講解，那么只能使學生回顧零碎的知識點，而不能明確知識之間的內在聯(lián)系。教師通過引導學生討論復習內容，明確復習的任務：平面圖形的周長和面積，然后老師以一思維含金量頗高的問題組織討論：“在小學階段，我們首先學習的是長方形的周長和面積面積計算，這是為什么呢？”這一問題促使學生主動思考，自主地把各個平面圖形的面積計算與長方形聯(lián)系起來，讓學生明確：我們學過的平面圖形是以長方形的面積公式為基礎推導出來的。學生在復習組織形成概念圖（見圖2）的過程中，不僅復習了相關知識，還經歷了知識的形成過程。
三、借助概念圖，幫助學生明確數(shù)學的思想方法
日本著名數(shù)學教育家米山國藏指出：“作為知識的數(shù)學出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學的精神，數(shù)學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益。”因此，學習方法比知識本身更為重要。
數(shù)學中很多知識表面看起來毫不相干，其實他們之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，把他們聯(lián)系在一起的就是“數(shù)學思想與方法”。融入了概念圖的教學讓學生從零碎、片斷的機械式學習提升為注重關系、脈絡并充滿主動探究活力的有意義學習。
例如，在教學蘇教版國標本六年級下冊《立體圖形的體積復習》一課時，從表面看，長方體、正方體和圓柱體的體積計算方法各不相同。教師在和學生一起復習了這幾種立體圖形的體積計算方法后，引導學生思考：這幾個立體圖形的體積計算方法各不相同，你能不能把這幾種計算方法統(tǒng)一成同一個計算公式？這樣，在復習的過程中，學生將它們的計算方法統(tǒng)一成：體積=底面積×高，并體會到:立體圖形的體積計算方法和平面圖形的周長、面積計算方法的推到過程是一樣的，都是運用轉化的數(shù)學思想方法，將新知識變成原有知識，教師順勢指出：這是一種有效的學習方法（見圖3）。
再例如，學習蘇教版國標本六年級下冊《解決問題的策略》單元后，考慮到學生獨立整理有困難，教師和學生共同用概念圖來歸納“轉化”的策略在小學階段的運用，整理出了下面的概念圖（見圖4）。在該教學中，學生更深刻地感受到了數(shù)學思想方法的強大，增強了自覺運用數(shù)學思想方法的意識，取得了良好的教學效果。
總之，概念圖可以幫助學生自己來提煉概念、建立概念間的聯(lián)系，理清新舊知識間的關系，并體會蘊含在其中的數(shù)學思想方法，是教師教、學生學的有效輔助手段之一。
【參考文獻】
從學生角度出發(fā)，特別是一些后進生，今天學了明天忘，學習的反反復復對他們來說是家常便飯. 一些已經學習過的知識，由于時間或其他原因，早“還”給老師了. 等教師在課堂中講得如火如荼之時，這些后進生卻是不知所措，這樣的復習效果可想而知.
結合上面分析，筆者認為總復習課堂效率問題是重難點問題，其中提升學生的復習熱度和積極性，提高復習課堂的高效性最為關鍵. 一堂課40分鐘是有限的，應充分考慮如何充分利用40分鐘時間，不斷從課堂形式、復習內容等多維度設計復習活動，確保所有學生高效參與到復習活動中，從而提升總復習課堂的效率.
一、結合復習要點，自主整理知識
在整理與復習活動中，筆者有這樣的感受：學生通常用“條目式”形式來整理一些重要知識要點，一些后進生甚至以白紙上交. 這些現(xiàn)象使筆者產生思考，學生在學習知識后，他們習得的知識更多的是理解和掌握層面，而對于知識間關系層面的是整理與復習中的“盲點”，也是總復習活動的“重點”. 如何解決這個“盲點”和“重點”間的矛盾呢？簡單地讓學生自己去整理知識，這個方法效果不理想，這樣下去只會惡性循環(huán). 如果給學生一個相關復習要點，讓學生按照這個復習要點去整理，學生理解的知識是否能更豐富、多樣和深刻呢？
在復習“平面圖形的周長和面積”時，筆者首先給學生提供了復習要點：
（1）什么是平面圖形的周長？
（2）各平面圖形周長的計算方法？
（3）什么是平面圖形的面積？
（4）各平面圖形面積的計算方法？
（5）各平面圖形面積的推導過程？
通過給學生提供條理清晰、重難點明確的復習要點，學生在整理時能讀懂教師設計復習要點的意圖. 在閱讀同學整理的知識中，筆者欣喜地發(fā)現(xiàn)學生整理的平面圖形周長和面積相關知識豐富了不少，更可喜的是學生整理知識的方法、方式多了，不光有條目式，有同學還采用畫圖式，也有同學采用表格式……這些不正是我們在整理復習過程中，所要培養(yǎng)學生的整理知識的能力嗎？未上整理復習課，學生已經在學習運用歸納梳理、整理復習的方法，這正是反映了以學生為主體地位，讓學生自主進行整理和歸納知識.
二、參與小組活動，自主梳理知識
在以往的總復習課中，教師通常會把自己整理的知識網絡呈現(xiàn)給學生，以幫助學生清晰認識理解各知識間的聯(lián)系. 在這樣形式下的復習，學生顯得較為被動，牢牢受牽于教師的“知識網絡”.
新課程倡導以學生為主體的學習方式，筆者認為在總復習過程中，更要體現(xiàn)這一理念，充分發(fā)揮學生在總復習活動中的地位，特別是在復習活動最難的“梳理關系”環(huán)節(jié)，更要讓學生參與和梳理知識間的結構和網絡. 有些教師擔心學生梳理的知識網絡不夠完整，或浪費寶貴的復習時間. 筆者認為這樣的梳理知識活動是非常必要的，原因有多方面：其一，學生在梳理知識結構時，也是復習和鞏固知識的時機，并且這時復習鞏固的效果較好，相比被動接受教師的知識網絡有一定優(yōu)勢；其二，在梳理知識過程中，學生對知識間的聯(lián)系進一步明確，即便是不完整或錯的，這些也是復習過程中的寶貴資源；其三，最為重要的是學生歸納和梳理知識的能力得到發(fā)展，這是一種非常重要的學習方法，多給些復習時間，是一種真正數(shù)學思維的訓練和發(fā)展.
知識梳理一直是總復習課的重難點問題，教師該如何讓學生進行自主地梳理呢？在復習“平面圖形的周長和面積”時，筆者采用了小組合作的形式開展，復習過程中采用了兩次不同層次的小組合作交流.
第一次活動：各平面圖形的面積公式推導過程
小組活動，交流平面圖形面積的推導過程.
展示小組活動要求：每名同學選擇1~2個平面圖形，向組內同學交流平面圖形面積的推導過程.
第二次活動：可利用信封里的學具動手進行折一折、擺一擺等，來幫助理解推導過程.
（1）小組活動要求：
根據(jù)各平面圖形面積推導過程的聯(lián)系，想一想各平面圖形間的關系. 小組合作動手擺一擺，在桌上展示各平面圖形間的這種關系. 將平面圖形面積間的關系畫在作業(yè)紙上，進行全班交流.
（2）師生交流，逐步形成平面圖形間的關系圖.
在兩次小組活動過程中，學生參與的熱情和積極性明顯提升，學生言語表達、動手操作等各方面能力得到鍛煉，最為可貴的是在同學相互合作下，大家形成了較為完整的知識結構和網絡.
筆者認為在小組活動中要注意幾點：第一，復習過程中的難點問題，可以采用小組活動形式，引導學生通過集體力量來解決，同時可以實現(xiàn)相互學習、長短互補的效果；第二，明確活動步驟和目標，甚至可以設計每名同學所要完成的小組活動目標，讓學生真正參與到小組合作活動中.
三、預設多層練習，自主強化技能
“題海”戰(zhàn)術容易成為總復習課堂的主角，而這種形式可能對學生鞏固知識有一定幫助，但機械重復的練習對學生學習積極性以及思維的拓展會產生負面影響. 如何激發(fā)學生練習的積極性，而不是簡單重復地參與“題海”戰(zhàn)術，如何設計多層練習，引導學生自主強化技能，這些直接影響總復習課堂的效率.
筆者在鞏固“圓的復習”時，設計了以下多層練習，來幫助學生更深入理解圓的知識.
1．長方形紙上最多能畫幾個直徑6 cm的圓？（如圖1）
（1）估一估最多能畫幾個.
（2）請你算一算.
（3）全班匯報.
長：21 ÷ 6 ＝ 3（個）……3（cm）
寬：12 ÷ 6 ＝ 2（個），
3 × 2 ＝ 6（個）.
（4）課件展示如圖2.
