時間：2023-05-29 17:51:13
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇概率公式，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
引言
隨機現象存在于我們日常生活的方方面面和科學技術的各個領域，概率論知識在生命科學和醫學中有著廣闊的應用天地.本文主要利用概率論中的全概率公式與貝葉斯公式，分析臨床診斷上的相關問題.
一.全概率公式與貝葉斯公式在生物醫學上的應用
（一）全概率公式與貝葉斯公式
在古典概率中.全概率公式及貝葉斯公式占有重要的地位，它能將復雜事件的概率通過簡單事件的概率計算出來.全概率公式與貝葉斯公式是條件概率的兩個基本公式.基于條件概率和概率的可加性，可以得到全概率公式和貝葉斯公式.
定理1（全概率公式）
設，（稱為的一個剖分），，則對任
一事件A，有.
定理2（貝葉斯公式）
基于定理1條件，則對任一事件A（）有
.
（二）全概率公式與貝葉斯公式在臨床鑒別診斷上的應用
疾病的診斷主要依據化驗檢查、癥狀、體征，但是有些疾病的癥狀、體征非常相似，該如何鑒別呢？醫生往往憑直覺和經驗，但經驗還需理論的科學的評判.
一個52歲的家庭婦女，甲狀腺腫已6年，近5個月有增大，咳嗽、氣哽，但無吞咽困難，聲音也不嘶啞，無煩躁，甲狀腺部位無疼痛.經檢查，甲狀腺功能正常，腺體小而堅硬，結節性，易隨吞咽動作而上下活動，錐體葉未觸及，頸淋巴結無明顯腫大，血沉52mm/hr，麝香草酚濁度3.9單位，甲狀腺24hr攝取率68%，48hrPBI1.01%（每升血漿）.BEI為93.6%PBI，沉淀試驗陰性.試診斷此病為（1）淋巴瘤性（2）單純性（3）甲狀腺癌中那一種甲狀腺病.
解：設{淋巴瘤性甲狀腺腫}，{單純性甲狀腺腫}，{甲狀腺癌}，
記該病例的22個征候群則分別為，則鑒別的具體做法如下：
（1）制定征候群的條件概率統計表：用155個病例資料為標準，按三種進行征候群的統計，頻率作為條件概率的估計.
（2）計算患者條件概率（B為患者癥狀）如果對每種甲狀腺 來說，各個征候彼此獨立，那么則有；由此可得：10-1；10-1.
（3）比較患者患各病的后驗概率：假定三種甲狀腺病互不相容，引用貝葉斯公式.其中為先驗概率，可得：，，.顯然 最大，故診斷該病人為淋巴瘤性甲狀腫，手術結果也證實了這個診斷.
二.總結
在研究受隨機影響的醫學問題時，需要用全概率公式和貝葉斯公式研究數據有效的收集、整理、分析以及對生物醫學問題做出的推測和預測.全概率公式與貝葉斯公式是統計學的基礎，為基礎醫學、臨床檢驗、臨床醫學等采取決策和行動提供了重要的依據及建議，以推進生物醫學的發展，從而促進社會進步.
參考文獻：
[1] 盛驟，謝式千.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2001.
[2]張仲，劉泗章.醫藥生物數學基礎[M].北京：中國醫藥科技出版社，1992.
[3]劉定遠，唐明春.醫學數量分析[M].北京：中國協和醫科大學出版社.1998.
關鍵詞：概率；計算；方法
中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）53-0198-02
概率的公理化定義方面的公式是概率論古典概型問題中的重要公式，它本身公式繁多，許多問題更夾雜了排列、組合、函數、不等式等數學問題，使得概率問題更加復雜多變，只有掌握好正確的方法才能使問題快捷求解。
一、概率的公理化定義公式
（一）基本公式
概率的公理化定義中所涉及的概率計算的基本公式：設Ω為樣本空間，A為事件，
以上公式再結合事件與集合的關系、條件概率、乘法公式、事件的獨立性、全概率公式或貝葉斯公式后，概率運算的問題就變得更加麻煩了，不掌握好處理概率的好的方法，就步履維艱了。
二、求解概率問題的方法和技巧
（一）文氏圖法，利用文氏圖解決兩個事件概率的運算問題
數形結合是數學中最好用的方法之一，用文氏圖來記憶有關概率的一些公式會非常容易，若掌握了文氏圖與概率公式的對應，對于這么多的公式也沒必要全都裝進腦袋，遇到概率的運算問題畫畫文氏圖就能輕松解決了，特別是兩個事件的概率運算問題。
例1.對于任意兩個事件A和B，則P（A-B）是（ ）。
（A）P（A）-P（B） （B）P（A）-P（B）+P（AB）
（C）P（A）-P（AB） （D）P（A）+P（B）-P（AB）
本題是兩個事件的差的概率，按照集合的文氏圖畫法可知，左橢圓區域表示事件A，右橢圓區域表示事件B，左橢圓中白色區域為事件A-B，把事件的概率用對應區域的面積來理解，很容易得出C選項是正確的。
（二）轉化法，正確理解所求事件的概率，盡量把事件劃分成簡單易求概率的事件，再利用對應公式求解
在處理概率的問題時，有些同學就是找不到問題的突破口，也不知道用哪個公式來求解問題，特別是對于復雜的事件，若是不能把它分解成相互獨立、不重復也不遺落的簡單事件，就很難實現問題的求解，因為很多概率問題就是通過事件的關系所對應的公式運算來進行的。
例2.進行一系列獨立試驗的成功率都是p，則在試驗成功2次之前已經失敗3次的概率是多少？
本題的難點是如何理解“試驗成功2次之前已經失敗3次”，這說明進行了5次試驗，第5次試驗成功，前4次試驗中有一次是試驗成功，其他3次都失敗了，那么“試驗成功2次之前已經失敗3次”等同于“前四次試驗只有1次成功且第5次試驗成功”，因此記A={第5次試驗成功}，B={前4次試驗只有1次成功}，A、B為相互獨立的事件，P（A）=p，B事件的概率為伯努利概型本題中的關鍵問題就是對于復雜事件的分解，這直接決定著問題是否能順利得到結果，復雜事件的理解要經過認真咀嚼，理順它意思中包含怎樣的基本事件以及他們之間是怎樣的關系。一些明顯的字眼“且”、“或”、“同時發生”、“至少有一個發生”、“不發生”等所表達的事件的關系一定要明白，在不含有這些字眼的復雜事件中再認真思考如何分解成簡單事件。
（三）推演法，根據題中的條件推演出相應的結論
很多問題中的條件實際上就是一種概率的運算關系，再通過表達出的數學關系和表現形式結合公式進行推導就能得到結論。
例3.若事件A、B、C同時發生必導致事件D發生，試證：P（A）+P（B）+P（C）-P（D）≤2
本題中，由條件可知ABC？奐D，則有P（D）≥P（ABC），這和本題中要證明的不等式不謀而合，再從公式中尋找有事件乘法公式的，即P（AB∪C）=P（AB）+P（C）-P（ABC），則P（ABC）=P（AB）+P（C）-P（AB∪C），同理：P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B），則有 P（D）≥P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB∪C）-P（A∪B）≥P（A）+P（B）+P（C）-2.
三、小結
概率的計算不僅僅是用排列組合的知識就能解決的了，它加入了概率公理化定義的公式后，變成了比較復雜的數學問題，需要理解事件、結合公式的應用或是推導，以及應用數學的思想方法和解題方法。概率問題的求解，也需要我們不斷地去探索和實踐，我們要勇于面對困難，勤思考、多總結，這樣才能成功的解決概率方面的問題。
參考文獻：
關鍵詞： 概率與統計 易錯點 應對技巧
概率與統計是高中的一個重要知識點，也是學生在運用中很容易錯的一個知識點.下面我結合這幾年在教學過程中的感受，談談概率與統計的易錯點.具體從以下幾點進行剖析.
一、易錯點分析
1.基本事件的總數算錯.
2.錯用獨立重復試驗概率公式.
3.對于復雜的概率問題沒有及時應用對立事件的性質求解.
二、錯點應對技巧
1.要以課本概念和方法為主，以熟練技能、鞏固概念為目標，查找知識缺漏，總結解題規律.
2.相互獨立事件首先要概念清楚，善于把所求概率事件劃分為幾個獨立的事件.一般地，解答這類問題往往需要綜合運用等可能事件的概率公式.
3.對于互斥事件，要首先搞清概念，然后要善于將一個事件劃分為若干個互斥事件的和，能靈活運用公式求概率，還要善于靈活運用“正難則反”的思想來求復雜事件的對立事件的概率.
三、例題剖析
易錯點1：基本事件的總數算錯
例1：在一個口袋中裝有5個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個球，至少摸到2個黑球的概率等于?搖?搖?搖?搖.
解：從5個白球和3個黑球中摸出3個球，共有C種方法，摸到2個黑球有CC種方法，摸到3個黑球有CC種方法.至少摸到2個黑球的概率p==.
誤區警示：求等可能事件的概率，首先明確等可能事件中的基本事件是什么，其次要明確由基本事件組成的一般事件中包含基本事件的可能結果有多少種，最后由定義求解其概率.
易錯點2：錯用獨立重復試驗概率公式
例2：甲、乙兩隊進行一場排球比賽，根據以往經驗，單局比賽甲隊勝乙隊的概率為0.6.本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局為勝，比賽結束.設各局比賽相互之間沒有影響，求：
（1）前三局比賽甲隊領先的概率；（2）本場比賽乙隊以3∶2取勝的概率.
解：單局比賽甲隊勝乙隊的概率為0.6，乙隊勝甲隊的概率為1-0.6=0.4.
（1）記“甲隊勝三局”為事件A，“甲隊勝兩局”為事件B，
則P（A）=0.6=0.216,P（B）=C×0.6×0.4=0.432.
所以前三局比賽甲隊領先的概率為P（A）+P（B）=0.648.
