時間：2023-05-29 18:04:05
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇瞬時速度公式，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
一、對平均速度、瞬時速度、平均速率的理解
l.平均速度。
（1）定義：運動物體通過的位移與產(chǎn)生這段位移所用時間的比值，叫做這段時間（或這段位移）的平均速度。
（2）公式：v=x/t。（x表示位移，t表示發(fā)生該段位移所用時間）
（3）單位：國際單位制中，平均速度的單位是m/s，常剛的單位還有km/h，其中l(wèi)m/s=3.6km/h。
（4）平均速度有大小和方向，是矢量，它的方向與位移方向相同。
（5）理解平均速度的概念要明確下面幾點：
①平均速度的提出，體現(xiàn)了用勻速直線運動描述變速直線運動的等效研究方法，即通過變速直線運動的平均速度，把變速直線運動等效為勻速直線運動處理，從而滲透物理學(xué)的重要研究方法
等效的方法。它體現(xiàn)了物理學(xué)是以實驗為基礎(chǔ)的科學(xué).體現(xiàn)了用已知運動研究未知運動，用簡單的運動研究復(fù)雜運動的重要研究方法。
②平均速度粗略反映了物體運動的快慢程度和方向。例如牙買加“飛人”博爾特以9.58s這個不可思議的成績獲得柏林世錦賽百米冠軍，他的平均速度是10.44m/s，這個數(shù)值反映的是他在整個100 m運動過程中的運動快慢程度，并不代表每1 s內(nèi)通過的位移都是10.44m。
③平均速度的大小是位移與時間的比值，由于一般情況下位移的大小不等于路程，所以平均速度的大小不等于路程與時間的比值。
④物體做變速運動時.在不同階段的平均速度一般不同，所以求平均速度時，首先要搞清求哪段時間或位移的平均速度。在博爾特百米比賽的實例中，運動員在100m內(nèi)的平均速度是10.44 m/s，然而他在前50 m和后50 m的平均速度卻不是l0.44 m/s。由于運動員從靜止開始起跑，他在前50m的平均速度一般小于后50 m的平均速度。同樣道理，運動員在每個10 m或20 m內(nèi)的平均速度也各不相同。
⑤要根據(jù)平均速度的定義汁算平均速度，勿望文生義，用物體先后幾個速度的算術(shù)平均值作為物體的平均速度。
⑥由于勻速直線運動在任意相等的時問內(nèi)位移相等，所以勻速直線運動中各段時間內(nèi)的平均速度相同。
2.瞬時速度。
（1）定義：運動物體在某一時刻或（通過某一位置）的速度。
（2）公式：v=x/t（t0）。（x表示位移，t表示發(fā)生該段位移所用時間）
（3）單位：國際單位制中，瞬時速度的單位是m/s，常用的單位還有km/h，其中1m/s=3.6km/h。
（4）瞬時速度有大小和方向，是矢量。瞬時速度的大小叫瞬時速率，反映了物體此刻的運動快慢而瞬時速度的方向就是運動物體當(dāng)前的運動方向。如果用畫圖的方式來表示，就是物體在運動軌跡上過某一點的切線方向。
（5）理解瞬時速度的概念要明確下面幾點：
①通常把瞬時速度簡稱為速度，瞬時速度是精確描述物體做變速直線運動快慢和方向的物理量。
②從理論上講，瞬時速度是當(dāng)時間趨近于零時，平均速度的極限值。因此，瞬時速度是理想狀態(tài)的物理量。
③速度具有瞬時性，一般提到的速度郁足指瞬時速度，它反映物體在某時刻（或某位置）運動的快慢和方向，所謂勻速運動，實際上是各個時刻的瞬時速度都相同。
④變換參考系時，同一物體的速度對不同參考系而言是不同的。
⑤在x-t圖像中，某時刻的速度等于此時刻所對應(yīng)的圖線的斜率。
⑥真正的瞬時速度無法測量，在實際操作中，瞬時速度的測量都是用在非常短的時間內(nèi)的平均速度代替，時間越短，平均速度越接近于瞬時速度。
3.平均速率。
（1）定義：運動物體通過的路程與產(chǎn)生這段路程所用時間的比值，稱為這段路程的平均速率。
（2）單位：國際單位制中，平均速率的單位是m/s，常用的單位還有km/h，其中1 m/s=3.6 km/h。
（3）平均速率只有大小，是標(biāo)量。
4.平均速度與瞬時速度的聯(lián)系和區(qū)別：
二、對平均速度、瞬時速度、平均速率的應(yīng)用
例1 圖1所示的為A、B、C三個物體相對同一位置的位移一時間圖像，它們向同一方向開始運動，則在時間t1內(nèi)，下列說法正確的（）。
A.它們的平均速度相同
B.A的平均速度最大
C.它們的平均速率相等
D.B和C的平均速率相等
解析 由圖像可知，B物體做勻速直線運動，C做方向不變的變速直線運動，A先做與B、C同向的勻速直線運動，接著做與B.C方向相同的變速直線運動，最后做與B、C方向相反的變速直線運動。由于A、B、C三個物體在t1內(nèi)發(fā)生的位移相同，由平均速度的定義知三者的平均速度相等，故選項A正確；由于B、C在時間t1內(nèi)運動的路程相等，則這兩個物體的平均速率相等，故選項D正確。答案為A、D。
說明：錯選B或C的原因有二：①將位移 時間圖像當(dāng)作是物體運動的軌跡，得出A的路程比C的長，C的比B的長，認(rèn)為平均速率即為平均速度的大小，錯選B；②把平均速度與平均速率混淆，錯選C。事實上s-t圖像中圖像的斜率表示速度，圖中C的斜率一直在變，說明C的速度在變化，但其速度方向沒有變化，即C一直在做直線運動。
跟蹤練習(xí)：
1.下列所說的速度指平均速度的是（）。
A.百米賽跑的運動員以9.44 m/s的速度沖過終點線
B.經(jīng)提速后，動車組的速度達(dá)到300 km/h
C.上班高峰期，由于堵車，小明的車速僅為1.3 m/s
D.返回地面的太空艙以8 m/s的速度落入太平洋中
我們不少教師在講授高中物理必修1第一章“運動快慢的描述――速度”這一節(jié)時，往往會提出類似這樣的一個問題：
運動員在操場上沿400 m環(huán)形跑道跑步，跑了兩圈，用了2′16″，則這段時間內(nèi)他的平均速度是[CD#3]，平均速率是[CD#3].
2 困惑
顯然平均速度是零，平均速率是5.88 m/s.平均速度能是零嗎？筆者感到困惑，因為人教版教材物理必修1第16頁明確說明“……由Δx[]Δt求得的速度，表示的只是物體在Δt時間內(nèi)的平均快慢程度，稱為平均速度.顯然，平均速度只能粗略地描述運動的快慢.”其它教材也都有類似闡述.可現(xiàn)在平均速度是零！豈不是錯誤描述！這不也就是說平均速度公式在這類情況下不適應(yīng)了嗎？不然圓周運動中線速度的定義式v=Δs[]Δt中：Δs怎么是弧長而不是位移呢？這到底是怎么一回事？
3 解釋
關(guān)于平均速度和平均速率的定義筆者翻閱了不少不同版本的高中物理教材和大學(xué)物理教材，其中《力學(xué)基礎(chǔ)》闡述得最為詳細(xì)準(zhǔn)確，內(nèi)容如下：
“設(shè)質(zhì)點經(jīng)歷同樣位移，其中一質(zhì)點所用時間為1 s，另一個用了2 s，顯然，它們位置變動的快慢不同.因此還需要引入能夠反映位置變動快慢的物理量，它包含了位移和時間這兩個因素，這就是平均速度.質(zhì)點位移Δ[AKrD]=[AKrD]（t+Δt）-[AKrD]（t）與發(fā)生這一位移的時間間隔Δt之比，稱作質(zhì)點在這段時間內(nèi)的平均速度，記作平均速度僅僅提供一段時間內(nèi)位置總變動的方向和平均快慢.……
此外，為了描述質(zhì)點沿軌跡運動的平均快慢，又引入平均速率概念，質(zhì)點經(jīng)過的路程Δl與經(jīng)過這一路程所用時間Δt之[HJ1.82mm]比稱作這段時間的平均速率，用Δvl表示即Δvl=Δl[]Δt.……”
根據(jù)這樣的定義平均速度描述的是質(zhì)點位置變動的平均快慢，理所當(dāng)然上文提到的運動員平均速度可以為零，但那不是運動員沿跑道“跑”的平均快慢，而只是其位置“變”的平均快慢.平均速率5.88 m/s則是運動員沿跑道跑的平均快慢，這才是人們心目中通常所認(rèn)為的運動快慢.