2． 長方形紙上畫一個最大的圓，能畫多大？
（1）為什么是直徑12 cm的圓？
（2）全班討論.
（3）課件展示.
3． 長方形中的大圓和小圓有什么關系？你會從哪幾個角度去想？（如圖3）
（1）學生思考計算.
（2）全班交流.
C大（2倍）C小 S大（2倍）S小
C大（2倍）C小 S大（4倍）S小
教師借助于長方形和圓的簡單素材，設計了三個層面不同的練習，將圓的相關知識融于一體，同時激發(fā)了學生的興趣，學生參與練習的積極性較高，能自主鞏固圓的相關知識. 教師要善于設計練習，充分利用素材，一題多解，一題多用. 在練習過程中，引導學生進行自主分析比較，歸納應用，經歷把實際問題抽象成數(shù)學模型，從而提升復習課堂的效率.
四、探究思維特征，自主體會方法
總復習課不光是知識的整理，更是方法的學習和歸納. 教師一味地講授我們學了什么方法，用了什么方法，真正運用到平時學習中的知識并不多，這樣的教學更像是過場式. 怎樣來幫助學生更深刻體會學習方法，來體現(xiàn)總復習課的重要價值呢？
在復習“平面圖形的周長和面積”時，筆者進行了多次引導，讓學生充分體現(xiàn)在思維過程中的共同特征，幫助學生自主體會和感受在思維過程中的重要方法.
探究一：轉化思想
這些關系圖有什么共同特征？ 新圖形面積轉化為舊圖形面積.
師生討論，發(fā)現(xiàn)總結：在轉化之前要先尋找聯(lián)系，再根據(jù)相互的聯(lián)系，將新知識轉化為舊知識，進而推導出解決新知識的方法.
探究二：整理知識的方法
師：課上到這里，我們一起來回顧一下，剛才我們是怎么整理和復習的？
同學們剛才用了很多整理知識的方法：條目式、表格式、網絡圖式等，這些是非常好的整理知識方法.
師：這些方法有什么好處？
清晰地呈現(xiàn)知識及關系.
探究三：
【關鍵詞】創(chuàng)設情境 測量 教學效果
【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）02-0146-01
“測量”一直是小學幾何課程的重要內容，它不僅僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，并且能夠幫助學生更好地把握圖形的特征，同時，測量的過程也提供了一個學習和應用其他數(shù)學知識（包括數(shù)與運算、圖形、統(tǒng)計等）的機會。因此，測量的教學長期得到廣大教師的重視。特別是隨著新課程的實施，教師們對這部分教學又有了新的理解，開始重視建立測量單位的必要性，注重單位的實際意義，重視估測及其在現(xiàn)實生活中的作用，同時鼓勵學生在測量過程中，根據(jù)實際問題選擇合適的測量方法和工具。而對創(chuàng)設具體情境，可以加強學生對所沒量的量的實際意義進行深刻理解。
教學中應重視結合具體的情境，使學生對所要測量的量（如長度、周長、面積、體積）的實際意義加以體會。為了說明這一點，不妨來看一個實際的課堂教學片段：學生對面積的“困惑”。
學生已經學習了面積的意義和長、正方形面積的計算方法，本節(jié)課是探索平行四邊形的面積。教學伊始，教師提供了一個長是10、寬是6的長方形，學生通過以前的知識馬上得到長方形的面積為60。然后教師提供給學生一系列的平行四邊形，它們相鄰的兩條邊的長度還是10和6，只是兩條鄰邊的夾角越來越小，也就是平行四邊形越來越“歪”了。
教師鼓勵學生得到這些平行四邊形的面積，開始時學生絕大部分認為面積還是60。接著，教師鼓勵學生仔細觀察這些平行四邊表，有的學生開始覺得這些平行四邊形的面積不相等。但是還是有很多的孩子認為面積就應該是60。并且提出自己的理由，如有一個孩子提道：這些平行四邊形都可以看成長方形逐漸拉動而成的，在整個拉動的過程中面積應該不變。
針對這個想法，老師試圖通過課件演示，使學生“強烈”感受到：在拉動過程中，平行四邊形的“大小”變化很大了。如圖，教師覺得這下肯定很有說服力了。但還有一些學生站起來說：“確實我發(fā)出它們的大小不一樣，但是它們的面積應該是一樣的。”有意思的是，這些學生中絕大部分在教師開始復習什么是面積時，他們都能正確地描述了面積是“物體的表面或者封閉圖形的大小”。
有的老師可能會說，這是不是一個“偶然”現(xiàn)象呢？前些年，教育部成立了“建立國家中小學生學業(yè)質量分析與指導系統(tǒng)”項目組。其中小學數(shù)學組開始了小學生數(shù)學學業(yè)質量評價體系的研究和構建，并且在此基礎上對三年級學生的數(shù)學學業(yè)質量進行了大樣本的測試。下題是這次測試中的一道題目：
小明用同樣長的兩根鐵絲圍成了A、B兩個圖形，比較它們的面積，那么（ ）。
A.甲比乙大 B.乙比甲大
C.一樣大 D.無法比較
題目中兩個圖形的面積差異是明顯的，但在所做的全國常模抽樣測試中隨機抽取了1700份樣本，有38%的學生選擇了“一樣大”的選項，
學生將面積與周長混淆了。
以上片段和題目反映了學生對于周長、面積理解的困難，盡管他們能用自己的語言描述出什么是周長和面積，但遇到具體情況，往往更加“依賴”于計算公式，自然地把10和6相乘，或者受到“同樣長”等的干擾。因此，教學中，教師應設計豐富多彩的活動，使學生對周長、面積、體積等所測量的量有比較豐富的體驗，而不是很快進入到公式的學習。比如，教師在教學周長、面積的時候，設計了描一描圖形的邊線、摸摸圖形的面的活動，這些都是非常好的嘗試。
教學復習的目的，就是為了讓學生更好的掌握所學知識，以便能夠舉一反三，達到融會貫通的效果。在此階段，需要教師針對教學復習能起到一個很好的指引作用。所以在復習課上，教師要根據(jù)這一階段的復習內容進行合理的規(guī)劃，并針對復習內容創(chuàng)設新的學習環(huán)境，讓學生感覺在學習新知識。例如，在復習學習平面幾何圖形的周長與面積時，可以利用相似圖形如象棋圖引導學生對平面圖形的計算，并通過他們共有的特點進行周長面積的計算。在復習計算時，要針對這類型題型進行總結，可以通過發(fā)問的形式，讓學生們增強學習計算的興趣，各抒己見。這樣學生在復習的過程中，不僅僅加深了對此類題型的鞏固，更加開動了學生們學習的熱情，并結合實際生活中存在的問題進行相關問題的計算與解答。這種情景創(chuàng)設的方法極大地推動了學生們自我學習的熱情，激發(fā)了他們開動腦筋的求知欲望，讓學生們更加清楚地了解到復習的重要性。
二、開展有效教學活動，讓學生自主整理知識體系
1.設計復習提綱，引導構建知識網絡。文章主要以計算“平面圖形面積”為例，通過不同圖形進行討論分析，長方形、圓形、梯形和平行四邊形，將其分成四個小組，然后讓學生們自由發(fā)揮，彼此之間進行對比，也可以結合實際，來計算四種圖形的面積以及他們之間所存在的共同點以及不同點。在此基礎上，將每個不同圖形的計算方式逐一進行演示，讓學生們相互學習。這樣學生在講解的過程中，不僅僅加深了對面積計算的推理依據(jù)，更加可以構建良好的學習氛圍，將知識進行合理的構建，找出它們之間存在的某種聯(lián)系。
老師可以通過詢問的方式，讓每個學生準確的梳理不同圖形的面積推理方式，學生在回答的過程中，就是一個自我學習和認知的過程。這樣不僅僅避免了反復學習的枯燥性，更加可以強化學生自我開動腦筋去解決一些實際其他所存在的問題。
教師通過舉例說明，可以引導學生有一個很好的思維方式，將彼此之間存在的內在聯(lián)系有機的整合在一起，學生在學習的過程中，極大地構建了自我學習創(chuàng)新的能力，有效的復習不僅僅可以增加學生的學習能力，鞏固他們對這類知識的學習，更加可以鍛煉他們自我學習的認知能力，培養(yǎng)他們良好的學習能力。