（2）若本場比賽乙隊以3∶2取勝，則前四局雙方應以2∶2戰平且第五局乙隊勝.
所以，所求事件的概率為C×0.4×0.6×0.4=0.138.
誤區警示：第二問中“乙隊以3∶2取勝”，并不是五局比賽中乙恰好勝了三次，通過該題，明確比賽中求概率的方法，要結合所學知識，靈活地應用到實際中來，不能盲目地套用公式.
易錯點3：對于復雜的概率問題沒有及時應用對立事件的性質求解.
例3：從10位同學（其中6女，4男）中隨機選出3位參加測驗，每位女同學能通過測驗的概率均為，每位男同學能通過測驗的概率均為.試求：
（1）選出的3位同學中，至少有一位男同學的概率；
（2）10位同學中的女同學甲和男同學乙同時被選中且通過測驗的概率.
解：（1）解法一：從10位同學中選出3位參加測試的選出方法有C=120（種）.至少有一位男同學可分為以下三種情況：1男2女；2男1女；3男.于是有CC+CC+C=100（種）選法，于是=為所求.
解法二：“至少有一位男同學”等價于“不都是女同學”，而都是女同學的情況有C種，所以至少有一位男同學的概率是1-=.
（2）解：10位同學中女同學甲和男同學乙同時被選中的概率為，他們通過測驗的概率是×，這兩類事件應該是相互獨立的，是同時發生的，應該使用乘法得，××=.
誤區警示：“至少有一個男生”的情況有三種，容易漏掉且計算量大，通過求對立事件的概率，則為我們開辟了：正難則反“之門，體現了轉化思想.對于復雜的概率問題，我們可用P（A）+P（）=P（A+）=1這個公式，轉化為先求其對立事件的概率，再求所求事件的概率，從而使問題簡單化.
四．規律總結
1.P（A）=是等可能事件的概率，又是計算這種概率的基本方法，其中n是基本事件的總個數，m是事件A包含的基本事件的個數，所以求這類事件的概率，首先要明確基本事件是什么，其次要明確由基本事件組成的一般事件中包含基本事件的可能結果有多少種，最后由定義求其概率.
2.當A與B是互斥事件時，P（A+B）=P（A）+P（B）,所以對于復雜的概率通常有兩種常用的解題方法：一是將所求事件化成彼此互斥事件的和；二是先去求事件的對立事件的概率，然后再求所求事件的概率.
3.獨立重復試驗，是在同樣的條件下重復地，各次之間相互獨立地進行的一種試驗，n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率為CP（1-p），使用此公式求概率時應先考查是否滿足下列條件：①在一次實驗中某事件A發生的概率是一個常數P；②n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結果是相互獨立的；③該公式表示n次試驗中恰好發生了k次的概率.
五、探究與突破
1.熟練應用排列組合知識的基本公式計算事件的概率.無論是基本事件的總數，還是由基本事件組成的一般事件的總數的計算都是綜合運用了排列、組合的知識，是排列、組合知識的深化和延伸.這說明排列、組合知識是解決有關等可能事件的概率的工具和基礎.
關鍵詞：差分方程；概率；遞推關系；全概率公式
■差分方程概述
1． 差分的概念
設函數y=f（t）中的自變量t取所有的整數，并記其函數值為y■．當t=…，-2，-1， 0，1，2，…，其對應的函數值為…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，yn，…，差yt+1－yt稱為函數y■的差分，也稱為一階差分，記為Δyt，則函數y=f（t）在時間t的一階差分為Δyt=yt+1－yt．
一階差分的性質
（1）若y=C（C為常數），則Δyt=0；
（2）對于任意常數k，Δkyt=kΔyt；
（3）Δ（ayt+bzt）=aΔyt+bΔzt．
函數y=f（t）在時刻t的二階差分定義為一階差分的差分，即
Δ2yt=Δ（Δyt）=Δ（yt+1－yt）=Δyt+1－Δyt=（yt+2－yt+1）－（yt+1－yt）=yt+2－2yt+1+yt．
同樣可以定義三階差分、四階差分以及更高階的差分．
一般地，k階差分（k為正整數）定義為
Δkyt=Δ（Δk-1yt）
=Δk-1yt+1－Δk-1yt
=■（－1）iC■yt+k-1，
這里C■=■．
2. 差分方程的概念
含有自變量、自變量的函數及其差分的方程，稱為差分方程． 出現在差分方程中的差分的最高階數，稱為差分方程的階． n階差分方程的一般形式為
F（t，yt，Δyt，…，Δnyt）=0或F（t，yt，yt+1，…，Δyt+n）=0．
3. 差分方程的解
如果將已知函數y=f（t）代入方程F（t，yt，yt+1，…，Δyt+n）=0，使其對t=…，-2，-1，0，1，2，…成為恒等式，則稱y=f（t）為方程的解． 含有n個任意獨立常數c1，c2，…，cn的解y=（t，c1，c2，…，cn）稱為n階差分方程的通解．在通解中給任意常數c1，c2，…，cn以確定的值所得的解，稱為n階差分方程的特解．
4. 線性差分方程及其解
形如yt+n+a1（t）yt+n-1+a2（t）yt+n-2+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=f（t）的差分方程，稱為n階非齊次線性差分方程． 其中a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）和f（t）都是t的已知函數，且an（t）≠0，f（t）≠0．
而形如yt+n+a1（t）yt+n-1+a2（t）yt+n-2+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=0的差分方程，稱為n階齊次線性差分方程． 其中a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）都是t的已知函數，且an（t）≠0．
如果a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）均為常數（an（t）≠0），
則有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f（t），?搖?搖
yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+any■=0，分別稱為n階常系數非齊次線性差分方程和n階常系數齊次線性差分方程．
5. 一階、二階常系數線性差分方程的解
引理1 對于一階常系數非齊次線性差分方程yn+1=ayn+b，其中a， b為常數且a≠1，若已知y1=c（c為常數），則yn+1=anc+■b．
證：（遞推法）
若a≠1，
yn+1=ayn+b
=a（ayn-1+b）+b=a2yn-1+（a+1）b=a2（ayn-2+b）+（a+1）b=a3yn-2+（a2+a+1）b
=any1+（an-1+an-2+…+1）b
=any1+■b
=anc+■b．
引理2 對于二階常系數齊次線性差分方程yn+2=ayn+1+byn，其中a，b為常數，若已知y1=m1，y2=m2（m1，m2為常數），則yn+1=■+■，其中λ1，λ2是方程λ2-aλ-b=0的兩根．
證：（特征根法）
λ2－aλ－b=0是差分方程yn+2=ayn+1+byn的特征方程．
已知λ1，λ■是方程λ2-aλ-b=0的兩根，則差分方程的解為
yn+1=c1λ■+c2λ■．
已知y1=m1，y2=m2，代入上式得
m1=c1λ1+c2λ2，m2=c1λ■+c2λ■，
解得
c1=■，c2=■，
yn+1=■+■．
■將概率問題轉化為差分方程問題
1. 概率問題與差分方程二者間的關系
由差分方程的定義可知，差分方程是研究函數在一給定點x=k上的函數值f（k）與在x=k附近的N個點上的函數值之間的關系的方程，因而其適用于解決概率中一些涉及離散型隨機變量的問題．
2． 將概率問題轉化為差分方程問題的途徑
利用差分方程巧解概率問題的關鍵是如何將概率問題轉化為差分方程問題．常見的有兩條途徑：一、借助遞推公式建立差分方程；二、借助全概率公式建立差分方程．
（1）借助遞推公式建立差分方程
遞推公式：是指可以通過給出數列的第1項（或前若干項），并給出數列的某一項與它的前一項（或前若干項）的關系式來表示數列，這種表示數列的式子叫做這個數列的遞推公式． 遞推公式實質即為差分方程，建立遞推公式就是先設所需求的函數值，再確定該函數值與其前面項間的關系．
例1 A、B兩人拿兩顆骰子做拋擲游戲，規則如下：若擲出的點數之和為3的倍數，原擲骰子的人再繼續擲，若擲出的點數之和不是3的倍數，就由對手接著擲，第一次由A開始擲． 求第N次由A擲的概率為pn，求pn．
解：A、B兩人擲出的點數和為3的倍數的情況有：1+2，2+1，3+3，4+2，2+4，5+1，1+5，5+4，4+5，6+3，3+6，6+6共12種情況，A、B兩人擲骰子所有可能出現的結果數是6×6=36種，則事件“A、B兩人擲出的點數和為3的倍數”的概率為■=■；事件“A、B兩人擲出的點數和不為3的倍數”的概率為1－■=■．
第N次由A擲有兩種可能：（1）第N-1次由A擲且擲出的點數之和為3的倍數，則第N次仍由A擲；（2）第N-1次由B擲且擲出的點數之和不為3的倍數，則第N次由A擲．
第1種情況的概率為■pn-1；第2種情況的概率為■（1-pn-1）． 由分類計數原理得
pn=■pn-1+■（1－pn-1）=－■pn-1+■，這是一個一階常系數非齊次線性差分方程．
由引理1知
pn=an-1c+■b，其中a=－■，b=■，c=p1=1， 則pn=－■n-1+■?■=■+■－■n-1．
例2 求N位二進制數中，數字0與1相鄰的二進制數的個數．