4 思考
既然如此，為什么不直接用平均速率而還要引入平均速度呢？
這是因為科學(xué)家的最終目標(biāo)是：準(zhǔn)確描述物體運動.即精確反映物體在任意一段時間內(nèi)運動方向的改變和時快時慢的詳細(xì)情況，也就是用瞬時速度描述物體的運動.由于運動的矢量性，用位置矢量、位移、平均速度研究瞬時速度比用路程、平均速率更為簡潔直觀.
綜上可見平均速度、平均速率正是為了研究瞬時速度而引入的中間過渡量.試看教材安排（以人教版為例）：
必修1第一章第3節(jié)“運動快慢的描述――速度”：先從單向直線運動的汽車快慢引入速度，接著過渡到平均速度，在這種單向直線運動中，平均速度的大小與平均速率大小相一致，完全能夠反映反映問物體運動的快慢，然后用極限的思想引入瞬時速度.
關(guān)鍵詞：高中物理；速度；速率；加速度
關(guān)于高中物理學(xué)習(xí)中的速度、速率、加速度，對我們來說是比較抽象的內(nèi)容，而且理解起來也會有些困難。基礎(chǔ)比較差的同學(xué)學(xué)起來會更加吃力。在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時，我們要給自己制定一個適合自己的的完整計劃，對有關(guān)于速度、速率、加速度的知識點進(jìn)行細(xì)致地學(xué)習(xí)，將與其有關(guān)的問題設(shè)置與現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象相結(jié)合。從自己的實際情況出發(fā)來對自己進(jìn)行訓(xùn)練，從而深刻理解和熟練掌握所學(xué)知識。
1.速度和速率的區(qū)別與關(guān)系
在物理學(xué)中，兩個重要的基本概念就是速度和速率，二者之間是有一定區(qū)別的，然而又有一定的聯(lián)系。首先，我們來認(rèn)識一下速度和速率之間的不同之處。如下圖所示，在空間中有一個質(zhì)點，質(zhì)點做的是曲線運動，質(zhì)點用了t速度和速率是物理學(xué)的兩個重要基本的時間來通過曲線AB段，那么質(zhì)點所用的平均速度為V= r/t ，其中表示質(zhì)點位移矢量的是r，所以我們可以知道平均速度也是一個矢量，它不僅有方向，也有大小。根據(jù)圖示我們可以得到，質(zhì)點的平均速率為v =S /t，質(zhì)點經(jīng)過曲線段的長度為S，所以我們可以得到平均速率是一個標(biāo)量，即它只有大小，沒有方向。我們可以從圖看出，即使我們只算大小的情況下，平均速度絕對值的大小和平均速率也是不一樣的，因為|r|
S，所以初速度是大于平均速度的。在以上我們寫出的平均速度公式中，當(dāng)經(jīng)過時間趨近于零，那么瞬時速度就是平均速度的極限，所以瞬時速度也是一個矢量。瞬時速率表示的是平均速率的極限，所以，瞬時速率是一個標(biāo)量。總得來說，速度和速率之間是有區(qū)別的。
下面我們就來看看速度和速率二者之間的關(guān)系。根據(jù)瞬時速度和瞬時速率的公式，從圖示中可以得到，在取極限時，直線Ir I的長度是和曲線AB的長度一樣的，也就是S =|r|，所以瞬時速度和瞬時速率的大小是相等的。當(dāng)質(zhì)點在一定方向上，反向除外，做直線運動時，質(zhì)點運動的路程和位移的絕對值大小是一樣的。所以，在同一個時間段里，平均速率與平均速度的大小是一樣的，所以在這種情況下，我們可以稱平均速度為平均速率，但是，在多數(shù)情況下，我們只能說瞬時速率的大小等于瞬時速度。
2.速度與加速度的區(qū)別與關(guān)系
上文我們已經(jīng)介紹了關(guān)于速度的概念，那什么是加速度呢，與之相關(guān)的概念又有哪些？它與速度之間有什么樣的關(guān)系呢？
首先，我們知道關(guān)于加速度的特點，它是客觀存在于自然界中的，并不是科學(xué)界研究出來的，因為對于物體的靜止和運動都是相對來說的，沒有完全的絕對，所以在自然界中的任何物質(zhì)都可能有加速度的存在。加速度是主要應(yīng)用于經(jīng)典力學(xué)中有大小和方向的，矢量。加速度在我們的物理學(xué)習(xí)中非常重要，它可以幫助我們更加深刻地理解速度、位移和力的概念。加速度指的是物體運動在單位的時間內(nèi)速度的變化量，它的公式是a=V/t，單位為m/S2。從公式中我們可以得到，速度的變化量與加速度的變化量在方向上是一樣的。在物體進(jìn)行直線運動時，如果物體加速度和物體的運動方向相同，那么物體運動速度變快。如果物體的加速度與其運動方向相反，那么物體運動速度將減小。對于加速度公式，我們需要注意的是：第一，勻速圓周運動不是勻變速和勻加速運動，它的向心加速度方向隨著運動不停在變化，但都指向圓心；第二，關(guān)于加速度的符合表示的是方向而和大小無關(guān)；第三，加速度因為選取的參照物不同而改變，多數(shù)情況下，我們選取地面來進(jìn)行參照；第四，加速度和速度之間沒有什么一定的聯(lián)系，物體運動的速度可以很大，但是它的加速度可以很小，或者它的速度很小，但是加速度可以很大。在我們對加速度進(jìn)行具體的求解時，一般使用物體末速度減去初速度得到的結(jié)果再與時間相比，那么就是加速度了，符合的正負(fù)，代表加速度方向為物體運動方向或者和物體運動反向。
3.速率與加速度的區(qū)別與聯(lián)系
前面已經(jīng)對速率和加速度都有了描述，這里只簡單比較一下。某個時刻速度的大小指的是速率，而速度在單位時間內(nèi)的變化量用加速度來表示。速率在每個時刻都是由意義的，但是對于加速度的計算需要通過前后單位時間的速度比較。比如說，物體處于勻加速直線狀態(tài)，在第一秒的速率為1，它在第二秒的速率為3，我們可以算出加速度為2。從這個例子中我們就可以看出加速度和速率之間的聯(lián)系。
4.結(jié)語
綜上所述，我們在學(xué)習(xí)高中物理時，不能只一味地埋頭做題，雖然高考很重要，但是我們不能僅僅為了高考去學(xué)習(xí)。我們要培養(yǎng)自己學(xué)習(xí)物理的興趣，對于這些抽象的地方，更要積極主動的去加深理解，對我們的學(xué)習(xí)和生活都會有所裨益。
[參考文獻(xiàn)]
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1 實驗器材及操作過程
筆者選擇了由光電門來計時的自由落體實驗儀(天津科教儀器廠生產(chǎn))研究，如圖1所示。將實驗裝置安裝好，接通電源，利用重錘線調(diào)節(jié)裝置底座，使重錘線既要通過光電門發(fā)出的光線，也要通過支架上的中心軸線。把鋼球放在電磁吸球器的下面，鋼球被吸住。按下“放球”按鈕，電磁吸球器斷電，小球沿豎直方向做自由落體運動，通過固定在支架上的光電門。一般要在鋼球下落的過程中選擇4到6個位置進(jìn)行測量研究，這樣就需要讓鋼球下落8到12次。
將計時器的選擇開關(guān)扳到“同步”，讓電磁吸球器斷電，同時鋼球開始下落計時器同步計時，到鋼球通過研究位置處的光電門計時結(jié)束，這樣得到運動時間t，從計時器的顯示屏上讀出數(shù)據(jù)，可以讀到1／1000s。瞬時速度通過平均速度來解決，我們知道當(dāng)物體通過一段很小位移所需要的時間很短，這段時間的平均速度就近似等于瞬時速度。實驗中，把兩個光電門用橡皮筋捆綁在一起，測得兩個光孔的豎直距離l很小，只有22mm，把它們固定在豎直立柱的某一研究位置上，將計時器的選擇開關(guān)扳到“光控”，光電計時器數(shù)據(jù)清零，讓電磁吸球器斷電，鋼球下落，當(dāng)鋼球下落通過第一個光電門計時器開始計時，到鋼球通過第二個光電門計時結(jié)束，在計時器的顯示屏上讀出通過兩個光電門的時間間隔Δt(通常只有幾ms～十幾ms)。應(yīng)用公式v=l／Δt，可得某研究位置的瞬時速度v。多次改變光電門的位置，重復(fù)測量，就可以得到多組數(shù)據(jù)。
2 實驗數(shù)據(jù)及處理
通過實驗，可以獲取許多組數(shù)據(jù)。我在湖北十堰參加省級教學(xué)大賽時測量的數(shù)據(jù)，如表1。
數(shù)據(jù)表格（光電門1、2的距離l=22mm）
鋼球的運動時間tn和通過光電門1、2的時間Δtn是實驗過程中直接獲取的數(shù)據(jù)，瞬時速度v是通過公式v=l/Δt計算得到的。從數(shù)據(jù)可以看出，v隨t的增大而增大，且在誤差允許的范圍內(nèi)v／t是一個定值，也就是說，自由落體運動是勻變速直線運動。
把實驗數(shù)據(jù)輸入至Flash制作的課件中，對v與t的關(guān)系進(jìn)行圖像處理，如圖2所示。
從圖2中看到：v-t圖像是一條過原點的傾斜直線。從而得山結(jié)論：自由落體運動是初速為零的勻加速運動。
我們還利用數(shù)據(jù)粗略的計算了自由落體加速度，一是根據(jù)數(shù)據(jù)直接得到比值g=v／t，二是利用得到的v-t圖像處理，通過圖線的斜率計算得到g，如圖3所示。
3 實驗方案的優(yōu)點
（1）自由落體運動的模型清晰，探究過程體現(xiàn)了科學(xué)研究的思想和方法，操作方便流暢，數(shù)學(xué)處理簡便，實驗數(shù)據(jù)誤差較小，教學(xué)效果很好。
下面就勻變速直線運動與平均速度之間的聯(lián)系進(jìn)行一些探討.
