時間：2023-05-29 18:18:57
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇乘法分配律練習題，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
教學目標：通過試卷講評，使學生在集錯、析錯、評錯、改錯、省錯的過程中提升分析問題和解決問題的能力；對學生集中出現的問題進行重點講評，達到評重講難的目的。
教學重點、難點：糾正“湊整”的錯誤思想；解決學生在簡算中出現的“混淆乘法結合律和乘法分配律”問題。
教學準備：試卷、課件、自習本、錯題本。
教學過程：
師：有請今天的小老師。（一生走到臺前，其他生鼓掌歡迎）
小老師：大家好！首先進行口算練習（引領全體學生喊出口算口號）：口算天天練，步步我當先！快樂無限組起立。（小老師課件出示10道簡算題）
快樂無限組開火車計算練習，隨后同學對本小組的表現進行評價。
小老師：感謝各位同學對快樂無限組的評價，請老師進行點評。
師：快樂無限組的表現非常出色，百分之百的正確率讓他們為本組贏得了榮譽，希望今后能夠繼續保持。今天這節課，我們要對運算定律和簡便運算的測驗試卷進行講評。
一、引導檢查
師板書：測驗試卷講評。
小老師：（課件出示學習目標、檢查提示）請某同學讀一讀學習目標和檢查提示。
小老師：下面請小組長分發試卷，開始。
各小組長分發試卷，學生檢查開始。（學生填寫統計表，自行或在同學、組長的幫助下改正錯題；組長統計全組錯題情況；結束后組長宣布統計完畢。）
二、指導展示
（全部統計完畢，小老師出場）：哪個小組想來展示？（小組長舉手）某某，請你來展示。
一小組長拿著統計表上臺：（介紹自己組名、人數及整體考試情況，從集錯、析錯、改錯、評錯和省錯這五個環節逐一分析）。第一大題考的是運算定律公式和定義，我們組做得比較好，全部過關；第二大題中的第3小題是我們組錯得最多的一道題，我想請做錯的同學親自來分析一下。一生拿卷兒上臺展示134-75+25=134-（75+25）。
師：我們認真觀察這道題，不止是這個小組，其他小組的錯誤率也比較高。
該生在幻燈下指卷分析：這道題是134減75加25，當時給我的感覺就是減25，因為75和25，加在一起正好是100，然后134減100這樣好計算，所以就把這道題判斷對了。
師：那你現在知道是哪錯了嗎？
生：知道。只注意數字，沒注意符號。如果是加的話就不能用減法性質來做。
師：很明顯，同學們做錯的原因主要是把注意力集中到湊整上，全然不顧算理是否正確；然而在判卷的過程中，老師還發現有的同學雖然注意到了算理，但受到思維定式的影響，把不該湊整的也進行了湊整，課件展示：480÷（24×5）=4.8。
師：這是第四題計算中的一道小題，出了什么問題？
生：他把24乘5當成25乘4，24乘5等于120，答案應該是4.
師：（課件出示兩種算式）老師希望大家今后遇到這兩種算式時，一定要加以區分，不能因為整百的數計算起來簡便就急于求成，從而出錯。
師：下面，我們運用乘法結合律來做一道題。（課件出示48×25，生完成，小組長繼續分析完剩下的題。）
小老師：請其他小組繼續補充。
另一小組長：（補充說明錯的不同的題目，依舊從五個環節進行分析…）我們組錯得最多的是簡便計算的第5題。
師：這道題是咱們班丟分最多的一道題，我們來認真分析一下。
小組長：（拿試卷進行分析32×25×125）。首先把32分成4乘8 的形式是正確的，但是他做到這里時把運算符號寫錯了，應該繼續根據乘法結合律來做，中間用乘號連接。錯誤的主要原因還是把乘法結合律和乘法分配律弄混，見到四個數就想到用乘法分配律。其實前面這一步就是連乘法，根本就沒有乘法分配律里出現的加號或減號，所以也只能用乘法結合律來做。
師：這位同學分析得非常到位，其實這種問題還有一個需要同學們注意的地方。（課件出示）
生：應該把4和25還有8和125用小括號括上。如果不括上，后面的運算順序就得變，就不簡便了。
師：（課件出示正確答案）所以，今后遇到類似的問題一定要從這兩個方面引起注意。還有哪個小組想來補充？（沒有組長再舉手）
師小結：通過大家的展示，老師發現同學們檢查得都比較認真。我這里也有一張統計表，把你們出現的問題大致歸為兩類。一類是受思維定勢影響，看到有特殊數據可以“湊整”，就把注意力集中到“湊整”上，從而導致出錯，以判斷題的第3題和計算題的第7題最為突出。還有一種就是把乘法分配律和結合律運用混淆，集中體現在簡便運算的第1題和第5題上。同學們今后應深入理解乘法結合律及分配律的意義，從而靈活運用，正確計算。下面我們就通過練習鞏固一下這部分知識。（組長分發練習題）。
三、輔導檢測
1.生做練習題：（組長完成后下地檢查指導直至全部完成，課件出示答案，各組長匯報本組練習情況。）
師：通過匯報，老師發現同學們對這部分知識掌握得還不錯，讓我們乘勝追擊，進行達標檢測。
關鍵詞:去括號法則;分配律;試驗
中圖分類號:G632文獻標識碼:文章編號:1003-2851(2010)08-0148-01
一、問題的提出
我國各種版本的初中數學教材都有 “去括號法則” 一節的教學內容。而學生在學習“去括號法則”時經常會出現不能正確使用法則解題的錯誤,雖然通過教師多次糾正但仍不能徹底矯正。“能不能用其它去括號的方法來代替這一法則呢?”
我到一個學校調研聽課,內容為“去括號法則”。(教材:義務教育課程標準實驗教材(北師大版))。教師講完法則后出了一組練習題。坐在我旁邊有三個學生在做練習:“去括號 -3(5m-2mn+4)”。他們分別出現了以下解題過程:
生1:-3(5m-2mn+4)= -5m+2mn-4;
生2 :-3(5m-2mn+4) = -15m+2mn-4 ;
生3 :-3(5m-2mn+4)= ―(15m-6mn+12)= -15m+6mn-12.
顯然生1和生2的解都是錯誤的,而生3才正確。課后我問生1和生2, “你們為什么要這樣解?”,“你們解法的依據是什么?”他倆都說“我們是用去括號法則來解。根據去括號法則,括號前面是負號,應將括號和它前面的符號去掉,括號里面的各項改變符號即可”。生3說“去括號法則是在括號前只有負號時才能用,這里出現了-3,要用法則必須先變為括號前只有負號才行”。看來他們都是記住了法則的,但理解的深度不同。生1和生2只是表面上記住了法則而機械地套用,生3是真正理解了法則且正確地運用了法則解題,結果也正確,但解題長度增加了。而這觸發了我的如下思考:由于去括號法則的理論依據是乘法分配律,能否不講去括號法則,而只用乘法分配律直接去括號呢?如果這一想法成立,則既可以避免學生的上述錯誤,又可縮短解題長度,節約了學生的學習時間和減少了教材的篇幅。因此,它既對學生的學習有利而且對中數學教材的建設也很有價值。
二、研究的過程與方法
在實驗研究階段,我們在本校七年級兩個班分別采用 “用去括號法則” 去括號和“用乘法分配律” 去括號的教學實驗。前者我們稱之為“對比班”,后者稱之為“實驗班”。在“對比班”則完全按課本上的內容和要求教學,并講明去括號法則的依據是乘法分配律。“實驗班”則不講去括號法則,直接用乘法分配律去括號。對于形如“-(x-2y)”的情況,去括號時把括號前的符號看成“-1”再用分配律。在結束新課后我們編制了14道只涉及去括號內容的題對這兩個班進行測試。目的是通過測試比較兩種方法對學生解題正確率和解題速度兩個方面所產生的影響。
在調查研究階段,我們選擇另一所完全按教材編寫要求進行“去括號法則”教學的學校進行測試。由于學生在學習去括號法則時已明確了法則的理論依據就是乘法分配律,因此學生對兩種方法都了解。我們這次測試的目的是調查了解學生在學了“去括號法則”一段時間后到底愿意選用那種方法進行去括號。測試時間選在學生學完“去括號法則”結束2個月后,測試對象為該校初2010級七年級1、2、兩個班共90名學生。這次我們編制了10道涉及綜合運用去括號內容的習題。
三、研究結果的統計分析
對“去括號法則”掌握的程度,我們根據學生作對題的個數分為成四類:
(1)作對試題1到3個題的學生為掌握較差(差);(2)作對4 到7 個題的學生為基本掌握(中);(3)作對8 到11 個題的學生為較好掌握(良);(4)作對 12到14 個題的學生為熟練掌握(優)。
統計對比如下:
用去括號法則所用時間為9到14分鐘;用乘法分配律解題所用時間為7到10分鐘。
由統計結果得,做對1到3個題(差)和4到7個題(中)兩種程度的學生,實驗班與對比班(均以9%比10%)差距不大,但做對8到11個題(良)和作對12到14個題(優)的兩類學生,則實驗班明顯優于對比班。(37%比33%和49%比43%)。在解題的時間上,實驗班最快的要比對比班快2分鐘,而最慢的則更顯出優勢,實驗班比對比班少用4分鐘。
[關鍵詞]乘法分配律；難點；策略
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）17-0020-03
笛Э緯癱曜賈賦觶骸霸謔學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。”其中， 運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。
乘法分配律是小學數學中一個非常重要的運算定律，合理使用乘法分配律可使計算簡便，大大提高學生的計算效率，提升學生的計算能力。由于乘法分配律的變式很多，一直都是學生掌握不好的內容。
【錯例1】概念理解不清，造成丟三落四。
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【錯例2】為了湊整而湊整，生搬硬套。
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【錯例3】對乘法分配律理解錯誤，造成計算錯誤。
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【錯例4】混淆乘法分配律和乘法結合律。