2.設計操作活動，引導發(fā)現(xiàn)規(guī)律，溫故而知新。在進行鞏固復習時，為了增強學生的學習興趣，滿足獲得學習新知識的欲望，所以在進行體積面積計算的同時，可以采用生活上的一些常識實驗，進行測量。這樣不僅僅可以增強學生們的學習興趣，更加可以針對實驗來對計算進行合理的推斷與解釋。在進行體積計算時，可以通過做馬鈴薯測試實驗進行計算，合理的分析出對長方形、正方形、圓形等不同體積的計算，通過底乘高進行合理的計算。通過這種實驗計算，不僅僅讓學生們親自感受到了實驗的興趣，還讓學生們對體積計算進行了深刻的理解與掌握。通過設計實際操作，不僅僅可以引發(fā)學生們觸類旁通的學習能力，而且在原有的基礎上，對舊的知識進行了鞏固，加強，概括，這種溫故而知新的學習效果，可以更加體現(xiàn)出復習的目的和效果。
三、精心設 計復習題，讓學生自主解決問題
復習的過程，就是為了讓學生更好的鞏固學習，培養(yǎng)學生自主學習的能力。在復習的過程中不僅僅要注重單項學習的鞏固，更加要注重綜合學習的能力，在學習內容以及方式方法上都有所創(chuàng)新。可以讓學生們自主進行學習興趣的開拓。教師可以擬定一些特定的學習內容，讓學生們自主的發(fā)揮。通過合理有效的復習不僅僅可以增強學生對該數(shù)學知識的學習，更加可以提高他們自我解決問題的能力，促進學生自我創(chuàng)新的能力。文章主要針對如何計算平面圖形的周長以及面積進行舉例分析。
1.在一張長20厘米、寬15厘米的長方形紙片內，剪一個最大的正方形，正方形的周長和面積分別是多少？如果在這個正方形紙片內剪一個最大的圓，圓的局長和面積分別是多少？
2.一個梯形，下底長18分米，如果下底縮短8分米。就變成一個平行四邊形，面積將減少28平方分米，原來梯形的高是多少分米？以上練習，具有一定的綜合性、挑戰(zhàn)性和創(chuàng)新性，讓學生在自主解決問題的基礎上，進一步明確平面圖形知識間的內在聯(lián)系，既鞏固了已掌握的數(shù)學知識，又提高了數(shù)學能力，有效地促進學生的發(fā)展。
四、開展同伴互助活動
學生在復習的過程中，可以通過互相學習，相互促進的學習進步方式進行鞏固復習。在復習過程中，優(yōu)等生可以帶動差等生一起進行互動學習，這樣不僅僅可以將學習資源進行有效合理的互動，更加可以帶動后進生很好地進行復習知識的學習與掌握，拉小了優(yōu)等生與后進生之間的差距，同時，也拉近了學生們之間的友誼感情。在實際的教學復習中，這種教學方式是提高教學效率有效的方式之一。一些優(yōu)等生可以代替老師的職能，對學習上有困難的同學加以幫助，激發(fā)他們的學習熱情，后進生也可以放下心里的芥蒂，與優(yōu)等生共同探討學習方法，不僅僅能夠將自己的意見很好的表達出來，也可以解決教師資源緊缺的問題，這種方式，長久堅持下來不難看出，是一種有效的學習復習方式。優(yōu)等生在傳授知識的同時，對知識有了系統(tǒng)了的認知與梳理。差等生在接受知識的學習時也比老師傳授的接受效果要好。實踐證明，良好的溝通以及良好的學習氛圍，不僅僅可以有效的增強學習效果，更加可以拉近優(yōu)等后進生之間的距離，消除后進生的自卑心理，也培養(yǎng)了優(yōu)等生自我表達的能力，以及他們主動幫助弱者的思維方式與能力。復習學習知識，不僅僅要求個人進步，更是集體團隊的整體進步與學習。
關鍵詞：小學數(shù)學；總復習；指導 中圖分類號：G623.5文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2014）08-0163-011.羅列復習要點，自主整理知識
在復習教學中，筆者發(fā)現(xiàn)學生通常用單一的"條目式"整理知識要點，后進生更是白紙上交。這些現(xiàn)象給了筆者莫大的思考，多數(shù)學生習得知識停留在單獨的知識層面，對相互聯(lián)系的知識層面思考較少，孩子們習得的知識較散，沒有系統(tǒng)知識組塊。知識組塊是整理與復習的"盲點"，更是總復習活動的"重點"。如何處理"盲點"和"重點"的關系？簡單讓學生去整理知識，學生無所適從，效果并不理想。這時，教師要給孩子自主整理的"腳手架"，提供給學生相關的自主復習要點，讓學生按復習要點自主整理，整理后進行交流討論。這樣的自主整理過程，孩子從被動變主動，積極性高漲。
如復習"平面圖形的周長和面積"時，筆者先提供了復習要點：①什么是平面圖形的周長？②各平面圖形周長的計算方法？③什么是平面圖形的面積？④各平面圖形面積的計算方法？⑤各平面圖形面積的推導過程？
復習中提供條理清晰、0重難點明確的復習要點，學生能讀懂教師設計復習要點的意圖，能系統(tǒng)復習和自主整理知識。
閱讀學生整理的知識時，筆者欣喜地發(fā)現(xiàn)學生整理的平面圖形周長和面積的相關知識豐富了……這些不正是我們在整理復習過程中所要培養(yǎng)的學生整理知識的能力嗎？
2.開展專題復習方式，加強針對性訓練
重視班級學生的分層導學，發(fā)展共性，培養(yǎng)個性，激勵學生相互檢查，共同提高。在分層導學中，確立優(yōu)生的主要目標是審題準確，解題靈活，中等生的主要目標是細心檢查，學困生的主要目標是打牢基礎。在操作過程中，要求把學生的各種反饋信息分層，即時歸納整理，確立復習思路和復習重點，加強針對性。既重視學生的共同缺陷，又重視個體差異。注重單元試卷、綜合試卷、學生自我評價的反饋，把每一章節(jié)的知識聯(lián)系在一起復習，加強知識的連貫性，調動學生的復習積極性，提高每節(jié)復習課的效果。要靈活選擇時機進行專題測試，在專題測試試卷評析的基礎上查漏補缺之后，綜合各單元所反映的情況，進行綜合性試卷反饋，有的放矢地進行針對性補缺、定向復習，發(fā)現(xiàn)問題再進行定向突破。
3.利用學習合作小組進行以優(yōu)生帶差生
教師要根據(jù)學習成績，結合學生性格，最大限度地進行合理搭配，組成最優(yōu)化的、實力相當?shù)膶W習小組。這樣既可以用群體智慧解決問題，又可以讓每一位"差生"都有自己的榜樣，有意無意地仿效榜樣，達到以優(yōu)生帶差生的目的。教師要經常有意識地布置一些需要集體合作才能完成的任務，通過研究性學習或質疑探討等形式，讓他們相互啟發(fā)，進行智慧碰撞，最終達到提高自己的目的。教師還要有意識地安排一些以組為單位的知識競賽，這樣既可激發(fā)學生的學習興趣，又可以讓優(yōu)生主動幫助差生，差生主動求助于優(yōu)生，促使整體水平的提高。
4.以糾錯取代多練，提高復習效率
在復習中要注意全面檢查學生對數(shù)學知識的掌握情況，對于尚未掌握的內容要采取具體措施加以補救，力爭全面掌握所學的數(shù)學知識。很多老師都把多練作為幫助學生彌補知識缺陷的法寶，但由于學生在復習當中學的、練的都是以往學過的知識，經常重復會使他們厭煩，降低學習效果。因此，在教學過程中，教師要關注每一個學生的優(yōu)勢，要求學生在精做老師布置的練習后，特別關注學生的錯題，讓每一個學生把自己錯誤的原因找到，使學生真正做到查漏補缺，提高效果。要求學生做到人手一冊"總復習錯題集"，經常翻閱分析,力爭不再犯相同的錯誤，真正提高復習效率。
5.做好優(yōu)秀學生和學困生的復習指導
"冰凍三尺，非一日之寒"，畢業(yè)班中數(shù)學的學困生不是一天兩天形成的，而是不懂的知識長期沒得到及時解決，慢慢累積而成的。學生差異必然存在，"培優(yōu)補差"成為重點工作。不然"兩極分化"的現(xiàn)象會日趨嚴重。
如何讓優(yōu)等生"吃飽"呢？我認為課上把作答的機會多給"中、下游"學生，讓"優(yōu)等生"作出評價，相互幫助、共同提高；課后讓優(yōu)等生參與編題，指導后進生解答；優(yōu)等生選做提高題，留有更多時間去進行數(shù)學閱讀，豐富數(shù)學綜合素養(yǎng)，使之真正"吃得飽"，并不斷確立更高遠的學習目標，使其"百尺竿頭更進一步"。
