時間：2023-05-29 17:50:24
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇整式乘法，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
1、單項式與多項式相乘。單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。
2、多項式與多項式相乘
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
3、乘法公式(Identities)：也叫做簡乘公式，就是把一些特殊的多項式相乘的結果加以總結，直接應用。公式中的每一個字母，一般可以表示數字，單項式，多項式，有的還可以推廣到分式，根式。
（來源：文章屋網 ）
因式；教材；學情；教法
〔中圖分類號〕 G633.62
〔文獻標識碼〕 C
〔文章編號〕 1004―0463（2011）
07（A）―0075―01
一、教材分析
“分解因式”一節內容在義務教育課程標準北師大版八年級《數學》下冊第二章第一節，從內容上來看有：1.分解因式法；2.提公因式法；3.運用公式法。主要經歷從整式乘法到分解因式的恒等變形，并結合小學、中學的有關知識，運用觀察、類比等手段，使學生了解分解因式的意義和概念。通過對分解因式與整式的乘法的觀察與比較，使學生認識因式分解與整式乘法的互逆關系，從而發展學生的逆向思維能力，培養學生的分析問題能力與綜合應用能力。
二、學情分析
八年級學生已經學習了整式乘法的各種運算公式，如平方差公式、完全平方公式等，體會和感受了數式與代數式在進行乘法運算時的相似關系。因此，對于整式乘法的運算已不再陌生。在本節“分解因式”的學習中，由整式乘法尋求因式分解的方法是一種逆向思維過程，而逆向思維對于八年級學生還比較生疏，接受起來還有一定的困難。因此，教師要引導學生嘗試一種新的思維模式，進行整式乘法的逆向思維。
三、教法探討
1.體現由易到難、逐漸提升的理念。現行數學教材的特點是交叉編排，螺旋上升。即由簡單到復雜，由低層次的展開到高層次的綜合，不斷深化。關于數式的計算對于八年級學生來講比較容易理解，也能輕松掌握和運用。因此，在本課教學的第一環節我先設置了“看誰算得快”的活動，出示式子2.67×132+25×2.67+7×2.67，讓學生用簡便方法計算，從而很自然地過渡到因式分解的概念上。然后，又出示式子993-99讓學生計算。許多學生都能輕松自如地先提取公共的因式99，然后再利用平方差公式求出結果為98×99×100。此時，我提問：“這個式子能夠被哪些數整除？”巧妙地引導學生把這個式子分解成幾個數的積的形式，使學生逐漸明白解決這些問題的關鍵是把一個多項式化為積的形式。從而強化學生對因數分解的理解，并為學生類比因式分解搭一個臺階。
1.1專家對整體教學的認識
章建躍博士認為：日常教學，概念一個個地教，定理一個個地學，容易迷失在局部，見木不見林.長此以往就會導致坐井觀天、思路狹窄、思維呆板，局限于一招一式的雕蟲小技而不能自拔.把握好整體性，對內容的系統結構了如指掌，心中有一張“聯絡圖”，才能把準教學的大方向，才能使教學有的放矢.也只有這樣，才能使學生學到結構化的、聯系緊密的、遷移能力強的知識.
孫維剛老師認為：整體教學這種做法所起到的作用是“使學生發現知識之間盤根錯節，又渾然一體，而到后來，知識好像在手心里，了如指掌，不再是一堆雜亂無章的瓦礫、一片望而生畏的戈壁灘.”[1]
1.2全息教學論下的整體教學釋義
全息論的核心思想是：宇宙是一個不可分割的、各部分之間緊密關聯的整體，任何一個部分都包含整體的信息.從信息觀點看，教學過程就是教學信息的輸通過程.而教學信息就是教學系統中傳遞的信息，全息性是信息的最根本屬性.正如王存臻在《宇宙全息統一論》一書中指出的“全息”的基本含義：部分（子系統）與部分（子系統）、部分與整體（母系統）之間包含著相同的信息或部分包含著整體的全部信息.此即為全息律，用于教學系統即為教學全息律.它是基于全息理論的基礎上發展而來的，根據全息理論，我們可以將全息教學論的核心內容表達為：基于信息的多層次全方位的關聯性，在信息傳遞過程中，各種信息載體（語言、文字、圖象、實物等）所傳遞出的有限信息經過處理可以獲得最大限度的信息量.因此，在教學過程中，通過改進各種信息載體的組合及正確處理由此傳遞的信息，可以使學生最大限度地獲得知識和技能，從而提高教學質量[2].基于此，著眼整體，通覽全局，整合教材，輕負高效的“整體教學”應運而生.基本認識為：整體教學就是立足系統進行教學，即用整體觀念統領教學系統，依據課標對現行教材進行教學內容的科學整合與整體架構，形成邏輯關聯的新單元結構，用整體方法優化教學脈絡并付諸實踐，便于學生對原有的知識進行同化和順應，建構起遷移能力強的知識和方法體系，督促學生有效把握解決問題的一般套路和策略，形成和積累相應的數學活動經驗，發展思維與學力，化知為智，落實德化育人的旨歸.