解：設N位二進制數中，數字0與1相鄰的二進制數的個數為f（n）． 對于二進制數而言，其第一位上的數只有0或1兩種可能性．若第一位上的數為0，則要求滿足條件的二進制數，第二位上的數必須為1，且后面的N-2位上的數0與1必須相鄰，其個數為f（n-2）；同理，若第一位上的數為1，則要求滿足條件的二進制數，第二位上的數必須為0，且后面的N-2位上的數0與1必須相鄰，其個數為f（n-2）． 由分類計數法得：f（n）=f（n-2）+ f（n-2）=2 f（n-2）， 這是一個二階常系數齊次線性差分方程．
λ2－2=0是f（n）=f（n-2）+f（n-2）=2f（n-2）的特征方程，解得λ1=■，λ2= －■，則
f（n）=c1（■）n+c2（-■）n．
又因為f（1）=2，f（2）=2，代入上式得■c1-■c2=2，2c1+2c2=2，
解得
c1=■，c2=■，
f（n）=■（■）n+■?（-■）n．
例3 有人玩擲硬幣走跳棋的游戲．已知硬幣1出現正反面的概率都是■，棋盤上標有第0站，第1站，第2站，……，第100站． 一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣棋子向前跳動一次，若擲出正而，棋子向前跳一站（從k到k+1）；若擲出反面，棋子向前跳二站（從k到k+2），直到棋子到第99站（勝利大本營）或跳到第100站（失敗集中營）時，該游戲結束． 求棋子跳到第N站的概率．
解：設棋子跳到第N站的概率為Pn． 由題意知，P0=1，P1=■．
棋子跳到第N站有兩種可能：（1）先跳到第N-1站，擲出正面，再跳到第N站；（2）先跳到第N-2站，擲出反面，再跳到第N站．
第1種情況的概率為■Pn-1；第2種情況的概率為■Pn-2． 由分類計數原理得Pn=■Pn-1+■Pn-2，這是一個二階常系數齊次線性差分方程．
λ2－■λ－■=0是Pn=■Pn－1+■Pn－2的特征方程，解得λ1=1，λ2=－■，則
Pn=c1+c2－■n
又因為P0=1，P1=■；代入上式得
c1+c2=1，c1-■c2=■，
解得c1=■，c2=■，
則Pn=■+■－■n．
（2）借助全概率公式建立差分方程
設實驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，…，Bn為S的一個劃分，兩兩互不相容，且P（Bi）>0 （i=1，2，…n），則
P（A）=P（B1）P（AB1）+P（B2）P（AB2）+…+P（Bn）P（ABn）
上式稱為全概率公式．
全概率公式在概率論中占有極其重要的作用，通過應用全概率公式可把概率論中一些極其復雜的事件的求解分解成若干個互不相容的簡單事件的求解． 同時借助全概率公式可以構造等式，建立起差分方程，從而為概率問題的求解尋求了另一個途徑．
例4 一布袋中裝有黑、白色的乒乓球各一只，每次從布袋中任取一球，取出的球不放回，同時放入一黑球，求第N次取到黑球的概率．
解：記An=第N次取到黑球；■=第N次取到白球． 設第N次取到黑球的概率為Pn．
顯然，An∪■=Ω（必然事件），An∩■=■，則An，■是空間Ω的一個劃分，且P（An）>0，P（■）>0，則由全概率公式知：P（An）=P（An－1）P（AnAn－1）+P（■）?P（An■）
其中P（AnAn－1）=■，P（An■）=1，
則Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=1－■Pn－1，這是一個一階常系數非齊次線性差分方程．
λ+■=0是Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=－■?Pn－1的特征方程，解得λ=－■，則
Pn=c1－■n+■是差分方程的齊次解．
又因為自由項為1，所以設特解為D．
代入Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=1－■Pn－1得，D=■，
則差分方程的通解為Pn=c1－■n+■．
將P1=■代入Pn=c1－■n+■，
解得
c1=■，
則
Pn=■－■n+■．
例5 設電子在整數點集｛0，1，2，…，n｝上作隨機游動． 已知質點在t時刻的位置是a，由于受外力的作用，電子的位置會發生變動． 假設電子以概率p移動到a+1，以概率1-p移動到a-1． 求質點從a出發在0被吸收的概率．
解：記B=質點從k點移動到k+1點，P（B）=p；■=質點從k點移動到k-1點，P（■）=1－p． 設Ak=質點從k出發在0處被吸收，P（Ak）=Pk．
顯然，B∪■=Ω（必然事件），B∩■=■，則B，■是空間Ω的一個劃分，且P（B）>0，P（■）>0，則由全概率公式知：P（Ak）=P（B）P（AkB）+P（■）P（AkB）
=P（B）P（Ak+1）+P（■）P（Ak－1），
即Pk=pPk+1+（1－p）Pk－1，這是一個二階常系數齊次線性差分方程．
pλ2－λ+（1－p）=0是Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=－■Pn－1的特征方程，解得λ1=■，λ2=■，則
Pn=c11+■n+c21-■n．
例6 在N重貝努利實驗中，設事件A出現的概率為p，求在N次試驗中事件A出現偶次的概率．
解：記Bk=第K次實驗時事件A出現偶次，P（Bk）=Pk；■=第K次實驗時事件A出現奇次，P（■）=1－Pk． C=第K次實驗時，事件A出現，P（C）=p；■=第K次實驗時，事件A不出現，P（■）=1－p．
顯然，Bk-1∪■=Ω（必然事件），Bk-1∩■=■，則Bk－1，■是空間Ω的一個劃分，且P（Bk－1）>0，P（■）>0，則由全概率公式知：P（Bk）=P（Bk－1）P（BkBk－1）+P（■）P（Bk■）
=P（Bk－1）P（■）+P（■）P（C），
即Pk=Pk－1（1－p）+p（1－Pk－1）=p+（1－2p）Pk－1，這是一個一階常系數非齊次線性差分方程．
由引理1知
Pn=an-1c+■b，其中a=1－2p，b=p，c=p1=0，
則
Pn=■．
3． 總結
【關鍵詞】貝葉斯公式；數據挖掘；條件概率；先驗概率
數據挖掘是從現實生活中收集數據，對實際問題進行科學分析研究進而解決，共分為三個部分，分別是數據收集部分、模型設計部分和問題解決部分.數據收集是通過查閱文獻資料、網絡搜索等途徑尋找解決問題所需要的各種原始數據，進而通過對原始數據內容的甄別、過濾，獲取有效信息并最終運用到自己設計的模型中.模型設計需要針對實際問題進行建模，并利用已收集的數據進行問題求解.可以利用已有的數學算法、數據挖掘技術或者設計新的方法來解決問題，其中可能需要一定程度的數學推導和計算機編程.數據挖掘通常通過數學、統計、在線分析處理、情報檢索分類等諸多方法來實現上述目標.
在貝葉斯法則中，每個名詞都有約定俗成的名稱：P（A）是A的先驗概率或邊緣概率.P（A|B）是已知B發生后A的條件概率，也由于得自B的取值而被稱作A的后驗概率.P（B|A）是已知A發生后B的條件概率，也由于得自A的取值而被稱作B的后驗概率.P（B）是B的先驗概率或邊緣概率，也作標準化常量.按這些術語，貝葉斯法則可表述為：后驗概率=似然度×先驗概率標準化常量.P（B|A）P（B）稱為可能性函數，這是一個調整因子，使得預估概率更接近真實概率.所以，條件概率可以理解成這樣的式子：后驗概率=先驗概率×調整因子.
這就是貝葉斯推斷的含義.我們先預估一個“先驗概率”，然后加入實驗結果，看這個實驗到底是增強還是削弱了“先驗概率”，由此得到更接近事實的“后驗概率”.在這里，如果“可能性函數”P（B|A）P（B）>1，意味著“先驗概率”被增強，事件A的發生的可能性變大；如果“可能性函數”=1，意味著B事件無助于判斷事件A的可能性；如果“可能性函數”
貝葉斯公式看起來很簡單，但是在自然科學領域應用范圍極其廣泛.同時理論本身蘊含了深刻的思想.在大數據時代，從海量的數據中進行數據挖掘進而解決相關問題，貝葉斯公式也有著廣泛的應用.比如，要設計一款疾病自我預診斷系統，從自己身體的各種不舒適體征來判斷是否患有某種疾病，那么要從面對龐大的各種疾病數據中，尋找自己需要的數據并設計模型進行判斷.下面我們以發燒為例，用貝葉斯公式建立簡單自我肺炎自我預診斷判斷系統.
數據挖掘主要有數據準備、規律尋找和規律表示3個步驟.首先，是數據準備階段.數據準備是從相關的數據源中選取所需的數據并整合成用于數據挖掘的數據集；規律尋找是用某種方法將數據集所含的規律找出來；規律表示是盡可能以大眾可理解的方式將找出的規律表示出來.數據挖掘牽涉了大量的準備工作與規劃工作，事實上許多專家都認為整套數據挖掘的過程中，有80%的時間和精力是花費在數據預處理階段，其中包括數據的凈化、數據格式轉換、變量整合，以及數據表的鏈接.可見，在進行數據挖掘技術的分析之前，還有許多準備工作要完成.
首先，要盡可能找到所有會引起l燒的疾病，這個難度比較大，不過現在計算機網絡發達，使得大數據的處理成為可能.為了方便敘述，我們不妨把從網上查找到的有關發燒的資料以模型的方式簡單化處理，設所有引起發燒的疾病有A1，A2，A3，…，An種，并且這n種病相互之間是獨立的互不影響的.通過數據挖掘得知，n種疾病的發病率分別為P（A1），P（A2），P（A3），…，P（An），發燒表示為事件S，n種疾病發病時發燒的概率分別為P（S|A1），P（S|A2），P（S|A3），…，P（S|An），根據貝葉斯公式可知發燒是由A1疾病引起的概率為
同樣可以算出發燒是由其他疾病引起的概率，最可能的當然就是概率最大的那個.僅僅有一個癥狀判斷疾病是不準確的，對于其他癥狀，比如，咳嗽事件W，我們用同樣方法可以算出P（A1|W），根據P（S∪W）=P（S）+P（W）-P（SW）等相關公式，可以算出同時發燒咳嗽時患A1疾病的概率，當多個癥狀同時計算時，顯著性一定會增大，判斷當然也會更準確.最后，還可以對判斷結果給出置信區間，做相關的假設檢驗，這里就不再一一累述.