1 勻變速直線運動的平均速度公式的推導(dǎo)
（1）公式法
運用位移公式x=v0t+12at2和加速度定義式a=v-v0t，
有=xt=v0t+12at2t=v0t+12?v-v0tt2t=v0+v2.
（2）圖象法
初速度為v0、末速度為v的勻變速直線運動的v-t圖象如圖1所示，在時間t內(nèi)物體的位移大小，數(shù)值上等于圖象與時間軸所夾圖形的面積：
=xt=v0+v2tt=v0+v2.
梯形面積的割補法說明：將圖中的陰影部分“1”割補到陰影部分“2”中，很容易看出梯形面積就等于長為t，寬為v0+v2的矩形面積.
2 做勻變速直線運動的物體某段時間內(nèi)的平均速度等于中間時刻的瞬時速度
設(shè)作勻變速直線運動的物體，在2t時間內(nèi)初速度為v0，末速度為v1，中間時刻的瞬時速度為v.
則前一半時間t=v-v0a，
后一半時間t=v1-va，
所以v=v1+v02.
即中間時刻的瞬時速度等于整段時間內(nèi)的平均速度.
另外，從圖1中的梯形面積和矩形面積相等，也很容易得出以上結(jié)果.
3 勻變速直線運動中，在相同時間內(nèi)物移大小的討論
（1）位移與平均速度的關(guān)系
根據(jù)x=t可知，在相同時間內(nèi)，平均速度大的物移也大.
（2）位移與初速度和末速度的關(guān)系
將=v+v02代入x=t，有x=t=v+v02t.可知，在相同時間內(nèi)，初速度大或末速度大，物體的位移不一定大.
（3）位移與加速度的關(guān)系
再將v=v0+at代入x=t，有x=t=v+v02t=2v0+at2t.可知，在相同時間內(nèi)，加速度大的物體，位移也不一定大.
4 做勻變速直線運動的物體，在相鄰的相等時間內(nèi)的位移差等于“aT2”（公式x2-x1=aT2）的推導(dǎo)及其物理意義討論
4.1 運用運動學(xué)公式推導(dǎo)
如圖2所示，作勻變速直線運動的物體先后通過A、B、C三個位置，且通過AB和BC兩段位移所用的時間均為“T”，兩段的位移大小分別是x1和x2，設(shè)物體的加速度為a，通過A、B兩位置的速度分別為v1、v2.則
x1=v1T+12aT2，x2=v2T+12aT2.
把v2=v1+aT代入x2=v2T+12aT2，得
x2=v1T+32aT2，
所以x2-x1=aT2.
但是，這樣推導(dǎo)出來的結(jié)果，學(xué)生對它的物理意義的理解有一定困難.
4.2 運用平均速度推導(dǎo)
物體通過AB和BC兩段位移的平均速度分別為1=x1T和2=x2T，1、2等于物體分別通過AB、BC段的中間時刻的瞬時速度v1′、v2′，且這兩個中間時刻的時間間隔也是T.
所以a=v2′-v1′T=2-1T
=x2T-x1TT=x2-x1T2，
可得x2-x1=aT2.
這樣推導(dǎo)出來的結(jié)果，學(xué)生就很容易理解它的物理意義.
5 運用平均速度解題
例1 一輛汽車從車站出發(fā)，做勻加速直線運動.開出一段時間后，司機發(fā)現(xiàn)一乘客未上車，就緊急制動，使汽車做勻減速直線運動，結(jié)果汽車從開始啟動到停止共用10 s時間，前進(jìn)了15 m，求在此過程中，汽車達(dá)到的最大速度.
解法1 （常規(guī)法）
設(shè)加速和減速過程中加速度分別為a1、a2，經(jīng)歷的時間分別為t1、t2，通過的位移分別為x1、x2，最大速度為v.
t1=va1，t2=va2，x1=v22a1，x2=v22a2，
則 t1+t2=v（1a1+1a2）（1）
x1+x2=v22（1a1+1a2）（2）
解（1）、（2）聯(lián)立方程，可得v=3 m/s.
解法2 （平均速度法）
分析 設(shè)汽車的最大速度為v，汽車從開始到停止可以分為第一階段的初速度為零的勻加速直線運動和第二階段的末速度為零的勻減速直線運動，每一階段的平均速度均為=v2，則整段運動的平均速度也為=v2，由x=t即可求解.
解 由x=t=v2t可以解出
v=2xt=2×1510=3 m/s.
解法1中不僅要設(shè)許多物理量，而且這種列方程的方法，學(xué)生也不容易想到.解法2相比之下就顯得既簡潔，又易懂.
例2 一個滑雪的人，從85 m的山坡上滑下，（此過程可近似看成勻變速直線運動），初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，他通過這段山坡需要多長時間？
解法1 （常規(guī)法）
由v2-v20=2ax，有
a=v2-v202x=5.02-1.822×85=0.128 m/s2，
再由v=v0+at，有
t=v-v0a=5.0-1.80.128=25 s.
解法2 （平均速度法）
根據(jù)=v0+v2，可得此過程的平均速度
=1.8+5.02=3.4 m/s.
根據(jù)x=t有
t=xv=853.4=25 s.
本題中已知v0、vt， 具備直接求平均速度的條件， 所以用平均速度求解具有十分便利的獨特優(yōu)勢.
例3 以10 m/s的速度做勻速行駛的汽車，剎車后做勻減速直線運動.若汽車剎車后第2 s內(nèi)的位移為6.25 m（剎車時間超過2 s），則剎車后6 s內(nèi)的位移是多大？
解 第2 s內(nèi)的平均速度
Ⅱ=xⅡt=6.251=6.25 m/s，
它等于剎車開始后第1.5 s末的瞬時速度v1.5，
根據(jù)vt=v0+at，
可得a=v1.5-v0t=6.25-101.5=-2.5 m/s2.
剎車時間：
t=v-v0a=0-10-2.5=4 s，
所以，剎車后6 s內(nèi)的位移即剎車后4 s內(nèi)的位移
x=t=102×4=20 m.
