時間：2022-02-18 19:21:30
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇參數(shù)方程，希望這些內容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
問題1：經過點M（x，y）的直線有多少條？
問題2：再加一個什么條件就可以確定一條直線？
教師：請同學們說出經過點M（x，y），傾斜角為θ的直線的方程。
學生：根據(jù)點斜式，斜率k=tanθ，所以直線方程為y-y=tanθ（x-x）。
2.新課講解
教師：能否引進一個參數(shù)，使得直線上任何一點M（x，y）都能用這個參數(shù)來表示？
學生：利用|MM|，就是利用M到M的距離。
教師：如果利用距離的話，一個參數(shù)就會對應兩個點了，如何解決這個問題呢？
學生：根據(jù)方向來區(qū)分，向上是正的，向下是負的。
教師：很好，那跟方向有關的話，我們能想到什么？
學生：向量。
教師：不錯，那我們能否找到一個單位向量和直線是平行的？如果可以的話，那p的坐標是什么？并給出提示：op要滿足什么條件就會和直線是平行的？
學生：可以，根據(jù)斜率相同就可以了，所以p（cosθ，sinθ），記==（cosθ，sinθ）。
教師：因為和是共線的，所以就可以用表示出來，即=t，那么，M的坐標如何用參數(shù)來表示呢？
學生：根據(jù)向量相等，就能得出直線的參數(shù)方程x=x+tcosθy=y+tsinθ。
教師：這個參數(shù)方程跟哪種曲線的參數(shù)方程是很像的，有什么區(qū)別？
學生：跟圓的參數(shù)方程很像，區(qū)別在于，在直線的參數(shù)方程中t是參數(shù)，在圓的參數(shù)方程中θ是參數(shù)。
教師：參數(shù)t的幾何意義是什么呢？
學生：因為=|t|=|t|，所以|t|就是M到M的距離。
教師：什么時候是正的，什么時候是負的？
學生：根據(jù)向量的數(shù)乘可知，如果與同向，則t是正的，反之t是負的。
教師：很好，那我們看一下的方向有什么特點？
學生：根據(jù)傾斜角θ的范圍，可以知道的方向總是向上的。
教師：所以我們直接看的方向就可以了，如果的方向是向上的，則t是正的，反之t是負的。
教師：那M所對應的參數(shù)是多少？
學生：根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知，M所對應的參數(shù)是0。
3.例題講解
例1：已知直線l∶x+y-1=0與拋物線y=x交于A、B兩點，求線條AB的長和點M（-1，2）到A，B兩點的距離之積。
學生：思考，互相交流。
教師：直線l的參數(shù)方程是什么？
學生：因為M（-1，2）在直線l上，θ=，所以直線l的參數(shù)方程是x=-1-ty=2+t。
教師：能否利用參數(shù)，線段AB的長就是什么？
學生：根據(jù)參數(shù)的幾何意義可以得出，|AB|=|t|+|t|。
教師：那如何解出t，t呢？
學生：因為t，t是A，B兩點所對應的參數(shù)，而A，B兩點是直線與拋物線的交點，所以將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程，得到2+t=（-1-t），化簡得t+t-2=0，所以t，t就是上述方程的兩個解。
教師：那|MA||MB|=？
學生：根據(jù)韋達定理|MA||MB|=|t||t|=|tt|=2。
教師：求|AB|能不能也根據(jù)韋達定理，不解方程來做？引導學生從向量的角度來考慮，因為=-=t-t=（t-t），所以|AB|=|t-t|，那如何用韋達定理呢？
學生：|AB|=|t-t|==。
教師：說明一下|AB|=|t-t|是通用的，其中t，t是A，B所對應的兩個參數(shù)。
那A，B的中點P所對應的參數(shù)等于多少呢？
學生：猜測中點P所對應的參數(shù)為。
教師：通過畫圖來解釋，或者根據(jù)向量=+。
例2：經過點M（2，1）作直線l，交橢圓+=1于A，B兩點。如果點M恰好為線段AB的中點，求直線l的方程。
知識與能力：1、理解圓的參數(shù)方程 ，能熟練求出圓心在原點、半徑為r的圓的參數(shù)方程；2、理解圓心不在原點的圓的參數(shù)方程 ，能根據(jù)圓的圓心坐標和半徑熟練的求出圓的參數(shù)方程；3、了解參數(shù)方程的概念；4、能進行圓的普通方程與參數(shù)方程互化，并能用之解題；過程與方法：在學習中探索出圓的參數(shù)方程并能對其進行應用；
情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)的學習讓學生感受數(shù)、形、式間的聯(lián)系；
二、教學重點：圓的參數(shù)方程的推導及圓的參數(shù)方程與普通方程的互化；
三、教學難點：對圓的參數(shù)方程 的推導及應用其解題；
四、教學方法：探索發(fā)現(xiàn)法 問題式教學法
五、課時安排：1課時
六、教學過程設計：
Ⅰ、知識回顧（課件展示，教師引導學生回顧知識點，學生完成以下橫線空格的填寫）
1、圓的標準方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，它表示的是以C(a,b)為圓心，以r為半徑的圓；
2、圓的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0（其中D2+E2-4F>0），它表示的是以 為圓心，以 為半徑的圓；
Ⅱ、新課
1、圓的參數(shù)方程的推導
（1）如圖,設O的圓心在原點,半徑是r,與x軸正半軸的交點為P0,在圓上任取一點P,若將OP0按逆時針方向旋轉到OP位置所形成的角∠P0OP=θ, 求P點的坐標：
點P的橫坐標x和縱坐標y都是θ的函數(shù)，即 ①
顯然，對于θ的每一個允許值，由方程組①所確定的點P(x,y)都在O上。我們把方程組①叫做圓心為原點、半徑為r的圓的參數(shù)方程，θ是參數(shù)．
（2）圓心為O1(a,b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程是怎樣的？
如圖O 可以看成由O按向量 平移而得到即對于O上任意一點P1(x1,y1)，在O1上必有一點P（x,y），使 ，又因為 ， ,所以(x1,y1)=(x-a,y-b)即是
從而 ②，代入②式可以得到圓心為O1（a,b），半徑為r的圓的參數(shù)方程是 （θ為參數(shù)）
2、參數(shù)方程的概念
在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)， ③并且對于t的每一個允許值，方程組③所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，那么方程組③就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．
3、參數(shù)方程和普通方程的互化
相對于參數(shù)方程來說，前面學過的直接給出曲線上點的坐標 、 關系的方程，叫做曲線的普通方程．將曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去，可得到曲線的普通方程。參數(shù)方程和普通方程可以互化．
4、例題解析
例1 曲線C： （θ為參數(shù)）的普通方程是： ；
例2 若直線y=x-b與曲線 有兩個交點，則實數(shù)b的取值范圍為 ；
解析：方法1：（代數(shù)法）由 ，由 得
方法二：（幾何法）由 ，則圓心（2,0）到直線y=x-b的距離 解不等式得：
練習：若曲線 （θ為參數(shù)）與直線x++y+a=0有公共點，求a的范圍；
例3 如圖，已知點P是圓x2+y2=16上的一個動點，點A(12,0)是x軸上的一定點，當點P在圓上運動時，線段PA的中點M的軌跡是什么？
解：設點M(x,y)，圓x2+y2=16的參數(shù)方程為 ，設點P(4cosθ,4sinθ)，由線段中點坐標公式得 ，即點M軌跡的參數(shù)方程為 ，點M的軌跡是以點(6,0)為圓心、2為半徑的圓．
練習：課本P89，練習3
例4 已知實數(shù)x、y滿足方程x2+y2+2y=0，（1）求x+y的最大值；（2）求 的取值范圍；
解：由原方程可得：x2+(y+1)2=1，它表示圓，參數(shù)方程為
（θ為參數(shù)，0≤θ
（1）
當 時，x+y有最大值
（2） 的值可看成是過圓上任意一點(x,y)與點（2,0）的直線的斜率k，即 由圓心（0，-1）到直線kx-y-2k=0的距離d≤r得 解不等式得 即
練習：1、若x2+y2，則x+y的取值范圍是 ；
2、（課本P91第11題）求函數(shù) 的最大值和最小值；
Ⅲ、小結：1．圓心為原點、半徑為r的圓的參數(shù)方程 ，
（θ為參數(shù)）；2．圓心為O1（a,b），半徑為r的圓的參數(shù)方程
（θ為參數(shù)）；3．參數(shù)方程和普通方程的互化，要注意等價性。
關鍵詞：高考；極坐標；參數(shù)方程
2009年高考是遼寧省進行新課改后迎來的第一個高考，至今已經歷時四年。由于新課程改革，教材增加了部分新內容，所以高考題型也增加了22（平面幾何初步），23（極坐標與參數(shù)方程），24（不等式選講）三道選做題，考生要從中三選一。因此，部分高中選擇主講《4-4極坐標與參數(shù)方程》。坐標系是解析幾何的基礎，為了便于用代數(shù)的方法刻畫幾何圖形或描述自然現(xiàn)象，需要建立不同的坐標系。極坐標系就是與直角坐標系不同的坐標系，對于有些幾何圖形，選用極坐標系可以使建立的方程更加簡單。參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點的坐標的方程，是曲線在同一坐標系下的又一種表現(xiàn)形式。某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更靈活。參數(shù)方程可以幫助學生用更靈活的辦法解決問題。那么，近幾年高考中有關“極坐標與參數(shù)方程”的問題都考查了那些知識點？以那些形式出現(xiàn)的呢？
一、極坐標系與直角坐標系的互化
在求解有關極坐標問題時，可以轉化為相對熟悉的直角坐標方程進行求解。若最終結果要用極坐標表示，可以將直角坐標再次化為極坐標。例1：（2009年遼寧省高考理科23題）在直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρcosθ-π3=1，點M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點.（1）寫出C的直角坐標方程，并求點M，N的極坐標；（2）設MN的中點為點P，求直線OP的極坐標方程.解：（1）由ρcosθ-π3=1得ρ（12cosθ+32sinθ）=1。從而C的直角坐標方程為12x+32y=1，即x+3y=2。θ=0時，ρ=2，所以M坐標為（2，0），θ=π2時，ρ=233，所以N坐標為（0，233）。（2）M的直角坐標為（2，0），N的直角坐標為（0，233），所以中點P的直角坐標為（1，33），則點P的極坐標為（233，π6）所以直線OP的極坐標方程θ=π6，ρ∈（-∞，+∞）。點評：本題考查點是極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化.例2：在極坐標系中，已知點O（0，0），P（32，π4），求以OP為直徑的圓的極坐標方程。解： 設點Q（ρ，θ）為以OP為直徑的圓上任意一點， 在RtΔOQP中，ρ=32cos（θ-π4）， 故所求圓的極坐標方程為ρ=32cos（θ-π4）。可以看到，利用極坐標系解決本題非常簡潔。可是，我校學生的學習基礎和理解程度，大部分學生不能想到或是理解這種方法。那么，我們看看下面的這種解法。解法二：點O的直角坐標是（0，0），點P的直角坐標是（3，3），所以線段OP的中點C的直角坐標是（32，32），線段OC=（32）2+（32）2=322。故以OP為直徑的圓的直角坐標方程是（x-32）2+（y-32）2=（322）2，即x2+y2-3x-3y=0，化為極坐標方程是ρ=3cosθ+3sinθ，即所求圓的極坐標方程為ρ=32cos（θ-π4）。通過解法的對比，學生可以比較出兩種解題方法哪個更為優(yōu)化，哪個更好理解，從而選擇適當?shù)姆椒ㄟM行解題。
二、參數(shù)方程與普通方程的互化及簡單應用
將參數(shù)方程中的參數(shù)消去后可以得到普通方程。消去參數(shù)常用的方法有代入法，有時也利用代數(shù)或三角函數(shù)中的恒等式消去參數(shù)。需要注意的是，在消去參數(shù)的過程的等價性，即坐標的變化范圍不能擴大或縮小。例3：（2010年遼寧省高考理科23題）已知P為半圓C：x=cosθy=sinθ ， （θ為參數(shù)，0≤θ≤π）上的點，點A的坐標為（1，0），O為坐標原點，點M在射線OP上，線段OM與C的弧AP的長度均為π3（1）以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求點M的極坐標；（2）求直線AM的參數(shù)方程.解：（1）由已知，點M的極角為π3，且M的極徑為π3，故點M的極坐標（π3，π3）。（2）點M的直角坐標為（π6，3π6）， A（1，0）故直線AM的參數(shù)方程為x=1+（π6-1）ty=3π6t （t為參數(shù)）點評：本題考查點是極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化。例4：（2011年遼寧省高考理科23題）在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=cosφy=sinφ （φ為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為x=acosφy=bsinφ （a>b>0，φ為參數(shù)）。在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ=α與C1、C2各有一個交點.當α=0時，這兩個交點間的距離為2，當α=π2時，這兩個交點重合.（1）分別說明C1、C2是什么曲線，并求出a與b的值；（2）設當α=π4時，l與C1、C2的交點分別為A1、B1；當α=-π4時，l與C1、C2的交點分別為A2、B2，求四邊形A1A2B2B1的面積.解：（1）曲線C1的普通方程為x2+y2=1，故曲線C1是圓心在原點，半徑為1的圓；曲線C2的普通方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），故曲線C2是焦點在x軸的橢圓；由題意知a=3，b=1。（2）當α=π4時，A1（22，22）、B1（255，255）；同理，當α=-π4時，A2（22，-22）、B2（255，-255）；故等腰梯形A1A2B2B1的面積為310。點評：本題考查點是參數(shù)方程和普通方程的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化。例5：（2012年遼寧省高考理科23題）在直角坐標系xOy中，圓C1： x2+y2=4，圓C2：（x-2）2+y2=4（1）在以原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓C1、C2的極坐標方程，并求出圓C1、C2的交點坐標（用極坐標表示）；（2）求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程.點評：本題考查簡單曲線的極坐標方程，直線的參數(shù)方程的求法，極坐標與直角坐標的互化，及學生的計算能力。