【參考文獻】
目前大學生普遍存在兩個問題:一是概率論中的全概率公式與貝葉斯公式及大數定理與中心極限定理學生難于理解，學生普遍對統計中的參數估計、假設檢驗、回歸分析等概念感到太抽象、思維難于開展、解題方法難以掌握;二是學生完成這門課程學習后仍不能真正地理解所學的統計學概念，也很難運用所學的概率統計知識討論具體問題。究其原因是我們傳統教學中沒有將本課程與實際問題相結合，沒有通過案例培養學生解決實際問題和處理數據的能力。隨著概率論與數理統計的基本原理在各個領域的廣泛滲透，概率論與數理統計課程越來越受到重視。研究生入學數學考試題中，概率論與數理統計所占比例已達20%～25%。為了盡早培養學生的概率論與數理統計的思維方式，一些簡單的古典概型概率、期望與方差，以及抽樣等也已出現在中學課程里，各省市高考試題中，概率論與數理統計所占比例上升，2010年達10%～16%。為此本文探討如何根據目前學生的具體情況，調整教學內容，改進教學方法，激發學生學習興趣，培養學生解決實際問題和處理數據的能力，提高教學效果。
一、調整教學內容
教學內容應該改變以往“重概率、輕統計”和“重運算技巧、輕數學思想”的傳統教學思想，刪減其中一些復雜的計算，加強統計中基本理論和基本數學方法的教學。減少概率論課時，加大統計內容，增加統計課時。
1.概率方面，古典概型概率、期望與方差等內容在中學接觸過，學生接受較快故可以弱化;減少概率論課時，將重點放在條件概率、乘積公式、全概率公式與貝葉斯公式上，加強隨機變量的內容。
2.統計方面，突出“厚基礎”“重應用”的特色，增加統計課時，強調假設檢驗和回歸分析等原理的分析與實際應用，著重培養學生應用統計中的基本原理去解決實際問題的能力。
二、改進教學方法
概率論與數理統計是一門在解決實際問題的過程中發展起來的學科，概率論與數理統計的思想方法、原理、公式的引入，最能激發學生的興趣，并印象深刻的是從貼近生活的問題及案例引入。教師在授課過程中可從每個概念的直觀背景入手，精心選擇一些跟我們的生活密切相關而又有趣的實例，從而激發學生的興趣．調動他們學習的積極性和主動性。
1.概率論部分的教學。(1)概率論內容的學習中，學生一般不能很好地理解全概率公式與貝葉斯公式的原理。舉例:某大學學生對概率論與數理統計課程的興趣程度可分為四個層次:很感興趣，較感興趣，一般，沒有興趣。最近的一項調研統計表明此四個層次的學生數之比為:1∶3∶4∶2。而這在四類同學中該課程一次性能通過的可能性分別為:0．98，0．88，0．50，0．20。1)考試在即，在即將參加此門課程考試的學生中任抓一學生考察，試問該生此次考試該門課程一次性通過的可能性為多大?2)考試結束，閱卷老師發現某名學生順利通過此次考試，試問該生對此課程興趣層次是屬于一般的可能性有多大?身邊的例子激起了學生的興趣，通過1)的解答很快讓學生理解全概率公式，通過2)的分析讓學生理解貝葉斯公式的原理。(2)大數定理的教學。大數定理是概率論中非常重要的定理，在教學中如果僅僅將定理的內容告訴學生，很多學生不能理解。講課時舉例子:在裝有7白球與3黑球的盒子里任意抽取一個記下結果再放回去，當抽取白球時計1，抽到黑球時計0，不停地重復下去，就得到一組由1、0構成的數字，如一人抽取得到:10010111010111000101111111100000001010010111011000從數據中你看不出任何特征與規律，換一個人來重復這一試驗，他也會得到這樣一串由1、0構成的數據，同樣雜亂無章，但結果與第一人的結果不同。雖然如此，當做的試驗次數越來越多時，這一串串雜亂的數中1所占的比例隨做的試驗次數的增加愈來愈穩定到一個值上，這個值就是盒子內白球的比率7/10。比率的穩定性只有在數串長度足夠大(實驗的次數足夠多)時才能表現出來，這就是大數定理這個名稱的由來。歷史上概率論方面重要的學者雅各布•伯努利證明了在一定條件下“當試驗次數愈來愈大時，頻率愈來愈接近于概率”，這個結論稱為伯努利大數定理。此定理的意義在于對經驗規律的合理性給出了一個理論上的解釋。在現實生活中，很難甚至于不可能達到伯努利大數定理中的理想化條件，但大部分的情況下與之非常接近，因此伯努利證明的結論“基本上”能適應。
2．統計部分的教學。學生經常覺得統計部分的參數估計、假設檢驗、回歸分析等內容雜、頭緒亂。在教學過程中，可以引入案例，對每一個案例進行分析:(1)要解決什么問題?(2)有些什么方法，而這些方法的基本思想是什么?合理性?(3)運用這些方法解決問題的基本步驟是什么?(4)如何將這些方法運用于實際問題中?這樣能使學生理清思路，從整體上把握統計的基本思想，如假設檢驗可以用食品生產線上的產品質量檢驗的案例分析;回歸分析可以用資源評估的案例來分析等。
3.加強與其他學科的聯系，提高學生運用能力。在教學中，通過一些實際案例將教學內容與學生所學的專業相結合，讓他們運用統計方法解決一些專業上的統計分析問題，如對生物、食品專業的學生可以讓他們將自己做的實驗數據以統計的方法處理，對于海洋專業的學生可以讓他們進行海洋環境數據分析;對于金融專業的學生，可以讓他們了解一些基于概率論與數理統計的經濟與管理模型。讓學生真正感到學有所用，不僅可以提高學生的學習興趣，又可以在實際應用中掌握概率論與數理統計基礎知識，學會運用這些知識解決實際問題，一改“授之以魚”為“授之以漁”。
4.開設上機實驗課，培養學生應用數學軟件來解決問題的能力。許多學生完成概率論與數理統計的學習后，在專業課程中，面對大量數據，需要運用統計思想方法分析時往往出現無從下手的現象，造成這種現象的原因有兩方面:(1)缺乏靈活運用所學知識解決實際問題的能力;(2)數據量大，計算過于繁，手工難以實現。對于第一種情況我們通過案例將教學內容與學生所學的專業相結合來提高學生的運用能力。針對于第二種情況開設上機實驗課，讓學生掌握相關的計算機統計分析軟件，訓練學生應用數學軟件來解決問題。這不僅提高了學生的學習興趣，也加強了學生運用概率論與數理統計原理解決實際問題的能力。總之，根據學生的具體情況，適當地調整教學內容，通過貼近生活、與學生所學的專業相關的案例分析，激發學生的學習興趣，引入上機課程，培養學生應用數學軟件來解決問題的能力，有效地提高教學質量。
關鍵詞：列車；地鐵列車運行圖；運行時間偏離；緩沖時間；列車區間
中圖分類號：U231文獻標識碼： A
當前地鐵列車在實際運行過程中，區間運行時間以及停站時間都會出現不可避免的波動，而且這種運行時間相比較圖定時間來說，其時間偏離性會呈現出一定隨機性。為了能夠確保列車運行質量，需要我們在編制地鐵列車運行圖時，加入一定量的緩沖時間，以用來緩解當前一輛列車運行出現時間偏離后對后續列車所造成的干擾。但從提高地鐵線路高峰小時通過能力角度講，可在其運營高峰期內選擇較小緩沖時間，以實現晚點列車的相關恢復工作能順利延伸到平峰期內進行。這時就需要對非晚點的列車區間運行時間偏離以及停站時間偏離進行相應的研究。
一、追蹤列車時間
以深圳地鐵2、5號線卡斯柯移動閉塞信號系統為例，并進行以下設定：移動閉塞信號系統；列車為AMC （Automatic Mode Controlled with Driver）自動駕駛模式；雙線線路；列車每站停車并停于正線站臺。
在該地鐵系統中，列車經過車站的實際運行間隔通常大于在區間的實際運行間隔時間。所以在對線路通過能力進行計算時，其列車間隔時間應該以列車經過車站的實際間隔時間為準。
在列車經過車站時主要包括以下內容：即進站運行、制動停車、停站作業以及起動出站等。而對列車間隔時間（h）進行追蹤時也由以下作業時間組成：
即h=t運行+t制動+t停站+t起動 （1）
其中，公式里t運行主要代表列車從區間勻速運行到進站制動開始的時間（s）；而t制動則代表列車從最初施加制動到車站內實際停車時間（s）；t停站代表著列車入站后停留時間（s）；t起動則代表著車從起動后到離開車站的實際運行時間（s）。
車站站臺中心線
_____________________________________________________
t起動 t制動t運行
(t停站）
圖1追蹤列車間隔時間組成
此外，列車在2個相近車站間的實際運行時間，即列車區間運行時間t區間組成如下圖所示：
車站中心 車站中心
________________________________________________________________
t起動
t制動 t運行t起動
t區間
其中t區間=t制動+t運行 +t起動（2）
先假設各站列車的t起動相同，依據公式（1）以及公式（2）可以得出：
h=t區間+t停站（3）
二、列車運行時間偏離
一般來講，基于列車非晚點情況下，其區間運行時間偏離主要存在于列車進站制動過程中，也就是列車區間運行時間即t區間實際與停站時間即t停站實際都會與圖定時間相偏離。這種情況下的偏離可以用以下公式來表示：
t區間實際=t區間+1 （4）
T停站實際=t停站+2 （5）
其中公式中的1代表著區間運行時間隨機干擾變量（s）；而2 代表著停站時間隨機干擾變量（s）。
在對地鐵列車運行圖進行鋪畫時，為了有效確保列車運行圖的實際彈性，我們需要在對列車間隔時間進行計算時，增加相應的偏離緩沖時間即t偏離緩沖，而在此過程中，h’代表著圖定運營列車間隔時間。
即h’=h+t偏離緩沖 （6）
先假設后續列車的實際運行時間并未出現偏離，那么前列列車的實際運行時間與后續列車的實際時間出現偏離時的間隔時間即h實際可以用以下公式表示：
h實際=h’－1－ 2（7）
而前列列車對后續列車不會造成干擾的基本條件是
h實際-h≥0 （8）
由上述公式可得
t偏離緩沖－1－2≥0 （9）
所以，可以利用前列列車對于后續列車所形成的干擾概率p來表示t偏離緩沖取值對于運行列車的影響情況：
即 p=p（1 +2 －t偏離緩沖>0） （10）
假設隨機干擾變量=1+2那么可將公式（10）改寫成為：