對于學困生，可以安排在兩個階段，一是補課前，把下一課內容預先溫習提示，讓其對新復習課心中有底，增強他們學習數(shù)學的勇氣；二是補課后，把現(xiàn)學的內容再次疏導，查原因，針對性點撥、強化鞏固，結合作業(yè)降低要求，"因材施教"、"分層施教"。對有所進步的學生要及時的予以表揚，提高他們學好數(shù)學的自信心。
【關鍵詞】數(shù)學習題 有效設計
【中圖分類號】G622【文獻標識碼】A【文章編號】1006－9682（2011）03－0165－03
“練習是使學生掌握知識、形成技能、發(fā)展智力的重要手段。”隨著課程改革的不斷深入，有效教學理念逐漸深入教育工作者的心中。教師們都能自覺地依據(jù)新課程的理念精心設計新授內容的每個環(huán)節(jié)，使學生學得輕松、有趣、有效。但值得關注的是，教師們對于數(shù)學習題的設計還存在著“逮到題目就做”、“題海戰(zhàn)”、“以量取質”的現(xiàn)象。幾乎所有教師都有海量的習題“儲備”，幾乎可以“信手拈來”。也正是因此，導致了教師習題選擇隨意性和學生練習的低效甚至無效。在教學中如何對習題進行加工、變化、提煉，拓展學生的思維廣度和深度，構建科學、高效的課堂教學，從而真正達到“輕負高質”？
一、習題設計體現(xiàn)趣味
心理學家布魯納說過：“學習的最好刺激，就是對學習材料的興趣。”《數(shù)學課程標準》也指出：“從學生熟悉的生活情境與童話世界出發(fā)，選擇學生身邊的、感興趣的事物，以激發(fā)學生的學習興趣與動機……”。因此，這就要求教師在設計習題時，要把題型、格式推陳出新，以喚起學生的新奇感，并設計具有一定趣味性和挑戰(zhàn)性的習題，使學生一看到作業(yè)就來勁，躍躍欲試，寓學于樂。
如在教學“數(shù)的整除”單元復習時，可設計讓學生猜猜老師電話號碼的習題，猜出后撥個電話給老師。
（ ）既不是質數(shù)又不是合數(shù)。
（ ）3的最小公倍數(shù)。
（ ）比所有自然數(shù)的公約數(shù)少1的數(shù)。
（ ）一位數(shù)中最大的合數(shù)。
（ ）一位數(shù)中最大的偶數(shù)。
（ ）最小的質數(shù)。
（ ）最小的合數(shù)。
（ ）一位數(shù)中最大的奇數(shù)。
（ ）5的最大約數(shù)。
（ ）既是質數(shù)又是偶數(shù)。
（ ）一位數(shù)中最大的質數(shù)。
學生根據(jù)這些條件猜出號碼后，撥通電話果然是老師，學生覺得十分有趣。
有趣的猜謎活動吸引了學生，“吊”起了學生的學習胃口，讓學生“吃”得津津有味，這樣的作業(yè)學生才樂做、愛做。
又如，一年級的10以內數(shù)的加減法。可以設計：
說中練。習題設計不拘泥于書面作業(yè)的形式，應引導學生運用語言展開自己的思維過程。可以請家長協(xié)助，進行聽算練習，可以和家長對口令，也可以編一些數(shù)學題給家長聽……這樣，不僅使學生鞏固了新知，為學生提供了展示自我的機會，培養(yǎng)了學生的語言表達能力，而且讓學生體驗數(shù)學就在我們的身邊，感受到數(shù)學與生活的聯(lián)系。也是家長能更好的了解孩子的學習情況。
玩中練。好玩是每個孩子的天性，也是孩子生活的組成部分。如果老師把習題設計成“玩”，讓孩子在玩中練，練中玩，孩子會感受到做作業(yè)是一種很開心的事。可以用數(shù)字卡片兩人一起玩，如：8的組成，我出數(shù)字卡片3，你出幾？對了卡片就歸誰，最后誰的卡片多誰就是勝利者；可以和同學、家長做拍手游戲，如7的組成，一邊拍手一邊念：你拍1來我拍6，1和6組成7，你拍2來我拍5，2和5組成7……；還可以玩數(shù)字卡片（或撲克牌），玩法：每人拿出一張卡片，先比一比大小，再算加減，誰做對可以得到一張牌，最后誰多誰就勝。
畫中練。一年級的孩子特別喜歡畫畫，根據(jù)孩子的這一特點，經常性的布置一些畫畫作業(yè)，將數(shù)學、語文、美術等學科融為一體，學生的興趣濃厚。如畫鮮花配綠葉：葉子可以寫數(shù)的組成，花瓣可以寫等于這個數(shù)的加法和減法算式，每個花瓣都是孩子的想象空間。然后比一比誰畫的鮮花最美，誰畫的花瓣最多。這既把所學的知識進行了整理和復習，又可以培養(yǎng)學生的口算、想象和思維能力。
二、習題設計強調分層
數(shù)學的習題浩如煙海，如何從“題海”中解放出來，重要的一條就是挖掘習題的潛在內容，設計要有層次，步步登高，循序漸進。一般分為三個層次：一是模仿性題目，練習基本的、單項的、帶有模仿性的題目；二是再造性題目，練習一些新舊知識混合在一起的題目；三是拓展性題目，練習個別帶有靈活性、深化型的題目。引導學生向更廣的范圍、更深層次去聯(lián)想，縱橫引伸，把所學知識在更大范圍內進行歸納、演變，促進知識融會貫通、解題能力和思維能力得到提高、解題方法和策略的形成。
在教學《分數(shù)的基本性質》時，我?guī)ьI學生用畫一畫、比一比、找一找其他相等的分數(shù)，通過再次動手操作進一步感知相等的分數(shù)。
【深入】
每人動手畫一畫，比較 、 、 的大小。
用這組圖找一找其他相等的分數(shù)。
不借助圖，再想兩個與 、 、 大小相等的分數(shù)。
問：分子、分母都不同，分數(shù)的大小一樣，為什么？
【拓展】
送信游戲，設計了四個信箱：與 相等的分數(shù)、與 相等的
分數(shù)、與 相等的分數(shù)、與 相等的分數(shù)。
學生任選一個信箱，按要求在信封上寫一個相應的分數(shù)，并將它投入該信箱中，所投的信上的分數(shù)不能重復……
通過階梯式的設計，不僅分散了難點，還使學生將所學的知識融會貫通、學習興趣高漲。便于提高學生思維的靈活性和創(chuàng)新性、培養(yǎng)學生思維的多樣性與廣闊性，從而發(fā)展學生、勇于探索、勇于創(chuàng)新的發(fā)散思維能力。
如教學《平行四邊形的面積》，在練習設計時，我就根據(jù)本課的教學目標以及重點和難點進行分層次的習題設計：
第一層次：模仿性習題設計。
我會計算：
設計意圖：借助基本變式圖形的面積計算達到幫助學生牢固掌握面積計算公式，并熟練應用面積計算公式解決簡單的平行四邊形面積計算的目的。
第二層次：再造性習題設計。
你能找到面積相等的平行四邊形？
我能解決：（單位：厘米）
設計意圖：借助找面積相等的平行四邊形感悟等底等高的平行四邊形面積相等的本質特征，打破一定要利用公式求圖形面積的思維定勢。
第三層次：拓展性習題設計。
求出這個圖形的面積。
設計意圖：學生可以分別求出兩個平行四邊形的面積，相加后就是這個組合圖形的面積。還可以通過割補、變化移動等方式看成一個大長方形，拓展了學生的思路，提升學生思維的靈活性和創(chuàng)新性。
根據(jù)不同的學習內容以及學生的學習差異，設計不同類型的習題，不僅可以真正起到鞏固新知的目的，而且還可以進一步拓展學生的思維，提升學生思維的靈活性。
三、習題設計體現(xiàn)聯(lián)系
在復習課時，要讓知識以網絡的形式進行呈現(xiàn)，讓學生體會知識的連貫性，所以要選擇有針對性、典型性、啟發(fā)性和系統(tǒng)性的問題，引導學生進行練習，提高學生運用知識解決實際問題的能力，發(fā)展學生的思維能力。如教學六年級《平面圖形周長和面積的復習》時，我緊緊抓住“周長”和“面積”，通過算一算、比一比、判一判等形式，讓學生融會貫通。
1．比一比
兩個圖形：比較一下，你有什么發(fā)現(xiàn)？
兩個圖形組合，面積不變，周長有變化。
2．判一判
（1）把一個長方形的木框拉成一個平行四邊形，面積和周長都不變。（ ）
通過長方形木框拉動：長方形演變到平行四邊形的過程，讓學生發(fā)現(xiàn)面積變化，周長不變。