探究式教學(xué)的一般模式——現(xiàn)代教學(xué)模式的構(gòu)建重視對學(xué)生學(xué)習(xí)心理的研究，強調(diào)教學(xué)只是為學(xué)習(xí)創(chuàng)造必要的外部條件，以幫助學(xué)習(xí)者更有效地學(xué)習(xí).以促進(jìn)學(xué)生探究學(xué)習(xí)為核心的教學(xué)模式的構(gòu)建，遵循學(xué)生學(xué)習(xí)的基本規(guī)律，將科學(xué)探究的基本特征和要素融入了一系列的學(xué)習(xí)活動中.在這種教學(xué)模式的指導(dǎo)下，教學(xué)形式上可以是多種形式，靈活應(yīng)用.
例如，在講“勻變速直線運動的位移與時間的關(guān)系”時，為得出“v-t 圖線與時間軸所圍的面積表示這段時間發(fā)生的位移”這一結(jié)論，我采用如下探究性教學(xué).
探究1：提出問題.為了研究勻變速直線運動的位移規(guī)律，我們先來看看勻速直線運動的位移規(guī)律：在勻速直線運動的v-t圖象中，由x=vt可以發(fā)現(xiàn)圖象與時間軸所圍的面積表示位移.
拓展：對于勻變速直線運動，圖象與時間軸所圍的面積是否也可以表示相應(yīng)的位移呢？
探究2：實驗驗證.在探究“小車速度隨時間變化的規(guī)律”時，學(xué)生已經(jīng)知道小車的運動是勻變速直線運動，并且得到了打點計時器打出的紙帶，因此馬上有學(xué)生提議拿出紙帶，算出速度畫出v-t圖，算出圖線圍出的面積，看是否與紙帶上用直尺量出數(shù)據(jù)的一致.說做就做，學(xué)生很快分成了六組，大家?guī)е鴮Πl(fā)現(xiàn)新規(guī)律的欣喜和憧憬，馬上拿出紙帶，開始進(jìn)行驗證.費了一番周折后，各個小組都得到了自己的結(jié)論，在表述各自結(jié)論的時候，大家發(fā)現(xiàn)，結(jié)論幾乎都是：v-t圖線所圍的梯形面積確實與直尺直接測量的紙帶上所取兩點間距離數(shù)據(jù)比較接近，甚至有兩組的數(shù)據(jù)幾乎完全相等，但也有兩組數(shù)據(jù)存在較大誤差.
討論：如果開始的推論是正確的，那么誤差的原因應(yīng)該是實驗儀器的精度不夠.
建議：采用更精確的實驗手段，并進(jìn)行分工，分別研究勻加速直線運動和勻減速直線運動兩種情況.
探究3：選用精確實驗儀器：隨著信息技術(shù)的發(fā)展，中學(xué)物理的實驗手段也在不斷進(jìn)步.借助DIS實驗系統(tǒng)，可以更加精確地測出瞬時速度，并直接在電腦上畫出速度圖象，計算出面積.
這一次的實驗結(jié)果激動人心：圖象的面積與實際測量的位移數(shù)據(jù)非常接近！這證明當(dāng)初所做的“v-t 圖線與時間軸所圍的面積表示這段時間發(fā)生的位移”這一猜想極有可能是正確的！學(xué)生的情緒開始激動起來.
這時，我開始潑冷水：大發(fā)明家愛迪生在經(jīng)歷了成千上萬次失敗后才發(fā)明了電燈，難道我們得出一個結(jié)論就這么容易嗎？有的學(xué)生臉上出現(xiàn)了若有所思的神情，有人提出，我們剛才加起來只計算了十幾組數(shù)據(jù)，就這樣得出最后結(jié)論確實太草率了，還需要進(jìn)行邏輯推論.
探究4：邏輯推論.這個邏輯的過程采用了極限法這一思想，這種方法對高一的學(xué)生來說比較陌生，雖然在講瞬時速度的時候接觸到過，但學(xué)生依然無法應(yīng)用自如.這時的探究就需要教師的指導(dǎo)了.
我首先介紹了我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)，劉徽采用了無限分割逐漸逼近的思想，圓內(nèi)的正多邊形邊數(shù)越多，其周長和面積就越接近圓的周長和面積，他用這種方法計算出了圓周率.
啟發(fā)：我們能否運用類似“用平均速度來近似地代表瞬時速度”的思想方法，把勻變速直線運動等效成勻速直線運動來處理？
思考討論后得出：可以把整個勻變速直線運動的運動過程分成幾個比較小的時間段，把每一小段時間內(nèi)的勻變速運動粗略地看成是勻速直線運動.我們可以用時間間隔內(nèi)任意一個時刻的瞬時速度來代表該段時間內(nèi)運動的平均速度，然后把運動物體在每一個時間間隔內(nèi)的位移（即小矩形的面積）都表示出來，最后求和.Δt越小，這些小矩形的面積的和就越接近于勻變速直線運動的位移.如果Δt取得無窮小，就得到勻變速直線運動的總位移了.
探究5：推導(dǎo)公式.因為勻變速直線運動的 v-t圖象中“面積”表示位移，所以我們只要把“面積”表示出來即可得到勻變速直線運動位移的計算公式.
探究6：思維發(fā)散.現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了勻速直線運動和勻變速直線運動的速度圖象中，圖線與時間軸所圍的面積表示位移，那對于一般的運動，這個結(jié)論也適用嗎？這個問題留給大家課后繼續(xù)探究.
論文摘要：數(shù)學(xué)建模的思想就是用數(shù)學(xué)的思路、方法去解決實際生產(chǎn)、生活當(dāng)中所遇到的問題。當(dāng)前高等數(shù)學(xué)教學(xué)的一個很大的缺陷就是“學(xué)”和“用”脫節(jié)。把數(shù)學(xué)建模的思想溶入到教學(xué)中去是一個解決問題的很好的方法。
一、數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用
數(shù)學(xué)是在實際應(yīng)用的需求中產(chǎn)生的，要解決實際問題就必需建立數(shù)學(xué)模型，即數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模是指對現(xiàn)實世界的一些特定對象，為了某特定目的，做出一些重要的簡化和假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用它來解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實性態(tài)，預(yù)測對象的未來狀況，提供處理對象的優(yōu)化決策和控制，設(shè)計滿足某種需要的產(chǎn)品等。從此意義上講數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)一樣有古老歷史。例如，歐幾里德幾何就是一個古老的數(shù)學(xué)模型，牛頓萬有引力定律也是數(shù)學(xué)建模的一個光輝典范。今天，數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向其它科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域滲透，過去很少應(yīng)用數(shù)學(xué)的領(lǐng)域現(xiàn)在迅速走向定量化，數(shù)量化，需建立大量的數(shù)學(xué)模型。特別是新技術(shù)、新工藝蓬勃興起，計算機的普及和廣泛應(yīng)用，數(shù)學(xué)在許多高新技術(shù)上起著十分關(guān)鍵的作用。因此數(shù)學(xué)建模被時代賦予了更為重要的意義。
二、數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用
高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)主要體現(xiàn)為:抽象思維和邏輯推理的能力;如今在一些教材中也漸漸的補充了與實際問題相對應(yīng)的例子，習(xí)題。如:人大出版社中的第四章第八節(jié)所提到的邊際分析與彈性分析，以及幾乎各種教材中對于函數(shù)極值問題的實際應(yīng)用的例子。其實這就是實際應(yīng)用中的一個簡單的建摸問題。但僅僅知道運算還是不夠的，我們還要從具體問題給出的數(shù)據(jù)建立適用的模型。下面我們就具體的例子來看看高等數(shù)學(xué)對經(jīng)濟數(shù)學(xué)的應(yīng)用。例:有資料記載某農(nóng)村的達(dá)到小康水平的標(biāo)準(zhǔn)是年人均收入為2000元，據(jù)調(diào)查該村公400人，其中一戶4人年收入60萬，另一戶4人20萬，其中70%的人年收入在300元左右，其余在500左右。對于該村是否能定位在已經(jīng)達(dá)到了小康水平呢。首先我們計算平均收入:60萬，20萬各一戶共8人，300元共400×70%=280人，500元共400-288=112人。
平均收入為元
從這個數(shù)據(jù)我們可以看出該村的平均收入超過2000元，所以認(rèn)為達(dá)到了小康水平，但我們在來看一下數(shù)據(jù)，有99.5%的人均收入低于2000千，所以單從人均收入來衡量是不科學(xué)的，那么在概率論中我們利用人均年收入的標(biāo)準(zhǔn)差a來衡量這個標(biāo)準(zhǔn)。
我們可以看出標(biāo)準(zhǔn)差是平均水平的六倍多，標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)竟超過100%，所以我們不能把該村看作是達(dá)到了小康水平。因此我們要真正的把高等數(shù)學(xué)融入到實際應(yīng)用當(dāng)中是我們高確良 等教育的一個重點要改革的內(nèi)容。為了在概念的引入中展現(xiàn)數(shù)學(xué)建模，首先必須提出具有實際背景的引例。下面我們就以高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)這一概念為例加以說明。
（1）引例
模型I:變速直線運動的瞬時速度
1、提出問題:設(shè)有一物體在作變速運動，如何求它在任一時刻的瞬時速度?