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在課堂上幾乎所有的學生都表現出能夠理解和運用乘法分配律，獨立作業時怎么會出現這五花八門的錯誤呢？我陷入了思考：
①乘法分配律到底難在哪？如何突破這些難點呢？
②是我的教學存在問題嗎？
③如何在教學之初改進，并在錯誤發生之后進行矯正呢？
基于此，我對自己以往的教學經歷及學生各種類型的錯誤進行一一分析，同時深入研究教材的編排和知識的結構，得出學生在乘法分配律應用計算過程出現錯誤的原因有以下幾方面。
第一，復雜。乘法分配律不但符號復雜，形式也復雜。乘法交換律“a×b=b×a”和乘法結合律“（a×b）×c=a×（b×c）”都只有一種乘號運算符號，不管怎么變，運算符號始終不會變，而且等式兩邊的數字個數都不變。乘法分配律“（a+b） ×c=a×c+b×c”含有加號和乘號兩種運算符號，且等號兩邊的符號、數字的個數及運算順序也不完全一致。這樣，形式上的復雜多樣，給學生的理解和記憶增添了難度。
第二，抽象。乘法交換律和乘法結合律直觀而形象，學生幾乎看著公式就能準確描述出定律。乘法分配律文字語言表述為“兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘，再相加。”既是“分別相乘”，又是“再相加”等關鍵詞語，學生覺得抽象又復雜，難以歸納，造成記憶負擔。
第三，多變。乘法交換律和乘法結合律在應用中模式固定，最多是交換一下位置，改變一下運算順序。如25×7×4×9=（25×4）×（7×9）=100×63=6300。乘法分配律在應用上變化多樣，有基本應用的，如36×55+64×55=（36+64）×55、（125+41）×8=125×8+41×8；還有各種變式應用的，如99×35、38×99+38、26×36+13×28……這樣在“變”中找“不變”，又在“不變”中找“變”，對學生提出了很高的要求。
如何才能讓學生更好地掌握和運用乘法分配律，為學生將來的數學學習打下扎實的基礎呢？
一、在比較中贏得探究
探究學習是學生不斷經歷猜想、驗證、思辨的過程。在探究學習時，教師提供的探究學習材料是學生進行有效探究的前提和基礎。
以往的教學都是從一道題目入手（如學校購買校服，上衣每件35元，褲子每條25元，買3套，一共需要多少元？），引導學生得到35×3+25×3和（35+25）×3，進而讓學生觀察、舉例、總結、應用。這樣的教學素材缺少了對內在運算意義的引導，忽視了對乘法分配律和結合律的聯系和比較，使得學生的注意力只放在算式的形式結構變化上，而這樣的記憶猶如搭在一堆流沙上的建筑，稍加干擾就立刻散架，甚至無法復原。為此，我重新設計學習材料。
1.引入
題目：城西文具店有練習本2箱，每箱4包，每包有25本，一共有多少本練習本？
（1）學生列式后計算：（2×4）×25或2×（4×25）。
（2）這里運用了什么運算定律？
（3）乘法結合律中，什么變了，什么沒變？
（4）括號中的乘法能不能變成加號？為什么？
引導學生明確：“2”表示“2箱”，“4”表示“4包”，“25”表示“每包25本”，單位不同，不能相加；乘法結合律中的乘號不能變成加號。
2.展開
題目：城西文具店有練習本2包，每包25本。又采購了同樣的練習本4包，現在一共有多少本練習本？
（1）學生列式后計算：25×（2+4）或25×2+25×4。
（2）“2”表示什么？“4”表示什么？25×（2+4）這個算式中加號能否改成乘號？為什么？
引導學生明白：“2”表示“2包”，“4”表示“4包”，單位相同，可以相加。“2+4”表示一共有6包練習本；這里的加號不能變成乘號。
小結：2×4和2+4雖然只是一個小小的運算符號不同，但代表的是2和4之間完全不同的兩種關系。“2×4”表示“2箱一共8包”，“2+4”表示“2包加上4包，一共有6包”。
（3）如果把25×（2+4）中的括號去掉，得到25×2+4，這里發生了什么變化？結合每個數表示的意義和數與數之間的關系進行解釋。
小結：要正確解答這道題，括號不能去掉。
3.進一步討論
（1）25×（2+4）要去掉括號應該寫成什么？寫一寫并解釋為什么。
（2）同樣是去括號，為什么25×（2+4）=25×2+25×4中，“25”出現了兩次，而2×（4×25）=2×4×25中，“25”只出現了一次？
（3）比較2×4×25和25×（2+4），每個數表示的意義是什么？2×4和2+4表示的意義相同嗎？
4.歸納總結
（1）25×（2+4）=25×2+25×4算式的左右什么變了，什么沒變？為什么可以這樣變？
（2）用自己的話說說算式的特點，再用自己喜歡的符號表示出來。
（3）揭示概念：這個運算定律叫作“乘法分配律”。
……
兩組探究材料的設計，注重數學材料內在的層次性和邏輯性，由學生已經掌握的乘法結合律的特點和內在意義引出乘法分配律，再將兩種運算定律結合具體事例進行了解釋和反復對比，最后在形式結構上進行比較。比起以往的教學，雖然沒有過多地強調外在形式的簡單記憶，但無論算式的外在形式怎樣變化，學生的思維始終圍繞運算的意義進行理解。
二、在理解中掌握內涵
很多學生能熟記公式，但不會靈活運用。因此，乘法分配律的教學既要注重外形結構，更要注重內涵本質：a×（b+c）=a×b+a×c中，為什么等式兩邊是相等的？
1.從解決問題的角度
根據以上問題情境可知，25×（2+4）是先求練習本的總包數，再求練習本的總本數；而25×2+25×4是分別求原來2包和又采購了4包的本數，再求總本數，因此得出25×（2+4）=25×2+25×4。
2.從乘法意義的角度
以25×（2+4）=25×2+25×4為例，左邊表示6個25，右邊表示2個25加4個25，一共是6個25，因此等式兩邊是相等的。
3.從數形結合的角度
如圖1，求大長方形的面積，既可直接用“長×寬”，也可分別求出兩個小長方形的面積后再相加，因此可得25×（2+4）=25×2+25×4。
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圖1
4.從乘法豎式計算的角度
兩位數乘兩位數，如24×12，即求12個24是多少，等于10個24與2個24的和，列式為24×（10+2）=24×10+24×2=240+48=288。（如圖2）
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圖2
讓學生思考：三位數乘兩位數的豎式是不是也符合這個乘法分配律？如150×12，學生會順著前面的思路，很快得出150×12就是求12個150是多少，就是等于10個150加上2個150，即150×12=150×10+150×2=1500+300=1800。這樣，通過乘法豎式計算就能幫助學生有效鞏固乘法分配律的算理和算法。
三、在多變中更易鞏固
利用運算定律進行簡單計算時，由于題目形式多樣，學生出現計算錯誤是在所難免的，尤其是在學習乘法分配律之后，如何靈活使用運算定律，常常讓許多學生苦惱。為此，引入“一題多解”題型，可以培養學生思維的`活性。要注意的是，練習題要少而精，要富有思維含量，從而點燃學生思維的火花，達到鞏固知識的目的。
題目：簡便計算：25× 。你能將題目補充完整嗎？
生1： 25×44=25×4×11=1100。
生2： 25×44=25×（40+4）=25×40+25×4=1000+100=1100。
生3： 25×99=25×（100-1）=25×100-25×1=2475。
生4： 25×102=25×（100+2）=25×100+25×2=2525。
生5：25×4+75×4=4×（25+75）=4×100=400。
生6：25×32×125=（25×4）×（8×125）=100×1000=100000。
生7：25×56+50×22
=25×56+（50÷2）×（22×2）
=25×56+25×44
=2500。
……
不同的學生就有不同的補充方法。接著，要求學生給這些題分一分類，并說一說是根據什么分類的。
在這一環節中，不同層次的學生可以量力而為，即使是學困生也能寫出一兩題。由于題目是學生自己設計的，這使得他們在計算時更加投入，應用運算定律也更加仔細，教學效果顯著。
四、在練習中拓展延伸
要讓學生能夠運用所學的知識解決實際問題。教師就需要對教材的內容進行再加工，從而加深學生對知識的理解，拓寬學生的思路，以培養學生的發散性思維。
1.初步拓展
出示：57×102-57×2。
引導： 57×102與57×2各表示什么意思？57×102-57×2又表示什么意思？ 100個57是怎樣得到的？
這樣，學生很快就明白此題怎樣算才比較簡便，很快就解答出來了。在此基礎上教師可繼續提問：“這一個題目與我們前面學的有什么不一樣？你準備怎么辦？”
學生在練習本上舉例驗證，并相互交流，最后提煉出a×b-a×c =a×（b-c）。
2.總結延伸
出示：79×67+79×31+79×2。
有了前面的基礎，學生很快就發現a×m+b×m+c×m= （a+b+c） ×m。
引導：難道只限于三個數嗎？四個數、五個數，或者更多呢？
學生紛紛動手嘗試，通過激烈的討論，得出了：
a×m+b×m = （a+b） ×m
a×m+b×m+c×m= （a+b+c） ×m
a×m+b×m+c×m+d×m= （a+b+c+d） ×m
……
通過這樣的引申，學生在深刻理解乘法分配律內涵與外延的同時，感受到數學的無窮魅力，從而產生了濃厚的求知欲。
五、在堅持中培養習慣
學生在作業中常出現各種錯誤，如125×25×8×4=（125×8）+（25×4）=1000+100=1100。學生看到紅紅的大叉后往往會說：“我為什么把‘×’寫成了‘+’呢？”