三、利用參數(shù)方程（或者極坐標）解決直線與圓（橢圓、雙曲線）的位置關系問題
（一）對于圓、橢圓及雙曲線，它們的參數(shù)方程與三角函數(shù)有關，通常用來研究對應曲線上與點有關的最值問題。這也是參數(shù)方程的主要應用之一。例6：（2011年福建高考21題（2））在直接坐標系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為x=3cosαy=sinα （α為參數(shù)）.（1）已知在極坐標（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，π2），判斷點P與直線l的位置關系；（2）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值.解：（1）把極坐標系下的點P（4，π2）化為直角坐標，得P（0，4）。因為點P的直角坐標（0，4）滿足直線l的方程x-y+4=0，所以點P在直線l上。（2）因為點Q在曲線C上，故可以設點Q的坐標為（3cosα，sinα）， 從而點Q到直線l的距離為 d=3cosα-sinα+42=2cos（α+π6）+42=2cos（α+π6）+22 因此，當cos（α+π6）=-1時，d取最小值，最小值為2。點評：本小題主要考查極坐標與直角坐標的互化，橢圓的參數(shù)方程等基礎知識，考查運算能力，考查化歸與轉化的思想。（二）直線參數(shù)方程t的幾何意義例8：（2010年福建高考21題（2））在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=3-22ty=5+22t （t為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=25sinθ。（1）求圓C的直角坐標方程；（2）設圓C與直線l交于點A、B。若點P的坐標為（3，5），求|PA|+|PB|。解：（1）由ρ=25sinθ得x2+y2-25y=0，即x2+（y-5）2=5.（2）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得（3-22t）2+（22t）2=5，即t2-32t+4=0，由于Δ=（32）2-4×4=2>0，故可設t1，t2是上述方程的兩實根，所以t1+t2=32t1t2=4 ，又直線l過點P（3，5），故由上式及t的幾何意義得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=32。點評：本小題主要考查直線的參數(shù)方程及參數(shù)t的幾何意義（極大化簡了計算過程）、圓的極坐標方程、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力。本題也可以化為直線的普通方程，然后求出點A、B，繼而求出|PA|+|PB|，但計算量較大。四、在高考中經常涉及的考點
考點1：理解參數(shù)方程是以參變題量為中介表示曲線上的點的坐標的方程是同一曲線在同一坐標系下的又一種表現(xiàn)形式，掌握參數(shù)方程和普通的互化。考點2：理解極坐標方程是以極徑、極角為變題量的方程，掌握極點在原點，極軸在x軸正半軸上時，極坐標方程和直角坐標方程可以互化。考點3：掌握根據(jù)所給曲線的參數(shù)方程、極坐標方程分別化為普通方程和直角坐標方程，從而判斷曲線類型的方法.考點4：掌握根據(jù)曲線的參數(shù)方程設曲線上任意一點的坐標的方法.考點5：掌握過定點M0（x0，y0），傾斜角為α的直線參數(shù)方程x=x0+tcosαy=y0+tsinα （t為參數(shù)），此時t有幾何意義，即t=MM0.雖然在選做題的三道題中，極坐標與參數(shù)方程相對簡單，但隨著選擇此題的考生逐漸增多，此考題難度也逐年增加。但是只要明確考綱，理解并掌握以上知識點，就可以以不變應萬變，成功地求解該題。
參考文獻：
[1]2009年各省高考數(shù)學理科試題
[2]2010年各省高考數(shù)學理科試題
二星題：立足重點，查漏補缺
三星題：立足難點，提升能力
一星題
1． 極坐標方程（ρ-1）（θ-π）＝0（ρ≥0）表示的圖形是
（A） 兩個圓 （B） 兩條直線
（C） 一個圓和一條射線 （D） 一條直線和一條射線
2． 若0＜x＜，求函數(shù)y=x2（1-3x）的最大值．
二星題
3． 以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位. 已知直線的極坐標方程為θ=（ρ∈R），它與曲線x＝1+2cosα，y＝2+2sinα（α為參數(shù)）交于點A和點B，則AB＝．
4． （1） 已知x，y∈R且a，b>0，求證：ax2+2by2≥；
（2） 已知a，b，c∈R+且abc＝1，求證： ++≥．
三星題
5． 已知x，y∈R+ 且+=1，求+的最小值．
6． 當a，b∈R且a≠0時，不等式a-b+a+b≥a•（x-1+x-2）恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．
7． 在極坐標系中，已知點A（，0）到直線l：ρsinθ-＝m（m＞0）的距離為3．
（1） 求實數(shù)m的值；
（2） 設P是直線l上的動點，Q在線段OP上，且滿足OP•OQ=1，求點Q的軌跡．
8． 已知圓O的參數(shù)方程為x＝2cosθ，y＝2sinθ（θ為參數(shù)），直線l1的參數(shù)方程為x＝1+tcosθ，y＝1+tsinθ（t為參數(shù)，≤θ≤），直線l2的參數(shù)方程為x＝1-tsinθ，y＝1+tcosθ（t為參數(shù)，≤θ≤）．
（1） 已知直角坐標系中，點P的坐標為（-，1），以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，過點P作圓O的切線，求該切線的極坐標方程；
（2） 若直線l1與圓O交于A，B兩點，直線l2與圓O交于C，D兩點，求AB•CD的最值．
【參考答案】
1． C
2． 解： 0＜x＜， 1-3x>0． y=x2（1-3x）＝x•x•（1-3x）＝•••（1-3x）≤3=． 當且僅當=1-3x即x＝時等號成立，此時函數(shù)有最大值．
3．（提示：由題意可得，直線的普通方程為x-y=0，曲線的普通方程為（x-1）2+（y-2）2＝4． 圓心到直線的距離為=， AB=2=）
4． 證明： （1） a，b>0， 要證原不等式，即證≥（x+2y）2． 根據(jù)柯西不等式可得＝+（ax2+2by2）≥（x+2y）2， 原不等式得證．
（2） a，b，c∈R+且abc＝1， ++=+••（b+c）=+•（b+c）≥2＝ ． 同理可得，++≥；++≥． ++≥-++-++-+=++≥•＝．
5． 解：令a=，b=，則x=，y=． +=a+b=1， +=•+•＝+. +［（a+1）+（4+b）］≥（a+b）2， +≥＝. 當且僅當•=•即x＝5，y＝時，+ 有最小值．
6． 解： a≠0， x-1+x-2≤恒成立． x-1+x-2≤min． a-b+a+b≥a-b+a+b=2a，當且僅當（a-b）（a+b）≥0時，等號成立， ≥=2． x-1+x-2≤2． 解得x的取值范圍是，．
7． 解： （1） 以極點為原點、極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，則點A的直角坐標為（，0）. ρsinθ-=ρsinθ-ρcosθ=m， 直線l的普通方程為x-y+m＝0. 點A到直線l的距離d==1+m=3，又m＞0， m=2．
（2） 由（1）得直線l的方程為ρsinθ-=2． 設P（ρ0，θ0），Q（ρ，θ）， 點P（ρ0，θ0）在直線l上， ρ0 sinθ0-＝2（①）． 由OP•OQ＝1，Q在線段OP上可得ρρ0＝1，θ＝θ0（②）． 將②代入①，得sinθ-=2，即ρ=sinθ-． 這就是點Q的軌跡方程．
把ρ=sinθ-兩邊同乘以ρ，得ρ2=ρsinθcos-sincosθ=（ρsinθ-ρcosθ），化為普通方程得x+2+y-2=， 點Q的軌跡是以-，為圓心、為半徑的圓． 在極坐標系中，ρ==，tanθ==-1． 又在直角坐標系中，直線l過第一、二、三象限， θ為第二象限角. 在極坐標系中點Q的軌跡是以，為圓心、為半徑的圓．
8． 解： （1） 由題意可得，圓O的普通方程為x2+y2=4． 圓O是以（0，0）為圓心、以2為半徑的圓． OP＝＝2， 點P在圓O上． 如圖1所示，以直角坐標系的原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，過點P作圓O的切線PM，設M（ρ，θ）． tan∠POx==-， ∠POx=，∠POM=-θ．又∠MPO=，OP=2， cos∠POM==cos-θ，該切線的極坐標方程為ρcos-θ=2．
（2） 由（1）得圓O的普通方程為x2+y2=4．
把直線l1的參數(shù)方程代入圓的普通方程，整理得t2+2（cosθ+sinθ）t-2＝0． 設該方程的兩根為t1，t2，則AB=t1-t2=＝＝2．
一、坐標系
了解極坐標系；會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置；會進行極坐標和直角坐標的互化．
特別提醒：
1．平面上任意一點的極坐標不是唯一的；
2．點的直角坐標化為極坐標，通常用如下方法：ρ=x2+y2，tanα=|yx|，α∈（0，π2），
當θ在第一、第二、第三、第四象限時，極角θ分別取α、π－α、π+α、2π－α；
3．極坐標方程與直角坐標方程互化要注意其等效性．極坐標和直角坐標互化的前提條件是：（1）極點與直角坐標系的原點重合；（2）極軸與直角坐標系的x軸正半軸重合；（3）兩種坐標系取相同的長度單位．設點P的直角坐標為（x，y），它的極坐標為（ρ，θ），則互化公式是x=ρcosθy=ρsinθ 或ρ2=x2+y2tanθ=yx；若把直角坐標化為極坐標，求極角θ時，應注意判斷點P所在的象限（即角θ的終邊的位置），以便正確地求出角θ，在轉化過程中注意不要漏解，特別是在填空題和解答題中，則更要謹慎漏解．
例1 取直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，則點M（－1，－3）的極坐標為_____________．
分析：把直角坐標化為極坐標主要是求出求出ρ與角θ即可．
解：利用互化公式，可得ρ=2，tanα=3，又點M是第三象限內的點，可得θ=43π，故點M的極坐標為（2，43π）．
點評：可以利用數(shù)形結合，直接得出答案；也可以利用互化的公式得出答案但也要注意點的位置與極角的關系．
例2 若限定ρ≥0，0≤θ≤2π，則曲線ρsinθ=2與曲線ρ=4sinθ的交點的極坐標為_____________．
分析：把極坐標方程化為直角坐標方程，可求出交點的直角坐標，再化為極坐標或聯(lián)立方程即可求出ρ與角θ．
解：法一：把兩個極坐標方程化為直角坐標方程，可得y=2與x2+（y-2）2=4，利用數(shù)形結合可得到交點坐標為（2，2）和（－2，2），由ρ≥0則ρ=22，由tanθ=±1，又0≤θ≤2π，θ=π4或θ=3π4．則兩曲線交點的極坐標為（22，π4）或（22，3π4）．
法二：把ρ=4sinθ代入到ρsinθ=2，注意到ρ≥0，得到sinθ=22，從而θ=π4或θ=3π4，再得到ρ=22．則兩曲線交點的極坐標為（22，π4）或（22，3π4）．
點評：本題用了兩種解法，化成直角坐標要稍麻煩一點，直接聯(lián)立方程可以方便的求出ρ與角θ．
二、曲線的極坐標方程
了解曲線的極坐標方程的求法；會進行曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化；了解簡單圖形（過極點的直線、過極點的圓、圓心在極點的圓）的極坐標方程．
特別提醒
1．在極坐標系中，以極點為圓心，r為半徑的圓的極坐標方程是 ρ=r；
2．在極坐標系中，以 C（a，0）（a>0）為圓心，a為半徑的圓的極坐標方程是ρ=2acosθ；
3．在極坐標系中，以 C（a，π2）（a>0）為圓心，a為半徑的圓的極坐標方程是 ρ=2asinθ；
4．在極坐標系中，θ=α（ρ≥0）表示以極點為起點的一條射線；θ=α（ρ∈R）表示過極點的一條直線；
5．在極坐標系中，過點A（a，0）（a>0），且垂直于極軸的直線l的極坐標方程是ρcosθ=a．
例3 若曲線的極坐標方程為ρ=2sinθ+4cosθ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為_____________．
分析：本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化．要把已知條件與x=ρcosθy=ρsinθ 聯(lián)系起來，即可得到曲線的直角坐標方程．
解：將ρ=2sinθ+4cosθ，兩端同乘以ρ得，ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ，則
x2+y2=2y+4x，即x2+y2－4x－2y=0．
點評：本題中曲線的極坐標方程只要在兩端同乘以ρ，再根據(jù)直角坐標和極坐標直角的關系就很容易得出該曲線的直角坐標方程．
例4 已知圓心在M（a，0），半徑為R，試寫出圓的極坐標方程．
分析：先建立直角坐標系找出動點P所在的三角形，再利用三角形中的余弦定理.