（2）等底等高的平行四邊形，面積相等，周長也相等。（ ）
幾何畫板演示：拖動平行四邊形，面積始終不變，周長變化。長方形周長最短，越傾斜，周長越長。
3．算一算
練習時，通過題組的形式呈現(xiàn)練習內容并進行一題多解或一題多變，做到舉一反三，學生在練習中不斷受到啟發(fā)，在練習中進一步形成了知識結構。在對比練習中，幫助溝通與辯析，在綜合發(fā)展練習中，提高學生的解題能力。
例如：我在教學《平面圖形的周長和面積總復習》時，復習最后，我設計了一道實踐題：老師家里最近在裝修房子，為了體現(xiàn)一下數(shù)學平面圖形的簡潔美，設計了一道門（包含了本課學習的有關平面圖形），要給平行四邊形、三角形、圓形的周圍裝上三合板條，請同學們幫老師算一算，要準備多少三合板條呢？……經過同學們的幫助，門做好了，除了玻璃、門鎖部分，其余都要涂上棕色油漆，涂油漆部分的面積是多少呢？在此過程中幫助學生學會用數(shù)學的眼光觀察生活，培養(yǎng)學生把數(shù)學應用于生活的能力。
四、習題設計突出開放
在數(shù)學教學中，只要把封閉式習題加以改良，就會變成更有趣、富有挑戰(zhàn)性的開放式的習題，使學生有機會運用一系列思考策略進行活動，以鞏固和實踐相關的知識和技能，發(fā)展數(shù)學思維能力，使他們由模仿走向創(chuàng)新。
傳統(tǒng)的練習設計，條件是所求問題的充要條件，容易給學生造成思維的定勢。當遇到條件不足或條件有余時，感到束手無策或疑惑不解，設計開放的習題可以提高學生分析問題、解決問題的能力。
如有這樣一道習題：“在一個等腰三角形中，頂角的度數(shù)是一個底角度數(shù)的2倍，求這個三角形三個內角的度數(shù)。”
我把它改編為：“在一個等腰三角形中，一個內角的度數(shù)是另一個內角度數(shù)的2倍，求這個三角形三個內角的度數(shù)。”
在改編的習題中，可以是頂角的度數(shù)是底角的2倍，也可以是底角的度數(shù)是頂角的2倍，因此，它的條件是開放性的。其答案分別為：90°、45°、45°和72°、72°、36°。
又如，有兩個同樣的長方形，長都是4厘米，寬都是2厘米。拼成一個正方形，拼成的正方形的周長是多少？
我改編為：有兩個同樣的長方形，長都是4厘米，寬都是2厘米。任意拼成一個圖形，拼成的圖形的周長是多少？
這樣學生的思維打開了，解題的方法就多樣了，答案也就不唯一了。
總之，習題進行再設計后，練習量和以前比減少了，遠離了“題海戰(zhàn)術”。從長遠看，“習題有效設計”為學生提供自主探究的機會，培養(yǎng)了他們數(shù)學應用的意識，令學生學習更主動、更有效，是從簡單的“學會”到廣泛的“會學”、“樂學”的“捷徑”指導，從根本上減輕了學生的學業(yè)負擔，提高了學習效率。
參考文獻
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2 斯苗兒.小學數(shù)學課堂教學案例透視［M］.北京：人民教育出版社，2003
關鍵詞：空間觀念；觀察；操作；探索交流
在圖形與幾何的教學中，教師要注重培養(yǎng)學生的空間觀念和空間想象力。空間觀念是創(chuàng)新精神所需的基本要素，沒有空間觀念，幾乎談不上任何創(chuàng)造發(fā)明。因為許多創(chuàng)造發(fā)明都是以實物形態(tài)呈現(xiàn)的，作為設計者首先要從自己的想象出發(fā)，畫出設計圖，然后根據(jù)設計圖做出模型，再根據(jù)模型修改設計，直到完善成型。這是一個充滿想象力和創(chuàng)造性的探究過程，這個過程也是人的思維不斷在二維和三維之間轉換、利用直觀進行思考的過程，空間觀念在這個過程中起著至關重要的作用。
一、通過觀察形成空間觀念
心理學家告訴我們：感知覺是人類認識世界的第一通道；小學生的思維和認識具有很大程度的具體形象性，他們對圖形的認識，在一定上主要依賴于對物體、圖形的觀察。我們在進行空間與圖形的內容教學時，應盡可能提供模型教具，讓學生進行觀察，通過看一看、摸一摸、比一比等一系列活動，形成對物體的表象，這也是學生形成空間觀念的基礎。如進行“觀察物體”這一課的教學，讓學生從正面、側面和上面觀察由4個小正方體搭成的立體圖形。如果教學中沒有模型，只是用一張立體圖畫讓學生進行觀察，很多學生可能分不清哪些面是側面、上面和正面，特別是對側面的視圖是很難判斷的，甚至因為立體圖角度的變化，馬上模糊了上面和正面的視圖。實踐表明，如果提供足夠的模型正方體，讓學生根據(jù)立體圖畫的物體擺一擺，再進行觀察、感悟、比較、記憶，能讓學生內在的形成對視圖的表象。同時，教師要引導學生把從正面、側面和上面觀察到的視圖，用正方形擺一擺或畫一畫，再進行觀察。小學生的空間觀念是比較薄弱的，要掌握立體圖，還是要轉化到平面圖上的。讓學生從不同角度，用不同的方式感知和認識物體，這樣才能正確感知、判斷立體圖從正面、側面和上面觀察到的視圖，逐步幫助學生建立、形成空間觀念。
二、在動手操作中形成空間觀念
小學生的思維處在形象思維向抽象思維過渡階段，但仍以形象思維為主。因此，動手操作在學生形成空間觀念的過程中有著極其重要的作用。心理學研究證明：視覺、觸覺、聽覺等多種感官共同參與操作，有利于空間觀念的形成和鞏固。動手操作能讓學生感受知識形成的過程，使學生通過動作形成表象，再通過動作制約改造表象，并逐步正確地概括表象，使頭腦中知識的理解、記憶不斷加深，從而發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)學生空間想象能力和思維能力。
在教學中，我感覺學生在學習了求長方形的面積公式后，很容易與求周長的公式混淆。分析原因，我認為可能是沒有足夠理解面積、周長的意義。如果完全建立了對周長、面積的空間觀念后，這個問題就不會出現(xiàn)了。在教學周長時，可以讓學生說說對周長的理解，再找找身邊的平面圖形的周長，形成周長的空間觀念。而求長方形的周長時，可以讓學生量課本、作業(yè)本、課桌四邊的長，再計算出周長。開始，學生可能會量四條邊的長，量著量著，他們會發(fā)現(xiàn)，只要量相鄰兩條邊的長就能計算出周長了。周長就是相鄰兩條邊和的2倍。教學面積時，可以讓學生用單位面積的小正方形擺不同的長方形，再看看長是多少，寬是多少，面積是多少，怎么得到面積的，與長和寬的關系是什么。這樣，學生形成了周長和面積的空間觀念之后，計算時就不會再出現(xiàn)混用計算公式的現(xiàn)象了。
三、在探索交流中形成空間觀念
交流是學生內部思考外化的過程。教學過程中，我們要把直觀圖形和語言表述結合起來，使學生能用準確、簡明、通俗的語言描述物體及圖形的特征，形成空間觀念。如在教學“長方形和正方形的特征”時，為了讓學生自主探索發(fā)現(xiàn)長方形的特征，可以讓學生動手量一量、折一折、比一比。教學進行到這里，需要學生交流自己的發(fā)現(xiàn)：長方形的對邊相等，四個角都是直角。通過方法的遷移，學生可以自主探索正方形的特征，交流結果：正方形的每條邊都相等，四個角都是直角。在發(fā)現(xiàn)了正方形和長方形的特征之后，可以引導學生從邊和角兩方面比較長方形和正方形的異同，再進行交流：相同點是都有四條邊，對邊都相等，四個角都是直角；不同點是長方形只有對邊相等，正方形每條邊都相等。這樣既培養(yǎng)了有條理思維的習慣，又加深了他們對概念的理解，形成了對長方形和正方形的空間觀念。學生在用語言表述的過程中，必須注意分清圖形的本質特征和非本質特征，特別要注意不漏掉本質屬性。