P=p（-t偏離緩沖>0） （11）
該公式利用概率模型形式來對干擾概率p以及隨機干擾變量還有t偏離緩沖這幾個變量之間關系。
三、列車運行時間偏離
先假設（11）公式中的隨機干擾變量服從于某種概率分布，且其實際概率密度函數用f（x）表示，那么前列列車對后續列車所造成的干擾概率p則為：
P=p（-t偏離緩沖>0）= （12）
對于既定的干擾概率上限po，可以利用以下方式來對最小偏離緩沖時間進行計算：
P=p（-t偏離緩沖>0）==Po（13）
其中公式里的（13）解法需要依據具體分布函數的實際類型來確定。
由（4）、（5）公式可以得出
即=t區間實際+t停站實際-t區間-t停站=t-to） （14）
其中，t=t區間實際+t停站實際
t0=t區間+t停站
由上述（14）公式可以得出，的實際概率分布主要是受到列車實際停站時間以及列車區間運行時間的影響。
而在列車運行過程中，相關負責人可以通過慢行方式將即將到站的列車偏離時間控制在允許范圍內。但當前對于列車晚點之后的實時恢復則缺少有效控制手段。為了能夠減少與控制列車晚點情況，列車在實際運營過程中普遍存在“趕早不趕晚”的情況，所以列車區間的實際運行時間多成偏態分布。這種情況下就可以選擇使用偏態特征的分布函數進行表示，比如通過分布或者是對數正態分布進行相應的表示。
此外，由于收到車站客流發送等隨機因素的影響，大多數列車停站時間也多呈偏態分布，這種情況下，也可以選擇使用分布或者是對數正態分布進行相應的表示。
四、算例
以深圳某一地鐵線為例，選擇該地鐵線某天全天次列車從A站到相鄰B站實際區間運行和在B站所實際停戰時間，將相應晚點列車數據刪除后，保留該278列列車的實際運行時間，并將其作為基礎數據。
先設定總運行時間為t=t區間實際+t停戰實際，同時選取各次列車相應的總運行時間ti（i=1,2,....n）作統計樣本，并選擇對數正態分布函數對其t頻數分布進行擬合。
對數正態分布概率分布密度函數g（x；u，）為：
g（x；u，）=e-(lnx-u)2/22t>0
通過對數正態分布函數g（x；u，）參數以及極大似然估計值是：
U==5.16
而2==0.00193
而=0.044
那么其t的實際概率分布密度函數約是
G（x）=e-（lnx-5.16）2/0.00386x>0 （16）
此外其相應的擬合優度判定系數約是
R2=1-=0.963
通過相應的調查，該線路在對當天列車從A站運行至B站的實際圖定實際時間是123s，而在B站的實際圖定停站時間約是60s。那么其圖定列車的總運行時間約是t0=123+60=183s。而其樣本均值t=174.04
先設定=t-173.53，那么由上述公式（16）可以推導出其實際的概率函數為：
f（x）=xx>-173.53 （17）
通過將公式（17）代入上述所講公式（13），可以得計算出干擾概率上線即Po所取值時所對應的最小偏離緩沖時間。而通過相關的研究數據顯示，待Po=0.010時，那么該列車的最小偏離緩沖時間實際約是19s，而當前行列車處于非晚點情況下時，其最終的運行偏離時間會對后行列車產生影響的實際概率將小于0.010.
總結：
近些年，隨著我國經濟的不斷發展以及城市化進程的加快，地鐵運營受到人們越來越多的關注。本文就根據地鐵系統對于列車運營間隔時間的組成，來分析和研究列車區間運行時間與停站時間以及追蹤相應列車的間隔時間關系，以此來構建偏離緩沖時間概率模型，并據此對列車運行時間偏離下的地鐵列車運行圖緩沖時間進行分析。就此為日后進一步研究基于列車運行時間偏離的地鐵列車運行圖緩沖時間提供了一定理論支持。
參考文獻：
[1] 劉海東,毛保華,何天健,丁勇,王璇.不同閉塞方式下城軌列車追蹤運行過程及其仿真系統的研究[J]. 鐵道學報. 2005(02)
下面我們就2008年各省市的概率與統計部分試題的設置及考查的要點加以評述。
概率與統計部分的題目除幾個特殊的地區，如江蘇、寧夏、海南、上海為填空題外，其余地區對這部分內容的考查大部分放在了解答題部分。從這些題目的設置看位置相對靠前一些，按規律屬于得分題目，考查的知識點不外乎是求某一事件發生的概率P，隨機變量ξ的分布列及數學期望Eξ，偶爾也會考查到方差Dξ的問題。
有些概率的題目會結合現代科技問題或是現實生活常見問題，考生只要透過現象抓本質，那么每一道題都在掌控之中，下面以2008年全國卷（一）的第20題為例“現題說法”。
已知五種動物中有一種患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物，血液的化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性的即沒有患病，下面是兩種化驗方案：
方案甲：逐個化驗，直到確定患病動物為止。
方案乙：先任取3只，將它們的血液混合在一起化驗，若結果呈陽性則表明患病動物為這3之中的1只，然后逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性，則在另外2只中任取一只化驗。
（I）求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率；
（II）ξ為依方案乙所需化驗次數，求ξ的期望。
此題看似復雜，又是化驗又是陰性陽性，還有甲乙方案，實際仔細分析就會發現并不是很困難。由題意分析知：依甲方案可能需化驗1次、2次、3次、4次，而依方案乙所需化驗次數為2次或3次。任取3只混合化驗為1次，若呈陽性則需再化驗1次或2次的結果，故此時共需化驗2次或3次；若成陰性，則需再化驗1次可的結果，此時共需化驗2次。分析出這些，題目就很明了了。
在第（I）問中方案甲所需化驗次數不少于方案乙的情況包括大于和等于兩種情況，而從它的反面考慮就是方案甲所需化驗次數少于方案乙，從而求出概率。第（II）中所問的ξ的期望先要求出它的分布列，然后根據數學期望的（II）ξ的可能取值為2、3。
即ξ的分布列為
如果再增加一問，那么考查的內容就齊了。比如增加求的方差。
到這我們就把高考中概率與統計的設計題目題型都涉及了，而從分析的過程看題目不難，屬于中檔題，題目的做法大致不再累述。
一、認識古典概型，`興致盎然
先認識古典概型：（1）定義：如果試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個，并且每個基本事件出現的可能性相等，則稱此概率為古典概型．
（2）特點：①試驗結果的有限性；②所有結果的等可能性．
（3）古典概型的解題步驟：①求出試驗的總基本事件數n；②求出事件A所包含的基本事件數m；③代入公式P=mn即可解答．
（4）基本事件是事件的最小單位，所有事件都是由基本事件組成的，基本事件有下列兩個特點：①任何兩個基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）．
例1 已知關于x的一元二次函數f（x）=ax2－bx+1，設集合P={1，2，3}，Q={－1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b．（1）求函數y=f（x）有零點的概率；（2）求函數y=f（x）在區間［1，+∞）上是增函數的概率．
分析：本題是古典概型問題，要抓住求出基本事件數和基本事件總數，從而解決上述問題．
解：（a，b）共有（1，－1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），15種情況．
（1）若函數y=f（x）有零點，則需Δ=b2－4ac≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），6種情況，所以函數y=f（x）有零點的概率為615=25．
（2）若函數y=f（x）在區間［1，+∞）上是增函數，需對稱軸x=b2a≤1．
有（1，－1），（1，1），（1，2），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），13種情況．所以函數y=f（x）在區間［1，+∞）上是增函數的概率為1315．
點評：利用古典概型公式求概率時，要注意學會把事件轉化，如事件函數y=f（x）有零點等價于Δ≥0，即b2－4ac≥0，事件“函數y=f（x）在區間［1，+∞）上是增函數”則等價于事件“對稱軸x=b2a≤1．”
二、認識幾何概型，情趣盎然
認識幾何概型的定義：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區域內隨機地取一點，該區域中每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件發生則理解為恰好取到上述區域內的某個指定區域中的點，這里的區域可以是線段、平面圖形、立體圖形等，用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型．
幾何概型的基本特點是：（1）在每次試驗中，不同的試驗結果有無窮多個，即基本事件有無窮多個；（2）在這個隨機試驗中，每個試驗結果出現的可能性相等即基本事件的發生是等可能的．當然，在計算幾何概型的概率時，則應該注意相應問題的著眼點．
例2 設點（p，q）在|p|≤3，|q|≤3均勻分布出現，求方程x2+2px－q2+1=0的兩根都是實數的概率．
分析：根據一元二次方程有實數根的充要條件找出p、q的約束條件，進而確定區域的測度．
解：由于|p|≤3，|q|≤3，所以（p，q）的點集組成了邊長為6的正方形，所以面積=62=36，
由方程x2+2px－q2+1=0的兩根都是實數，得到Δ=（2p）2－4（－q2+1）≥0，則p2+q2≥1，所以當點（p，q）落在如圖所示的陰影部分時，方程的兩根都是實數．則由圖象可知道區域