可見，要提高作業的正確率，良好的作業習慣是保障。教師除了要求學生認真審題、書寫規范之外，還要培養學生在進行簡算時，結合遞等式“每一步都相等”的特點，一步一回頭，每做一步都要思考變化的依據是什么，前后是否相等，這樣做有沒有道理，等等。通過這樣的習慣培養，學生的解題思路以及自我審查、自我反思等能力都會得到不斷提高。長此以往，不僅學生的學習習慣得到培養，學生思維的嚴謹性及邏輯性也會得到發展。
一、培養思維能力要在教學環節點上下功夫
培養思維能力要體現在教學環節點上，不論是教學新知識，還是復習，組織學生練習，都要注意結合具體的內容有意識地進行培養。數學課上，組織游戲趣味型數學活動，發展學生思維的自主性。例如學習“人民幣的認識”這一課，可以通過創設模擬的商場，讓學生在組內進行買賣活動，在充滿趣味性的自主活動中，學生不僅認識了人民幣，而且也學會了簡單的兌換。這樣，學生在學習中有著更顯著的自主性。學生實實在在地體會到生活中的數學，切實感受數學與自己學習生活的密切聯系，使他們學會用數學的眼光去觀察身邊的事物。
在教學新知識時，通過設疑創設情境，設置一些似是而非的知識障礙，讓學生陷入“圈套”造成學生的知識沖突、矛盾，產生不足之感，激起思維，喚起求知欲，于是就會動腦筋尋思，引導學生去分析、推理，最后歸納出正確的結論。例如，教學兩位數乘法，關鍵是通過直觀引導學生把它分解為用一位數乘和用整十數乘，重點要引導學生弄清整十數乘所得的部分積寫在什么位置，最后概括出用兩位數乘的步驟。學生懂得算理，自己從直觀的例子中抽象、概括出計算方法，不僅印象深刻，同時發展了思維能力。
在組織練習時，要突出關鍵，抓好本質。在教學中看到，有的老師也注意發展學生思維能力，但不是貫穿在一節課的始終，而是在一節課最后出一兩道稍難的題目來作為訓練思維的活動，或者專上一節思維訓練課。這種把培養思維能力只局限在某一節課內或者一節課的某個環節內，是值得研究的。當然，在教學全過程始終注意培養思維能力的前提下，為了掌握某一特殊內容或特殊方法進行這種特殊的思維訓練是可以的，但是不能以此來代替教學全過程發展思維的任務。培養學生思維能力要體現在年級教學上首先要明確各年級都擔負著培養學生思維能力的任務。學數學就如魚和網，這里魚就是知識，網就是方法，有了這張網就能捕抓到更多的魚，所以“授人以漁”一直是我教學中的主旋律。
二、培養學生思維能力從設計好練習題中下功夫
培養思維能力的最有效辦法是通過解題的練習來實現。因此設計好練習題就成為能否促進學生思維能力發展的重要一環。一般地說，課本中都安排了一定數量的有助于發展學生思維能力的練習題。但是不一定都能滿足教學的需要，而且由于班級的情況不同，課本中的練習題也很難做到完全適應各種情況的需要。因此教學時往往要根據具體情況做一些調整或補充。
設計練習題要有針對性，要根據培養目標來進行設計。例如，為了了解學生對數學概念是否清楚，同時也為了培養學生運用概念進行判斷的能力，可以出一些判斷對錯或選擇正確答案的練習題。舉個具體例子：“所有的質數都是奇數。”如要作出正確判斷，學生就要分析偶數里面有沒有質數。而要弄清這一點，要明確什么叫做偶數，什么叫做質數，然后應用這兩個概念的定義去分析能被2整除的數里面有沒有一個數，它的約數只1和它自身。想到了2是偶數又是質數，這樣就可以斷定上面的判斷是錯誤的。
設計多種練習形式。通過多種練習形式，不僅有助于加深理解所學的數學知識，而且有助于發展學生思維的靈活性，并激發學生思考問題的興趣。例如，講過乘法分配律，除了像課本中的練習題，給出兩個數相加再乘以一個數，要求學生應用運算定律寫出與它相等的式子以外，還可以給出一些等式，其中有的不符合乘法分配律，讓學生判斷哪個是錯誤的；或者用3種圖形代替具體的數，寫成兩個式子，如（+）×和×+×，讓學生判斷它們是不是相等，并說明根據。這些練習都有助于培養學生演繹推理的能力。
設計一些有不同解法和有多個答案的練習題，對于發展學生思維的靈活性和創造性有很大益處。但是，做有不同解法的練習題時，不宜讓學生片面追求解法的數量，而要引導學生運用不同的思路，或運用不同的知識去解決，并且要找出簡便的解法。
設計的練習題的難度要適當，要是大多數學生經過努力思考運用所學知識能夠正確解答出來的。在教學中為了發展學生思維，往往出一些超過大綱課本范圍的題目，這樣不僅會增加學生負擔，而且由于難度太大，不利于激發學生學習興趣，也不能有效地發展學生的邏輯思維和思維的靈活性。
三、培養思維能力從培養語言表達能力下功夫
人們的思維與語言是密不可分的。語言是思維的工具。心理學認為，借助語言人們把獲得的感覺、知覺、表象加以概括，形成概念、判斷，進行推理。通過語言表達還有助于調節自己的思維活動，使之逐步完善。在數學教學中，要發展學生思維能力，就要引導學生去分析、比較、綜合、抽象、概括、判斷、推理，而教師要了解學生這些思維活動的情況，也需要讓學生用語言表達出來，然后對學生思維的過程給予肯定或糾正。有經驗的教師總是注意讓學生用語言表達自己的計算過程和解題思路，結果學生思維能力有較快的提高。由于課堂教學時間有限，為了使學生都有用語言表達他們思維的訓練機會，可以把指名發言、集體討論和同桌兩人對講等不同方式結合起來。教師還應有意識有計劃地注意幫助差生，鼓勵差生發言，推動他們積極思維，以便促使他們的數學成績和思維能力都取得較大的進步。
四（下）計算專練
四則運算（-）
班級
姓名
1、口算：
11×70=
0×536=
34×5=
84×2=
35×30=
180×4=
19×6=
24÷12=
99÷11=
36÷18=
96÷6=
60÷12=
91÷13=
85÷17=
51÷17=
2、用遞等式計算：
17+83-25
41×3-76÷2
8×（54-49）-33
284-27
×4
73-6×12+34
81÷（21-12）×13
四（下）計算專練
四則運算（二）
班級
姓名
1、口算：
15×80=
80×60=
101×40=
48×50=
17×20=
130×7=
75×2=
25×4=
52÷13=
74÷37=
54÷27=
100÷4=
86÷43=
60÷2÷5=
45×2÷9=
12÷3×4=
111×40≈
208×20≈
197×50≈
93×21≈
2、用遞等式計算：
145÷5×6
27+（18
-12）
×7
52-18×2+31
125-15÷5
（75+25）×（43-36）
120÷4-360÷4
四（下）計算專練
四則運算（三）
班級
姓名
1、口算：
25×40=
104×4=
200×8=
12×50=
300×20=
21×7=
15×6=
13×4=
48÷12=
90÷30=
54÷27=
320÷4=
420÷21=
48÷2÷3=
30×2÷1=
12×3÷6=
482×20≈
751÷3≈
99×33≈
604÷60≈
2、用遞等式計算：
6×（4×25）
43×4-65×2
960÷5+56×20
69÷3×（85-65）
（76+54）÷5
168÷4+17×6
四（下）計算專練
四則運算（四）
班級
姓名
1、口算：
15×80=
80×60=
101×40=
48×50=
17×20=
130×7=
75×2=
25×4=
52÷13=
74÷37=
54÷27=
100÷4=
86÷43=
60÷2÷5=
45×2÷9=
12÷3×4=
111×40≈
208×20≈
197×50≈
93×21≈
2、用遞等式計算：
13×24÷12
（119-8）÷3
（32-14）÷（36÷6）
43×4-65×2
0×54+84÷3
20+30×0-6
四（下）計算專練
四則運算（五）
班級
姓名
1、遞等式計算：
29×（3+9）
36×13-552÷8
125－54÷9
56÷（102-94）+126
0×（35÷7）+86
（18-18）÷（18+18）
179-4×9÷6
63+24÷8-2×3=75
2、把合適的數填在里。
÷（54÷6）=8
÷3-15=4
50+×8=250
420-7×=0
四（下）計算專練
四則運算（6）
班級
姓名
1、遞等式計算：
（75+25）×（43-36）
12×（78-69）
43×4-64÷8
78÷3+（120-95）
69÷3×（85-65）
35+24×2÷8
49÷7×（81-72）
（78-29）÷7×12
2、在算式中合適的地方添上小括號，使算式成立。
63+24÷8-2×3=66
63+24÷8-2×3=75
四（下）計算專練
四則運算（七）
班級
姓名
1、遞等式計算：
5×80-30÷6
214÷2×3+42
200-26+480÷60
37+9×（36-12）
246÷（26+15）×2
（466-25×4）÷6
（35+46）÷（356-347）
（50-25×2）×16
2、計算109-2×（12÷4-0×8）+12×（0+3）
四（下）計算專練
四則運算（八）
班級
姓名
1、遞等式計算：
（585-235）÷14×6
18×（79-79）÷27
510-（48+48÷6）
（395+26×5）÷23
3200÷（1208-72×14）
41×（32-14）÷6
63+（24÷8）-2×3
35+24×（24÷8）
2、在下面各算式中添上運算符號和括號，使等號兩邊相等。
9
9
9
9
9=10
9
9
9
9
9=0
四（下）計算專練
（一）加法運算定律
班級
姓名
計算下面各題，怎樣簡便就怎樣計算。
362+233+138
526+327+274
182+765+108
24+128+476+572
368+2649+1351
89+101+111
999+99+9
728+598
挑戰題：
1、用簡便方法計算：
256+249+251+246+253
2、計算1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-……+1990
四（下）計算專練
（二）乘法運算定律
班級
姓名
1、口算：
25×2=
125×2=
4×25=
25×8=
4×125=
75×4=
25×5=
125×8=