解：如圖，在OPM中，由余弦定理可得：
ρ2－2aρcosθ+a2－R2=0．
點評：建立直角坐標系找出動點P所在的三角形是解決此類問題的關鍵，三解形中的余弦定理是解決本題的工具．
三、參數(shù)方程
了解拋物運動軌跡的參數(shù)方程及參數(shù)的意義．理解直線的參數(shù)方程及其應用；理解圓和橢圓（橢圓的中心在原點）的參數(shù)方程及其簡單應用．會進行曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化．
特別提醒：
1．曲線的參數(shù)方程不是唯一的，選擇不同的參數(shù)，得到的參數(shù)方程也不同；
2．注意直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及其應用．
例5 直線x=3+tsin40°y=－tcos40° （t為參數(shù)）的傾斜角是_____________．
分析：將參數(shù)方程化為直線參數(shù)方程的標準形式即可得到直線的傾斜角，也可以將參數(shù)方程化為直線的斜截式方程，求出斜率k，進而得出傾斜角，但計算量比較大．
解：將參數(shù)方程化為x=3－tcos130°y=－tsin130° （－t為參數(shù)），對照直線的參數(shù)方程可得傾斜角為130°．
點評：本題所給出的直線方程的參數(shù)形式比較容易讓人混淆，t不是定點（3，0）與直線上的點之間的距離，如果不認真分析就比較容易出錯．本題解題方法的選擇也至關重要．
3．參數(shù)方程與普通方程的互化：
（1）參數(shù)方程轉化為普通方程
把參數(shù)方程轉化為普通方程，其基本方法是“消去參數(shù)”．消去參數(shù)的具體方法要根據(jù)參數(shù)方程的特點來考慮．一般地說，當f（t），g（t）都是多項式時，常采用代入消元法；當f（t），g（t）都是t的三角函數(shù)時，常借助三角恒等式等．在轉化的時候，還必須使兩種方程的變量的取值一致．
參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消參過程常見方法有三種：代入法、三角法、平方法等．
（1）代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t，然后代入消去參數(shù)．
例6 把參數(shù)方程x=21+t2y=2t1+t2（t為參數(shù)）化為普通方程．
分析：觀察方程組里的兩個式子的分母相同，所以把兩個式子相比就得到t用x，y來表示的關系式，再將其代入到參數(shù)方程中即可．
解：由原方程組得yx=t，把t=yx代入x=21+t2得x=21+（yx）2，化簡得：x2+y2－2x=0（x≠0），這就是所求的普通方程．所以它表示的曲線是以（1，0）為圓心， 1為半徑的圓除去原點（0，0）．
點評：在用代入消元法的時候關鍵要得到t的一個關系式，之后再代入到參數(shù)方程中的x式或y式即可．
（2）普通方程轉化為參數(shù)方程
把普通方程化為參數(shù)方程，一般有如下思路：
（1）F（x，y）=0選取參數(shù)tx=f（t），y=g（t），（t為參數(shù)）．
例7 直線l的普通方程是2x－y+2=0，把其化為參數(shù)方程．
分析：可以選取一個參數(shù)t，直接令x=t，代入方程后則可求出y關于t的關系式．
解：選t為參數(shù)，令x=t，則y=2t+2．得參數(shù)方程為x=t，y=2t+2.（t為參數(shù)）．
點評：選定參數(shù)t以后，將普通方程化為參數(shù)方程的問題就轉化為已知t，分別求解x、y的問題了，它和求動點軌跡的參數(shù)方程的方法類似．
4．轉化思想在解題中的應用
（1）在圓中的應用
例8 已知實數(shù)x、y滿足x2+y2+2x－23y=0，
（1）求x2+y2的最大值；（2）求x+y的最小值．
分析：從幾何意義來考慮，設P（x，y）是圓C：x2+y2+2x－23y=0上的一點，可利用圓的參數(shù)方程得到P點的坐標，再來求解最值問題．
解：原方程配方得：（x+1）2+（y－3）2=4，它表示以（－1，3）為圓心，2為半徑的圓，用參數(shù)方程可表示為x=－1+2cosθ，y=3+2sinθ （θ為參數(shù)，0≤θ
（1）x2+y2=（－1+2cosθ）2+（3+2sinθ）2
=4（3sinθ－cosθ）+8
=8sin（θ－π6）+8
當θ－π6=π2，即θ=2π3時，（x2+y2）max=16．
（2）x+y=2（sinθ+cosθ）+3－1=22sin（θ+π4）+3－1，
當θ+π4=3π2，即θ=5π4時，（x+y）max=3－22－1．
點評：利用圓（x－a）2+（y－b）2=r2的參數(shù)方程x=a+rcosθ，y=b+rsinθ（θ為參數(shù)），來設P點的坐標，就把目標函數(shù)由二元轉化為一元，促使問題順利解決．
（2）在橢圓中的應用
例9 求橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的內接矩形的面積及周長的最大值．
分析：把橢圓的標準方程轉化為參數(shù)方程x=acosαy=bsinα，即可設出橢圓的一個點的坐標，從而得到內接矩形的邊長，即可列出面積與周長的表達式來求最值．
解：如圖，設橢圓x2a2+y2b2=1的內接矩形在第一象限的頂點是A（acosα，bsinα）（0
S=4FA×EA=4acosα·bsinα=2absin2α≤2ab，
當且僅當α=π4時，Smax=2ab，
L=4（FA+EA）=4acosα+4bsinα
=4a2+b2sin（α+φ）≤4a2+b2，
當sin（α+φ）=1時，Lmax=4a2+b2，此時α存在．
隨著新課改的不斷深化，基于對高中學生學習能力和狀況的研究，并為了平衡數(shù)學教材教學內容，直線參數(shù)方程內容比例已經顯著減少.在實際教學中，教師也選擇進行教學重心的偏移.然而，作為高中數(shù)學體系的重要組成，其在實際解題應用中，尤其是一些靈活性和深刻性要求較高的數(shù)學習題中，能夠發(fā)揮極佳的應用優(yōu)勢.榱吮Vぱ生數(shù)學知識結構體系的完整性，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力，教師應對直線參數(shù)方程在高中數(shù)學解題中的應用進行系統(tǒng)講解和分析.
一、直線參數(shù)方程應用于最值求解題
高中幾何圖形中最值問題解析是重點和難點.有些學生數(shù)學基礎不扎實，且在解題和答題中的靈活性不強，無法充分應用所學的數(shù)學知識進行辨證式解題.這些學生不能明確已知條件，且無法抓住題目的重點，往往選擇以自身所掌握的單一化解題方式進行剖析和解答，不僅耗時較長，而且最終答案難以保證正確率.例如，已知兩條拋物線C1：y2=3x+5和C2：y2=5-3x相交于一點A，在A處作兩條直線和拋物線相交于B、C點，求|AB?||AC|的最大值.在看到題目時，學生一方面怯于拋物線知識點的多和雜，另一方面對于已知條件的分析和應用也不到位，無法實現(xiàn)有效解題.如果應用直線參數(shù)方程進行解題，則能夠高效地完成解答.基于已知條件，列出拋物線C1和C2的方程組，即y2=3x+5和y2=5-3x，進而明確交點A的數(shù)值.其后，通過拋物線圖形和A點坐標得出最終B、C兩點的方程組.由BC與兩條拋物線存在著交點這一條件，最終利用三角關系獲得相應結果.對本題的解題過程進行分析，應用直線參數(shù)方程進行解題，不僅解題過程思路清晰，而且快速高效，以圖形和已知條件作為推到元素，便能很快獲得問題答案.因此，學生應有意識地加強相關題目的解題訓練，提高解題效率.
二、直線參數(shù)方程應用于定值類數(shù)學題
定值類數(shù)學題同樣是高中數(shù)學中的重點和難點.在面對相應題目時，學生往往找不到解題方向，缺乏具體的著眼點，導致數(shù)學學習自信心逐漸降低.對于此類題目的解題而言，單純利用已知條件，即題目變量并不明確為橫縱坐標的點亦或是由點構成的直線，且點屬于未知元，直接進行解題很難找出有效的解題思路.而利用直線參數(shù)方程知識，將原有條件轉化為一個參變元，則解題過程清晰且簡單.例如，已知拋物線C3∶y2=4Bx（A>0）中 ，求證其x軸的正半軸上存在點 A，使過A點的拋物線的任何一弦長滿足為常數(shù)值.要想進行解題，需明確A點坐標，進而得出A（a，0）（a>0）.為過A點直線進行參數(shù)方程設定，即x=a+bcosθy=bsinθ.應用參數(shù)方程和已知拋物線方程，通過拋物線圖形判斷，獲得第三已知量，最后求證出x軸的正半軸上存在點A.證明題是高中數(shù)學習題中的重要題型，對于學生邏輯思維能力和推導能力的提升有著重要意義.在教學中，教師應引導學生充分利用已知條件，完成參數(shù)方程設置，進而一步步推導出題目要求.
三、直線參數(shù)方程應用于軌跡問題
對于軌跡問題的解答，往往需要借助已知條件進行畫圖，在圖形觀察過程中找出解題的突破口，最后得到所需答案.有些學生由于圖形構建和理解能力上的欠缺，往往在面對軌跡問題時難以下手.這就要求教師在進行相應知識點的講解時引導學生掌握高效的解題推導方法.以圓曲線方程問題為例，題目通常給出圓的方程，并給出相關已知條件，讓學生求出動點關于圓曲線的方程.此類問題有著很強的數(shù)形結合特色，需要學生在解題過程中充分結合幾何圖形知識和方程知識，利用直線參數(shù)方程完成動點關于圓曲線的方程.在解題過程中，學生首先應明確題目所給條件，并將已知條件進行整理，以已知條件作為基礎，設定出過原點直線的方程組.然后以已知條件為基礎畫出相應圖形，在數(shù)形的配合下，明確動點方程組，并實現(xiàn)動點方程組向已知量的轉化.最后以已知量作為補充，解答出軌跡問題的答案.從數(shù)學出題結構來看，此類題型往往為數(shù)學試卷后部的推導解答題，不僅解題過程相對復雜，且難度較大，需要花費一定時間.如果學生沒有扎實的數(shù)學基礎，且無法充分應用直線參數(shù)方程作為解題參考，就使解題過程漫長且艱難，浪費大量考試時間.因此，學生應在平時多進行相關習題的訓練，以打牢基礎，為解題進行充足準備.
總之，直線參數(shù)方程在高中數(shù)學知識體系中具有的重要地位.在高中數(shù)學教學中，教師要依據(jù)教學實際情況，將直線參數(shù)方程與其他知識點進行串聯(lián)講解，使學生進行知識的融會貫通，確保學生的知識體系的完整性.
2016年高考全國卷23題如下：
（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）在坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=acost，y=1+asint， （t為參數(shù)，a>0），在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ=4cosθ.
（Ⅰ）說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；
（Ⅱ）直線C3的極坐標方程為θ=α0，其中滿足tanα0=2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.