“面積”這個概念具有較強的抽象性，學生理解起來會有一定的難度。之前聽過一節(jié)《面積的認識》，課堂中老師通過各種活動讓學生感受面積、認識面積。活動非常豐富，氛圍也很輕松。可學生真的“學”到了嗎？這節(jié)課在教學認識平面圖形的面積時，老師要求學生分別涂出長方形和正方形的面積，在涂的過程中有一個學生突然問：“老師，這個要不要涂滿？”其實這個學生真的是在思考，可當時老師可能沒聽到，這個聲音就這樣蓋過去了。學生并沒有真正地理解什么是“面”。后來在這節(jié)課中，大部分學生出現(xiàn)了三次將周長和面積概念搞混的情況。
聽了這節(jié)課，我個人覺得那個學生之所以問“要不要涂滿”，說明他對面的概念還很模糊。那怎樣讓學生自主感受面、認識面積呢？對于認識面積，應該有這樣幾個步驟：面的認識面的大小面積（物體表面的面積和平面圖形的面積），故認識面積的基礎還是對“面”的認識。
如何讓學生真正地充分地感受面呢？最直觀的是去“摸”，通過感官觸摸初步感受面。要讓“學”在課堂上真發(fā)生，教師就要真正地“改”變我們的課堂。我在教學這一課時，課前通過前置性作業(yè)，要求學生在家里摸一摸身邊物體的面，說說感受。課前這樣的動手操作，能讓每個學生有充分的時間去感受，也能促使一些學生進行深一步的思考，是學生主動學習的過程。從收上來的作業(yè)看，大部分學生摸的都是平面，感覺有的面粗糙、有的面光滑。但是少數(shù)幾個學生寫了幾個這樣的疑問：“為什么面都是平平的？面可以是彎曲的嗎？球有面嗎？”學生的求知欲被真正地激發(fā)出來了。首先面有“平面”和“曲面”，這是對面的宏觀的整體認識。于是我在課堂上就將這些問題拋給了學生，讓他們仔細回憶一下自己的生活經驗來判斷，很快學生舉例說明水杯的側面就是彎彎的，繼而也肯定了球是有面的，面是可以彎曲的。通過學生摸感受質疑反思再次感受驗證，這一系列的活動讓學生對面有了一個全面的了解，他們能真正地“學”起來了。
但是面又分物體的表面和平面圖形的表面，當然感知物體的面更容易。可是有的學生在摸物體表面的時候，只是用手指一劃，他對哪些部分是“面”沒有一個完整的概念。那如何讓學生直觀感受面呢？于是課前我又設計了“將你摸的面印到白紙上的活動”。學生的想法還是很多的，有的把橡皮表面涂上顏料，再印到白紙上；有的把1元硬幣放到白紙下面，用鉛筆在紙上涂；有的把橡皮按著白紙上，描出邊線，再把里面的部分涂上顏色……課堂上我請了一位學生把橡皮涂上色，再印到紙上。觀察這個過程后，我問學生：“為什么要把顏料涂滿橡皮？”學生個個搶著說：“這整個部分都是它的面。”再請一個學生先畫邊線，再涂色。緊接著問學生：“這個邊線里面為什么涂滿？”學生終于意識到這個邊線里面的整個部分都是它的面積。通過操作觀察反思形成表象的過程，讓學生充分意識到面到底指哪個部分。
對于“面”的教學，我主要通過課前的“摸一摸”“涂一涂”兩個操作活動讓學生充分感知，課堂上讓學生演示，適時追問，整個過程以學生為主，讓教，真改變；學，真發(fā)生。
在學生充分感知面的基礎上，課堂上讓學生全面感知物體的面，要求學生指一指黑板的面和數(shù)學書封面。再讓學生去觀察教室里物體的表面，說一說有什么感受。這里需要讓學生充分地說一說，哪個物體面大，哪個物體面小。學生充分感知了物體的面有大有小后，再給出“面的概念”――黑板面的大小是黑板面的面積。這句話比較拗口，需要讓學生仔細讀一讀。理解完后，緊接著追問：“黑板的面積指什么？”這時學生就知道黑板的面積指的是整個黑板面的大小了。對于“面的大小”是以觀察身邊物體的面為主，讓學生確實感覺到面的大小，這也是對“面”的認識的提升。
在充分認識了物體“面”的基礎上，感受了物體面的大小，進而知道了物體“面積”的含義。但僅僅知道物體“面積”的含義還不完整，還需要引導學生認識平面圖形的面積。之后的教學中，主要通過涂正方形、長方形的面積，感受平面圖形的面積，再通過觀察、重疊、數(shù)方格比較面積大小。
整個教學面積的過程：認識物體面積再認識平面圖形的面積比較面積大小，整個過程學生都能親手操作，直觀感受，從活動中獲得“面積的概念”。
整節(jié)課通過前置性學習的設計，讓學生充分感知面，激發(fā)學生的學習興趣；課中給予充分的時間展示學生的前置學習作品，鼓勵學生小組合作交流，學生自主探索，自我建構，最終形成對“面積”的認識，讓“學”真發(fā)生！
【關鍵詞】啟迪 思維 本質
【教材分析】
思維是人腦對客觀事物的一般特性和規(guī)律的一種間接的、概括的反映，它是認知的核心成分。數(shù)學是思維的體操，讓學生在掌握數(shù)學知識的同時學會思考，促進其思維發(fā)展是數(shù)學教學的靈魂，也是每一位數(shù)學教師所應追尋的價值取向。
人教版數(shù)學五年級上冊第六單元練習十九，是一節(jié)W習了“平行四邊形的面積計算公式”后的專項練習課。教材中除了緊接新授課安排的一些簡單計算和解決問題（1～5題）之外，有一半以上的篇幅（6～11題）涉及對平行四邊形面積的進一步理解以及在理解的基礎上解決問題，其中第6、7、8三道題（如圖2～圖4）主要涉及平行四邊形面積的決定要素――底和高；而第5題（如圖1），更像把平行四邊形放在了一個坐標系中進行研究。細細分析這些題目，它們的最大特點是通過對面積的計算來理解平行四邊形的面積與其高和底的相關性，發(fā)展學生分析問題、思考問題的能力。
【教學實踐】
怎樣有效地利用這些題目，讓學生通過解決問題，實現(xiàn)在認知和思維能力上得到進一步的發(fā)展？筆者抓住問題本質，以學生存在疑問的點為切入口，將題目進行有機整合，以便關注平行四邊形面積的本質，啟迪學生的數(shù)學思維。
一、在比較辨析中，進一步理解“高”與平行四邊形面積的關系
平行四邊形面積計算公式的推導主要是通過割補法來得出，而學生在新授課時容易把平行四邊形的面積計算方法定位在“底×鄰邊”上。因此，“高”是決定平行四邊形面積的其中一個因素，必須進一步加以理解。
課始，進行一些簡單的基本練習之后，筆者抓住：“根據(jù)平行四邊形易變形的特性，把它進行拉動，思考平行四邊形的面積是否發(fā)生變化？”課件出示平行四邊形的拉動過程，并將其中兩個平行四邊形作為研究對象，輔之以網格圖（如圖5），在引導學生作出判斷并用自己的方法加以證明。很快，有的學生通過“整體剪拼”的方法，將平行四邊形轉化成長方形，并得出長方形的長相等、寬不同，因此面積不同；有的學生則通過計算，得出第一個平行四邊形的面積為18cm2，第二個平行四邊形的面積為12cm2，兩者面積不同；有的學生則從平行四邊形的面積計算公式出發(fā)，發(fā)現(xiàn)兩個平行四邊形底相同，高不同，第一個平行四邊形的面積更大。
在此基礎上，筆者出示圖6兩個平行四邊形，讓學生比較它們之間的面積大小。有了剛才的經驗，學生很快得出結論，兩個平行四邊形的面積一樣大，因為它們底和高一樣。隨后，把圖6中右邊的平行四邊形移動到與左邊圖形的底重合（如圖7），接著再出現(xiàn)一個平行四邊形（如圖8），進一步明確等底等高的平行四邊形面積相等。
和高作為平行四邊形的兩個重要元素，決定了平行四邊形的面積大小。當然，作為特殊的平行四邊形，長方形的面積由它的長和寬決定。這一點學生也在原有的認知基礎上，有了更深的體會。之所以將這兩個問題進行整合，是因為它們之中一組是等底等高的平行四邊形，另一組是等底但不等高的平行四邊形。在處理教材時，我們需看到它們的不同之處，更應看到它們背后的本質問題，即在底相等的情況下，高決定了平行四邊形的面積大小。
二、在動靜結合中，進一步理解“同底”條件下平行四邊形的面積關系
在完成第一個環(huán)節(jié)后，筆者繼續(xù)利用剛才的素材進行提問：第一組的平行四邊形拉動時，什么時候面積最大？為什么？學生通過觀察和思考，以及對平行四邊形面積計算公式的理解，很快發(fā)現(xiàn)在底不變的情況下，高最大時面積也最大。當拉成長方形時，高也就是長方形的寬是最大的，此時，平行四邊形就是長方形，面積最大。筆者繼續(xù)追問：有沒有面積最小的時候？學生自然順著前面的思路回答：有，當高為0的時候，平行四邊形面積最小。筆者沒有急于下結論，而是問：再想想，如果高為0，這個平行四邊形會怎樣？此時，出現(xiàn)了不同的聲音：