2、建立模型
分析:我們原來只學(xué)過求勻速運動在某一時刻的速度公式:S=vt那么，對于變速問題，我們該如何解決呢?師生討論:由于變速運動的速度通常是連續(xù)變化的，所以當(dāng)時間變化很小時，可以近似當(dāng)勻速運動來對待。假設(shè):設(shè)一物體作變速直線運動，以它的運動直線為數(shù)軸，則在物體的運動過程中，對于每一時刻t，物體的相應(yīng)位置可以用數(shù)軸上的一個坐標(biāo)S表示，即S與t之間存在函數(shù)關(guān)系:s=s(t)。稱其為位移函數(shù)。設(shè)在t0時刻物體的位置為S=s(t0)。當(dāng)在t0時刻，給時間增加了t，物體的位置變?yōu)镾=(t0+t):此時位移改變了S=S(t0+t)-S(t0)。于是，物體在t0到t0+t這段時間內(nèi)的平均速度為：v=當(dāng)t很小時，v可作為物體在t0時刻瞬時速度的近似值。且當(dāng)—t—越小，v就越接近物體在t0時刻的瞬時速度v，即vt0=[(1)式]；
(1)即為己知物體運動的位移函數(shù)s=s(t)，求物體運動到任一時刻t0時的瞬時速度的數(shù)學(xué)模型。
模型II:非恒定電流的電流強度。己知從0到t這段時間流過導(dǎo)體橫截面的電量為Q=Q(t)，求在t0時刻通過導(dǎo)體的電流強度?通過對此模型的分析，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)建立模型II的方法步驟與模型I完全相同，從而采用與模型I類似的方法，建立的數(shù)學(xué)模型為:It0=要求解這兩個模型，對于簡單的函數(shù)還容易計算，但對于復(fù)雜的函數(shù)，求極限很難求出。為了求解這
兩個模型，我們拋開它們的實際意義單從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上看，卻具有完全相同的形式，可歸結(jié)為同一個數(shù)學(xué)模型，即求函數(shù)改變量與自變量改變量比值，當(dāng)自變量改變量趨近于零時的極限值。在自然科學(xué)和經(jīng)濟活動中也有很多問題也可歸結(jié)為這樣的數(shù)學(xué)模型，為此，我們把這種形式的極限定義為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
（2）導(dǎo)數(shù)的概念
定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量x時，函數(shù)有相應(yīng)的增量y=f(x0+x)-f(x0)。如果當(dāng)x0時yx的極限存在，這個極限值就叫做函數(shù)y=f(x)在x0點的導(dǎo)數(shù)。即函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，記作f′(x0)或f′|x=x0即f′(x0)=。有了導(dǎo)數(shù)的定義，前面兩個問題可以重述為:(1)變速直線運動在時刻t0的瞬時速度，就是位移函數(shù)S=S(t)在t0處對時間t的導(dǎo)數(shù)。即vt0=S′(t0)。(2)非恒定電流在時刻t0的電流強度，是電量函數(shù)Q=Q(t)在t0處對時間t的導(dǎo)數(shù)。即It0=Q′(t0)。
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點都可導(dǎo)，稱y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)。這時，對于(a，b)中的每一個確定的x值，對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)值f′(x)，這樣就確定了一個新的函數(shù)，此函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作y′或f′(x)，導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù)。顯然，y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)，就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點x0處的函數(shù)值。由導(dǎo)函數(shù)的定義，我們可以推導(dǎo)出一系列的求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則。(略)有了求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則后，我們再反回去求解前面的模型就容易得多。現(xiàn)在我們就返回去接著前面模型I的建模步驟。
3、求解模型:我們就以自由落體運動為例來求解。設(shè)它的位移函數(shù)為s=gt2，求它在2秒末的瞬時速度？由導(dǎo)數(shù)定義可知：v(2)=S′(2)=*2gtlt=2=2tg
4、模型檢驗:上面所求結(jié)果與高中物理上所求得的結(jié)果一致。從而驗證了前面所建立模型的正確性。
5、模型的推廣:前面兩個模型的實質(zhì)，就是函數(shù)在某點的瞬時變化率。由此可以推廣為:求函數(shù)在某一點的變化率問題都可以直接用導(dǎo)數(shù)來解，而不須像前面那樣重復(fù)建立模型。除了在概念教學(xué)中可以浸透數(shù)學(xué)建模的思想和方法外，還可以在習(xí)題教學(xué)中浸透這種思想和方法。在這里就不一一列舉。
通過數(shù)學(xué)建模的思想引入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，其主要目的是通過數(shù)學(xué)建模的過程來使學(xué)生進(jìn)一步熟悉基本的教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和科研意識，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的思想和方法。
參考文獻(xiàn)
1(單選)在“研究勻變速直線運動”的實驗中，使用電磁打點計時器(所用交流電的頻率為50 Hz)得到如圖1-4-6所示的紙帶.圖中的點為計數(shù)點，相鄰兩計數(shù)點間還有四個點未畫出來，下列表述正確的是()
A.實驗時應(yīng)先放開紙帶再接通電源
B.(s6-s1)等于(s2-s1)的6倍
C.從紙帶可求出計數(shù)點B對應(yīng)的速率
D.相鄰兩個計數(shù)點間的時間間隔為0.02 s
2.(2010·重慶高考)某同學(xué)用打點計時器測量做勻加速直線運動的物體的加速度，電源頻率f=50 Hz，在紙帶上打出的點中，選出零點，每隔4個點取1個計數(shù)點，因保存不當(dāng)，紙帶被污染，如圖1-4-7所示，A、B、C、D是依次排列的4個計數(shù)點，僅能讀出其中3個計數(shù)點到零點的距離：sA=16.6 mm、sB=126.5 mm、sD=624.5 mm.
若無法再做實驗，可由以上信息推知：(1)相鄰兩計數(shù)點的時間間隔為____s;(2)打C點時物體的速度大小為____m/s(取2位有效數(shù)字);(3)物體的加速度大小為________(用sA、sB、sD和f表示).
3.(2013屆中山市高三測試)在研究勻變速直線運動的實驗中，打點計時器使用的交流電的頻率為50 Hz.
(1)某同學(xué)在實驗過程中得到了在不同拉力下的A、B、C、D等幾條較為理想的紙帶，并在紙帶上每5個點取一個計數(shù)點，將每條紙帶上的計數(shù)點都記為0、1、2、3、4、5…，圖1-4-8甲是A紙帶上的一部分，圖1-4-8乙、丙、丁三段紙帶分別是從三條不同紙帶上撕下的.
在乙、丙、丁三段紙帶中，屬于紙帶A的是________.
打紙帶A時，小車的加速度大小是________m/s2.
打點計時器打紙帶A中的1號計數(shù)點時小車的速度為________m/s.
甲乙
丙 丁
(2)該同學(xué)在打A紙帶時，不知道所使用的交流電源的實際頻率已超過50 Hz，那么，他計算出來的加速度值________真實值(填“大于”、“小于”或“等于”).
4.(2010·大綱全國高考)利用圖1-4-9所示的裝置可以研究自由落體運動.實驗中需要調(diào)整好儀器，接通打點計時器的電源，松開紙帶，使重物下落.打點計時器會在紙帶上打出一系列的小點.
(1)為了測得重物下落的加速度，還需要的實驗器材有()
A.天平 B.秒表 C.米尺
(2)若實驗中所得到的重物下落的加速度值小于當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎担鴮嶒灢僮髋c數(shù)據(jù)處理均無錯誤，寫出一個你認(rèn)為可能引起此誤差的原因：____________________________.
5.(2010·大綱全國高考)如圖1-4-10所示為一次記錄小車運動情況的紙帶，圖中A、B、C、D、E、F、G為相鄰的計數(shù)點，相鄰計數(shù)點的時間間隔T=0.1 s.