筆者參加了今年的高考評卷工作.據(jù)筆者調查，相當多的文科考生認為這道題“不好做”，第一問“還可以”，第二問“看不懂”，“很難算”.筆者認為，“注重概念，綿里藏”是這道題的顯著特點，盡管題目的表述給人的感覺很平和，但要想徹底解決它，需要有點真功夫才行.來自閱卷現(xiàn)場的數(shù)據(jù)也說明了這一點：該題全省文科平均分4.2分，理科平均分6.7分（滿分10分），文科的難度系數(shù)為0.42，理科的難度系數(shù)為0.67.在高考數(shù)學的六道大題中，這道題的難度相對較小，原本以為可以拿高分，這樣的得分結果，遠低于命題預期.
學生的答卷暴露出哪些問題？對極坐標與參數(shù)方程的課堂教學有什么啟示？筆者對此進行了初步的分析與思考.
二、典型錯誤及解題分析
1.典型錯誤一：沒有判斷C1的曲線類型或判斷錯誤.
例如，有的考生這樣作答：“C1的參數(shù)方程為x=acost，y=1+asint （t為參數(shù)，a>0），C1是橢圓”，或者“曲線C1是過定點（0，1），斜率為tant的直線（t為參數(shù)），y-1x=tant”，或者“曲線C1為圓錐曲線”“曲線C1為拋物線”“曲線C1為雙曲線”.
原因分析：這樣作答的考生沒有把握概念的本質特征，不理解圓的參數(shù)方程這個概念，辨別不清鄰近的數(shù)學概念，混淆了圓的參數(shù)方程與橢圓的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程，把常數(shù)a當作參數(shù)，把圓的參數(shù)方程當成了直線的參數(shù)方程，消去的是常數(shù)a而不是參數(shù)t，導致參數(shù)方程化為普通方程時化錯.
2.典型錯誤二：沒有化曲線C1的參數(shù)方程為直角坐標方程或化錯.
有的考生這樣作答：“由x=accost，y=1+asint，得x2=acos2t，y2=1+asin2t，x2+y2=1+2a”，或者“x2=cos2t，（y-1）2=sin2t”.
原因分析：這樣作答的考生沒有掌握運算化簡的算理cost=xa，sint=y-1a，cos2t+sin2t=1.
不知道如何消去參數(shù)，運算求解能力低下.
3.典型錯誤三：沒有對常數(shù)項a進行平方.
“曲線C1的直角坐標方程為x2+（y-1）2=a，（ρcosθ）2+（ρsinθ-1）2=a，ρ2-2ρsinθ+1-a=0”，a少了平方，由此一路往下一直到第二問，總是錯在同一個地方，導致嚴重失分.
原因分析：這一類考生由于粗心導致計算錯誤，運算求解能力低下，基礎訓練不充分.
4.典型錯誤四：沒有求解曲線C1的極坐標方程.
有的考生判斷了曲線C1的類型，求出了C1的普通方程后，還沒有求曲線C1的極坐標方程，尚未得到題目需要的結果，就直接跳到第二問進行作答.
原因分析：這一類考生或者審題不清，漏看題目的要求，沒有看清第一問有兩個考點；或看清了題目的要求，但不清楚極坐標方程與直角坐標方程這兩個概念，或者沒有掌握轉化的算理x=ρcosθ，y=ρsinθ，不知道該如何把直角坐標方程化為極坐標方程.
5.典型錯誤五：沒有充分化簡曲線C1的極坐標方程或化錯.
例如，有的考生化簡的最終結果是“ρ2cos2θ+（ρsinθ-1）2=a2”，或者“ρ2-ρsinθ-1-a2=0”或者“ρcos2θ+ρsin2θ-2ρsinθ+1-a2=0”.
原因分析：這一類考生不明確化簡要達到什么程度，或者是平時的教學中教師沒有做出明確的要求，或者是教師提出了要求而考生沒有留意，或者是盡管留意了但是不會平方差公式導致無法展開（ρsinθ-1）2，或者移項后沒有變號，或者不記得cos2θ+sin2θ=1.
6.典型錯誤六：沒有討論極徑ρ的取值范圍.
例如，有的考生所下結論為：“曲線C1的極坐標方程為ρ=2ρsinθ+1-a2ρ”.
原因分析：這一類考生對極坐標的定義理解不透，考慮問題不全面，不明確極徑ρ的取值范圍.他們沒想到“ρ=2ρsinθ+1-a2ρ”中的ρ出現(xiàn)在分母，不能取0，與正確答案ρ2-2ρsinθ+1-a2=0相比，ρ的取值范圍中缺少了0，曲線C1對應的圖形少了一個點（0，0）.
7.典型錯誤七：沒有得到曲線C3的直角坐標方程y=2x.
原因分析：這一類考生不清楚經過極點的直線的極坐標方程為θ=α0，對應直角坐標系中經過坐標原點的直線，或者忘記了斜率的概念，斜率k=tanα0=2，求不出對應的方程y=2x.
三、教學思考
1.概念教學時，讓學生明確概念的來龍去脈，讓學生感受知識的發(fā)生、發(fā)展過程，悟透概念的本質，尤其是圓的參數(shù)方程的概念.上文中提到的錯誤一、錯誤四、錯誤六和錯誤七與概念有關.
2.結合教材《選修4-4坐標系與參數(shù)方程》第23頁圓的參數(shù)方程的概念，進行調整并且對概念進行拓展外延.例如，這樣調整：
設圓O的半徑是r，點M（x，y）從初始位置M0出發(fā)，按逆時針方向在圓O上作勻速直線圓周運動，OM0繞點O逆時針旋轉到OM的位置時，OM0轉過的角度為變數(shù)t，以O為坐標原點，OM0所在的直線為x軸，建立直角坐標系.過點M向x軸作垂線，交x軸于點D，三角形OMD為直角三角形.OD=x=rcost，MD=y=rsint，所以x=rcost，y=rsint （t為參數(shù)），t的取值范圍由旋轉的角度大小而定.
例如，當t=π2時，點M落在y軸上；當t大于0而小于2π時，表示的圖形是扇形的弧；當t大于等于0且小于等于π2時，表示的圖形是圓心角為π2的扇形的弧；當t大于等于0且小于2π時，表示的圖形是一個圓.
歸納拓展：圓心在坐標原點（0，0），半徑為r的圓的參數(shù)方程可表示為x=rcost，y=rsint （t為參數(shù)）；
圓心在（x0，y0），半徑為r的圓的參數(shù)方程可表示為x=x0+rcost，y=y0+rsint （t為參數(shù)）.
3.解題教學時，展示算理，詳細展示具體的運算求解過程.
4.由教師進行點撥，師生一起根據(jù)解題過程，引導學生M行解題回顧與反思，并進行方法的提煉與領悟.
例1已知曲線C1：x=-4+cost，y=3+sint （t為參數(shù)），C2：x=8cosθ，y=-2+8sinθ （θ為參數(shù)），C3：x=3+2t，y=-2+t （t為參數(shù)），C4：x=1+s，y=1-s （s為參數(shù)）.
（1）化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）化C3，C4的方程為普通方程.
解（1）平方和消參法：由曲線C1：x=-4+cost，y=3+sint， 得cost=x+4，sint=y-3，因為cos2t+sin2t=1，所以（x+4）2+（y-3）3=1，曲線C1是圓；
由C2：x=8cosθ，y=-2+8sinθ （θ為參數(shù)），得cosθ=x8，sinθ=y+28，因為cos2θ+sin2θ=1，所以x82+y+282=1，即x2+（y+2）2=64，曲線C2是圓.
歸納點撥：對比C1與C2的參數(shù)方程，發(fā)現(xiàn)兩個方程中，一個方程的參數(shù)用t來表示，另一個方程的參數(shù)用θ來表示，但它們代表的曲線都是圓，說明代表變量的參數(shù)與所用的字母無關.
（2）代入消參法：C3：x=3+2t，y=-2+t （t為參數(shù)），由y=-2+t得t=y+2，
代入x=3+2t得x=3+2（y+2），C3的普通方程為x-2y-7=0.
加減消參法：因為C4：x=1+s，y=1-s （s為參數(shù)），所以x+y=（1+s）+（1-s）=1，即x+y=1為C4的普通方程.
接著提出以下問題，讓學生感悟解題規(guī)律：
判斷參數(shù)方程所表示的曲線類型的方法是什么？消去參數(shù)有什么方法？各種方法的特點是什么？如何選擇合理的方法？
歸納點撥：判斷參數(shù)方程所表示曲線的類型的方法是把參數(shù)方程化為熟悉的普通方程.把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結構特征，選取適當?shù)南麉⒎椒?常用的消參方法有：代入消參法；加減消參法；平方和（差）消參法；乘法消參法等.
5.整合單元內容時，對知識點進行歸納整理，對概念進行縱橫對比，區(qū)分概念的異同，使學生明確概念間的差異，悟透概念的內在聯(lián)系.例如，
① 圓心在（x0，y0），半徑為r的圓的方程.
普通方程：（x-x0）2+（y-y0）2=r2；
參數(shù)方程：x=x0+rcost，y=y0+rsint （t為參數(shù)）；
極坐標方程：（ρcosθ-x0）2+（ρsinθ-y0）2=r2或
ρ2-2ρx0cosθ-2ρy0sinθ+x20+y20-r2=0.
② 直線的參數(shù)方程為x=x0+tcosα，y=y0+tsinα （t為參數(shù)）（其中（x0，y0）為定點，α為直線的傾斜角）.
③ 橢圓x2a2+y2b2=1的參數(shù)方程為x=acosα，y=bsinα （α為參數(shù)）（a≠b）.
區(qū)別：圓的參數(shù)方程中，正、余弦的系數(shù)相同，正、余弦值是變化的；橢圓的參數(shù)方程中，正、余弦的系數(shù)不同，正、余弦值也是變化的；直線的參數(shù)方程中，正、余弦值是固定的常數(shù)，作為變量t的系數(shù)出現(xiàn).
6.結合常用三角公式，進行綜合訓練.
極坐標與參數(shù)方程的內容，常常和三角恒等變換的內容一起出現(xiàn)，綜合性較強.因此，在授課之前，有必要幫助學生復習三角恒等變換的相關公式，強化這些公式的記憶和運用.比如，二倍角公式、輔助角公式、降冪公式、兩角和與差公式、平方和公式以及正切公式的商數(shù)關系等內容，都需要引起高度重視.
總的來看，這道高考試題加大了對概念的考查力度，在把握概念的本質屬性方面提出了較高的要求，反映出命題者對基礎的重視，反映了讓學生在解題之余重視基本概念的命題意圖.在考查基礎知識的同時，加大了同一模塊知識間的綜合力度，具有一定的綜合性，要想解得快、準，考生必須對教材中的知識點清清楚楚，既不能有遺漏，也不能一知半解，否則，就會影響解題進程，甚至得到錯解.而高考是具有高度選拔性的考試，試題必然是在數(shù)學本質的表層上戴上特別的飾品，這就要求學生掌握數(shù)學的本質，抓住數(shù)學的精髓.在教學中如果只注重解題訓練和類型歸納，忽視對概念的理解和把握，考生在考試時就會出現(xiàn)按圖索驥、機械解題，題型一變，就不能適應，只好望題興嘆，本來不難的試題也解答不好.