生1：當高是0時，平行四邊形就變成了一條線段，它的面積最小。
生2：高不能是0，如果高是0，那平行四邊形就沒有了。
看到學生已經隱約感受到了高的取值范圍，筆者表示贊同第二種意見：平行四邊形的高無限接近0，因此它的面積也無限接近0，但不會等于0，否則就不能稱之為平行四邊形了。
學生在新授課中通過剪拼等方法得出平行四邊形的面積計算公式后，容易將之它視為孤立的、靜態(tài)的規(guī)則。因此設計這樣一個環(huán)節(jié)，使靜態(tài)化計算面積的方法動起來，并進一步體會高的變化引起的面積變化。另一方面，也讓學生適當?shù)伢w驗變量的取值范圍，初步滲透極限思想。
三、在圖形變化中，進一步理解“底和高”兩個維度與面積之間的關系
緊接著，筆者趁熱打鐵，先后出示了以下內容（如圖9～圖10），使學生加深對平行四邊形中底和高的作用的認識。
學生通過兩組圖形的觀察、思考和交流，進一步加深了對平行四邊形的面積大小由底和高決定的理解。
在觀察兩組圖形時，學生發(fā)表了如下意見：
生1：（圖9）豎的那一組平行四邊形底不變，高在變，面積也在變，它們的面積變大了；橫的那一組圖形，底在變長，高不變，面積也變大了。
生2：（圖10）平行四邊形的底和高都在變化，它的面積變化更大了。
教師追問：看來，是誰決定了平行四邊形的面積大小？
生：平行四邊形的底和高決定了平行四邊形的面積大小。
師：那長方形呢？
生：長方形的長和寬。
師：長方形的長和寬與平行四邊形的底和高有什么相同之處？
生：它們都是朝著橫和豎兩個方向的。
在此基礎上，教師出示面積單位cm2、dm2、m2、km2，請學生說說對這些單位的理解。一開始學生對這些面積單位沒有特別的感受，于是，筆者提醒學生應與剛才的發(fā)現(xiàn)相結合，在教師的提示下，學生逐漸有所感悟。
生1：這些單位都有平方，單位右上角都有一個“2”。
生2：這些單位表示cm×cm，dm×dm，m×m，km×km。
生3：這些單位表示（圖形的）兩個方向（維度）相乘。
隨后，筆者繼續(xù)設疑（出示圖11），要求計算出三個平行四邊形A、B、C的面積，并分析比較底和高的變化與面積變化的關系。
生1：A的面積是6×5=30，B的面積是12×10=120，C的面積是24×20=480。
生2：我發(fā)現(xiàn)圖形A與圖形B之間，底擴大2倍，高擴大2倍，而面積擴大了4倍。
生3：圖形B與圖形C之間，底擴大2倍，高擴大2倍，面積就擴大了4倍。
生4：圖形A與圖形C之間，底擴大4倍，高擴大4倍，面積是30和480，面積擴大了16倍。
生5：這些圖形的底與高和面積之間的倍數(shù)關系是底擴大的倍數(shù)乘高擴大的倍數(shù)，就是面積U大的倍數(shù)。
這一環(huán)節(jié)是對前面兩個環(huán)節(jié)的整合與發(fā)展，通過圖形之間的整體變化讓學生進一步理解平行四邊形的底和高與面積的關系，幫助學生通過遷移、拓展，從整體的視野來加深對兩種平面圖形的面積及其計算方法的認識，同時在學習與思考的過程中，理解底和高的變化與面積變化之間的關系，為后續(xù)學習三角形、梯形等平面圖形的面積打下認知基礎。
從二維的角度去分析面積及面積的計量單位，有助于幫助學生將圖形、面積計算公式、面積單位及面積單位間的進率有機統(tǒng)一起來，形成整體，便于理解。學生對面積的二維性質的理解，也有助于為后續(xù)更好地理解立體圖形的相關內容做準備。
【教學反思】
《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“通過數(shù)學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。體會數(shù)學知識之間等的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。”這為我們的數(shù)學教學指明了方向：在重視數(shù)學基礎知識和基本技能的同時，更應關注數(shù)學的基本思想和基本活動經驗，為學生的后續(xù)發(fā)展奠定基礎。當教材中出現(xiàn)能夠發(fā)展學生數(shù)學思維、拓寬學生視野的素材時，作為數(shù)學教師應有敏銳的嗅覺，及時捕捉住這些有價值的學習素材。
上述三個環(huán)節(jié)的學習與研究，結構上環(huán)環(huán)相扣，內容上層層深入，緊緊抓住平行四邊形易變形的特性，從底不變、高的變化來分析平行四邊形的面積變化；再到等底等高面積相等，然后同底條件下研究什么情況下面積最大，什么情況下面積會越來越小；最后研究底和高均發(fā)生變化與面積變化之間的聯(lián)系。在掌握數(shù)學基礎知識、發(fā)展數(shù)學基本技能的同時，學生的思維得到了充分發(fā)展。學生分析問題的角度慢慢從一個維度逐步向兩個維度推進。
【中圖分類號】 G625.3 【文獻標識碼】 C
【文章編號】 1004―0463（2016）09―0104―01
圓面積”教學中，主要是教會學生通過操作，來對圓面積的計算方法進行深入的了解，要求學生明確對平面圖形的認識和測量，采用做實驗的方法來進行圓面積的推測，運用圓面積計算公式來解決實際生活中的問題。通過這樣的形式，幫助學生理清解題的思路，有助于教師能夠更好地進行“圓面積”教學的開展。
一、學生不能充分掌握“圓面積”教學方法的原因
1.對公式推理理解不深刻
在計算圓面積中，需要學生掌握計算的公式，根據(jù)公式進行推理，進而計算出圓面積。但是在實際教學中，教師對圓面積公式的講解情況不清晰，不能對學生做好系統(tǒng)的分析，導致大多數(shù)學生不能對該公式充分理解，一旦對題型的意思發(fā)生曲解，學生在解題過程中，就會表現(xiàn)出束手無策。例如，數(shù)字36，學生能夠很快地知道正方形的邊長的6，正方形的邊長可以作為圓形的半徑，學生可以利用圓的面積公式S=πr2能夠快速地求出圓的面積，但是如果把36改成20，學生就會表現(xiàn)得無從下手，學生在求圓的面積時，總是先想到求出圓的半徑，再利用公式求出圓的面積。教師在教學中忽視了對學生講述圓的面積時r2的π倍，其實圓的面積與r2有著最直接的關系。
2.缺少“圓面積”探究經驗
在小學數(shù)學學習圓的面積時，教師沒有充分考慮到小學生的認知能力，認為小學生只需掌握基本的公式，不需要進行漫長的探究過程。所以在圓面積推導過程中，往往忽視對學生圓面積探究的過程，導致學生在解題過程中，不能充分理解圓面積公式。
3.缺乏運用和練習
教師在進行圓面積講解中，把主要的精力放在了公式套用的計算上，學生往往只能采用觀察和推理的手段來進行計算公式的推導，在練習中學生缺少了對公式的推導，在運用過程中，必然就會缺少對推導過程的理解，學生只能機械地通過套用公式的形式進行計算，不利于學生對公式進行深入的理解，導致學生缺乏運用和練習。
二、促進小學數(shù)學“圓面積”教學方法有效實施的對策
1.重視情境操作
教師在教學過程中，應該加深對操作情境的理解，使學生加深對幾何圖形周長和面積的理解程度，對圖形的實際意義和變化的本質進行深刻的理解。首先，教師通過描繪的形式，進行圓面積概念的理解。教師在實際教學中，導入了4個大小不一的圓形，學生可以運用筆來描畫或者用線繞取的方式來進行圓面積的計算。用線繞圓形一周能夠充分表現(xiàn)圓的周長和圓的面積，讓學生再次感受圓面積和周長的區(qū)別。其次，通過比較和感悟的形式來進行圓面積大小變化的比較。在進行圓面積計算的過程中，教師仍然運用導入的方式，來對圓面積進行觀察和實驗的形式，進而引發(fā)學生的深入思考，提高學生的思維能力。