2、運用乘法運算定律進行簡便計算：
25×18×4
35×103
125×4×8×25
4×7×5×8
8×（125×9）
（25+12）×4
67×99+67
37×28+63×28
3、計算：
25×32×125
四（下）計算專練
簡便計算（一）
班級
姓名
1、怎樣簡便就怎樣計算：
848-172-228???????????????????????????????????????457-188-157
45+65-45+65
812-47-153-112
6×7×5×8
（13+50）×20
201×12
226×99+226
2、簡便計算：5498-1928-387-1072-1613
四（下）計算專練
簡便計算（二）
班級
姓名
1、怎樣簡便就怎樣計算：
698-432+502-368
462+74+138+126
25×16
125×72
48×35+52×35
19×37+81×37+43
25×64×125
125×48
2、請用兩種簡便算法計算125×64
四（下）計算專練
簡便計算（三）
班級
姓名
1、怎樣簡便就怎樣計算：
618-（352-272）
576-（176+280）
75+43-75+43
78×99+78
125×25×8×4
99×28
24×9-24×7
150÷25÷2
2、用簡便算法計算37×15+37×10×6+37×25
四（下）計算專練
簡便計算（四）
班級
姓名
1、怎樣簡便就怎樣計算：
398-305
694-36+42
45×405
85×32-85×28
25×34×40
60×（13+45）
750÷5÷2
1280÷5÷128
2、計算28×11111+99999×8
四（下）計算專練
簡便計算（五）
班級
姓名
1、怎樣簡便就怎樣計算：
25×24
125×24
125×32×25
42×35+58×35+67
54×47-54×37-38
125×（8+80）
3200÷4÷25
350÷14
2、計算19999+9999×9999
四（下）計算專練
簡便計算（六）
班級
姓名
1、怎樣簡便就怎樣計算：
25×（4×8）
（25+18）×4
39+52+161+42
89×101
2000÷125÷8
68×12-68×2
9+99+999+9999
（18+18+18+18）×25
2、計算111×2+222×3+333×4
小學數學計算分層專項練習
——四年級（下）怎樣簡便怎樣算（1）
姓名
班級
座號
等第
計算過關：怎樣簡便就怎樣算。
48×37＋63×48
99×21＋21
573－（173＋85）
125×23×8
288÷48＋12×48
3800－568÷8×10
挑戰聰明：怎樣簡便就怎樣計算。
11111×44＋22222×28
1－2＋3－4＋5－6＋……＋99
小學數學計算分層專項練習
——四年級（下）怎樣簡便怎樣算（2）
姓名
班級
座號
等第
計算過關：怎樣簡便就怎樣算。
573－174－126
53＋99×53
32×25
400＋612÷12×4
102×17
480－（32＋32÷4）
挑戰聰明：怎樣簡便就怎樣計算。
125×32×25
55×83＋44×83＋83
小學數學計算分層專項練習
——四年級（下）怎樣簡便怎樣算（3）
姓名
班級
座號
等第
計算過關：怎樣簡便就怎樣算。
79×25－39×25
101×27－27
716－（216＋45）
125×24
（650－180）×5＋560
1843－45÷9×24
挑戰聰明：怎樣簡便就怎樣計算。
1999＋999×999
111×2＋222×3＋333×4
小學數學計算分層專項練習
——四年級（下）怎樣簡便怎樣算（4）
姓名
班級
座號
等第
計算過關：怎樣簡便就怎樣算。
89×101
99×23＋23
456－（156＋120）
25×48
74×25÷74×25
（664＋68）÷（37－33）
挑戰聰明：怎樣簡便就怎樣計算。
（23＋23＋23＋23）×25
37×15＋66×15－3×15
小學數學計算分層專項練習
——四年級（上）豎式計算（除法1）
姓名
班級
計算過關：請你在規定的時間內完成過關題目。
48×160=
319×26=
408×25=
97÷3=
272÷36=
495÷45=
972÷47=
420÷60=
380÷70=
576÷18=
930÷31=
小學數學計算分層專項練習
——四年級（上）豎式計算（除法2）
姓名
班級
座號
等第
計算過關：請你在規定的時間內完成過關題目。
176×47=
25×360=
409×23=
164÷5=
158÷25=
287÷43=
590÷27=
3600÷90=
345÷23=
252÷25=
3276÷84=
小學數學計算分層專項練習
——四年級（上）豎式計算（除法3）
姓名
班級
座號
等第
計算過關：請你在規定的時間內完成過關題目。
322×27=
25×679=
209×30=
264÷8=
349÷35=
587÷34=
680÷25=
8100÷90=
445÷32=
258÷38=
776÷84=
挑戰聰明：請你積極開動腦筋，展示你的智慧。
1
3800÷400=（
）
×
4
5
A、9……2
B、9……200
8
C、90……2
D、900……200
乘法分配律練習題
姓名：
類型一：（注意：一定要括號外的數分別乘括號里的兩個數，再把積相加）
（40＋8）×25
125×（8+80）
36×（100+50）
24×（2＋10）
86×（1000－2）
15×（40－8）
類型二：（注意：兩個積中相同的因數只能寫一次）
36×34＋36×66
75×23＋25×23
63×43＋57×63
93×6＋93×4
325×113－325×13
28×18－8×28
類型三：（提示：把102看作100＋1；81看作80＋1，再用乘法分配律）
78×102
69×102
56×101
52×102
125×81
25×41
類型四：（提示：把99看作100－1；39看作40－1，再用乘法分配律）
31×99
42×98
29×99
85×98
125×79
25×39
類型五：（提示：把83看作83×1，再用乘法分配律）
83＋83×99
56＋56×99
99×99＋99
75×101－75
125×81－125
91×31－91
乘法運算定律綜合練習
姓名
班級
38×62+38×38
75×14—70×14
101×38
12×98
55×99+55
55×99
12×29+12
58×199+58
42×79+42
52×89
69×101—69
55×21—55
125×（80+8）
125×（80×8）
125×32×25
99×99+99
38×7+31×14
25×46+50×27
79×25+22×25—25
9999×2222+3333×3334
運算定律與簡便計算練習題
一、判斷題。
1、27+33+67=27+100
（
）
2、125×16=125×8×2
（
）
3、134-75+25=134-（75+25）
（
）
4、先乘前兩個數，或者先乘后兩個數，積不變，這是乘法結合律。（
）
5、1250÷（25×5）=1250÷25×5
（
）
二、選擇（把正確答案的序號填入括號內）（8分）
1、56+72+28=56+（72+28）運用了
（
）
A、加法交換律B、加法結合律C、乘法結合律D、加法交換律和結合律
2、25×（8+4）=（
）
A、25×8×25×4
B、25×8+25×4
C、25×4×8
D、25×8+4
3、3×8×4×5=（3×4）×（8×5）運用了
（
）
A、乘法交換律B、乘法結合律C、乘法分配律D、乘法交換律和結合律
4、101×125=
（
）
A、100×125+1
B、125×100+125
C、125×100×1
D、100×125×1×125
三、怎樣簡便就怎樣計算（35分）。
355+260+140+245
102×99
2×125
645-180-245
382×101-382
4×60×50×8
35×8+35×6-4×35
四、應用題。
（14分）
1、雄城商場1—4季度分別售出冰箱269臺、67臺、331臺和233臺。雄城商場全年共售出冰箱多少臺？
2、第三小組六個隊員的身高分別是128厘米、136厘米、140厘米、132厘米、124厘米、127厘米。他們的平均身高是多少？
簡便計算練習
姓名：
班級：
527＋199
735－198
105×99
865－198
75×98
68×99＋68
63×88＋88×37
58×99＋58
25×49＋75×49
575－78－22
48×89＋48
367－199
56×102
75×48＋75×52
（20＋4）×25
99×11
32×（200＋3）
68×39＋68
239×101
38×25×4
42×125×8
（25×125）×8×4
78×125×8×3
（125×25）×4
（125＋25）×4
127+352+73+4
89+276+135+33
5+204+335+96
25+71+75+29
+88
243+89+111+57
399＋（154＋201）
480＋325＋75
78+53+47+2291＋89＋11
36+18+64
168＋250＋32
85＋41＋15＋59
78＋46＋154
130-46-34
263－96－104
970－132－68
400－185－15
472－126－124
168－28－72
437－137－63
244+182+56
200－173－27
124+68+76
263－96－104
970－132－68
400－185－15
472－126－124
603+421
745-305
951-395
19+199+1999
34+304+3004
798+321
325-156+675-144
8+98+998+9998