1.3全息論下《整式的乘除》的整體規劃
數、式就是一對全息元，從數的角度思考式、從式的角度思考數，可以發現，數是式的具體反映，式是數的高度概括，看似相異，實則相通，一定條件下可以互相轉化，“數、式通性”的說法即是見證，基于此，本單元教學把數的運算遷移到式的運算中來，打通了數、式之間的橫隔，揭示了它們之間的內在關聯，有助于認知負荷的降低與認知能力的提高.現行人教版教材本章共18課時，若立足整體對本章教材重新規劃、適度整合，即成8課時.
第1課時：立足乘方的意義，依次探索同底數冪的乘法、除法、冪的乘方、積的乘方（這一課時直接銜接于有理數的乘方運算）；
第2課時：立足冪的運算性質、乘法對加法的分配律，依次研究單項式的乘法、單乘多、多乘多；
第3課時：立足多乘多，從一般到特殊，探索出基本公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，以此為起點，探尋出乘法公式；
第4課時：習題課，通過變式演練乘法公式；
第5課時：立足同底冪的除法運算性質及乘除互逆關系，探研單項式除以單項式、多項式除以單項式；
第6課時，利用互逆關系，研究多項式的因式分解；
第7課時：習題課，演練因式分解，體驗互逆關系；
第8課時，全章復習，形成知識的整體縮影.
2案例課題：整式的乘法（即上文中的“第2課時”）
3教學目標
3.1類比數的運算，實施先行組織，明確整式的運算類型，構建起單元知識體系，并對乘法的類型合理定位，整體感知整式乘法的基本類型，滲透分類意識；
3.2運用“轉化”的方法發現并歸納單項式的乘法法則，進而發現單項式乘以多項式、多項式乘以多項式的法則，經歷“觀察—嘗試—猜想—驗證—概括”的系列過程，鍛煉觀察、發現、歸納以及語言表達能力.
3.3在編題中領會法則的意義，能熟練運用法則進行計算，體驗化歸思想.
4教學重難點
單項式的乘法是本節的重點，多項式乘法法則的發現是其難點.
5教學實錄
5.1類比導入，再現結構
師：從小學一路走來，你們可以說久經“算”場了，請同學們一起回答我們已經認識了數的哪些運算？
生：加、減、乘、除、乘方、開方
師：說得好，加、減、乘、除、乘方我們已經比較熟悉了，開方也已經初步認識，同時我們對式已有所了解，并對整式做了探討，當時借助數的運算已經推測出整式的運算類型，回顧一下有哪些呢？
生：也有加、減、乘、除、乘方、開方.
有理數加
減
乘
除
乘方
開方整式加
減
乘
除
乘方
開方
師：我們把這種思考問題的方式叫——
生：類比
師：對，叫類比，這是發現問題、提出問題常用的方式，也是一個好的思考習慣；現已經完成了整式的加減運算，那類比數的運算，同學們覺得接下來該研究整式的什么運算？
生：整式的乘除
師：先研究乘法還是除法？
生：乘法.
師：那么，整式乘法又有哪些基本類型呢？該怎樣去運算？下面我們一起來研究.
點評這一環節的教學可圈可點，執教者通過類比數的運算建構整式的運算體系，同時讓學生從整體上感知“整式的乘法”在結構中的地位，為進一步學習整式的“運算”指明了方向，假以對比，突出關聯，這是教學全息律的一種體現，在漸次清晰“數式通性”的同時，為有序思維做好了鋪墊，是關注學生“會學”的體現.