【參考文獻】
1 激發(fā)興趣，生探索之根
孔子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”，可見興趣在數(shù)學學習中的重要性．通過恰當?shù)膯栴}復習舊知識可使學生迅速進入狀態(tài)，積極思考，激發(fā)興趣，為新知識的學習做好必要的知識上的準備．
師：請看幻燈片上的問題，思考可用什么方法解答．
練習：在圓x2+y2=12上求點P，使點P到直線l:x-y+8=0距離最小．
生（1）： 用數(shù)形結合法，由圖1知，其最小距離為圓心到直線距離與圓半徑的差 ．
生（2）：平行移動直線l:x-y+8=0與圓
x2+y2=12相切，最初相切的直線與直線l的距離，就是所求的最小距離．
生（3）：利用圓的參數(shù)方程 x=23cosθ
y=23sinθ求解．
師：從剛才各位同學的解法中，你有什么感想？
生（4）：數(shù)形結合法最簡單，生（2）方法比較復雜．
2 創(chuàng)設疑問情境，萌探索之芽
“學啟于思，思啟于疑”，學生積極的思維往往是以對問題的質疑開始，又在解決問題的過程中得到發(fā)展．因此，教學中要依據(jù)教材內容的特點，在新舊知識的銜接上創(chuàng)設質疑情境，使學生由被動接受邁向主動探索．
師：剛才這道題，大家均能積極思考，找到了解決問題的多種方法，并分析了各種方法的優(yōu)劣．現(xiàn)在我將此題恰當?shù)刈儎右幌拢茨囊晃煌瑢W能繼續(xù)引領大家走向成功的彼岸．
變式1：在橢圓 3x2+y2=12上找一點P，使點P到直線l:x-y+8=0的距離最小．
生（2）：可以像剛才一樣，移動直線l:x-y+8=0與橢圓3x2+y2=12相切，最初與橢圓相切的直線與直線l之間的距離就是所求的最小距離．
生（5）：這樣運算比較復雜，但剛才最簡單的數(shù)形結合法又不能用了，要是橢圓也有參數(shù)方程可能會簡單一點．
師：對，請大家回憶一下圓的參數(shù)方程的相關概念，看能否找到求橢圓的參數(shù)方程的方法．
3 聯(lián)想辨析――開探索之花
世界充滿著聯(lián)系，也充滿著矛盾．已知與未知、現(xiàn)實與需求、正確與錯誤的聯(lián)系與交替不時造成學生認知沖突，教學中教師可利用和制造這些矛盾沖突進行聯(lián)想辨析，把學生帶入發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的探索性學習活動中．
師：很對，那么參數(shù)θ又有何幾何意義呢？
生5：設M（acosθ,bsinθ)為橢圓上任一點，則θ是以x軸的正半軸為始邊，OM為終邊的角．
師：你是怎樣想到的？
生（5）：我是類比圓的參數(shù)方程得到的．
師：果真如此嗎？有無不同意見？
生眾：深思，有的動手在草稿上畫圖驗證．
生（6）：畫出圖3，感覺不對．
師：那么橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義到底是什么呢？請大家先觀察一下橢圓的參數(shù)方程x=acosθ (1)
（2）則是x2+y2=b2的參數(shù)方程x=bcosθ
y=bsinθ中的第二個式子．
師：對，這樣看來，（1）可看成圓x2+y2=a2上一點的橫坐標，（2）可看成是圓x2+y2=b2上一點的縱坐標，換言之，點（acosθ,bsinθ）的橫坐標與圓x2+y2=a2上一點的橫坐標相同，縱坐標又與圓x2+y2=b2上一點的縱坐標相同．由此，你能作出點M（acosθ,bsinθ)嗎？
圖3圖4生（3）：能，如圖4，在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心，分別以a,b為半徑作兩個同心圓，過原點O作射線分別與兩個圓相交于A、B兩點，過點A作ANOx，垂足為N，過點B作BMAN，垂足為M，則M點的橫坐標等于A點的橫坐標，M點的縱坐標等于B點的縱坐標，設∠xOA=θ，那么M點的坐標為M（acosθ,bsinθ)．
師：由此你知道橢圓參數(shù)方程x=acosθ
生（2）：如圖4，參數(shù)θ表示∠AOx．
師：經過剛才的探索之旅，我們知道橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是∠AOx而不是∠MOx，那么這兩者之者有無關系呢？（又一次點燃了學生的求知欲望）
生（5）：有，如圖
4 體驗成功――結探索之果
每個人心中均有探索的欲望，教師在教學中如能創(chuàng)設一個適當?shù)沫h(huán)境，讓學生經歷探索過程，體驗成功的愉悅，感受探索結果的應用價值，必將使學生開出“智慧之花”，結出“成功之果”．
師：經過剛才的探索，我們得到了橢圓的參數(shù)方程，明確了參數(shù)的幾何意義，下面我們看能不能應用它解決變式1．
|4cos(θ+60°)+8|2≥22，所以橢圓上點到直線的最短距離為22．
師：從中我們看到橢圓參數(shù)方程的坐標，它在某種情況下確實為我們的解題帶來很多方便，下面我們來看變式2（2007湖北高考模擬題）．
變式2：已知橢圓方程為3x2+y2=12，過原點且傾斜角分別為θ和π-θ (0＜θ≤π4)的兩條直線分別交橢圓于點A、C和B，D．則四邊形ABCD面積的最大值等于，此時θ=．
圖5生（7）：如圖5，根據(jù)橢圓的參數(shù)方程可設點A的坐標為xA=2cosφ
所以四邊形ABCD的面積S=4xA?yA=83sin2φ，因為 0＜φ≤π4，
師：有無不同意見？
生眾：沉思．
生（8）：不對，當點A的坐標為（2cosφ，23sinφ）時，根據(jù)橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，角φ不是直線AC的傾斜角θ，φ與θ的關系為tanθ=ymxm=asinφbcosφ，即 tanθ=3tanφ，
因為 0＜φ≤π6，所以 0＜2φ≤π3．
由生（7）的結果S=4xA?yA=83sin2φ知Smax=83?32=12,此時θ=π4．
師：橢圓與圓一樣具有參數(shù)方程，應用參數(shù)方程在許多時候能給我們的解題帶來許多便利，但要特別注意橢圓的參數(shù)方程與圓的參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義的不同，忽視這一點，將導致我們得到片面的，甚至錯誤的結論．下面請大家拿出草稿紙做課堂練習（略）．
5 教學反思
以往的教學流程往往是這樣：先提問或復習圓的參數(shù)方程及相關概念、作用，然后指出圓有參數(shù)方程，橢圓有無參數(shù)方程？今天我們主要解決這個問題，請大家看幻燈（出示新教材高中《數(shù)學》第二冊（上）第101頁例5），接下來與學生一起探索得出點M軌跡的參數(shù)方程為x=acosθ
y=bsinθ (1)，θ為參數(shù)，θ∈［0,2π)，消去參數(shù)θ，得橢圓的標準方程x2a2+y2b2=1 (2)，并指出方程（1）就是橢圓（2）的參數(shù)方程，最后舉例說明橢圓參數(shù)方程的應用．在這樣的學習過程中，課堂主要是以接受式學習為主，學生對橢圓參數(shù)方程的來源及參數(shù)意義的認識是很膚淺的，再加上后續(xù)應用環(huán)節(jié)中很少提及參數(shù)的幾何意義．由此我們就不難理解為什么有這么多的同學對變式2的錯誤解法看不出來的原因．新課程標準解讀中明確指出：學生的數(shù)學學習不能僅僅是掌握一些概念和技能，而必須經歷探索、猜想、推理等過程，把形成解決問題的一些基本策略作為一個重要的課程目標．弗賴登塔爾的“現(xiàn)實數(shù)學”思想也認為，數(shù)學來源于現(xiàn)實，必須應用于現(xiàn)實，數(shù)學教育如果脫離了那些豐富多彩而又復雜的材料，就將成為“無源之水，無本之木”．在本節(jié)課的教學中，教師從練習入手，通過變式創(chuàng)設了一個恰當問題情境，使學生現(xiàn)實地感受到探索出橢圓參數(shù)方程的必要性，然后在與圓的參數(shù)方程的類比猜想中，通過教師的主導作用幾經反復，終于自己探索出例5的主要內容，明確了橢圓參數(shù)方程及其參數(shù)的幾何意義，充分享受到探索后成功的愉悅．在隨后有針對性的變式2的練習中，進一步鞏固了橢圓參數(shù)方程及其幾何意義．這樣的教學有效地提高了學生探索與解決問題的能力，落實了教學目標．由此我想，為有效地配合、促進新課程理念的實施，防止學生走進題海戰(zhàn)術的死胡同，培養(yǎng)學生的探索與創(chuàng)新能力，在高考中是否可以考慮適當延長高考時間，增加猜想、探索、類比考查內容，從而讓學生走出為在規(guī)定時間內考出好成績而花大量時間進行應試訓練這種應試教育模式．
關鍵詞:水和水蒸汽熱力性質 IAPWS-IF97 IFC-67 計算模型
中圖分類號:TK1 文獻標識碼:A 文章編號:1672-3791(2011)09(a)-0131-02
Calculation Model of the Thermodynamic Properties of Water and Steam―IAPWS-IF97
Ding Feng1 Guo Qunlong2
(1.Xinjiang Zhongtai Chemical Company Wulumuqi 830009;
2.Central-south Design Institute of Electricity Wuhan 430072)
Abstract:Compared with traditional calculation model IFC-67, IAPWS-IF97, as a new calculation model for thermodynamic properties of water and steam,is greatly improved in terms of computing speed and accuracy.Since the advent of IAPWS-IF97,it was widely used in engineering practice and numerical calculation.This paper will introduce the reason of developing IAPWS-IF97 from the shortcomings of IFC-67 and give a comprehensive introduction to the calculation principle and model of IAPWS-IF97.
Key words:thermodynamic properties of water and steam;IAPWS-IF97;IFC-67;calculation model
水和水蒸汽作為一種常規(guī)的工質,已被廣泛運用熱能工程及其它一些科學研究領域,因此,精確計算水和水蒸汽的熱力性質在工程運用、科學研究等各領域內具有十分重要的意義。
在熱工計算中,一般要求水和水蒸汽的熱力性質各參數(shù)之間的關系式互為已知的,這樣在知道部分參數(shù)的情況下,可以根據(jù)個參數(shù)之間的關系式計算出其它參數(shù)。然而水和水蒸汽的各個參數(shù)之間的關系是非常復雜的非線性關系,計算的工作量是非常龐大的,因此國際水和水蒸汽協(xié)會在1997推出一套計算水和水蒸汽的模型――IAPWS-IF97以替代原來普遍采用的IFC-67,與IFC-67相比,這一模型具有計算速度快、精確度高等優(yōu)點。所以這一模型在推出以后迅速得到了廣泛的運用,并被許多學者編制成了水和水蒸汽性質查詢軟件,由于查詢軟件非常使用非常方便,所以人們對這一計算模型的原理并不是很清楚,所以本文將介紹這一模型的計算方法,并與傳統(tǒng)的計算方法進行比較[1]。
1IAPWS-IF97概述
IAPWS-IF97是國際水和水蒸汽性質協(xié)會提供的1997年工業(yè)用計算模型的簡稱,這一模型的誕生主要因為隨著計算機技術的發(fā)展及工業(yè)對計算精度的要求越來越高,原先的計算模型IFC-67已經不能滿足工業(yè)運用的要求,IFC-67主要有以下幾個缺點。
(1)在某些區(qū)域,IFC-67已經不能滿足最新標準的精度。