99999+9999+999+99+9+4
44＋37＋56
163＋49＋261
74＋（137＋326）
249＋402
189＋35＋211＋165
483－236－64
582－157－182
65×5×2
15×23×4
36×25
25×125×32
35×22
5×（63×2）
540÷45÷2
540÷36
216＋305
25×32
47＋236＋64
6×（15×9）
402＋359
43＋78＋122＋257
25×（26×4）
25×44
354＋（229＋46）
25×（4×12）
25×（4+12）
64×64＋36×64
99×99+99
49×99+49
49×99+49
⑴??a＋b
＝b＋a
88＋56＋12
178＋350＋22
56＋208＋144
⑵??(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
（23＋56）＋47
286＋54＋46＋4
582＋456＋544
⑶??a×b＝b×a
25×37×4
75×39×4
65×11×4
125×39×1
⑷??(a×b)×c＝a×(b×c)
19×75×8
62×8×25
43×15×6
41×35×2
⑸??a×(b＋c)
＝a×b＋a×c
136×406＋406×64
702×123＋877×702
246×32＋34×492
⑹??a×(b－c)
＝a×b－a×c
102×59－59×2
456×25－25×56
43×126－86×13
101×897－897
⑺??a－b－c＝a－(b＋c)
458－45—155
2354－456－544
68547－457－123－420
⑻??a－b＋c＝a＋c－b
4235－4067＋765
3569＋526－1569
45682－7538＋14318
⑼??a÷b÷c＝a÷(b×c)
4500÷4÷75
16800÷8÷25
248000÷8÷125
5200÷4÷6
⑽??a÷b×c＝a×c÷b
4500×102÷90
3600÷80×2
125÷20×8
250÷75×30
⑾??a－b＝a－(b＋c)＋c
429－293
1587－689
8904－1297
87905－388
⑿??a－b＝a－(b－c)－c
2564－302
25478－9006
5024－502
1251－409
⒀??a＋b＝a＋(b＋c)－c
254＋489
5021＋897
654＋793
654＋4999
⒁??a＋b＝a＋(b－c)＋c
124＋4005
1235＋607
248＋803
2005＋45687
⒂??254＋246＋744＋1054
5897＋568－897＋432
45627－258－742－1627
⒃??321×46－92×27－67×46
75×32×125
65×16×125
加法交換律：a＋b＝b＋a
加法結合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
乘法交換律：a×b＝b×a
乘法結合律：（a×b）×c＝a×（b×c）
乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c
或a×（b＋c）＝a×b＋a×c
加
加
因??加
因??加
因
的性質：a－b－c＝a－（b＋c）
帶著加減號搬家：a－b－c＝a－c－b
a－b＋c＝a＋c－b??a＋b－c＝a－c＋b
怎么簡便怎么算：
（23＋56）＋47
25×277×4
125×（3＋8）
462－83－117
8×（30×125）
3200÷25÷4
??425－38＋75
5246－（246＋694）
25×6＋25×4
360÷（18×
4）
32×105
598＋735
99×38＋38
98×34
25＋75－25＋75
48×125
一、培養學習興趣，激發學生發散思維的積極性
在教學中，教師要十分注意激起學生強烈的學習興趣和求知欲，使他們能帶著一種高漲的情緒從事學習和思考.
1.通過直觀的教具，激發學生發散思維的積極性.通過具體的教學實物，能夠沖擊學生的視覺，激發他們的興趣.例如，一年級下冊《認識圖形》單元中《認識長方形、正方形和圓》.在課前，讓學生把自己喜歡玩的積木帶來，通過積木來認識、學習這節課的內容.一年級的學生，仍處在好動、好奇都特別強烈的階段，情緒容易調動，而積木又是他們喜歡玩的游戲，那節課的內容一直圍繞著積木向主題展開，感覺是邊玩邊學.這樣學生就處在一個想學的階段，情緒高漲，思維敏捷，思考問題的思維當然也就開闊.
2.通過創設教學情境，激發學生思維的積極性.情緒是影響積極性的一個導火線，創設愉快的教學情境，也可激發學生的學習興趣，是學生的情緒高漲，誘發出學生創新的思維活動.例如，在教學《年、月、日》的認識時，一上課可以設置一個使學生感到非常意外的問題：小明前幾天剛過了第18個生日，而他爺爺卻剛剛過了第16個生日.為什么呢？學生就會想：怎么可能呢？爺爺怎么比孫子過的生日還少呢？學生的求知欲馬上就被調動起來，很快就進入主題的探究.
3.通過多媒體教學，激發學生發散思維的積極性.除了創設出來的愉快情境外，也可以利用多媒體輔助教學，因為多媒體是集聲、光、動畫為一體，化抽象為具體，變枯燥為有趣，化靜為動，這些對學生思維的發展，提供了良好的環境.例如，在教學《兩位數減一位的退位減法》中的“23-8”時，計算機畫面上首先出現小棒，兩捆加三根怎樣減去八根，學生可以先自己先動手操作，試一試怎樣減，探求方法.然后，按一下正確答案，出現的畫面就會是兩捆零三根小棒和一只小熊，按照學生擺的方法，小熊把一捆小棒拆開，然后和三根小棒放在一起，去掉八根小棒，等于十五根小棒.小熊邊做邊說，再加上適當音響和音樂.在這個過程學生可以親自操作，可以親眼目睹這個過程，認識兩位數減一位數退位減法的關鍵就是不夠減的向前一位借一，在個位上加十再減.這一系列的動態過程中，學生可以反復操作，抓住重點，從而得到正確的結論，學會知識，完成教學任務.這一環節，借助多媒體的色彩、聲音、動畫演示，不僅激發學生的學習興趣，而且還可以啟發學生的思維，提高教學質量.
二、設計好練習題，培養學生發散思維能力
培養學生的思維能力同學習計算方法、掌握解題方法一樣，也必須通過練習.而且思維與解題過程是密切聯系著的.培養思維能力的最有效辦法是通過解題的練習來實現.設計好練習題就成為能否促進學生思維能力發展的重要一環.一般的說，課本中都安排了一定數量的有助于發展學生思維能力的練習題.但是，不一定都能滿足教學的需要，而且由于班級的情況不同，課本中的練習題也很難做到完全適應各種情況的需要.因此教學時往往要根據具體情況做一些調整或補充.
1.設計練習題要有針對性.要根據培養目標來進行設計.例如，為了了解學生對數學概念是否清楚，同時也為了培養學生運用概念進行判斷的能力，可以出一些判斷對錯或選擇正確答案的練習題.舉個具體例子：“所有的質數都是奇數.”如要作出正確判斷，學生就要分析偶數里面有沒有質數.而要弄清這一點，要明確什么叫做偶數，什么叫做質數，然后應用這兩個概念的定義去分析能被2整除的數里面有沒有一個數，它的約數只1和它自身.想到了2是偶數又是質數，這樣就可以斷定上面的判斷是錯誤的.
2.設計多種練習形式.通過多種練習形式，不僅有助于加深理解所學的數學知識，而且有助于發展學生思維的靈活性，并激發學生思考問題的興趣.例如，講過乘法分配律，除了像課本中的練習題，給出兩個數相加再乘以一個數，要求學生應用運算定律寫出與它相等的式子以外，還可以給出一些等式，其中有的不符合乘法分配律，讓學生判斷哪個是錯誤的；或者用3種圖形代替具體的數，寫成兩個式子，如（+）×和×+×，讓學生判斷它們是不是相等，并說明根據.這些練習都有助于培養學生演繹推理的能力.
一、巧變教材，分解難點，讓學生自主學習
教材是傳播知識的載體，是落實課程標準、實現教學目標、實施教學的重要資源，但是即使是新教材，因為它的“普遍性”和“一般性”的特點，決定了我們在具體的教學過程中必須要根據教學對象的不同，靈活有效地處理好教材。
案例一：等腰三角形的性質“三線合一”的教學：對于等腰三角形的性質“三線合一”這一節課的教學，按教材處理是通過教具讓學生掌握等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高所在的直線都是三角形的對稱軸的知識，亦即等腰三角形的“三線合一”，然后再用全等的知識進行幾何的推理論證，最后進行性質的運用。但是筆者發現采用該方法后，很多學生不會應用“三線合一”的性質解決問題，于是筆者改變策略，一開始讓每個學生任意作一個三角形，然后再在你所作的三角形的同一邊上作角平分線、中線和高，隨后，找出下面三個學生的結果讓大家觀察和比較，并提出問題：為什么第三個同學的三角形的三條重要線段會重合呢？第三個同學所畫的三角形是什么三角形呢？然后老師和同學共同總結出：等腰三角形的“三線合一”。最后用三角形全等的知識進行幾何推理。
這節課經過這樣改動后，對“三線合一”的理解更深刻了，知道在等腰三角形的前提下，只要知道其中一線，就可以推導出其他兩線的結論，在作業中也會應用“三線合一”解決問題了。
二、靈活地處理教材，讓學生學得更自然
教師應當關注學生的發展，創造性地處理、駕馭教材，從學生的實際出發，通過更換素材，增加編排，改變編排等方式，對教材進行有效再加工，進一步發揮教材的示范作用和例題的示范作用。
案例二：去括號法則的教學：筆者曾到一個學校聽課，內容為“去括號法則”。教師講完法則后出了一組練習題，坐在旁邊有三個學生在做練習：“去括號-3（2a-3ab+6）”。他們分別出現了以下解題過程：
學生甲：-3（2a-3ab+6）= -2a+3ab-6；
學生乙：-3（2a-3ab+6）= -32a+3ab-6；
學生丙：-3（2a-3ab+6）= -（6a-9ab+18）= -6a+9ab-18.