5.2開放思維，法則探究
5.21開放引路，類型落定
問題：下面有四個整式，從中任選兩個構造乘法運算：2x，3x3y2，x3+x2y，2x2-xy2.
（1）你能寫出哪些算式？
（2）試著將你寫出的算式分類，你認為整式乘法有哪幾種基本類型？
（3）你能嘗試著運算嗎？
師：我們先解決前兩個問題
生1：（1）-2x·3x3y2；
（2）-2x·（x3+x2y）；
（3）-2x·（2x2-xy2）；
（4）3x3y2·（x3+x2y）；
（5）3x3y2·（2x2-xy2）；
（6）（x3+x2y）（2x2-xy2）
師（面向全體）：其他同學還有補充嗎？
生：沒有了.
師：那么我們就再請這位同學說明一下，你認為6個算式可分為哪幾類？
生1：可分三類：單項式乘單項式，單項式乘多項式、多項式乘多項式.
整式加
減
乘單×單
單×多
多×多
除
乘方
開方
師：以上三類式子，你認為先研究哪一類較為合適？研究的一般順序是？所遵守的原則是？
生2：先研究單項式乘以單項式，然后依次研究單項式乘多項式、多項式乘多項式，按照從簡單到復雜的原則進行.
點評本環節執教者以開放題為載體，立足整體，通過問題引路，在問與追問中，窮盡算式與類型，使得本節的主題條分縷析，然后遵循從簡單到復雜的認知序列，確定研究起點，層級推進，明確任務，搭建結構，用知識的內在聯系驅動學生的探索與發現，是值得提倡的教學舉措.
5.22拾級而上，轉化探尋
師：那就從最簡單的乘法算起：-2x·3x3y2=？誰能快速完成？
生3：-6x4y2.
師：說得好！計算正確、快捷.
師（追問）：112a2b·（-4ab3c）=？
生3：-2a3b4c.
師：通過以上兩個問題，大家認為單項式乘以單項式該如何進行？請思考后回答.
生4：先把系數相乘，再把字母相乘.
師：誰有不同認識，請補充？
生5：字母相乘還應分成兩類，一類是兩個單項式都有的字母，一類是只在一個單項式里出現的字母，都有的按同底數冪運算，只在一個里的照寫就行了.
師：說得很到位，稍微規整一下就是單項式乘以單項式的法則，誰來嘗試？
學生嘗試后成共識：單項式乘以單項式，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式中出現的字母則連同它的指數作為積的一個因式.
師：接下來我們研究——
生：單項式乘以多項式.
師：剛才構造了（2）、（3）、（4）、（5）4個這一類型的運算，現選擇（2）進行研究，該如何計算，先思考，再回答
生：嘗試進行時……
師（嘗試完成后）：前后4人小組交流自己的做法，并嘗試歸納單項式乘以多項式的方法.
生6：計算結果為-2x4-2x3y，用的是乘法的分配律a（b+c）=ab+ac，即用-2x分別與單項式x3和x2y相乘，變成了-2x·x3與-2x·x2y的和，進一步計算而得.
師：這位同學說得很好，單項式乘以多項式看似比單項式乘以單項式復雜了，但其實就是小學學過的分配律，一個轉化就成了我們熟悉的“單項式乘以單項式”.再次見證了轉化的威力！
下面試試自己的身手把剩余的三個完成，好嗎？
（3）-2x·（2x2-xy2）；（4）3x3y2·（x3+x2y）；（5）3x3y2·（2x2-xy2）
三生板演，其他同學在臺下完成.
（4）、（5）板演正確，但（3）出現問題：-2x·（2x2-xy2）=-2x·2x2-2x·xy2=-4x3-2x2y2
師：讓這位同學說說自己的想法.
生7：我用分配律把-2x分別去乘以后邊多項式的兩項2x2和xy2，得到這個結果.
師（追問）：請這位同學回顧一下多項式的概念？
生7：幾個單項式的和.
師：說得很好，就是幾個單項式的和，既然這樣，那多項式2x2-xy2的項分別是什么？
生7：哦，我知道了，是2x2和-xy2.
師：同學們認為呢？
生：說得對，但他前面的計算不是這樣認識的.