(2)對于某些性質來說,在區(qū)域邊界上存在相當大的不一致性。
(3)參數(shù)音速w并沒有包含在IFC-67中。
(4)IFC-67并不是基于當前適用的溫標ITS-90。
(5)IFC-67是基于早期的數(shù)據(jù),并沒有于最新的科學標準相關聯(lián)。
基于以上這些IFC-67的缺點,1997年國際水和水蒸汽性質協(xié)會公布了最新的計算公式―― IAPWS-IF97。于IFC-67相比,IAPWS-IF97具有以下特點。
(1)有效范圍。對于IAPWS-IF97,有效范圍為0℃≤t≤800℃,p≤100MPa,800℃≤t≤2000℃,p≤10Mpa;而對于IFC-67,有效范圍為0℃≤t≤800℃,p≤100Mpa。增加了一段高溫段。
(2)準確性。IAPWS-IF97計算得到的水和水蒸汽的性質參數(shù)與IAPWS-95計算得到的結果相比較,其偏離要小于IST-85規(guī)定的大小。
(3)區(qū)域邊界上的一致性。在邊界上由各區(qū)域方程計算得到的結果所允許的偏離。
單相區(qū):Δv=±0.05%,Δh=±0.2kJkg-1,Δcp=±1%,Δs=±0.2Jkg-1K-1,Δg=0.2kJkg-1,Δw=±1%。
飽和區(qū):Δps=±0.05%,ΔTs=±0.02%,Δg=0.2kJkg-1。
(4)計算速度。由國際動力公司及相關工業(yè)的實驗數(shù)據(jù)證實:在普遍使用的1區(qū)、2區(qū)和4區(qū),IAPWS-IF97公式計算速度比IFC-67公式快5.1倍。在3區(qū)IAPWS-IF97公式計算速度比IFC-67公式快3.6倍,在高溫區(qū)5區(qū),IAPWS-IF97公式的計算速度則比IFC-67公式快12.2倍[2]。
2IAPWS-IF97的計算模型
圖1給出了IAPWS-IF97劃分有效區(qū)域的方法,由圖中可以看到,有效范圍被分成五個區(qū)域,各個區(qū)域都有各自的方程,在區(qū)域1、2、5用吉布斯自由能公式g(p,T)表示,在區(qū)域3用亥姆霍茲自由能公式f(ρ,T)表示,而在區(qū)域4即飽和區(qū)用公式ps(T)表示[3]。
為便于以后更好的理解,現(xiàn)給出以后將用到的相關常數(shù)的意義及數(shù)值。
比氣體常數(shù):R=0.461526KJkg-1;摩爾氣體常數(shù):Rm=8.3145Jmol-1kg-1;臨界參數(shù):TC=647.096k,pc=22.064MPa,ρc=322kgm-3三相點參數(shù):Tt=273.16K,pt=611.657pa。
區(qū)域1的吉布斯自由能方程。
這一方程是通過一個無量綱參數(shù)表出的。
式中:
,,,,Ii、Ji是常數(shù)。
這一方程稱為基本方程,同樣適用于靠近飽和線的亞穩(wěn)態(tài)區(qū)域,其它參數(shù)的方程可以通過全微分由此方程推得,如比體積,則有。
區(qū)域2的吉布斯自由能方程。
這一方程同樣是通過一個無量綱參數(shù)表出的,但被分成兩部分:理想氣體部分和剩余部分。
上式在壓力大于10MPa時適用于靠近飽和線的亞穩(wěn)態(tài)區(qū)域,但當壓力小于等于10MPa時,會出現(xiàn)比較大的不一致性,因此有一個輔助方程來表示壓力小于等于10MPa時的亞穩(wěn)態(tài)區(qū)域,參閱文獻[1],該公式的有效區(qū)域為當p≤10MPa,飽和線和5%的濕度線之間的區(qū)域。
同理其它熱力性質的參數(shù)的公式也可以由這一基本方程推得,可查閱相關文獻。
區(qū)域3的亥姆霍茲自由能方程。
這一方程是通過無量綱參數(shù)表出的。
式中:
,,,,其余皆為常數(shù)。
該方程適用于過熱水和過熱汽的亞穩(wěn)態(tài)區(qū)域。
區(qū)域4的飽和壓力方程。
該方程通過隱式二次方程的形式描述飽和線。
區(qū)域5的吉布斯自由能方程。
這一方程同樣是通過一個無量綱參數(shù)表出的,被分成兩部分:理想氣體部分和剩余部分。
區(qū)域2和3之間的邊界方程。
其他區(qū)域之間的邊界都可由兩邊區(qū)域的方程求得,但區(qū)域2和區(qū)域3在邊界處存在比較大的不一致性,因而采用輔助的方程來描述改邊界。
3導出方程
當已知的參數(shù)不是上述基本方程中的參數(shù)時,要想通過上述基本方程求得其他參數(shù)就必須得通過迭代的方法實現(xiàn),但是迭代將減慢計算的時間,如果要能夠直接得到其他參數(shù)的基本方程就可以節(jié)省許多計算時間,IAPWS-IF97通過提供所謂的導出方程使得上述得以實現(xiàn),因而可以節(jié)省大量的計算時間。
IAPWS-IF97為區(qū)域1和區(qū)域2提供導出方程T(p,s)和T(p,h),同時為區(qū)域4提供導出方程Ts(p),通過這些導出方程和基本方程,在這三個區(qū)域內,當已知參數(shù)不為基本方程中的參數(shù)時,也可以直接導出其他參數(shù)的方程。
區(qū)域1的導出方程T(p,s)和T(p,h)。
這些基本方程是通過無量綱參數(shù)表出的。
區(qū)域2的導出方程T(p,s)和T(p,h)。
由于在區(qū)域2中當和的精度要求不同,因而為了滿足這一要求,將區(qū)域2分為三個子區(qū)域,劃分方法如圖2所示。
各區(qū)域的導出方程形式分別以下標a、b、c示之。
而對于a區(qū)域s*=2kJKg-1K-1,b區(qū)域s*=0.7853kJKg-1K-1,c區(qū)域s*=2.925kJKg-1K-1。
區(qū)域4的導出方程Ts(p):
其中D是ps的參數(shù),。
4結語
人們對于計算速度的要求越來越高,舊的計算模型IFC-67已不能滿足要求,因而促使了IAPWS-IF97的產生。在絕大部分區(qū)域內,IAPWS-IF97的計算速度超過IFC-67的五倍以上,因而可以滿足人們對計算速度的要求。IAPWS的另一個優(yōu)點是不但適用于穩(wěn)態(tài)區(qū)域,同時還可以用于亞穩(wěn)態(tài)區(qū)域,同時導出方程的引入可以根據(jù)任意基本參數(shù)的組合導出其他基本參數(shù)。IAPWS-IF97的有效范圍能夠滿足目前工業(yè)上的絕大部分運用,目前已有很多學者根據(jù)IAPWS-IF97編制了許多計算水蒸汽參數(shù)的軟件,以便較準確的查詢水蒸汽參數(shù)。
參考文獻
[1] 王培紅,賈俊潁,等.水和水蒸汽性質的IAPWS-IF97計算模型[J].動力工程,2000,20(6):988～991.
關鍵詞：分片試驗，弱形式，網線函數(shù)，有限元法
1 引言
連續(xù)問題極大地推動了有限元的發(fā)展，目前，成熟的構造單元的方法有傳統(tǒng)的位移法有限元[1]、應力雜交元[4]、雜交混合元[5]、擬協(xié)調元[2][3]、廣義協(xié)調元[6]、雙參數(shù)法[7]、精化直接剛度法[8]等多種。有些方法在數(shù)學上已有證明，但這些方法的更為完善的證明仍是一個課題，而且其數(shù)學證明還很難被研究力學的人們所理解。人們仍比較普遍以事后的分片試驗來驗證單元的收斂性。盡管當前仍有對分片試驗的討論，但以往的大量實踐說明：通過分片試驗的單元使用起來是令人放心的。通過分片試驗是絕大多數(shù)有限元分析方法的共同點，近期有限元的發(fā)展可以說是以分片試驗為一個主要內涵的發(fā)展。
眾所周知，分片試驗是與單元間的位移協(xié)調性密切相關的。人們在進行有限元分析時，不可避免的涉及了單元間的協(xié)調關系，這種協(xié)調關系與兩個單元有關，文[4][5]采用了單元邊界上的公共的位移插值函數(shù)，文[9]把這種位移插值函數(shù)成為“網線函數(shù)”。正式這種所謂的“網線函數(shù)”的采用，單元間的協(xié)調問題可以在單元內獨立考慮。目前成功解決 連續(xù)問題的有限元法均有意或無意地使用了這種網線函數(shù)。本文通過網線函數(shù)給出了分片試驗對應變和位移的要求。
目前對各種有限元法分析的方法均是在單元一級上采用變分原理，從而得到單元的應變（或應力）的，由結點位移為參數(shù)表達的表達式，再把它們代入最小勢能原理得到剛度陣。各種有限元法在得到應變（或應力）的做法上不同，好的有限元法得到的應變表達式已滿足了通過分片實驗所應滿足的條件。
2 分片檢驗的要求
因有限元法最終列出的是勢能的方程，因此分片試驗可以看作：在常應變情況下，位移的不協(xié)調部分對勢能無貢獻，在薄板彎曲問題中，可如下表達：
(1)
其中，A：單元域， 為位移的不協(xié)調部分，有：
(2)
為位移， 為位移的協(xié)調部分。
方程(1)可以理解為：在常內力情況下，不協(xié)調位移對應變能無貢獻。把(2)式代入方程(1)
(3)
對(3)式中的 項應用格林公式，并應用坐標變換公式：
(4)
其中 、 分別為位移協(xié)調部分在單元邊界的法向和切向的導數(shù)，即為文中的網線函數(shù)， 、 為單元邊界外法線的方向余弦。對含 的項再分步積分得：
（ >r時 ）
(5)
r表示單元的邊數(shù)， 表示結點的位移參數(shù)。對(3)中的含 項也進行分步積分并整理有：
(6)
同樣，對 項再分步積分得：
(7)
ai、bi、ci為由各邊的nx與ny組成的參數(shù)， 表示位移函數(shù)在結點處的值。
(4)、(5)、(6)、(7)便是通過分片檢驗所需滿足的方程。
(4)、(5)是從應變的角度反映了分片試驗對單元的要求，這里稱之為應變約束條件；(6)、(7)是從位移的角度反映了分片試驗對單元的要求，這里稱之為位移約束條件。成熟的有限元法都自覺或不自覺地應用了這些條件。
傳統(tǒng)的位移法構造的協(xié)調元自動滿足了上述各式，下面對其它有限元分析方法進行分類分析。
3 使用應變約束的有限元法
方程(4)、(5)是對應變的要求，沒有涉及剛移，同時應力和應變之間只有一個線性關系，所以，假設應變或應力的有限元法都應滿足這兩個方程。
方程(4)、(5)表達的是應變與位移之間的關系，它們必然與彈性力學的幾何方程：
(8)
有著密切的關系。把幾何方程(3.1)寫成弱形式：
(9)
、 、 為權函數(shù)，應用兩次格林公式變換上述方程：
(10)
在上式中，單元邊界上的 、 、 分別以它們對應的網線函數(shù) 、 、 代替：
(11)
如果方程(11)中 、 、 是應力的變分，即滿足了齊次的平衡方程：
(12)
則方程(12)變?yōu)椋?/p>
(13)
此即為薄板彎曲問題在單元上的最小余能原理的變分方程。
方程(11)與(13)便是連續(xù)性方程弱形式中的兩個典型形式。在方程(11)與(13)中當 、 、 分別取常數(shù)，另兩個為零時，便可得到方程(4)或(5)，即符合分片試驗的要求。
擬協(xié)調元與雜交混合元便是采用方程(11)對應變或應力進行離散，而應力雜交元采用的是(13)式。不同的是應力雜交元與雜交混合元是由假設應力出發(fā)，而擬協(xié)調元是由假設應變入手。而應力與應變之間的關系只是一個線性變換，如果應力與應變設在同一空間，僅是設應力與設應變的不同是不會影響最終結果的。
從方程(11)與(13)的來源(9)式可以看出，幾類單元中的應變（或應力）只在較弱的意義上滿足相容方程。因平衡方程與連續(xù)性方程是一對對偶的微分方程組，有限元法中已經使用了平衡方程的弱形式—最小勢能原理，這里使用了連續(xù)性方程的弱形式也許更為合理。可以驗證，單元應變滿足相容條件的強形式與弱形式對單元的精度一般影響不大。
由以上討論可見，在有限元分析中選常數(shù)作檢驗函數(shù)是保證單元通過分片檢驗的關鍵。而這一點在以上提到的三種有限元法中都能自然得到滿足。構造三角形單元時，常取面積坐標作為檢驗函數(shù)基，因三個面積坐標之和為1，固在離散每個應變時，檢驗函數(shù)應取遍三個面積坐標，這樣便保證了檢驗函數(shù)為常數(shù)時式(5)或(6)成立。
精化直接剛度法雖然從設位移出發(fā)，但又對應變矩陣進行了修正。以下討論其應變的改進作用。
在方程(4)的兩邊同時除以單元的面積 ，變?yōu)椋?/p>
(14)