顯然學生甲和學生乙的解法都是錯誤的，而學生丙的解法才正確，為了應對甲、乙同學這樣的思維誤區，筆者采用了對比實驗的方法進行研究。在所教的兩個班分別采用“用去括號法則”去括號和“用乘法分配律”去括號的教學實驗，結果表明，用乘法分配律去括號比用去括號法則去括號正確率高而且解題速度快。
去括號法則本質上是乘法分配律的應用，因而直接用乘法分配律去括號是回歸到本質。用乘法分配律去括號時沒有中間轉化的環節，可直達結果，從而減少了出現錯誤的機會，提高運算的正確率。
三、創設問題情境，讓學生自主建構知識
目前教材正在進行改革中，需要我們的教師建設性、創造性的使用教材，創設出適合學生開展有效學習的問題情境。情境創設中，我們要把社會中心的“用”，學科中心的“序”和兒童中心的“趣”很好的結合起來。
案例三：“平方差公式”的教學：在學習“平方差公式”一課時，可以創設如下的問題情境：從前，有一個莊園主，把一塊邊長為米的正方形土地租給老王種植，第二年，他對老王說：“我把這塊地的一邊減少3米，相鄰的另一邊增加3米，繼續租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”老王一聽，覺得好像沒有吃虧，就答應道：“好吧。”回到家中，他把這事和鄰居們一講，大家都說：“老王，你吃虧了！”老王非常吃驚。聰明的你知道老王吃虧了嗎？在學生被生活化的問題所級引，而又感到疑惑，并爭先恐后地表達自己的見解時，自然地引入新課――平方差公式。
問題情境要符合學生的認知情況，問題不能太難，也不能太易，要做到直觀鮮明，能激發學生學習興趣和求知欲，從而調動學生思維的積極性。
四、巧變課本習題，培養學生學習靈活性
思維的靈活性是數學思維的重要品質，在課堂練習時，如果教師的訓練方式單一，習題的形式雷同，就會使孩子的思維趨于僵化，形成負遷移。
案例四：在學習“全等三角形”時，教師出示題目。
如圖，在ABC中∠BAC=90°，AB=AC，過點A任意作一條直線l（l不與邊BC相交），并作BDl，CEl，垂足分別為D、E，試說明線段DE、BD、CE之間的數量關系。因為對圖形很熟悉，學生很快得出“DE=BD+CE”。此時教師不能認為此題已解決，應設置如下變式訓練：
（1）如果條件中的三個90°都改為60°，這三條線段之間的關系還成立嗎？學生仿照前面找相等角的方法，同樣可證出DAB≌ECA，進而得出這三條線段的關系。
（2）如果把60°改為140°呢，是否也有相同結論？學生思考片刻后，易得到肯定回答。
（3）結合（1）、（2），你有何發現？此時，學生豁然開朗，很自信地回答：“當∠BDA=∠BAC=∠AEC時，DE=BD+CE都是成立的。”
教師從一道例題出發，營造了一個生動、動態的探究情境，通過變式訓練和提問，學生不僅熟悉了圖形的特征，掌握了方法，而且對所學知識達到“知其然，又知其所以然”的境界。
教材是學生學習的資源，是教師引導學生學習的橋梁，但教材只是一個文化中介，不是唯一的教學依據，所以，教師教學的重點不應是教材內容的完成，而應充分利用教材，整合資源，為學生提供合適的學習素材，合理的想象空間，積極探索的情境，以便使學生由能學習真正轉為會學習。
參考文獻：
[1]人民教育出版社中學數學室編：初級中學課本《代數》第一冊[M].人民教育出版社，1989年10月第二版
[2]人民教育出版社中學數學室編：九年義務教育三年制初級中學教科書《代數》第一冊[M].人民教育出版社，1993年10月第一版
[3]人民教育出版社中學數學室編：義務教育初中數學試驗課本《代數》第一冊 [M].人民教育出版社，1994年10月第一版
關鍵詞：數學復習；分層復習
六年級數學期末總復習是一學期教學中的一個重要環節，是使學生進一步理解、掌握、鞏固和運用所學知識的系統化過程。這個過程對學生來說，知識容量多、跨度大、知識的綜合性強，再加上進入總復習階段后，學生數學學習之間的差異越來越大，如何應對這種差異，面向全體學生，促進學生的全面發展，成為我們探討的重點。在我們看來，學生沒有優差區別，差會變優，優會變更優，只是他們的能力還沒有充分發揮出來。針對學生的特點，我根據學生的差異性，實行因材施教，采取分層復習。現在簡述如下：
一、實施分層復習的原則
（一）差異性原則。
分層復習的目的是尊重學生間的差異。根據現代心理學研究把學生的差異分為可變差異和不變差異。可變差異就是指學生在知識儲備、學習策略、態度與技能等方面的差異，這種差異是習得的，是可以改變的。不變差異是指學生在個性特征、興趣愛好等方面的差異。相對于可變差異而言，他們在短時間內不可改變，這些差異是學生的優勢差異，我們要利用學生的這些特質促進學生個體優勢的發展，做到學有專長。基于這些認識，我采用了“正視差異、利用差異、發展差異”的原則。
（二）主體性原則。
在實施分層復習的各個環節，要充分落實學生學習的主體性。實施分層復習、照顧學生差異的目的就是為了更好地體現和發揮學生學習的主體性，讓學生成為學習的主人，讓學習成為學生“我愿意、我能夠、我深信”能做好的事情，也只有使分層復習真正體現了學生的主體性，分層復習的效果才能到得明顯地提高。
二、實施分層復習的一些粗淺做法
（一）回顧整理，準確分層。
六年級數學知識具有很強的邏輯性、系統性，它們之間往往都是縱向發展。橫向聯系著的，復習時，我根據知識本身的邏輯順序和內在聯系，把這本書中的知識體系砍成四大塊：概念性的基礎類、計算類、解決問題類、能力挑戰類。明確知識結構，從而給學生更好的分層，使每一層學生都能深刻地理解和掌握應該學會的知識。
為了準確地把握學生層次，我根據一學期來，全班每一個學生的智力和非智力兩個方面不同層次的學習情況，把全班學生相對分成A、B、C三個層次。而學生所處的層次不是一成不變的，不同類的知識分層也要相應的調整，采用了動態的觀點、發展的眼光觀察學生，隨時注意學生的考試成績、課堂表現、課后作業等，合理進行調整，以調動學生學習積極性。
（二）突出比較，目標分層。
我把每個單元的知識要點穿線整理，把典型題列成表格。一題多問、一題多改、一題多解等各種形式編排復習。復習時，我除了要精心設計問題，啟發引導學生把教材直接給出的知識內容進行比較，如：《運算定律與簡便計算》中的運算定律整理后，例出多種題型進行對比，便與掌握，在乘法分配律的復習中我就是這樣做的。因為乘法分配律的變形題非常多，學生往往因為理解不透，出現一些錯誤。在這個知識點上我整理出了這些題型：①a×c+b×c=（a+b）×c；②（a+b）×c=a×c+b×c；③47×201=47×（200+1）；④47×199=47×（200-1）；⑤47×99+47；⑥47×2+47×5+47×3=47×（2+5+3）；⑦47×18-47×5-47×3=47×（18-5-3）。還把教材中那些以文字作提示的內容也進行了比較，并且對復習中的一些例題或習題也應有意識地要求學生進行變換條件和問題的練習，讓學生在同中求異、異中求同的過程中，從而更好地培養學生思維的深刻性，提高學生的辨析能力。
在對知識進行比較中，方便了對知識目標的分層，就是將原來統得過死的單一性教學目標改為因人而異的彈性目標。復習時，要以學困生“吃得了”，中等生“吃得好”，優秀生“吃得飽”為原則。對不同層次的學生，提出不同的學習要求，讓“不同的人在數學上得到不同的發展”，這是課程標準提出的新理念。就拿剛才的乘法分配律的教學來說吧，C層學生只要求把基本的題型①、②兩種掌握了就可以，掌握準確，練習扎實；B層學生要求掌握的不但有①、②基本題型，還要掌握③、④、⑤三種變形題；A層學生就已經有能力完全掌握①-⑦的所有題型，對比其中的相同點與不同點，把知識學透徹。在以前的復習課堂上，學生進行練習時，經常會看到這樣的情況，學困生反應遲鈍，解題速度慢，難以在規定的時間內把題做完。而優等生則反應靈敏，解題速度快，完成之后無事可干，浪費了不少學習時間。我根據這一實際，對學困生只提出一般要求，用一種基本的方法解答可以了，只要求完成必做題。而對于優等生則要求能用多種方法解答的，盡量要用多種方法，還要求找出最佳方法。我在實際的復習中，以前存在的一些問題的確得到了有效地解決。
（三）知識綜合，方法分層。
復習中使學生提高綜合運用知識和靈活使用解題方法的能力，是復習的最終目的，因此，既要有一定數量的基本練習題和稍作變化的習題，又要有一些綜合性練習題和富有思考性的習題，做到有層次，有坡度，具有一定的彈性，以適應不同層次學生發展的需要。如：①0.7中有（ ）個0.1。②0.7中有（ ）個0.01。③0.7在（ ）和（ ）兩個整數之間。④在0.7與0.9之間有（ ）個一位小數。⑤在0.7與0.9之間有（ ）個小數。把知識綜合起來復習，難度加大，方法的分層由為重要了。優等生的復習以自主梳理結合教師的點撥；中等生的復習以小組合作進行梳理結合教師的講解；學困生則是以教師的輔導梳理回憶再現學過的知識，并結合優生的幫助進行復習。