師：這個題目再次提醒我們，對概念的認識要精準，來不得絲毫的馬虎，憑感覺往往會走偏，這位同學已經意識到自己的問題并做了糾正，鼓勵一下！（全體同學掌聲鼓勵）
師：剛才我發現下面有幾個同學也是這么做的，暴露出了對概念認識的淺薄，現在大家知道該怎樣處理了嗎？
生：知道了.
師：好，那誰能用文字語言表述一下單項式乘多項式的法則？
生8：略.
師：表述清晰，同學們能表達嗎？
生：能.
師：根據自己的理解，仿照-2x·（x3+x2y），請同學們編寫2個單項式乘以多項式的計算題？完成后同位交換互答，然后互相檢查、交流.
生：編題中……
教師巡視，3分鐘后，選擇有代表性的4道題目展示：
（1）3x3（2x2y-4y3z）；（2）-2a（3b-4c）；
（3）（-6ab）·（112ab2-113a2b-6ab）；
（4）（2x-4x3-8）·（-112x2）
說明選擇以上題目的角度：單項式有帶正號、負號的；其位置的擺放有前、有后的；多項式的項數有兩項、三項等特點
4名同學板演，其他同學臺下完成，總體完成較好.
師：同學們編得不錯，解答得也很好，說明對“單乘多”的認識已由初步走向了深入.到現在還有哪一類計算沒解決？
生：多項式乘以多項式
師：那我們能否借助前面獲得的經驗，乘勝追擊，把（x3+x2y）（2x2-xy2）算出？
生：一時語塞，等待、觀望.
學生獨立思考2分鐘后，開始有舉手示意會的，但較少，筆者見狀，組織4人小組展開討論，并巡視指導……
4分鐘后，交流開始.
生9：仍用分配律，不過我把（x3+x2y）看成了一個“整體”，仿照單項式乘以多項式的方式計算的，即（x3+x2y）·2x2+（x3+x2y）·（-xy2），再重復單項式乘以多項式的方式而算出.
生10：我的計算不一樣，我看（x3+x2y）前面是正號，所以先把（x3+x2y）的括號去掉.
師（驚訝）：去括號？！那你的計算結果和生9的一樣嗎？
生10：一樣.
師：一樣！好，說下去.
生：把它分別乘以（2x2-xy2），得x3（2x2-xy2）+x2y（2x2-xy2），再用分配律展開
師（如釋重負）：哦，這樣計算的，同學們看一下，她這樣算實際上走了怎樣的一條路？
生：她是把（2x2-xy2）看做整體了，
師（面向全體）：同學們，這樣算可以嗎？
生：可以.
師：這位同學說把括號去掉是不合適的，她實際上把（2x2-xy2）視為整體，用分配律把（2x2-xy2）分別乘以x3與x2y了，顯然與生9的思路是一樣的，只是整體元素看待的差異，都很好！這種思想很值得學習！
師：不難看出，多項式乘以多項式的運算，我們可以把它變成怎樣的運算？
生：單項式乘以多項式.
師：現在我們對照剛才計算的結果，思考一下，能否直接把多項式乘以多項式過渡到單項式乘以單項式呢？
生11：能，把它們都乘一遍.
師：能具體一些嗎？
生11：用第一個多項式的第一項分別乘完第二個多項式的兩項，再用第一個多項式的第二項分別乘完第二個多項式的兩項，最后把四個積加起來.
師：說得很好，誰能再精簡一下語言，嘗試表述多項式乘以多項式的運算法則？
生12：略.
師：可見，通過剛才的法則，也可以直接把多項式乘以多項式一步到位變成單項式乘以單項式，使得運算變得更簡捷.同學們，同位交流一下，想法把法則變成自己的解題武器.
生：互相提問，氣氛熱烈……
師：至此，本節課的設定任務基本完成了，請同學們回顧一下整節課，貫穿始終的一個重要的數學思想是——
生：轉化思想
師：是的，轉化在這一節課幫了我們的大忙，同時讓我們感觸到了它的魅力！轉化可以說無處不在，當我們遭遇困惑時，不妨轉換一個視角，或許思路就豁然洞開！
點評這一環節是教學實施的核心，執教者以轉化為主脈，引動學生循著單項式乘以單項式的軌道，漸次探明單項式乘以多項式、多項式乘以多項式的運算法則，其中多乘多是個難點，學生至此有了阻力，執教者思路一轉，組織學生通過獨立思考——小組合作——集體交流的多維方式，幫助學生撥開云霧，把難點突破，可貴的是，執教者面對難點，沒有刻意地化難為易，降低門檻，而是把它組織成了質疑——析疑——解疑——釋疑的探尋過程，磨練了學生的探索力，提升了學生的思維力.