(1)在坐標(biāo)系中作出小車的v-t圖線.
(2)將圖線延長與縱軸相交，交點的速度大小是______ cm/s，此速度的物理意義是_________________________.
6.(2011·新課標(biāo)全國高考)利用圖1-4-12所示的裝置可測量滑塊在斜面上運動的加速度.一斜面上安裝有兩個光電門，其中光電門乙固定在斜面上靠近底端處，光電門甲的位置可移動，當(dāng)一帶有遮光片的滑塊自斜面上滑下時，與兩個光電門都相連的計時器可以顯示出遮光片從光電門甲至乙所用的時間t.改變光電門甲的位置進(jìn)行多次測量，每次都使滑塊從同一點由靜止開始下滑，并用米尺測量甲、乙之間的距離x，記下相應(yīng)的t值，所得數(shù)據(jù)如表所示.
x(m) 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 0.950 t(ms) 292. 9 371.5 452.3 552.8 673.8 776.4 x/t(m/s) 1.71 1.62 1.55 1.45 1.34 1.22 完成下列填空和作圖：
(1)若滑塊所受摩擦力為一常量，滑塊加速度的大小a、滑塊經(jīng)過光電門乙時的瞬時速度v1、測量值x和t四個物理量之間所滿足的關(guān)系式是________________;
(2)根據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，給出的坐標(biāo)紙上畫出-t圖線;
(3)由所畫出的-t圖線，得出滑塊加速度的大小為a=________m/s2(保留2位有效數(shù)字).
1【解析】 中間時刻的瞬時速度等于全程的平均速度，所以vB=，C正確;s6-s1=5(s2-s1)，所以B錯誤;相鄰計數(shù)點間的時間間隔是0.1 s，D錯誤;按照實驗要求應(yīng)該先接通電源再放開紙帶，所以A錯誤.
【答案】 C
2.【解析】 (1)打點計時器打出的紙帶每隔4個點選擇一個計數(shù)點，則相鄰兩計數(shù)點的時間間隔為T=0.1 s.
(2)根據(jù)BD間的平均速度等于C點的瞬時速度得
vC==2.5 m/s.
(3)勻加速運動的位移特征是相鄰的相等時間間隔內(nèi)的位移以aT2均勻增大，則有BC=AB+aT2，CD=BC+aT2=AB+2aT2，BD=2AB+3aT2，T=5/f
所以a==.
【答案】 (1)0.1 (2)2.5 (3)
3.【解析】 (1)根據(jù)做勻變速直線運動的物體在連續(xù)相等時間內(nèi)的位移差為恒量這一特點，可確定屬于紙帶A的是丙.由Δs=aT2，代入數(shù)據(jù)解得a=3.11 m/s2.v1= m/s=0.46 m/s.
(2)由Δs=aT2得a=，當(dāng)交流電源的頻率變大時計算出來的加速度度值小于真實值.
【答案】 (1)丙 3.11 0.46 (2)小于
4.【解析】 (1)為了測得重物下落的加速度，必須知道重物下落的時間與位移，時間可由打點計時器測定，位移可由米尺測定，物體的質(zhì)量沒有必要測定，故不需要天平.
(2)實驗中所得到的重物下落的加速度值小于當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎担鸫苏`差的原因有：打點計時器與紙帶之間存在摩擦、空氣阻力等.
【答案】 (1)C (2)打點計時器與紙帶之間存在摩擦(其他合理答案同樣對)
5.【解析】 (1)應(yīng)用vn=，求出各計數(shù)點B、C、D、E、F對應(yīng)的速度為vB=16.50 cm/s，vC=21.40 cm/s，vD=26.30 cm/s，vE=31.35 cm/s，vF=36.30 cm/s，在v-t坐標(biāo)系中描點，連線如圖所示.
(2)由圖中可以讀出，圖線與縱軸交點的速度大小為11.60 cm/s，此速度表示A點的瞬時速度.
【答案】 (1)見解析
(2)11.60 表示A點的瞬時速度
6.【解析】 (1)由運動學(xué)公式x=v0t+at2=(v1-at)t+at2=-at2+v1t，變形為=-at+v1，從此式可知，-t圖線是一條斜率為負(fù)值的直線.
(2)根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)按進(jìn)行處理，把處理的數(shù)值對應(yīng)描點，然后用一根直線連接這些點，所得圖象如圖所示.
(3)由圖線知斜率絕對值為k==1.0，又從=-at+v1知，斜率的絕對值為a，故有a=1.0，即a=2.0 m/s2.
一、實驗方案的操作方法
1．控制變量法。若多種因素x1、x2、……均影響著某個物理量A，則可以采用先控制其它的因素不變而研究其中某一因素xi對A的影響，然后逐步更替xi，進(jìn)而搞清所有的xi對A的影響的方法。在本實驗中，采用了“控制變量法”:先在控制小車質(zhì)量一定的條件下研究合力與加速度的關(guān)系，然后再控制合外力一定的條件下研究小車質(zhì)量與加速度的關(guān)系，最后綜合得出物體的加速度與它受到的合力及物體質(zhì)量之間的關(guān)系。
2．留跡法。運動物體無論以何種方式留下的何種痕跡，都將或多或少地暴露出它在運動過程中的特征和規(guī)律。因此，通過對運動物體留下的痕跡的研究來把握其運動規(guī)律，是研究運動的一種好方法。在本實驗中，采用了“留跡法”:用打點計時器在與小車相連的紙帶上打下眾多時刻的瞬時位置點跡，然后通過點跡的分析求解出小車的速度和加速度，最后得出小車運動的規(guī)律。
3．比較法。在課本實驗參考案例中，用比較法探究加速度與外力、質(zhì)量的關(guān)系，即取兩個相同的小車放在傾斜的木板上，前端各系一條細(xì)繩，繩的另一端跨過定滑輪各掛一個小盤，盤中可放砝碼。兩小車后端各系一條細(xì)繩，一起被同一個夾子夾著而使小車靜止，打開夾子，讓兩小車同時開始運動，關(guān)上夾子，兩小車同時停下來。通過增減小盤中的砝碼來改變小車所受的合力，增減小車內(nèi)的砝碼可改變小車的質(zhì)量。在控制兩輛小車質(zhì)量相同的基礎(chǔ)上，比較兩車加速度與合力的關(guān)系，再控制合力相同的基礎(chǔ)上，比較兩車加速度與小車質(zhì)量的關(guān)系，最后得出加速度與它受到的合力及物體質(zhì)量之間的關(guān)系。其中加速度的比較可通過對位移的比較來實現(xiàn)，而不必測量加速度的大小，簡化了實驗操作，俗稱“雙車法”實驗。
4．等效法。如果在研究某一個物理現(xiàn)象和規(guī)律中，因?qū)嶒灡旧淼奶厥庀拗苹蛞驅(qū)嶒炂鞑牡认拗疲豢梢曰蚝茈y直接揭示物理本質(zhì)，而采取與之相似或有共同特征的等效現(xiàn)象來替代，這樣不僅能順利得出結(jié)論，而且容易被學(xué)生接受和理解，這種方法稱之為“等效法”。在本實驗中，小車所受摩擦力不可避免，若在長木板不帶滑輪的一端下面墊一些小木片，反復(fù)改變墊高，直至小車在傾斜的木板上作勻速直線運動，這時小車重力沿斜面的下滑分量與小車所受的摩擦力平衡，即用下滑力抵消了摩擦力的影響，等效于小車不受阻力。
二、實驗數(shù)據(jù)的測量方法
1．累積法。對某些微小量來說，在現(xiàn)有儀器的精度內(nèi)難以測量準(zhǔn)確，若采用將這些微小量累積，將小量變大量，更便于測量，從而提高測量的準(zhǔn)確度，減小測量誤差。在本實驗中，由于打點周期小，紙帶上相鄰兩點的間隔很小，用刻度尺直接測量相鄰兩點的間距誤差較大，而選擇每隔幾個點(如5個點)作一個計數(shù)點，再用刻度尺直接測量相鄰兩計數(shù)點的間距，測量結(jié)果較為準(zhǔn)確，求解出的紙帶加速度也更為準(zhǔn)確。
2．轉(zhuǎn)換法。本實驗中，若利用速度公式求解加速度大小，則涉及到瞬時速度的測量，而直接測量瞬時速度并不容易，但把對某一段時間內(nèi)中間時刻的瞬時速度的測量轉(zhuǎn)換成對該段時間內(nèi)的平均速度的測量，則顯得較為容易。當(dāng)然，本實驗中加速度的測量也可轉(zhuǎn)換為對連續(xù)相等的時間內(nèi)位移之差與時間平方比值的測量。