（四）因材施教，評價分層。
【關鍵詞】小學數學教學，數學思維能力培養
我國小學生的數學思維能力發展存在一些問題，不少學生的數學思維能力未得到充分開發，或發展緩慢，這既有學生自己的原因，也有教師教學方面的原因。而學生數學思維能力的培養、發展不僅關系到學生今后人生的命運，更是關系到一個民族、國家的命運。因而，筆者就此問題進行了分析、探究。
一、小學數學教學學生思維能力培養的重要性
學生數學思維能力的培養、發展是社會發展的需要，也是一個民族、國家發展的需要，正因如此，我國教育大綱將數學思維能力的培養、發展作為最重要的教育目標之一，它也是數學課程最重要的環節。數學思維能力是數學課程的核心，也是數學能力中的核心能力，是學生學好數學必須具備的能力。這就要求教師在數學教學中高度重視學生數學思維能力的培養與發展，使他們的數學思維具有靈活性、邏輯性、多向性、深刻性。
二、小學數學教學學生思維能力培養
（一）培養數學比較思維能力
俄國教育家烏申斯基說“比較是一切理解和思維的基矗”。比較也是唯物辯證法的重要思維意識，一切事物因比較而存在，有好才有壞，有大才有小，有新才有舊……比較在數學思維能力中同樣很重要。通過比較，才能使一些相似的概念、法則原理、推理、研究對象等被區分得清清楚楚，學生才能把握各自的本質屬性，理解才更深刻，邏輯思維才更嚴密與清晰。
如在認識毫米、厘米、分米、米這幾個長度單位時，我讓學生用尺親自測量自己頭發的粗細、數學教材的長與寬、自己的身高，通過不同長度單位在實際物體上的展示，即通過實際物體的長短，使學生深刻認識了這幾個長度單位所代表的數量，做填寫長度單位的題目時正確率也很高。
我在教學位置與方向知識點時，一些學生總把畫在紙上的“上北下南左西右東”與實際生活中辯論方向的方法弄混。為此，我專門把這個題目拿出來在全班討論，讓學生自己找出在實際生活中怎樣正確辯認方向的方法，并把它畫在紙上變成地圖。在學生遇到困難時，我適度點撥，告訴學生可利用太陽從東邊升起，在西方落下的意識來尋找實際生活中怎么正確辯認方向的方法，而不告訴他們答案。學生最終自己弄出了正確答案，并深刻地理解了畫在紙上的地理位置方向規則與實際生活中正確辨認方向的方法的區別與聯系，學生的數學思維能力也得到了很好的培養、發展。
（二）培養學生數學創新思維能力
創新思維是一個民族、國家在當今競爭日益激烈的環境中立于不敗之地的法寶，非常重要，創新思維也屬于數學思維能力的一個極重要的方面，在教學中培養學生的數學創新思維能力，能極大推動學生數學思維能力的發展，并激發學生學習數學的濃厚興趣，同時培養了學生的探索、創新精神。
一次，在講了乘法分配律后，我在黑板上出相關練習題時故意板書錯誤“（9+6）÷3”，目的是解決許多同學在做相關題時不自覺地運用乘法分配律變換的“除法分配律”問題。結果，一個學生興沖沖地說我把符號弄錯了，應是乘號；另一個學生則胸有成竹地說“老師，我能很快計算出結果”。我讓后者上黑板演述。他很快搞定：
（9+6）÷3
=9÷3+6÷3
=3+2
=5
我再讓同學們按運算的正常順序計算一遍，看結果是否一樣。結果是一樣的。學生爭相說發現了一個新規律――除法分配律。我沒立即否定他們，也沒立即打擊他們，而是再給學生出了一道類似的題目。學生也很快用這兩種方法計算出來，計算結果完全一樣。之后我連著出了另外類似兩題“9÷（1+3）”“15÷（3+5）”，學生仍按上述方法做，卻發現兩種算法結果不一樣。我順勢啟發學生“我們剛學了乘法分配律，除法分配律存在嗎？”并讓學生自己討論找出原因。每個班上都有聰明的學生，他們找到了答案，除法是乘法的逆運算，除法不存在分配律，只有當除數相同時，才能運用類似乘法的分配律。
（三）培養學生數學發散思維能力
發散思維是產生創新思維的一種極重要途徑，它也是創新思維能力的重要組成部分，同時是數學思維能力極重要的一個方面，而且創新思維也屬于數學思維能力的一個極重要的方面。一個數學問題，可能有多種解決方案，通過發散思維從不同角度、不同途徑找到不同的解決方案，從而找出與他人不同的解決方案，在這個過程中，會有新發現，若在人生中，可能會發現人生成功的機會從而成就人生。這樣做，也會使學生的數學思維能力從橫向、縱向兩方面拓展，即拓展了學生數學思維能力的廣度與深度。
如，一次課堂上，我給學生出了這樣一道應用題“一個人騎一輛自行車上午3小時行駛了90千米，照這樣的行駛速度，下午他再騎自行車行駛2小時，這天他騎自行車一共行駛了多少千米？”大多數學生用了這兩種解法“90÷3×（3+2）=150”“90÷3×2+90=150”。我激勵學生找出第三種解法，聰明學生在班上總有的，他上黑板寫了出來“90×2-90÷3”。我再次讓學生討論這三種解法哪種最簡便最不易出錯，學生答第一種，我問學生第三種方法的可取之處是什么，學生說創新性，比較隱秘，能開發人的創新思維，產生新的發現，取得人生成功的機會。
通過這堂課，我使學生明白了發散思維的意義所在，學生也學會了如何運用發散思維。
小學生數學思維能力的培養、發展事關學生今后學業與人生的命運，事關我國的各方面發展，教師必須在小學數學教學中把它作為數學的核心能力來探索、研究最佳解決方案。
【參考文獻】
一、求新——提供新鮮的東西引起興趣
興趣是學習的動力。當學生對學習產生興趣時，學生的心理活動就會處于激活狀態，富有滿足感和愉悅感 ，從而積極性高漲，思維活躍，注意力集中，“我要學”的意識增強。這時，學生的被動學習將會轉變為主動求知，厭學情緒將會轉變為樂學欲望。因此，從學生的學習興趣入手，創設新型的教學情境，正是“知之者，不如好之者；好之者，不如樂之者”教育思想在教學學科中的具體體現。我們要積極探索，大力倡導。在練習中也要體現一個“新”字。
（一）題型新
教材中的題型設計，雖然具有一定的科學性，但就習題本身而言，練習形式比較單調。因此，在挖掘快樂因素上主要應在組織完成練習的形式和對習題處理方法上下功夫。可以根據兒童的好動、好勝、好表現的天性，讓學生“動”，使學生在活動中學，在活動中得到快樂；讓學生“比”，使學生在競爭中不斷前進；讓學生“炫”，使學生在考別人中進步；讓學生“用”，使學生感受數學的價值。所以在創設題型時，要關注學生，讓他們快樂學習。如有些問題可以引入競爭機制，有些習題用討論、爭議的方法更適合學生的口味，除此之外，在練習中根據學生學習情況還可以創設游戲性，娛樂性較強的數學游藝宮，腦筋轉轉彎、數學燈謎會，幸運大抽獎，看誰中狀元等練習。在一節課里，根據教學需要如果給學生恰到好處的創設一兩處快樂學習的激發點，就能克服學生厭學的心理障礙，使單調的數學習題趣味化和多樣化，真正起到優化教學的目的。這不僅有助于加深理解所學的數學知識，而且有助于發展學生思維的靈活性，并激發學生思考問題的興趣。例如，講過乘法分配律，除了像課本中的練習題，給出兩個數相加再乘以一個數，要求學生應用運算定律寫出與它相等的式子以外，還可以給出一些等式，其中有的不符合乘法分配律，讓學生判斷那個是錯誤的；或者用3種圖形代替具體的數，寫成兩個式子，如（＋）×和×＋×，讓學生判斷它們是不是相等，并說明根據。這些練習都有助于培養學生演繹推理的能力。真正做到讓每一個學生“動”起來，讓學生的思維“飛”起來，讓我們的課堂“活”起來，充分體現在現代課堂教學活動中教學要開放，課堂要開放，學生思維要開放。
（二）題材新
數學是一門學科，更是一種文化。因此，數學練習設計要走出數學學科，讓學生去領略另外學科的精彩。設計時綜合學生所學科目，確立了以學科知識為基礎，以情景主題為背景，適時的穿插另外學科知識，豐富發展數學的內涵，讓學生學習數學學科以外的知識，從而領略數學的精彩。如學習《百分數應用題》時，設計這樣兩道練習：①春池春水滿，春時春草生。春人飲春酒，春鳥戲春風。這首詩中“春”字比全詩總字數少（ ）%。②請用百分數表示下列成語:百里挑一（ ）；百發百中（）。這兩題都融合了語文知識，在解決數學問題的同時，也學到了古詩和成語的知識，學生的興趣更為濃厚。
（三）方式新
素質教育的一個重要特點是面向全體學生。在我們平時的練習過程中，練習形式一般有四種即一問一答、板演、筆頭和操作。這樣的形式不能讓全體學生一起思考，一起練習。如果我們精心設計，讓全體學生都加入到這樣的練習形式中，就能體現出教學的全體性。