上式表達了單元的平均應變所應滿足的方程。可把上式寫成如下矩陣形式：
(15)
其中 與文[7]中相一致， 為結點參數(shù)矢量。一般的有限元法得到的應變表達式：
(16)
其單元的平均應變：
(17)
不一定滿足式(14)，因此把平均應變進行修正，即換成式(18)中表達的所需形式，修正后的應變陣為：
(18)
這樣便保證了單元能夠通過分片檢驗。此外，得到 時還可使用(6)式，從而得到與式(14)不盡相同的形式。
因此，可以說精化直接剛度法是通過修正單元的平均應變，使其通過分片試驗的有限元分析方法。精化直接剛度法實施起來是巧妙而方便的。
4 使用位移約束的有限元法
使用位移約束方程的方式有兩種：第一種是位移的廣義參數(shù)的個數(shù)不增加，改變以往的采用結點參數(shù)確定各廣義參數(shù)的方法，廣義協(xié)調元和雙參數(shù)法便是采用這種方法；第二種方法是采用增加位移中的廣義參數(shù)的做法。此外兩種做法也可混合使用。
4.1 廣義協(xié)調元和雙參數(shù)法
方程(6)、(7)反映了分片檢驗對位移函數(shù)的要求，與其相應的有限元法是廣義協(xié)調元和雙參數(shù)法。從(6)、(7)可以看出，若使單元通過分片檢驗，則應包含條件：
或 （i=1，…，r）
(19)
廣義協(xié)調元與雙參數(shù)法在確定位移廣義參數(shù)的時候包含上述方程。這兩種有限元法得到的位移插值函數(shù)在結點處的表達不一定精確，有時會有一個高階小量的誤差。而邊界位移條件是直接由結點位移表示的，因此在做分片檢驗時會有一定的誤差，即不很準確地通過分片檢驗。這一點可由文[8]中的算例看出。
對于某些特殊形狀的單元來說，方程(19)只是方程(6)和(7)的充分條件，非必要條件，這一點可以從十二參矩形單元中看出。眾所周知，矩形薄板單元不滿足 連續(xù)，可以驗證它同樣不滿足(19)式。但這種單元能通過分片試驗而且計算精度較高，其原因是它滿足方程(6)和(7)。
4.2 增加位移中的廣義參數(shù)
可以增加位移函數(shù)中的廣義參數(shù)，通過分片試驗的條件消去這些多余的廣義參數(shù)，這樣得到的位移插值函數(shù)會得到改善或完全滿足分片試驗的要求。這種方法的實質是改善了位移函數(shù)的空間，但它的應用還非常少，其主要原因是計算中涉及求逆運算。目前計算機技術及軟件的高速發(fā)展，尤其是代數(shù)運算軟件的出現(xiàn)，這種做法也許會有一些生命力。下面舉一個通過這種方法改善單元性能的例子。
在構造三角形單元時，人們呈為完全的三次式中十個基函數(shù)的取舍大費周折，面積坐標的應用解決了對稱性的問題，但Zienkiewicz元（BCIZ元）的性能不佳也是人所共知的。今位移函數(shù)的基取完全的三次式，含十個基函數(shù)，采用面積坐標可寫成如下形式：
(20)
其中 為Zienkiewicz元的單元位移函數(shù)， (i=1，2，3)為三個面積坐標，C為待定參數(shù)。以下通過C的確定來改善單元的性質。因只有一個待定參數(shù)，方程(6)不可能完全得到滿足，考慮到對稱性將(6)中的前兩式相加得到方程：
(21)
應用方程(21)可以確定出參數(shù)C，其中 由采用結點參數(shù)建立的單元邊界法線方向轉角的線性插值函數(shù)來表達。定出C后便可用常規(guī)方法得到單元剛度陣。 對邊長為0.5的方板做圖示兩種網格劃分，坐標原點在1點，其中圖二中5點坐標為(0.2，0.15)，邊界結點的位移參數(shù)按任意的二次撓度場 給定，計算5點的撓度及轉角，表1列出了Zienkiewicz元和改進的Zienkiewicz元結果。
表1 分片試驗
2×2交叉網格
不規(guī)則網格
改進前
0.030052
0.065000
0.11000
0.017090
0.053492
0.091089
改進后
0.029375
0.065000
0.11000
0.016666
0.051481
0.085748
精確值
0.029375
0.065000
0.11000
0.016650
關鍵詞:華系與外系轎車 性能參數(shù) 價格關系
中圖分類號:F416.471 文獻標識碼:A
文章編號:1004-4914(2010)10-027-02
一、問題的提出
中國汽車市場上不但有合資品牌,還有像吉利、奇瑞、華晨、比亞迪、力帆、哈飛等企業(yè)這樣的中國自主汽車品牌。本文將這些中國自主汽車品牌稱為“華系汽車”,而將合資品牌稱為“外系汽車”。華系汽車在進入汽車市場后采取的重要競爭手段是較低的價格和高的性價比。那么,華系汽車企業(yè)轎車產品的性能與價格間的關系如何?與外系汽車有何差別?這是一個值得研究的問題。其研究結果將有助于幫助企業(yè)制定價格策略并判斷性能參數(shù)的改進對價格決策制定的影響。
二、研究方法
對于一個轎車產品而言,價格主要受性能參數(shù)和配置參數(shù)的影響。另外,不同的企業(yè)之間,同等級別汽車之間還存在品牌溢價的差別。當然,各年份因企業(yè)價格策略調整而導致的轎車價格的變化也是影響價格的因素。為了便于標記說明,筆者用P表示價格;用H表示核心參數(shù)。配置參數(shù)中,與價格線性關系最為顯著的指標是安全參數(shù)、外觀參數(shù)、舒適參數(shù)和享樂參數(shù),分別用字母A、W、S、X表示;在價格的影響因素中,各年份價格策略對價格的影響十分顯著,因此要排除各年份對價格的影響,筆者用Y表示年份代碼,其中假定2004年Y=0,2005年Y=1,依此類推。
本文通過預研究得知,性能指標是影響價格最重要的因素,筆者將性能與價格關系稱之為性能價格方程,用P1表示性能價格,如方程(1)所示。
P1=F(H)(1)
但性能價格還受到年份的重要影響,將年份影響帶入性能價格方程后就得到修正性能價格,用P1’表示。修正性能價格方程如(2)所示。
P1’=F(H,Y)(2)
汽車價格剔除性能價格后,其剩余部分主要是受配置參數(shù)影響的部分。價格與配置參數(shù)之間構成的回歸方程,筆者稱之為配置價格方程,用P2表示配置價格,如方程(3)所示。
P2=F(A,W,S,X)(3)
通過性能價格與配置價格回歸后,汽車實際價格與價格P1’、P2之和仍有差異,筆者將這部分差異歸于統(tǒng)計誤差造成的。
不同企業(yè)同等級別汽車存在價格差異,筆者稱之為品牌溢價,用Pv表示,兩個品牌之間的溢價是各自性能價格與配置價格之和后的差值,品牌溢價方程如(4)所示。
Pv=(P1’+P2)2-(P1’+P2)1(4)
筆者試圖通過以上四個方程,對華系與外系汽車產品價格及其相關因素的影響進行對比分析,探討華系汽車企業(yè)應如何在價格競爭方面采取何種策略,以彌補其產品技術不足,從而獲得弱勢后入者的競爭優(yōu)勢。
三、資料收集
1.研究樣本。本文選取五家在國內取于領先地位的華系汽車公司作為華系企業(yè)樣本,它們分別是奇瑞、吉利、比亞迪、華晨中華和哈飛汽車集團。選取日系豐田、德系大眾、美系福特、韓系現(xiàn)代和法系雪鐵龍等五家外系汽車作為對比樣本。
2.資料來源。本文所用數(shù)據(jù)來源于主要汽車網站提供的轎車價格與性能及配置參數(shù)資料。根據(jù)中國互聯(lián)網絡信息中心(CNNIC)網站影響力認證系統(tǒng)調查的“2009年中國十大汽車網站排行”和Alexa汽車門戶網站排行榜,選擇新浪汽車網、太平洋汽車網站和汽車之家三個專業(yè)汽車網站作為主要的數(shù)據(jù)來源。
通過對三家網站的統(tǒng)計,共搜集10家案例企業(yè)2004―2009年6年間在國內推出的所有汽車樣本進行對比研究。其中,5家外系企業(yè)共計35個品牌(非進口)548款樣本,五家華系企業(yè)35個品牌513款樣本。
關于價格,我們選取這些樣本企業(yè)公布的價格。關于每款汽車性能與配置指標的分析數(shù)據(jù),筆者以汽車之家網站公布的180個參數(shù)配置為準,按照產品的五個層次理論,并參考東風乘用汽車公司3位專業(yè)人士意見和雷懷英(2008)的劃分將這些指標歸納為6個大類、55個指標,以便于后文量化數(shù)據(jù)后統(tǒng)計分析。本文選取的汽車性能與配置指標分類如表1所示。
關于性能與配置指標量化方法,筆者將所選二級指標分為兩類,一類為定量,一類為定性。基于對研究結果的可量化性,假定同一大類指標下各定性指標重要程度相當,根據(jù)配置安裝情況進行“0”、“1”變量的量化處理,部分指標處理結果居于0~1之間(白讓讓,2008)。
四、研究結果
1.華系汽車與外系汽車的性能價格。
筆者發(fā)現(xiàn),汽車價格是一組圍繞主要性能參數(shù)上下分布的離散數(shù)據(jù),這組數(shù)據(jù)具有顯著的線性相關性,其中起重要作用的性能參數(shù)就是汽車發(fā)動機功率。筆者稱這種由核心性能決定汽車價格的線性關系為性能價格方程。通過統(tǒng)計回歸可知,樣本總量、華系樣本、外系樣本的性能價格方程分別為:(1)P=-6.846+0.218H;(2)P=-2.423+0.139H;(3)P=-6.771+0.242H。這三個方程的顯著性水平P
由方程自變量H前面回歸系數(shù)可以看出,外系轎車性能參數(shù)對價格的影響高于華系,外系標準回歸系數(shù)0.867>0.830的華系標準回歸系數(shù)。為了更為直觀看出華系與外系性能價格方程的走勢,筆者畫出性能價格方程如圖1所示。
由于性能價格方程受到不同年份價格策略調整的嚴重影響。為了剔除這一因素對價格的影響,筆者采用修正性能價格方程作為對比,修正性能價格回歸方程系數(shù)如表3所示。
修正后的性能價格方程,顯示了年份對于價格的負相關影響。其中,外系汽車每年降價力度為0.791萬元,華系汽車為0.803萬元。
2.華系汽車配置價格。汽車價格中剔除性能價格后的部分主要受配置參數(shù)的影響。為了搞清楚這些配置對價格影響力度大小及影響規(guī)律,本文通過配置價格方程進行判斷。在進行多元回歸之前,筆者希望了解各配置指標與配置價格之間的相關度大小,如表4所示。
由表4可知,外觀參數(shù)與配置價格相關性系數(shù)不高,顯著性水平P>0.01。其它配置參數(shù)與配置價格相關程度極高。當然,這樣的相關度顯示并不能排除多重線性相關的可能性,筆者仍需采用強迫進入方式下的Logistic回歸來找出各配置參數(shù)回歸系數(shù)的大小來判斷這些參數(shù)指標對配置價格的影響程度。通過多元線性回歸,筆者統(tǒng)計各參數(shù)指標回歸系數(shù)如表5所示。
表5中標準回歸系數(shù)的大小能夠說明相應配置參數(shù)對配置價格的影響,但這種影響并不是簡單的正負相關性,而是表示企業(yè)所采取的產品改進策略,這種策略并不一定反應在汽車價格上。但我們從標準回歸系數(shù)絕對值大小可以看出,華系車和外系車配置參數(shù)對配置價格影響力度是不相同的。如外系車對配置價格影響最為顯著的配置參數(shù)是享樂和外觀參數(shù),其次是安全和舒適參數(shù);華系車對配置價格影響最為顯著的配置參數(shù)是享樂和安全,其次是外觀和舒適。
享樂參數(shù)被各企業(yè)列為配置價格影響因素之首,這是因為目前消費市場不成熟所致。消費者想提升駕車的享樂性,必須付出比別人更多的購車代價。外系車將外觀參數(shù)列第二位,是因為外系車需要更多投入來了解中國文化,制造符合中國消費觀念的汽車造型。華系車最為需要考慮的是汽車安全性,因為在這個配置參數(shù)上華系汽車與外系汽車存在短期內難以追趕的差距。因此,華系企業(yè)在不斷投入和改進,但絕不會以改進安全參數(shù)作為汽車提價的理由。
3.華系汽車與外系汽車間的品牌溢價。根據(jù)前文定義,汽車產品溢價是相對的,是兩個不同產品級別汽車各自性能價格與配置價格之和比較后產生的差值。由于汽車排量大小的不同,不同級別的汽車的品牌溢價的高低是有所不同的。在這里,筆者統(tǒng)計了華系與外系汽車在1.6L、1.8L、2.0L和2.4L等四個代表排量上,品牌溢價的情況,其統(tǒng)計結果如表6所示。