3．替代法。在本實驗中，由于小車在運動，無法利用測力計直接測量小車所受拉力的大小，因此可在平衡摩擦力的基礎(chǔ)上，用小盤連同盤中砝碼的總重力替代小車所受的拉力大小，由連接體的運動規(guī)律可知，這一替代需要滿足小盤連同盤中砝碼的總質(zhì)量遠(yuǎn)小于小車總質(zhì)量為前提。教師的主導(dǎo)作用重在知識的遷移和方法的引導(dǎo)上，我們要關(guān)注學(xué)生實驗遷移能力和發(fā)散性思維能力的培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生對物理實驗從感性認(rèn)識上升到理性的思考，從而將物理實驗中“過程與方法”的目標(biāo)內(nèi)化為學(xué)生的精神財富。
作者:周笑春 單位:江蘇省清江中學(xué)
新課程理念下，高考物理更加注重物理思想、物理方法的考查，“分割”思想和方法作為一種迅速解決非線性變量問題的有效手段，仍將在高考試題中有所體現(xiàn)。在解決非線性變化的變量問題時，如果能夠掌握好這種解題方法，在很多時候能使復(fù)雜問題大大簡化，給我們解決物理問題帶來事半功倍的效果。“分割”思想和方法，從數(shù)學(xué)上講，其實是一種微分的思想方法，下面通過一道例題談?wù)劇胺指睢彼枷朐诮鉀Q物理問題中的運用。
【案例】如圖甲所示，光滑絕緣水平面上一矩形金屬線圈abcd的質(zhì)量為m、電阻為R、ad邊長度為L，其右側(cè)是有左右邊界的勻強磁場，磁場方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強度大小為B，ab邊長度與有界磁場區(qū)域?qū)挾认嗟取Ｔ趖=0時刻線圈以初速度v0進(jìn)入磁場，在t=T時刻線圈剛好全部進(jìn)入磁場，且速度為v1。此時對線圈施加一沿運動方向的變力F，使線圈在t=2T時刻全部離開該磁場區(qū)。若上述過程中線圈的v-t圖像如圖乙所示，整個圖像關(guān)于t=T軸對稱。若線圈的面積為S，請運用牛頓第二運動定律和電磁學(xué)規(guī)律證明：在線圈進(jìn)入磁場過程中， v0-v1=B2LSmR。
【分析】此題以線圈穿過勻強磁場區(qū)域時，線圈的v-t圖像給出解題信息，以證明的形式綜合考查法拉第電磁感應(yīng)定律、無限分割思想（微元法）、勻變速直線運動規(guī)律等。經(jīng)分析在線圈進(jìn)入磁場的過程中，加速度是非線性變化的，不能夠直接運用牛頓第二定律和運動學(xué)公式處理上述問題。本題采用無限“分割”思想，把時間分成若干等份后，對運動過程的極小部分進(jìn)行分析， 在極短時間內(nèi)加速度變化很小，可以近似地認(rèn)為不變，這樣每一等份可看成勻變速運動，然后利用牛頓第二定律和運動學(xué)公式以及電量的求解方法綜合起來解題，簡化解題過程。
“分割”思想是通過對運動過程的極小部分進(jìn)行分析，將變化的過程轉(zhuǎn)化為不變的過程，達(dá)到了 “化變?yōu)楹恪薄ⅰ盎鸀橹薄钡淖饔谩＠纾凇捌胀ǜ咧姓n程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（物理必修1）”中引入瞬時速度的概念時，教材中先從平均速度引入，而平均速度只能粗略地描述運動的快慢，為了使運動的描述更加精確，教材在處理相關(guān)問題時，采用了無限“分割”思想，把時間無限分割，提出從t到t+Δt這段時間間隔內(nèi)，Δt越小運動快慢的描述就越精確。但若Δt趨向于零時，ΔxΔt就可以認(rèn)為是t時刻的瞬時速度。
總之，無限“分割”思想體現(xiàn)了近似逼近的物理思想，是用于解決非線性變化的變量問題的有效途徑。如果物理問題中涉及的是非線性變量，無法用牛頓第二定律等常規(guī)方法求解，但采用無限“分割”思想，可以將所研究的物理過程，分割成許多微小單元，這樣就可以將整個運動過程看成是由許多微小的運動過程組成的，每一個微小的運動過程中物理量的變化非常微小，可以近似認(rèn)為不變，最終將非線性變量變成線性變量，甚至常量。然后，利用相關(guān)的物理規(guī)律求得每一微小運動過程中所求的量。
【關(guān)鍵詞】 高職；高等數(shù)學(xué)；任務(wù)驅(qū)動型
在高職院校中，一些工科和財經(jīng)類的專業(yè)都安排了高等數(shù)學(xué)的課程. 學(xué)生通過學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，不僅可以學(xué)到相關(guān)的高數(shù)知識，還能掌握解決問題的能力，為學(xué)習(xí)其他知識和生活實踐中的應(yīng)用，積累優(yōu)秀的經(jīng)驗.
一、高職高等數(shù)學(xué)的任務(wù)驅(qū)動型教學(xué)模式教學(xué)
（一）設(shè)計教學(xué)任務(wù)
在高職高等數(shù)學(xué)的任務(wù)驅(qū)動型教學(xué)模式中，合理的教學(xué)任務(wù)設(shè)計是實現(xiàn)其教學(xué)效果的基礎(chǔ). 任務(wù)設(shè)計的合理性可以直接影響學(xué)生完成任務(wù)的結(jié)果，對教學(xué)質(zhì)量也有直接的影響. 因此，教師要注意結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)實際、教學(xué)內(nèi)容合理設(shè)計教學(xué)任務(wù)的內(nèi)容. 在高職院校的課程設(shè)置中，高等數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)課程，學(xué)生來自不同的專業(yè)，基礎(chǔ)也存在不同的層次，因此，教師在設(shè)計教學(xué)任務(wù)的時候，就要同學(xué)生的高數(shù)儲備知識的程度不同，設(shè)計與之相符的教學(xué)任務(wù). 從而可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，能夠使其積極的參與到教學(xué)活動中，并能配合教師完成任務(wù).
（二）任務(wù)的完成和分析
一般來看，在高數(shù)課堂教學(xué)過程中，教師可以利用課堂時間，組織學(xué)生完成教學(xué)任務(wù). 教師在向?qū)W生布置教學(xué)任務(wù)后，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考和討論，學(xué)生在討論與交流中，會對完成教學(xué)任務(wù)中所需的材料以及其中可能出現(xiàn)的問題有初步的認(rèn)識，并能及時對解決問題的防范措施和相關(guān)的資料收集方法進(jìn)行探討. 為了能夠幫助學(xué)生培養(yǎng)起獨立思考和解決問題的能力，在學(xué)生思考問題和收集資料的環(huán)節(jié)，就需要教師組織學(xué)生進(jìn)行獨立的思考，并能給學(xué)生留出充足的時間進(jìn)行思考與收集資料. 教師要注意充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主體的作用，也可以適時的進(jìn)行交流與討論，但是要盡量避免教師直接告訴學(xué)生答案，從而培養(yǎng)學(xué)生的探究能力與解決問題的能力.
在高數(shù)教學(xué)的過程中有比較經(jīng)典的題目，設(shè)置任務(wù)為“求解剎車過程中某一時刻的速度”，教師就可以針對該任務(wù)設(shè)置如下問題，如：利用求平均速度的公式是否可以求解瞬時速度？平均速度可以用來代替瞬時速度嗎？平均速度和瞬時速度之間有什么關(guān)系嗎？這樣使學(xué)生能夠帶著問題進(jìn)行思考，根據(jù)教師提出的問題就會對任務(wù)中的瞬時速度、平均速度以及二者之間的關(guān)系有更加準(zhǔn)確的認(rèn)識，并能加強知識之間的聯(lián)系，使得學(xué)習(xí)系統(tǒng)更加清晰.