二、求活——挖掘習題本身的內在力量保持興趣
數學教學的一個重要任務是培養學生的靈活思維能力。靈活的思維能力表現在能從不同角度，運用不同的方法，對題目進行分析推理，從而獲得不同的結果。這種思維能力的培養，需要開放式的課堂結構，需要教師設計出靈活性較大的練習題。
（一）空間的靈活性
我們課堂教學可以讓學生離開座位，教室的每個角落，每個同學都可以作為學生的練習場地與合作伙伴，也可以讓學生走出教室，走向生活與社會。作為自然科學基礎課的數學只有實現回歸自然，融入生活，教育的多向性目標才能實現。
一、三心――“用心”、“耐心”、“花心”
1.學會“用心”----用心創設互動的思維情境
眾所周知，人的思維在現成的知識結論中不活躍，而在形成結論的整個探索過程中較活躍。因此，教師要巧設各種有效的思維情境，誘發學生學習的積極性，激發學生的思維，調動起學生自主地參與知識的獲得過程、問題的解決過程，從而對問題深入地理解。
案例：《圓的認識》教學片斷
師：大家都知道畫圓有種特定工具
生：圓規。
師：同學們都準備了一把圓規，你能試著用它在白紙上畫出一個圓嗎？
生：能。
學生嘗試用圓規畫圓，交流，明確圓規畫圓的基本方法。
師：如果老師今天忘記帶圓規卻需要畫一個圓？你能幫我想一個好辦法嗎？
師：雖然忘記帶圓規，但老師身邊有很多其他的材料。你能利用這些材料，試著畫出一個圓嗎？
學生以小組為單位，利用手中的工具和材料畫圓。
……
2.學會“耐心”----耐心培養學生良好的思維習慣
所謂思維習慣，是指人的思維活動在不斷的發展過程中逐步形成的一種自覺性、習慣性思維方式，是思維品質的重要組成部分。我們都知道學生的思維習慣，不是靠一天兩天就能培養出來的，需要長期的努力與堅持。思維訓練的最佳途徑是由學生自己主動去思考，因為學生主動思考過的理解最深，也最容易掌握知識的內容、規律和聯系。做為教師，我們不可能代替學生去思維。我們能做的是耐心的引導學生慢慢養成思維的習慣。
3.學會“花心”----公平公正的對待每個孩子
由于學生的生理發展、心理發展的差異，以及環境教育的影響，學生之間在思維能力上勢必存在著一定的差異。我們發現每一個學生的思維培養過程是一個漸變的過程，都要經過“自我認識――獨立思考――求進”的過程，因此教師要耐心地對待思維能力暫時落后的學生，并經常鼓勵他們。賞識+嘗試=成功。只要我們對學生有信心，有耐心，持之以恒，循循善誘，任何學生的思維總有“發光”的時候。教師的“花心”，其實是對學生的一種公正的喜愛。
二、二意――“有意”、“創意”
1.學會“有意”――有意識的去訓練學生的思維能力
嬰兒需要在大人的有意訓練下才能真正學會自己走路。思維能力的訓練也應該是一種有目的、有計劃、有系統的教育活動。教師要結合數學教學過程有意識地搭建一些能促進思維發展的“腳手架”，讓學生在思維活動中掌握思維方法，促使思維能力不斷上“臺階”。
①讓學生在獨特見解的訴說中思考
特級教師常說的一句話就是：教師的施教之功，貴在引路，妙在使學生主動思考。作為一名普通的數學教師也要學會在數學課堂中精心設計能激發學生思維火花和求知欲望的懸念，讓每個層次的學生在積極思考后用自己的語言敘述思考的過程和結果。學生對獨特見解的訴說過程對教師來說是獲取學生思維的最佳方式，對學生來說則是思維能力提高的最佳途徑。這樣的過程看似要花些時間，但它常常可以使學生的思維在不斷交叉、撞擊中，生成新的火花。
案例：《圓的認識》一課中的“畫圓”環節
教師要求學生在紙上嘗試用圓規畫一個圓。結果發現學生出現了如下一些問題：起點和終點不能重合；畫出的圓成了橢圓；將弧線畫得時隱時現，粗細不勻。
教師將學生的作品投影后，質疑：為什么會出現這樣的情況呢？請仔細思考后，和你的同桌交流一下你認為出錯的原因是什么。
生1：我認為畫圓時，起點和終點不能重合，可能是因為圓心沒有固定好。畫圓時，圓規的一腳離開了圓心。
生2：我認為將圓畫成了橢圓肯定是因為半徑發生了變化。畫圓時，圓規兩腳的夾角一定要固定好。
生3：我認為出現第三種情況是因為畫圓時手腕的用力不均勻，圓規的使用方法不正確引起的。
師：怎樣才能畫一個正確的圓？我們在畫圓時應該注意哪些問題呢？
學生通過討論交流，很快總結出了畫圓的方法和注意點。
……
②讓學生在開放性的解題過程中思考
學生在解答開放性的鞏固練習題中能提高思維的敏捷性、靈活性和深刻性。因為開放性的數學題目比較容易打破解題常規，克服思維定勢，拓展思維領域，進而培養學生思維的靈活性、廣闊性、創造性。
案例：《乘法分配律》一課中的拓展練習環節
師：出示一道開放性的鞏固練習題：
將下面的算式補充成可以利用乘法分配律進行簡便計算的算式后進行計算。
35×49+（ ）×（ ）
先讓學生獨立思考計算后進行交流、討論。
生1：35×49+（ 35 ）×（ 51 ）
師：這道題可以用乘法分配律進行簡便計算嗎？誰能來算一算。
生2：35×49+ 35×5135×（49+51）=35×100=3500
師：你們還有不同的填法嗎？
生3： 35×49+ 65×4949×（35+65）=49×100=4900
生4：35×49+（ 35 ）×（ 1 ）35×（49+1）=35×50=1750
生5：35×49+（ 49 ）×（ 5 ）49×（35+5）=49×40=6190
……
2.學會“創意”――用有創意的評價語言去評價學生的思維過程
思維是一個動態的過程，因此評價學生的思維不能僅僅是基于他們思維的結果。教師評價學生思維能力的發展狀況，要關注學生差異，動態評價，喚醒學生的求知欲望，觸及學生的“最近發展區”，激活思維。
比如“你能開動腦筋想出這么有特色的方法，你是小神童嗎？”
“你們小組能夠在這么短的時間內一題多解，思維的能力快超過電腦了！”
“你很會抓住重點，抓住重點問題就解決了！”
“你真善于總結方法，很會學習。”
……
錯解：是.
評析： 受分數線的影響，誤以為 是分數.是不是分數，不能光看形式，而要看結果.如果假設它是分數，則它必是有理數，與它是無理數相矛盾！所以它不是分數.
正解：不是.
例2 計算： .
錯解：原式＝ + =1 .
評析： 誤以為存在結論“ = + （a≥0，b≥0）”，其實，一般情況下“ ≠ + （a≥0，b≥0）”.
正解：原式＝ = =1 .
例3 化簡： .
錯解：原式＝ =m+n .
評析： 解答有兩個錯誤：一是m＋n是一個整體，必須加括號；二是并不知道m+n是正是負，因此要加絕對值.
正解：原式＝ =｜m+n｜ .
例4 把式子a 中根號外的因式適當改變后移到根號內，并使原式的值不變.
錯解：原式＝= .
評析： 利用公式a= （a≥0）時，前提是a≥0.根號外的負因式（數）不能移進根號內，如-2≠ .因此，在將根號外的因式（數）移進根號內前，一定要先判斷所移因式（數）是否非負.
正解：由題意可知- ≥0，得a0.
原式＝-（-a） =-=- =- .
例5 化簡： .
錯解：原式＝ + = + = =2 .
評析： 在a≥0，b≥0時，有 = • ，但一般情況下 ≠ ± .
正解：原式＝ = .
例6 化簡： .
錯解：原式＝ = .
評析： 解答忽視了“m
正解：由題意得m
原式＝ = =- .
例7 計算： ÷ × .
錯解：原式＝ ÷1= .
評析： 乘、除是同級運算，應按照從左到右的順序做，不應先算后面的乘法.
正解：原式＝ × × = .
例8 計算： ÷2 .
錯解：原式＝ ×==m.
評析： 這里把除法變為乘法時，把2 的倒數誤認為.
正解：原式＝ ×==2.
例9 計算： ÷（ + ）.
錯解：原式＝ ÷ + ÷ = + .
評析： 受“乘法分配律”的影響，誤以為存在“a÷（b+c）=a÷b+a÷c”這一結論.
正解：原式＝ = =3 -2 .
例10 已知0
錯解：原式＝（m-1）－（m＋1）＝－2.
評析： 這里忽視了“0
正解：由0
原式＝｜m-1｜-｜m+1｜=1-m-（m+1）=-2m.
例11 化簡： .
錯解：原式＝ = - .
評析： 當x＝y>0時， - =0，錯解是將原式分子分母都乘以一個可能等于0的式子，所以這種方法是錯誤的.
正解1：（1） 當x＝y時，代入原式，得原式＝0.
（2） 當x≠y時， - ≠0，解法同錯解.
綜合（1）（2），得原式＝ - .
正解2：顯然x，y均為非負數.
原式＝ = - .
練習題
已知方程x2+3x+1=0的兩個根為α，β，求 + 的值.
解：由Δ=32-4×1×1=5≠0，可得α≠β.
由一元二次方程的根與系數的關系，得α+β=-3，α β=1.
原式＝ + = = =-3.