2.運用直觀的方法，探究公式的本質
在探究圓面積計算的過程中，教師可以采用猜想和感知的形式進行圓面積的求取。教師在教學設計中，出示了三個大小不一樣的圓形和正方形，讓學生來進行圖形面積的猜測。學生在解題過程中，可以采用計算和拼接的方式，對幾何圖形的面積進行探討，讓學生明確面積之間的關系，引發(fā)學生的猜想。也可以通過估測和感知的形式進行圓面積的求取。教師可以在課件上出示正方形，以正方形的頂點作為圓心，邊長作為半徑，在正方形上畫一個圓，來進行圓面積的估測。通過這一過程，能夠使學生更充分地了解到圓面積公式的推理過程。
3.運用多維的解題方式，進行探索
連續(xù)幾年畢業(yè)班的教學生涯，與面對一樣困惑的同事們進行研討，我們做了一些的嘗試，即以復習課為載體培養(yǎng)學生自主整理知識、查漏補缺與質疑問難的能力，并形成持續(xù)探究的熱情。下文就簡要闡述我們的一些實踐嘗試與思考。
一、課前問題驅動，從被動等待走向自主整理
在傳統(tǒng)的課堂上，教師的行為是"帶著知識走向學生"；而在自主性學習的課堂上，教師的行為是"帶著學生走向知識"，即主體性教育的著力點，就在于對學生進行獨立性和自主性的培養(yǎng)。因而在數(shù)學課堂中我們要首要之事是開放觀念，信任學生，都要賦予學生更多的自利。因此復習課前，我們都是充分激發(fā)學生學習主動性，以問題驅動，引導學生主動復習。
例如在復習"平面圖形的周長和面積"一課時，結合課本"整理與反思"部分的相關問題，適當進行整合與擴充，教者推出了一下課前思考的問題：
1.什么是平面圖形的周長和面積？
2.大家已經學過哪些平面圖形的周長和面積計算公式？
這些計算公式是怎么推導出來的？推導方法上有什么共同點？
3.你還知道哪些與求平面圖形的周長或面積相關的知識或規(guī)律？
4. 你能整理易錯題或其它問題來向大家挑戰(zhàn)嗎？
分析上述問題，可以發(fā)現(xiàn)前面兩問是將課本上梳理知識體系的部分進行了整合，有相關概念的復習與基本計算方法的回顧，也有一些思想方法與能力凸顯過程性內容的溝通。同時后兩題還增添了查漏補缺、質疑問難方面的要求。初始階段學生還有些困難或不適應，但隨著時間的推移，學生主動思考的積極性明顯增強。正如教育心理學所述：學習目標看作是"老師交給的任務"還是認同為"自己的學習需求"，對于學習者能否真正開展自主性學習過程是很關鍵的一步。這樣的嘗試，徹底改變了以往教師一味發(fā)問學生等待應答的局面，更凸顯了教者對學生的信任，激發(fā)了學生學習探究的原動力。
二、課中走上講臺，從單一聆聽走向主動思辨
分析一些不太滿意的復習課，我們發(fā)現(xiàn)主要有兩種現(xiàn)象：要么就是教師講個不停，因為要復習的知識點實在太多，等到要讓學生做題時，下課鈴也快響了；要么就是干脆一節(jié)課都做題，以題海戰(zhàn)術來讓學生驚心（那么多那么難的抱怨），讓自己放心（好像類型都點到就完成任務了）。事實上讓學生走上講臺豈不是一種新的解放？
1. 展示知識框架，比較鑒別促內化
有了學生的課前整理，課堂伊始，很自然組織學生根據(jù)復習問題交流所整理的知識框架，探討存在的疑問或自己收集后或創(chuàng)作的一些習題。一般首先匯報基本概念與知識體系的梳理方面的內容。學生中生成的差異性資源不僅讓師生眼前一亮，也充分凸顯了資源、智慧的相互碰撞與分享互補。請看下面兩例：
在小組交流后的集體交流，呈現(xiàn)在我們眼前就是這樣表格式或流程圖式等比較多元化的框架作品。左圖知識點特別完整清晰，甚至有了自己的其它補充。右圖（雖是基本復制了課本，但也是一種學習）突出了"轉化"這一思想方法及知識發(fā)展的線索。當學生走上講臺慷慨陳述時顯得很自信，因為他們親自體驗了整理的過程，特有成就感。他們的整理不僅讓同學眼前一亮，更讓同學在比較鑒別、修正完善中自主地進行了知識的整體建構。
2. 互解自出習題，主動評價促思維
教師不能低估學生的能力，事實上時常有學生來質疑課本乃至一些練習上的說法有誤，仔細推敲還真是有理有據(jù)。所以讓他們收集或出些習題，自是難不倒他們。當我們放開信任胸懷、提供交流空間，把提問解問與評價權交還學生，會發(fā)現(xiàn)有很多驚喜等著你，下面不妨例舉一二。
【例一】"（1）等底等高的三角形面積是平行四邊形的一半。 （ ）" "（2）如果三角形面積是平行四邊形面積的一半，它們一定等底等高。 （ ）"
【過程簡述】辨析題（1）大家都意見一致，也很會闡述理由，可是辨析題（2）出現(xiàn)了冷場，因為已知底與高的關系推理面積關系容易，由面積關系逆推底與高的關系卻有難度，且學生對部分知識難點已有些遺忘。雖有同學基于以往經驗很機智地回答："有的話可以正說，但不一定反說也對"，但還有學生有些茫然。在同學期待中出題者自述理由："就算面積有一半的關系，但形狀可以變的"。仍未得到一致信服的聲音。正在大家頗感為難靜思默想之際，有位王同學跳出來說："我想到辦法了，我想舉個例子，比如三角形底3厘米、高4厘米，面積是6平方厘米，而平行四邊形面積就是12，那它可以是底3厘米、高4厘米，也可以是底2厘米、高6厘米，所以這句話是錯的。"此刻出題學生露出由衷的贊賞："我也沒想好怎么說服大家，你回答得太好了。確實有些時候遇到難以解決的問題，舉例法也是一個非常好的方法！"
【例二】
【過程簡述】當學生展示題（1）時，相當多同學都能靈活變通，將正方形對角線輕易變換角度，轉化為已知圓的半徑，直接口算出了面積。此刻有張同學站了起來："我這兒的圖有點相似，圓和正方形結合的，不過我的題可要動動腦筋呢，我也想來考考大家"。雖只有部分同學能解答，但之后出題的張同學評價值得推敲："解決問題時我們要學會換個角度思考，比如題（2）正方形的邊長就是圓的半徑，而我們不會求，但正方形的面積就是邊長的平方也就是半徑的平方，所以不一定只有知道半徑才能求面積。記得以前老師曾說過的化未知為已知，這也是一種轉化的方法。"
"始終要相信孩子，他們不知道在什么時候會給你一個驚喜。"確實學生的自出題把平時易混淆的概念或錯誤及挑戰(zhàn)性的問題適時地呈現(xiàn)出來，在安全和諧的氛圍中平等地對話互動，既檢驗了學生知識掌握水平與問題解決能力，也激活了學生的思維，提升了主動探究思辨的熱情。更難能可貴的是，學生的互相評價不僅有具體思路的概括，更有思想方法的提升，此刻除了贊嘆又何須老師畫蛇添足的重復評價呢！
三、課后持續(xù)分享，從獨善其身走向互助共進
課堂上交流了部分整理作品，互解了部分自出題。還有很多同學因時間的限制有機會交流展示，學生很不甘，教師也很遺憾。如何讓更多的學生受益呢？我們的主張是將課堂復習持續(xù)延伸至課后。讓大家一起分享，一起體驗自主復習的成就感。
1. 匯集習題自主出卷
學生整理習題各有特色，有概念辨析類，有基礎運用類的，也有綜合運用思考挑戰(zhàn)類的。課堂未及全部展示并互相解答完成的，教師提出更高要求：請組長與同伴一起商討將組內自出題（按復習專題）分類整理，做成一張綜合復習卷，老師會選擇較好的一份全班練一練。雖然有些題是學生收集而非自己創(chuàng)編的，但收集擇優(yōu)何嘗不是自主學習能力的體現(xiàn)。之后的評卷，老師即時表揚這是哪組同學出的基礎題，這又是哪組同學出的挑戰(zhàn)題，學生相當自豪，有效調動了學生的積極性。
2. 自主評比共享精華
學生整理的知識框架也是各有特色。為分享不同整理特色，以取長補短共同提高，某一階段后，我們會把學生自認為整理最為滿意的作品編上號碼張貼于班級"分享園"，讓學生自主投票，選出優(yōu)秀作品分評一、二、三等獎。從概念流程圖、表格匯集到圖文列舉等真是精彩紛呈。學生自主評品中，不僅分享到了不同風格的整理方法，也不知不覺中嚴苛了自己后續(xù)復習整理的要求，自主復習從外推走向內需。
3. 數(shù)字上傳豐富資源