在實施的過程中教師要注意以下問題：
首先，教師要設(shè)計合理的教學(xué)任務(wù)，從而調(diào)動學(xué)生的積極性，這不僅可以有效地促進(jìn)學(xué)生參與到教學(xué)活動中，還能有效的提高教學(xué)質(zhì)量，這也是實施和完成任務(wù)型教學(xué)模式的核心；其次，還要培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成團(tuán)隊合作的良好品質(zhì)，并能及時的聽取他人的意見與建議，這樣才能更有效的完成任務(wù)，學(xué)習(xí)知識；最后，教師還要具備較好的專業(yè)素養(yǎng)，能夠準(zhǔn)確的掌握教學(xué)進(jìn)度，并能對學(xué)生的討論時機進(jìn)行把控. 教師要根據(jù)學(xué)生完成任務(wù)的情況以及學(xué)生的實際情況，及時的進(jìn)行調(diào)整，保障任務(wù)驅(qū)動型教學(xué)在高數(shù)課堂上的順利實施.
（三）及時進(jìn)行任務(wù)效果的評價
進(jìn)行及時的任務(wù)效果評價可以對學(xué)生學(xué)習(xí)成果進(jìn)行評價與衡量，這也是任務(wù)驅(qū)動型教學(xué)模式的最后環(huán)節(jié). 進(jìn)行及時的教學(xué)效果評價，一方面可以及時的發(fā)現(xiàn)本次教學(xué)存在的問題，另一方面也能為以后的任務(wù)驅(qū)動型教學(xué)提供參考意見. 將任務(wù)效果評價分為學(xué)習(xí)能力的評價、思維能力和其他素質(zhì)能力的評價. 主要是對學(xué)生掌握新舊知識、創(chuàng)造思維能力以及團(tuán)隊合作能力等綜合能力的評價. 學(xué)生要進(jìn)行自評，不僅要對自身的學(xué)習(xí)效果進(jìn)行評價，還要根據(jù)其他同學(xué)的完成情況形成對比評價，對自己所掌握知識的程度、思考問題、解決問題的能力進(jìn)行評價. 主要要結(jié)合教師的評價結(jié)果及時的進(jìn)行改進(jìn)，并能不斷對其學(xué)習(xí)方法進(jìn)行改進(jìn).
二、實施任務(wù)驅(qū)動型教學(xué)的注意事項
首先，要保證設(shè)置的問題和設(shè)計的問題的科學(xué)性與合理性. 因為學(xué)生解決問題的過程就是學(xué)習(xí)高數(shù)知識的過程. 教師在設(shè)計問題的時候，要注意同學(xué)習(xí)的知識和目標(biāo)結(jié)合起來，設(shè)置的任務(wù)應(yīng)該緊密圍繞教學(xué)任務(wù)開展. 同時，還要注意問題的難易度應(yīng)該是層層遞進(jìn)的，遵循循序漸進(jìn)的原則.
其次，教師要關(guān)注學(xué)生在解決任務(wù)、完成任務(wù)時知識間的連續(xù)性，如果設(shè)置的問題難度過大，就會嚴(yán)重影響學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性. 教師要注意設(shè)計問題的合理性，既能將新知識囊括在其中，也能使知識有機結(jié)合起來.
最后，教師在設(shè)計任務(wù)的時候，還要注意對學(xué)生能力的培養(yǎng)，如學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、邏輯思維能力以及人文素養(yǎng). 因為高數(shù)是一門基礎(chǔ)課，可以幫助學(xué)生擴展其知識儲備，還能促進(jìn)學(xué)生培養(yǎng)思維能力.
結(jié)束語
總而言之，在高職高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，積極應(yīng)用任務(wù)驅(qū)動型教學(xué)模式，可以有效地促進(jìn)學(xué)生積極地參與到課堂教學(xué)活動中，并能使學(xué)生主動的思考和完成任務(wù)，從而掌握高數(shù)知識. 并在完成任務(wù)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和優(yōu)秀的品質(zhì).
【參考文獻(xiàn)】
瞬時功率是指物體（或某個力）在某時刻的功率。瞬時功率一般用推導(dǎo)式 求解，其中，v是指該時刻力作用點的瞬時速度，θ是指力F與速度 間的夾角。
[例1] 設(shè)汽車行駛時所受阻力與它的速率成正比，如果汽車以v的速度勻速行駛時，發(fā)動機的功率為P。當(dāng)汽車以2v 的速率勻速行駛時，汽車發(fā)動機的功率為（）
A. P B. 2P
C. 3P D. 4P
分析：這是一個變力做功的問題。由題意知汽車以速度v勻速行駛時，汽車的牽引力為F1=Fj=kv，此時汽車的功率為P=F1v=kv?v=kv2 ①
當(dāng)汽車以2v的速率勻速行駛時，汽車的牽引力變?yōu)镕=F1j=k?2v，此時汽車的功率變?yōu)镻2=F2v2=4kv2②解①②兩式可得P2=4P
[例2] 如圖1所示，用F=20N的力使重物G由靜止開始，以0.2m/s2的加速度提升，則第5s末力F的功率為多大？
分析：這是一個恒力做功的問題，在第5s末物體的速度為v1=at=0.2×5m/s=1m/s此時力F的作用點A的瞬時速度為v2=2vadb=2m/s，所以在第5s末力F的功率為P=Fv=20×2W=40W。
二、求平均功率
平均功率能粗略地描述力在某一段時間內(nèi)做功的快慢程度。求平均功率有兩條途徑：
其一，用定義式P=■計算；
其二，用推導(dǎo)式P=Fvcosθ計算。
[例3] 跳繩是一種健身運動。設(shè)某運動員的質(zhì)量是50kg，他1分鐘跳繩180次，假定在每次跳躍中，腳與地面的接觸時間占跳躍一次所需時間的■，則該運動員跳繩時克服重力做功的平均功率為多大？（g取10m/s2）
分析：運動員跳繩一次需時t=■=■s運動員跳離地面的時間 t1=■(1-■)=■s功率是中學(xué)物理中的一個重要概念，它描述某個物體（或某個力）做功快慢情況，功則運動員上跳的時間t2=■=0.1s運動員跳繩上升的高度h=■gt2 =■×10×0.12m0.05m則運動員跳繩一次需克服重力做功：W=mgh=50×10×■J=25J所以該運動員跳繩時克服重力做功的平均功率為P=■=■=75W
三、求某個力的功率
功率是描述某個力做功快慢的物理量，既可能是某個力的功率，也可能是合力的功率。在計算中務(wù)必弄清要求哪個力的功率。
[例4] 一質(zhì)量為m的物體，在幾個共點力的作用下靜止在光滑的水平桌面上，現(xiàn)把其中一個水平方向的力F突然增大到3F，保持其他力不變，則在ts末該力的功率為（）
A.■tB.■t C.■t D.■t
分析：由題意可知，題中要求的是3F這個力在ts末的瞬時功率。對物體應(yīng)用牛頓第二定律得3F-F=ma在ts末物體的速度為v=at=■由功率推導(dǎo)式P=Fv得P=3F?■=■所以選項B正確
四、求曲線運動中的功率
當(dāng)物體做曲線運動時，應(yīng)用推導(dǎo)式P=Fvcosθ求功率要注意θ角的意義，它是指力F與速度v間的夾角。
[例5] ：一質(zhì)量為m=1.0kg的物體以初速度v0=10m/s做平拋運動。則在第1.0s末重力的瞬時功率為多大？（g取10m/s2）
分析：在第ls末物體的豎直分速度為v1=gt=10×1.0m/s=10m/s
由圖2可知v=■=10■m/s
cosθ=■=■=■所以重力在第ls末的瞬時功率為P=Fvcosθ=mgv?cosθ=1.0×10×10■×■W=100W
五、求流體的功率
流體在撞擊物體時做功。求流體做功的功率時，關(guān)鍵是建立物理模型，也就是說如何選取研究對象是解題的關(guān)鍵。
[例6] ：某地強風(fēng)的風(fēng)速約為v=20m/s，設(shè)空氣密度p=1.3kg/m3。如果把通過橫截面積為S=20m2的風(fēng)的動能全部轉(zhuǎn)化為電能，則利用上述已知量計算電功率的公式應(yīng)為P=，大小約為W。（取一位有效數(shù)字）
分析：取ts內(nèi)作用到橫截面積為S的面積上的空氣流為研究對象，如圖3所示。則這部分空氣流的質(zhì)量為m=pV=p?Svt