由表5可知,通過性能價格方程與配置價格方程計算的汽車價格與實際均價的偏差不大,說明價格方程的擬合程度比較高。由產品溢價公式及計算出的數(shù)據(jù)可知,外系汽車總體相對華系汽車的產品溢價高達7.53萬,代表排量1.6L、1.8L、2.0L、2.4L汽車的品牌溢價分別為3.30萬、4.08萬、5.57萬和10.96萬。可見排量級別越高,外系汽車相對于華系汽車的品牌溢價越高。采用此產品溢價計算公式,同樣可以比較不同公司同級別產品、同公司不同品牌產品之間的品牌溢價。通過了解公司之間產品品牌溢價之間的高低,有益于企業(yè)制定合適的價格策略與促銷策略,以幫助消費者作出理智的購車選擇。
五、結論
通過對華系汽車與外系汽車的比較研究,本文發(fā)現(xiàn)轎車產品價格與核心性能參數(shù)的關系顯著,且由于外系汽車相對華系汽車的品牌溢價隨轎車級別的提高而增加的原因,外系汽車公司轎車的價格隨核心性能變化較華系汽車要大。另外,轎車配置對產品價格的影響具有較復雜的關系,并不一定正相關,但享樂參數(shù)對價格的影響最顯著。
參考文獻:
1.雷懷英.汽車質量調整價格指數(shù)的實證研究.統(tǒng)計研究,2008(11)
2.白讓讓.中國轎車產業(yè)中的產品線擴展.中國工業(yè)經濟,2008(7)
本文著重研究了設計約束方程組的求解方法，詳細討論了可以計算機編程實現(xiàn)的數(shù)值算法的技術細節(jié)。約定：除特別聲明外，文中具有長度量綱的參數(shù)其單位為m，角度的單位為rad，井眼曲率和角度變化率的單位為rad/m。
2設計基礎
設計井眼軌道由連續(xù)光滑的多段空間曲線構成，每個分段空間曲線稱為設計井段。懸鏈線軌道由4個設計井段構成———直井段、圓弧過渡段、懸鏈線段、穩(wěn)斜段。方位漂移軌道設計的方法是先在垂直剖面圖上進行設計，規(guī)定每個設計井段的井斜角變化規(guī)律，然后再結合方位變化率進行空間軌道設計。
2.1井斜角函數(shù)
在每個設計井段上，井斜角隨井深變化的規(guī)律是相同的，可以用下面的井斜角函數(shù)來表示：α=f(L)(1)L=L-Lb式中：α為設計井段上任意點處的井斜角；L為井深增量；L為設計井段上任意點處的井深；Lb為開始點處的井深。直井段和穩(wěn)斜段：α=αb(2)式中：αb為設計井段開始點處的井斜角圓弧過渡段：α=αb+kαL(3)式中：kα為造斜率。懸鏈線段[3]：cotα=cotαb-La(4)式中：a為懸鏈線特征參數(shù)，m。
2.2井斜單元
在設計軌道上任意取一連續(xù)曲線段，稱之為井段。本文用設計井段和井段來區(qū)分設計軌道上具有不同屬性的連續(xù)曲線段。設計井段上的任一井段稱為一個井斜單元[2]。井斜單元小于或者等于、但不大于某個設計井段；一個設計井段可能劃分為多個井斜單元。下面的情況絕不會出現(xiàn)：某個井斜單元的上端點在一個設計井段內部，而下端點在另一個設計井段內部。
2.3方位單元
將從井口到靶點的垂深劃分為連續(xù)的m個區(qū)間，每個區(qū)間稱為垂深區(qū)間，在每個垂深區(qū)間上給定方位變化率的數(shù)值。按照垂深與井深的對應關系，每個垂深區(qū)間對應于設計軌道上的一個井段，該井段上的方位角變化規(guī)律如下：準=準b+k準L(5)式中：準b為井段開始點處的方位角；準為井段上任意點處的方位角；k準為方位變化率。具有上述性質的井段稱為設計軌道上的一個方位單元，簡稱方位單元[2]。
2.4計算單元
對于方位單元可能會出現(xiàn)下面的情況：上端點在一個設計井段內部，而下端點在另一個設計井段內部。為了避免出現(xiàn)這種情況，可以將方位單元再劃分成多個更小的井段，使得每個井段都是一個井斜單元。這種既是井斜單元又是方位單元的井段稱之為計算單元，文獻[2]中也稱為細分單元等。但筆者認為“細分”這個詞的語義不甚明晰，由于在漂移軌道設計時是以這樣的井段為最小劃分單元的，因此筆者認為稱之為計算單元更言簡意賅。
3設計約束
方程組假設整個設計軌道可以劃分為n個計算單元，則可以給出下面的設計約束方程組[2]：ni=1ΣNi-Nt=0(6)ni=1ΣEi-Et=0(7)ni=1ΣHi-Ht=0(8)式中：Ni、Ei、Hi分別為第i個計算單元的北坐標增量、東坐標增量、垂深增量；Nt、Et、Ht分別為靶點的北坐標、東坐標、垂深。已知參數(shù)包括：造斜點深度、圓弧過渡段造斜率、懸鏈線段初始井斜角、穩(wěn)斜段井斜角、垂深區(qū)間及方位變化率。求解設計參數(shù)：定向方位角、懸鏈線特征參數(shù)、穩(wěn)斜段的段長。
3.1坐標增量計算
坐標增量計算公式如下：Ni=LiLi-1乙sinαcos準dL(9)Ei=LiLi-1乙sinαsin準dL(10)Hi=LiLi-1乙cosαdL(11)Si=LiLi-1乙sinαdL(12)式中：Li-1、Li分別為第i個計算單元的開始井深和結束井深；Si為水平投影長度增量。式(9)、式(10)中的定積分無法寫成封閉的形式，在計算時只能使用數(shù)值積分法[4]。
3.2獨立未知數(shù)與隱含未知數(shù)
方程組(6)～(8)只有3個方程組，理論上可以求出3個未知數(shù)，要求這些未知數(shù)之間是獨立的。另外可以看到，在完成設計約束方程組求解之前，某些井深單元的端點井深或井斜角等參數(shù)是未知的，例如懸鏈線段上的井深單元。這些未知數(shù)也需要在求解過程中確定出來，不過它們都可以根據(jù)已知設計參數(shù)或者獨立未知數(shù)計算出來，稱之為隱含未知數(shù)。
4垂深增量公式
在坐標增量公式中，垂深增量公式(11)具有比較特殊的意義，這不僅在于積分函數(shù)只與井斜角有關、從而有可能求出積分的原函數(shù)，而且方位單元是根據(jù)已知垂深來確定的，利用垂深已知性可以確定出井深單元的其他參數(shù)來。
4.1顯式公式將式(2)～(4)代入式(11)，得：直井段和穩(wěn)斜段：Hi=Licosαi(13)圓弧過渡段：Hi=sinαi-sinαi-1kαi(14)懸鏈線段：Hi=a1sinαi-1-1sinαiii(15)
4.2推論如果知道一個井深單元的上端點的井深和井斜角，則可以計算出下端點的井深和井斜角以及段長。例如，假設造斜率或者曲線特征參數(shù)為已知數(shù)，則從式(14)、式(15)可以先求出井斜角αi，再代入式(3)、式(4)求出段長Li和井深Li。而對于穩(wěn)斜單元，可以直接從式(13)求出這些參數(shù)。
4.3用于降維處理如果能夠將要求解的某個獨立未知數(shù)用其他的獨立未知數(shù)來表示，則可以將求解三元非線性方程組問題簡化成求解二元非線性方程組問題。未知數(shù)的減少可以降低方程組的求解復雜度，從而提高計算速度。對整個設計軌道列出垂深方程，如下：Hz+sinαbkα+a1sinαb-1sinαtii+lcosαt=Ht(16)式中：Hz為造斜點垂深；αt、l分別為穩(wěn)斜段的井斜角和段長。從式(16)解得：l=Ht-Hz-sinαbkα+a1sinαb-1sinαtiicosαt(17)可見，穩(wěn)斜段長l可以從式(7)直接計算出來，求解設計約束方程組時只需要使用前兩個方程代式(6)、式(7)即可。如果用均勻網格法來求解方程組，初始網格點個數(shù)為：200×2000×2000=8×108當穩(wěn)斜段長不作為獨立未知數(shù)時，初始網格點個數(shù)減少為：200×2000=4×105即求解的空間規(guī)模降低了3個數(shù)量級，求解難度降低。
5求解方程
組記方程(6)～(8)的左端分別為F1、F2和F3，無論使用哪種數(shù)值算法求解該方程組，都需要反復計算這3個值。
5.1隱含未知數(shù)的遞推計算
用{hrr=0，1，…，m}表示方位單元的端點垂深序列(已知設計參數(shù))，h0=0，hm=Hz。第r個方位單元上的方位變化率kr為已知設計參數(shù)。用Ω={Hii=0，1，…，n}表示最終得到的計算單元的端點垂深序列，H0=0，Hn=Hz。第i個計算單元上的方位變化率Ki待確定。對于設計軌道上的第j個設計井段，假設已知其上端點處的井深L0(j)、垂深H0(j)、井斜角α0(j)，則其他已知參數(shù)會出現(xiàn)三種情況：①已知設計井段的垂深增量H(j)，例如直井段。在方位單元垂深序列中查找兩個下標號r1和r2，使得下式成立：hr1-1≤H0(j)<hr1(18)hr2-1<H0(j)+H(j)<hr2(19)則將H0(j)、hr1、hr1+1、…、hr2-1、H0(j)+H(j)增加到集合Ω中，并計算出上述每個垂深處的井斜角和井深(見上述4.2節(jié))。②已知設計井段下端點處的井斜角α1(j)，例如圓弧過渡段、懸鏈線段等。根據(jù)式(14)、式(15)可以求出垂深增量H(j)。求出垂深增量H(j)之后，歸結為第①種情況。③已知設計井段的段長L(j)，例如穩(wěn)斜段。用式(1)計算設計井段下端點處的井斜角α1(j)，然后歸結為第②種情況。在完成上面步驟之后，該設計井段被分解成多個計算單元，且每個計算單元端點處的井深、井斜角、垂深、方位變化率等關鍵參數(shù)都已經確定。進一步，用式(5)計算計算單元端點處的方位角；用式(9)、式(10)或者其等價的顯式表示式來計算計算單元的北坐標增量、東坐標增量、北坐標、東坐標等等。完成第j個設計井段的計算單元劃分和井身參數(shù)計算后，繼續(xù)對第j+1個設計井段執(zhí)行同樣的操作，直到最后一個設計井段。上述遞推過程完成之后，得到F1、F2和F3的確定值。
5.2設計約束方程組的數(shù)值求解
經過降維處理之后的設計約束方程組(6)、(7)為二元非線性方程組，沒有解析解，需要使用數(shù)值算法求數(shù)值解(近似解)。求解非線性方程組的數(shù)值算法有很多種[5，6]，大部分算法需要使用導數(shù)信息，并且迭代初始值對算法的收斂性有較大影響，如果迭代初始值選擇不當，則迭代過程可能不收斂或者收斂速度很慢，在方程組有多個解的情況下，還有可能收斂到偽解。算法研制的最終目的是為鉆井設計人員(用戶)提供一套可靠性好的計算機軟件，用戶在使用該軟件時，只需要給定必要的設計參數(shù)，不必設置太多的算法控制參數(shù)就能夠快速求出軌道設計問題的解來。本著這一原則，下面給出一個具體的迭代算法———縮半網格法。記x、y、z為方程組(6)～(8)的3個獨立未知數(shù)：定向方位角、懸鏈線特征參數(shù)、穩(wěn)斜段的段長。方程左端分別記為F1(x、y、z)、F2(x、y、z)和F3(x、y、z)，前面已經說明從垂深增量方程可以將某個參數(shù)z表示為其他2個參數(shù)的函數(shù)[見式(17)]：z=λ(x，y)(20)再記：F(x，y)=F1(x，y，λ(x，y))2+F2(x，y，λ(x，y))2(21)假設未知數(shù)取值范圍為：xmin(0)≤x≤xmax(0)(22)ymin(0)≤y≤ymax(0)(23)用步長為δx(0)和δy(0)將約束矩形劃分為Mx(0)×My(0)的網格，其中：δx(0)=xmax(0)-xmin(0)Mx(0)(24)δy(0)=ymax(0)-ymin(0)My(0)(25)令：xi=xmin(0)+i×δx(0)，i=0，1，…，Mx(0)(26)yi=ymin(0)+j×δy(0)，j=0，1，…，My(0)(27)對每個網格點(xi，yj)，利用垂深方程求出對應的第3個待定參數(shù)zij=λ(xi，yj)，然后使用5.1節(jié)中的方法求出全部的隱含未知數(shù)并得到方程左端項的值，再代入式(21)求出網格點函數(shù)值Fij。求出所有的網格點函數(shù)值中最小的函數(shù)值，對應的網格點為(x(0)，y(0))，以該網格點為矩形中心將初始矩形縮小一半，得到新的約束矩形：xmin(1)=max{xmin(0)，x(0)-wx(0)}(28)xmax(1)=min{xmax(0)，x(0)-wx(0)}(29)ymin(1)=max{ymin(0)，y(0)-wy(0)}(30)ymax(1)=min{ymax(0)，y(0)-wy(0)}(31)其中：wx(0)=(xmax(0)-xmin(0))/2(32)wy(0)=(ymax(0)-ymin(0))/2(33)用新的約束矩形重復上述計算過程，直到約束矩形的邊長或者最小函數(shù)值小于給定的允許誤差時停止迭代過程。
6結論