d=S正方形ABCD－SO=36－π，所以原方程兩根都是實數的概率P=36－π36=1－π36．
點評：對于與方程相結合的問題，則同樣可以構造圖形進行解決．
三、把握事件關系，正難則反
例3 甲、乙、丙三人將參加某項測試，他們能達標的概率分別是0.8、0.6、0.5，三人中至少有一人達標的概率是_____________．
分析：若從正面考慮至少有一人達標有七種情形，三人中恰好有一人達標、三人中恰好有二人達標和三人全部達標，很繁，所以可運用正難反易思想，進行反面考慮．
解：先求三人無一人達標的概率．設甲、乙、丙分別達標為事件A、B、C，則P（A）=0.8，P（B）=0.6，
P（C）=0.5，且A、B、C相互獨立，所以三人無一人達標的概率為P（）·P（）·P（）=0.2×0.4×0.5
=0.04，則所求的概率為1－0.04=0.96．
點評：有些問題當從正面求解繁瑣或無法求解時，可從其反面進行思考，通過否定結論的反面來肯定結論正確，這就是正難則反的思想，運用這一數學思想解決問題，往往能收到化難為易，化繁為簡的奇效．
當然，對于概率及其應用的高考命題方向：主要是二項分布、超幾何分布、條件概率和相互獨立事件的概率等，它們有各自顯著的特點，各有對應的計算公式，要能熟練應用．
認識獨立重復試驗及其概率公式：一般地，如果在1次試驗中某事件發生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率Pn（k）=CknPk（1-P）n-k．它是［（1-P）+P］n展開式的第k+1項．
同時要特別注意二項分布問題：二項分布實際上是對n次獨立重復試驗從概率分布的角度作了進一步的闡述，與n次獨立重復試驗恰有k次發生的概率與之對應，是概率論中最重要的分布之一，我們不妨來看看二項分布之基本知識應用題．
四、走進二項分布，探究關鍵
例4 100件產品中有3件不合格品，每次取一件，有放回取3次，求取得不合格品的件數X的分布列．
分析：因為每次抽取的結果只有兩種，即合格與不合格，且有放回地抽取三次相當于做3次獨立重復試驗，從而隨機變量X服從二項分布．
解：X可能取的值為0，1，2，3，由于是有放回地取每次取一件，連續取三次，所以這相當于做3次獨立重復試驗，一次抽取到不合格品的概率p=0.03．因此X～B（3，0.03）．
P（X=0）=C03×0.030×（1－0.03）3=0.912673．
P（X=1）=C13×0.03×（1－0.03）2=0.084681．
P（X=2）=C23×0.032×（1－0.03）1=0.002619．
P（X=3）=C33×0.033×（1－0.03）0=0.000027．
則X的概率分布如下表：
點評：二項分布的模型是可以快速地寫出隨機變量的分布列，從而簡化了求隨機變量取每一個具體值的概率的過程．
五、思索超幾何分布，發現內涵
一般地，若一個隨機變量X的分布列為P（X=r）=CrMCn－rN－MChN，其中r=0，1，2，3，……，l，l=min（n，M），則稱X服從超幾何分布，記為X～H（n，M，N），并將P（X=r）=CrMCn－rN－MCrN記為H（r；n，M，N）．
例5 從一批含有13件正品、2件次品的產品中，不放回地任意取3件，求取得次品數的概率分布，并求至少取得一件次品的概率．
分析：本題是超幾何分布，可利用超幾何分布的概率公式求解．
解：設隨機變量ξ表示取出次品的個數，則ξ服從超幾何分布，其中N=15，M=2，n=3，則ξ的可能取值為0，1，2，相應的概率依次是
P（ξ=0）=C02C313C315=2235，
P（ξ=1）=C12C213C315=1235，
P（ξ=2）=C22C113C315=135，
則ξ的概率分布表如下：
則至少取得一件次品的概率為P（ξ=1）+P（ξ=2）=1335．
點評：建立超幾何分布的關鍵是求得P（ξ=k）的組合關系式，利用超幾何分布的概率公式進行驗證，然后利用公式求出取其它的值的概率，建立ξ的概率分布．
統計試題涉及的知識點主要是抽樣方法、解讀直方圖、判定相關關系及了解獨立性檢驗的含義和運用、回歸分析等等，但其考查的形式則是填空題為主，且常常以實際問題為背景
六、走進抽樣問題，分類重點
例6 某政府機關有在編人員100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級機關為了了解政府機構改革意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，請具體實施抽取．
分析：因為機構改革關系到各種人的利益，個體差異較大，故采用分層抽樣方法為妥．
解：因為10020＝5，105＝2，705＝14，205＝4，
所以從副處級以上干部人中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人，因副處以上干部與工人都人數較少，他們分別按1～10編號與1～20編號，然后采用抽簽法分別抽取2人和4人，對一般干部70人采用00，01，02，…，69編號，然后用隨機數表法抽取14人．
點評：分層抽樣的特點是全面考察到各種層次不同代表合理比例，大大提高了樣本的代表性．同時在利用分層抽樣方法抽樣時需注意：分層抽樣要將性質相近的個體歸入一層，性質差異較大的個體歸入不同層；分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定．總的原則是，層內樣本的差異要小，而層之間的樣本差異要大，且互不重疊．
七、研究莖葉圖，注意轉化
例7 隨機抽取某中學甲、乙兩班各10名同學，測量他們的身高（單位：cm），獲得身高數據的莖葉圖如圖所示：（1）根據莖葉圖判斷哪個班的平均身高比較高；（2）計算甲班的樣本方差；（3）現從乙班這10名同學中隨機抽取2名身高不低于173cm的同學，求身高至少為173cm的同學被抽中的概率．
分析：（1）根據莖葉圖將甲、乙兩組同學的身高的數據還原，結合平均數的計算公式算出10位同學的平均數，由此即可估計這兩個班的平均身高；
（2）根據甲班10位同學身高的數據，結合方差計算公式算出10位同學身高的方差，即得甲班的樣本方差；
（3）根據乙班10名同學身高的數據，找出身高至少為173cm的同學人數，結合隨機事件的概率公式．
解：（1）由莖葉圖，得甲班的10名同學的身高分別為
182 179 179 171 170 168 168 163 162 158，
得他們的平均身高為1=110（182+179+179+…+158）=170.0cm．
乙班的10名同學的身高分別為
181 170 173 176 178 179 162 165 168 159，
得他們的平均身高為2=110（181+170+173+…+159）=171.1cm
（2）甲班的樣本方差為s2=110［（182－170）2+（179－170）2+…+（158－170）2］=57.2cm2
（3）乙班這10名同學中有5名同學的身高大于或等于173cm，
從這10名同學中任意取5名同學，身高至少為173cm的同學被抽中的概率為P=410=0.4．
[關鍵詞]貝葉斯網絡；中醫專家系統；信息熵
模擬中醫專家進行診療歷來就是中醫現代化過程中的一個重大課題，同時也是將中醫辨證的主觀判斷轉化為客觀邏輯推導的必由之路。中醫專家系統，是根據中醫專家的“整體思維，辨證論治”的診療特點，在一定的數學平臺之上，根據“望、聞、問、切”得出的癥狀體征，給出診斷結果的智能計算機程序。迄今為止已經出現了上百種中醫專家系統，這些中醫專家系統的數學模型包括了貝葉斯公式法、最大似然法、模糊數學法等等，但是在這些中醫專家系統中，往往把臨床表現當作一個孤立的癥狀來看待，事實上，不同的癥狀之間由于中醫的整體觀念，往往存在著某種形式的因果關系。我們利用貝葉斯網絡可以解決這個問題。
貝葉斯網絡是1981年由R．Howard和J．Matheson提出來的，20世紀80年代早期，貝葉斯網絡成功地應用于專家系統中對不確定性知識的表達，中醫辨證是以大量的不確定性知識作為判斷基礎的，而貝葉斯網絡應用于中醫專家系統目前還處于探索階段。
1貝葉斯公式
先驗信息是指在抽樣之前有關統計問題的一些信息，一般來說，先驗信息主要來源于經驗和歷史資料。如果9是離散隨機變量，先驗分布可以用先驗分布列 ，表示。這時候后驗分布也是離散形式：
我們稱這個公式為貝葉斯公式。如果有一個病人發熱(我們設發熱這個事件為x，醫生要確定他患有何種疾病，則必須考慮病人可能發生的疾病θ1，θ2，θ3，…。我們假定θ1，θ2，θ3，…是互斥的，醫生可以憑借以往的經驗估計出發病率P(θi)i=1，2，…，n)，我們稱P(θi)為先驗概率。我們要進一步考慮一個人在發熱的情況下患病θi的可能性，就是P(θi|x)(i=1，2，…，n)的大小，它可以由貝葉斯公式算出，這個概率P(θi|x)是在獲得新的信息(發熱)后，病人得θ1，θ2，θ3，…的可能性，我們稱P(θi|x)是后驗概率。如果我們把x視為觀察的結果，把θ1，θ2，θ3，…理解為原因，則貝葉斯公式反映了因果的概率規律，并作出“由果溯因”的推斷。應當說，貝葉斯公式結合了主觀的先驗知識和客觀的概率統計結果，形成了一個主客觀可以接受的條件概率。
中醫診斷的本質就是根據病人體現出的癥狀的集合得出“證”來。不可否認，不同的癥狀之間有可能存在一定的因果關系，這就需要引入貝葉斯網絡的理論，建立起基于信息熵的貝葉斯網絡，并且在此基礎上探討中醫專家系統的數學模型。
2貝葉斯網絡
貝葉斯網絡(BayesianNetworks,BN)又稱為概率網絡或者因果網絡，它是用來表示不確定性變量集合聯合概率分布的圖形模式，它反映了變量間潛在的依賴關系，它主要由兩個部分組成，一部分是有向無環圖(directed acyclic gragh．DAG)，有向無環圖中的每一節點表示一個隨機變量，圖中兩節點若存在著一條弧，則表示這兩節點相對應的隨機變量是概率相依的，兩節點間若沒有弧則說明這兩個隨機變量是相對獨立的。按照貝葉斯網的這種結構。顯然網中的任一節點Xi均和非Xi的父節點的后裔節點的各節點相對獨立。網中任一節點Xi均有一相應的條件概率表CPT(conditionalprob―abilitytable,CPT)，用以表示節點Xi在其父節點取各可能值時的條件概率。若節點Xi無父節點，則Xi的CPT為其先驗概率分布。貝葉斯網的結構及各節點的CPT定義了網中各變量的概率分布。
貝葉斯網絡能表示任意概率分布，它們為這些能用簡單結構表示的分布提供了可計算優勢。
假設對于頂點xi，其雙親節點集為Pai，每個變量xi的條件概率為P(xi|Pθai)，則頂點集合X={x1，x2，……，xn)的聯合概率分布可如下計算：
貝葉斯網絡的結構學致有兩種算法，一種是基于搜索或者打分的方法，這類方法的缺點是時間復雜度高，計算量大，效率低；第二種方法是根據因果獨立性分析，由專家或者資料分析，給出相應的因果模型和相應的分布概率。我們采用貝葉斯網絡的第二種構建方法。
在貝葉斯結構學習的過程中，我們可以將信息熵的大小作為判斷兩個癥狀之間是否具有因果關系的依據。
3信息熵
信息熵是信息論中對不確定性的一種度量。仙農信息論認為，如果某一個信息源中某種信號出現的概率是只，則它所帶來的信息熵就是：I(xi；yi)為交互信息量(簡稱互信息量)，表示信宿(消息傳送的對象和接收者)收到一個消息yi后所獲得的關于xi的信息量。也就是說，信宿收到一個消息后所獲得的平均信息量等于信源不確定性減去信宿收到一個消息后對信源尚存在的不確定性。
如果我們認為癥狀i存在的概率是xi，癥狀i存在的概率是xj，在癥狀i存在的前提下癥狀i存在的概率是P(xi|yi)，則癥狀xj從癥狀xj那里獲得的信息量是
我們可以適當設定閾值，當I(xi；yi)的值大于閾值時我們便認為xi和yi具有因果關系。
算法1：貝葉斯網絡構建
輸入：癥狀數據集，證數據集
輸出：反映癥狀之間、癥證之間因果依賴關系的貝葉斯網絡步驟：
creatarcfrom證to癥狀ifP(癥狀證)exist；P(癥狀|證)//如果存在，則構建從證到癥狀的弧k=count(癥狀)；//計算所有涉及的癥狀的總個數
fori=l to k
forj=l tok
{if≠ij}
{if I(癥狀i；癥狀j)>w)
{creatarcfrom癥狀ito癥狀j}；//構建癥狀之間的因果依賴關系
arc(i，j)=；P(j|i)//描述癥狀i和癥狀j之間的概率分布
算法2：貝葉斯網絡預測
輸入：算法1構建的貝葉斯網絡，給定癥狀集D
輸出：分類m
步驟：
t=max(i)；//求出最大概率的類別
數學科考試旨在測試中學數學基礎知識、基本技能、基本方法，考查數學思維能力，包括空間想象直覺猜想、歸納抽象、符號表示、運算求解、演繹證明、體系構建等，以及運用所學數學知識和方法分析問題和解決問題的能力。考試分為理工農醫和文史財經兩類理工農醫類。復習考試范圍包括代數、三角、平面解析幾何、立體幾何和概率與統計初步五部分。文史財經類復習考試范圍包括代數、三角、平面解析幾何和概率與統計初步四部分。考試中可以使用計算器，考試內容的知識要求和能力要求作如下說明：
1.知識要求
本大綱對所列知識提出了三個層次的不同要求，三個層次由低到高順序排列，且高一級層次要求包含低一級層次要求三個層次分別為，了解要求考生對所列知識的含義有初步的認識，識記有關內容，并能進行直接運用理解、掌握、會要求考生對所列知識的含義有較深的認識，能夠解釋、舉例或變形、推斷，并能運用知識解決有關問題靈恬運用：要求考生對所列知識能夠綜臺運用，并能解決較為復雜的數學問題
2.能力要求
邏輯思維能力：舍對問題進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，會用演繹、歸納和類比進行推理，能準確、清晰、有條理地進行表述運算能力理解算理，會根據法則、公式、概念進行數式、方程的正確運算和變形，能分析條件，尋求與設計合理、簡捷的運算途徑，能根據要求對數據進行估計，能運用計算器進行數值計算空間想象能力：能根據條件畫出正確圖形，根據圖形想象出直觀形象;能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系，能對圖形進行分解、組合、變形分析問題和解決問題的能力：能閱讀理解對問題進行陳述的材料，能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產、生活中的數學問題，并能用數學語言正確地加以表述。
一、復習考試內容
理工農醫類
第一部分 代 數
(一)集合和簡易邏輯
1.了解集合的意義及其表示方法了解空集、全集、子集、交集、并集、補集的概念及其表示方法，了解符號?，=,∈，?的含義，并能運用這些符號表示集合與集臺、元素與集臺的關系
2.理解充分條件、必要條件、充分必要條件的概念
(二)函數
1.理解函數概念，會求一些常見函數的定義域
2.了解函數的單調性和奇偶性的概念,會判斷一些常見由數的單詞性和奇偶性。
3.理解一次函數、反比例函數的概念，掌握它們的圖象和性質，會求它們的解析式。
4.理解二伙函數的概念，掌握它的圖象和性質以及函數y=ax2÷bx+c(a≠0)與y=ax2(a≠0)的圖象間的關系，會求二次函數的解析式及值或最小值，能靈活運用二次函數的知識解決有關問題
5.了解反函數的意義，會求一些簡單函數的反函數
6.理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質掌握指數函數的概念、圖像和性質。
7.理解對數的概念，掌握對數的運算性質、掌握對散函數的概念、圖象和性質。
(三)不等式和不等式組
1.理解不等式的性質，會用不等式的性質和基本不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)， |a+b|≤|a2+b2|(a,b∈R)解決一些簡單的問題。
2.會解一元一次不等式、一元一次不等式組和可化為一元一次不等式組的不等式、會解一元一次不等式、會表示不等式或不等式組的解集
3.了解絕對值不等式的性質，會解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的絕對值不等式
(四)數列
1.了解數列及其通項、前n項和的概念
2.理解等差數列、等差中項的概念，會靈活運用等差數列的通項公式、前n項和公式解決有關問題。
3.理解等比數列、等比中項的概念，會靈活運用等比數列的通頊公式、前n項和公式解決有關問題。
(五)復數
1.了解復數的概念及復數的代數表示和幾何意義
2.會進行復數的代數形式的加、減、乘、除運算
(六)導數
1.了解函數極限的概念，了解函數連續的意義
2.理解導數的概念及其幾何意義
3.會用基本導數公式(y=c，y=x2(n為有理數)，y=sinx，y=cosx,y=c2的導數)，掌握兩個函數和、差、積、商的求導法則。
4.理解極大值、極小值、值、最小值的概念，并會用導數求有關函數的單調區間、極大值、極小值及閉區間上的值和最小值
5.會求有關曲線的切線方程，會用導數求簡單實際問題的值與最小值
第二部分 三 角
(一)三角函數及其有關概念
l.了解任意角的概念，理解象限角和終邊相同的角的概念 。
2.理解弧度的概念，會進行弧度與角度的換算
3.理解任意角三角函數的概念，了解三角函數在各象限的符號和特殊角的三角函數值。
(二)三角函數式的變換
l.掌握同角三角函數間的基本關系式、誘導公式，會用它們進行計算、化簡和證明
2.掌握兩角和、兩角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，會用它們進行計算、化簡和證明。
(三)三角函數的圖象和性質
l.掌握正弦函數、余弦函數的圖象和性質，會用這兩個函數的性質(定義域、值域、周期性、奇偶性和單調性)解決有關問題
2.了解正切函數的圖象和性質
3.了解函數y=Asin(ωx+θ)與y=sinx的圖象之間的關系,會用‘"五點法”畫出它們的簡圖，會求函數y=Asin(ωx+θ)的周期、值和最小值
4.會由已知三角函數值求角，井會用符號arcsinx，arccosx，arctanx表示。
(四)解三角形
l.掌握直角三角形的邊角關系，會用它們解直角三角形及應用題。
2.掌握正弦定理和余弦定理，會用它們解斜三角形及簡單應用題。
第三部分 平面解析幾何
(一)平面向量
l.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。
2.掌握向量的加、減運算，掌握數乘向量的運算，了解兩個向量共線的條件。
3.了解平面向量的分解定理，掌握直線的向量參數方程。
4.掌握向量數量積運算，了解其幾何意義和在處理長度、角度及垂直問題的應用。掌握向量垂直的條件。
5.掌握向量的直角坐標的概念，掌握向量的坐標運算
6.掌握平面內兩點間的距離公式、線段的中點公式和平移公式
(二)直線
l.理解直線的傾斜角和斜率的概念，會求直線的斜率平行垂直夾角等幾何問題
(三)多面體和旋轉體
l.了解直棱柱正棱柱的概念、性質，會計算它們的體積
2.了解棱錐、正棱錐的概念、性質，會計算它們的體積
3.了解球的概念、性質，會計算球面面積和球體體積
第四部分 概率與統計初步
(一)排列、組臺與二項式定理
1.了解分類計數原理和分步計數原理
2.理解排列、組合的意義，掌握排列數、組合數的計算公式
3.會解排列、組合的簡單應用題
4.了解二項式定理，會用二項展開式的性質和通項公式解次簡單問題
(二)概率初步
1.了解隨機事件及其概率的意義
2.了解等可能性事件的概率的意義，會用計數方法和排列組合基本公式計算一些等可能性事件的概率
3.了解互斥事件的意義，會用互斥事件的概卑加法公式計算一些事件的概率
4.了解相互獨立事件的意義，會用相互獨立事件的概率乘法公式計算～些事件的概率
5.會計算事件在n獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
6.了解離散型隨機變量及其期望的意義，會根據離散型隨機變量的分布列求出期望值
(三)統計初步
了解總體和樣本的概念，會計算樣本平均數和樣本方差
文史財經類
第一部分 代 數
(一>集合和簡易邏輯
1 .了解集臺的意義及其表示方法,了解空集、全集、子集、交集并集、補集的概念及其表示方法，了解符號?，=,∈，?的含義，并能運用這些符號表示集合與集合、元素與集合的關系
2.了解充分條件、必要條件、充分必要條件的概念
(二)函數
1.了解函數概念，會求一些常見函數的定義域
2.了解函數的單調性和奇偶性的概念，會判斷一些常見函數的單調性和奇偶性
3.理解一次性函數、反比例函數的概念，掌握它們的圖象和性質，會求它們的解析式。
4.理解二次函數的概念，掌握它的圖象和性質以及函數y=ax+bx+c(a≠0)與y=ax2 (a#0)的圖象間的關系，會求二次函數的解析式及值或最小值，能運用二次函數的知識解決有關問題
5.理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質，掌握指數函數的概念、圖象和性質。
6.理解對數的概念，掌握對數的運算性質，掌握對數函數的概念、圖象和性質
(三)不等式和不等式組
l.了解不等式的性質，會解一元-次不等式、一元一次不等式組和可化為一元一次不等式組的不等式，舍解一元二次不等式。會表示不等式或不等式組的解集
2.會解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的絕對值不等式
(四)數列
1.了解數列及其通項、前n項和的概念
2.理解等差數列、等差中項的概念，會運用等差數列的通項公式前n項和公式解決有劃題
3.理解等比數列、等比中項的概念，會運用等比數列的通項公式、前n項和公式解決有關問題
(五)導數
1.理解導數的概念及其幾何意義
2.掌握面數y=c(c為常數).y=x2“(n∈N+)的導數公式，會求多項式函數的導數
3.了解極大值、極小值、值、最小值的概念，并會用導數求多項式函數的單調區間、極大值、極小值及閉區間上的值和最小值
4.會求有關曲線的切線方程，會用導數求簡單實際問題的值與最小值
第二部分 三 角
(一)三角函數及其有關概念
1.了解任意角的概念，理解象限角和終邊相同的角的概念
2.了解弧度的概念，會進行弧度與角度的換算
3.理解任意角三角函數的概念，了解三角函數在各象限的符號和特殊角的三角函數值
(二)三角函數式的變換
l.掌握同角三角函數間的基本關系式、誘導公式，會運用它們進行計算、化簡和證明。
2.掌握兩角和兩角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，會用它們進行計算、化簡和證明
(三)三角函數的圖象和性質
1.掌握正弦函數、余弦函數的圖象和性質，會用這兩個函數的性質(定義域、值域、周期性、奇偶性和單調性)解決有關問題
2.了解正切函數的圖象和性質
3.會求函數y=Asin(ωx+θ)的周期、值和最小值，會由已知二角函數值求角，并會用符號arcsinx，arccosx，arctanx.
(四)解三角形
l.掌握直角三角形的邊角關系，會用它們解直角三角形
2.掌握正弦定理和余弦定理，會用它們解斜三角形
第三部分 平面解析幾何
(一)平面向量
1.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念
2.掌握向量的加、減運算掌握數乘向量的運算了解兩個向量共線的條件
3.了解平面向量的分解定理
4.掌握向量的數量積運算，了解其幾何意義和在處理長度、角度及垂直問題的應用 了解向最垂直的條件
5.了解向量的直角坐標的概念，掌握向量的坐標運算
6.掌握平面內兩點間的距離公式、線段的中點公式和平移公式
(二)直線
1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，會求直線的斜率。
2.會求直線方程，會用直線方程解決有關問題
3.了解兩條直線平行與垂直的條件以及點到直線的距離公式，會用它們解決簡單的問題
(三)圓錐曲線
1.了解曲線和方程的關系，會求兩條曲線的交點
2.掌握圓的標準方程和一般方程以及直線與圓的位置關系，能靈活運用它們解決有關問題
3.理解橢圓、雙曲線、拋物線的概念，掌握它們的標準方程和性質，會用它們解決有關問題
第四部分 概率與統計初步
(一)排列、組臺
l.了解分類計數原理和分步計數原理
2.了解排列、組合的意義，會用排列數、組合數的計算公式
3.會解排列、組合的簡單應用題
(二)概率初步
1.了解隨機事件及其概率的意義
2.了解等可能性事件的概率的意義，會用計數方法和排列組合基本公式計算一些等可能性事件的概率
3.了解互斥事件的意義，會用互斥事件的概率加j去公式計算一些事件的概率
4.了解相互獨立事件的意義，會用相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率
5.會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
1.通過對幾個試驗的觀察分析，經歷幾何概型的建構過程;
2.通過問題情境，總結歸納幾何概型的概念和幾何概型的概率公式;
3.會用幾何概型的概率公式對簡單概率問題進行計算，體會數形結合的數學思想;
4.能根據古典概型與幾何概型的區別判別某種概型是古典概型還是幾何概型;
5.通過大量生活實例，感受生活中處處有數學，樹立數學服務于生活的觀點.
二、教學重點
1.掌握幾何概型的基本特點;
2.會用幾何概型的概率公式對簡單概率問題進行計算.
三、教學難點
判斷一個試驗是否為幾何概型;如何將實際背景轉化為幾何度量.
四、教學方法
引導啟發式、對話式.
五、教學過程
活動一 游戲中的幾何概型
1.教師給出問題情境：甲乙兩人玩轉盤游戲（轉盤如右圖所示），規定當指針指向B區域時，甲獲勝，否則乙獲勝. 在這種情況下求甲獲勝的概率是多少？
（設計意圖：創設問題情境，旨在激起學生學習數學的熱情，調動學生主體參與學習活動的積極性，并讓學生體會身邊的幾何概率模型.）
2.學生會很快得到答案：.教師提出問題：“有什么方法可以說明概率為■？”學生分小組完成轉盤實驗，填寫《實驗數據記錄表》。
3.教師用計算機模擬轉盤實驗.
教師小結：我們發現，指針指向B區域的頻率有大于0.5的，有小于0.5的，但總是在0.5附近擺動. 實驗次數越多，頻率在概率附近的擺動幅度越小.
（設計意圖：一方面是調動學生學習的積極性，以最快的速度進入學習狀態.另一方面，讓學生再次完成大量重復隨機試驗，進一步理解概率的統計定義. 而計算機的模擬實驗也讓學生再次感受到信息技術在數學學習中的意義.）
活動二 感受情境，建構新知
問題情境1：從1984年洛杉磯奧運會開始，韓國射箭女隊就開始了在奧運舞臺上的稱霸之路. 直到2008年北京奧運會，中國箭手張娟娟成為第一個打破堅冰的“勇者”，先后戰勝韓國箭手闖入決賽，并且在決賽中以一環的優勢絕殺韓國箭手樸成賢，打破了韓國隊在這一項目上二十多年的稱霸，向世界證明了韓國女隊并非不可戰勝，堪稱最有價值的一次突破.
奧運會射箭比賽的靶面直徑是122cm，黃心直徑是12.2cm，假設箭都等可能射中靶面內任何一點，那么如何計算射中黃心的概率？
（設計意圖：通過張娟娟的成就，培養學生的愛國之情，增強民族自豪感，進行情感教育. ）
問題情境2：有一杯800ml的水，其中含有1個細菌，用一個小杯從這杯水中取出100ml，求小杯水中含有這個細菌的概率？
問題情境3：某人在7U00 ～ 8U00的任意時刻隨機到達單位，求他在7U10 ～ 7U20之間到達單位的概率.
（設計意圖：三個問題情境讓學生認識到概率與我們的生活息息相關，激發了學生的興趣. 對具體情境進行仔細分析，讓學生跨越“古典概型”，體驗試驗結果在等可能發生的前提下，從少到多，從疏到密，從有限到無限，從量變到質變，培養學生的理性精神和辯證思想. 同時，問題情境覆蓋長度、面積、體積三個層面，為后續教學做好鋪墊.）
教師提出思考問題：
問題1：上述三個問題有哪些共同特點？與之前所學的古典概型一樣嗎？
教師板書：①無限性;②等可能性.
問題2：上述三個問題中的概率，你是怎樣計算的？能不能模仿古典概型的計算公式，得到一個一般性的結論呢？
（設計意圖：明確指令，幫助學生從直觀感受上升到理性認識，為后續教學埋下伏筆.）
活動三 形成定義，對比辨析
定義：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概型.
幾何概型的概率公式：
教師提出問題：幾何概率模型和古典概率模型的區別有哪些？請同學分組討論，填寫下表.
（設計意圖：讓學生明確幾何概型和古典概型的區別與聯系，進一步理解和掌握幾何概型.）
活動四 理論遷移 學以致用
例一海豚在水池中自由游弋，水池的橫剖面為長30m，寬為20m的長方形. 求此海豚嘴角離岸邊不超過2m的概率.
教師提出以下問題，引導學生分析題意，正確選擇幾何度量.
①試驗的全部結果所構成的區域是什么？其幾何度量是什么？
②記事件A：“此海豚嘴角離岸邊不超過2m”，構成事件A的區域是什么？其幾何度量是什么？
學生很快給出答案：
（設計意圖：給出幾何概型的簡單例題，通過引導分析，幫助學生建構起解決幾何概型問題的一般方法和步驟.答題的格式和規范表述，將解題教學落到實處.）
活動五 小結歸納 布置作業
教師提問：通過這節課的學習，你有哪些收獲呢？
作業