5.3照應課始，點石成金
師：同學們一節課自編自解，完成得不錯，通過近幾節的學習，我們反觀已經建立起的運算體系，已經完成了哪些部分？
（通過學生的問答，把新研究納入知識的整體框架中.）框圖局部修改為：
整式加√
減√
乘單×單√
單×多√
多×多√
除
乘方
開方
師：從框架中可以看出，下一步將研究什么？
生：理應是除法運算了，
師：乘法完成后，自然想到了除法，但現在的問題是一般的整式乘法已經學完，在一般之下，我們常常還要研究一般中的——
生：特殊.
師：說得好！研究問題常常遵循著這樣一個套路：從特殊到一般，或從一般到特殊，明天我們將展開對多項式乘法特殊結構的探索.
點評本小結打破了“談收獲”的慣習，而是全局立意，照應課始，把所學納入系統，使學生在局部完善的驅動下，展開微探索，同時以問答的方式，引發學生的思考，微調乘法之下為除法的慣性認識，揭示出一般之下往往研究其特殊關系的基本套路，為下一節課明確了任務，使得本節的終點成為新的起點，這種前后貫通的做法，值得借鑒，同時，這種具體化行為彰顯出執教者全息教學論下的整體觀.
6反思與自評
合理規劃，整體推進，其實映照出的就是對教學簡約的追求，削枝強干，凝結體系，抓好起點，開掘數學的內部力量，不斷讓知識在系統內生長、壯大，從而成為脈絡清晰的知識地圖、邏輯框架，便于學生的記憶、存儲、提取，如此設置，知識的出現自然、順暢，有水到渠成之感，新舊知識的對接渾然天成，認知結構在生長中不斷完善，能有效降低學生的認知負荷，以贏得學習的效率.
7總評
這一堂課，是濱州市2013年初中數學研討會觀摩課改進后的實踐課例，執教者用剛入學一個月的初一學生，一節課學習了三課時的內容，其容量之大，難度之高，不必多言，堪稱大膽.從整堂課可見，看點不斷、精彩連連，效果不錯.對于本節，一般習慣于探出單項式乘以單項式法則后，學例題、強反饋、固新知，反復演練，而本節待單乘單完成后，并沒有止步于此，而是以此為起點，積極前進，去攻克新的堡壘——單項式乘以多項式，然后借助已有的分配律的基本經驗，瞬時打開局面，探出運算法則，至此，通過自編自解，進一步深化單乘多、單乘單，在這個過程中去領會轉化思想.稍事調整后，乘勝追擊，突破最后一道屏障——多項式乘以多項式，這一法則“難纏”，可謂讓學生遭遇“劫難”，但功夫不負有心人，通過個別引領、小組交流，接近一半的小組有了想法，一個小組的整體看待，破解了疑點，另一個學生不規范的表述，深化了認識，這種轉化具有較高的思維含量，小組的作用發揮得淋漓酣暢，在磕磕絆絆中把它拿下，有效地實現了難點的突破.
通覽整節課，充分流露出一條內在的邏輯線索，層層遞進，循環鞏固，清澈的課堂上，寫著簡約、凝著大氣，思想方法潺潺流淌，數學的本色充分展露，不失一節有創意的課，彰顯出執教者的膽識與智慧.
參考文獻
現實生活中，我們經常會遇到“似曾相識”的情境，如果把“似曾相識”的東西作比較，再加以聯想總結，可能會獲得許多意想不到的收獲. 這種“把類似問題進行比較、聯想，由一個數學對象已知的性質遷移到另一個數學對象上去，從而獲得另一個數學對象的性質”的思維方法就是類比. 我們現在學習的“二次根式”，可與整式的相關知識進行類比. 我們通過下面幾例的分析，來共同感受“類比思想”的應用.
一、 “同類二次根式”與“同類項”
【解析】（1）（2）組中的二次根式被開方數相同，稱為同類二次根式；而第（3）組中二次根式，經過化簡后被開方數也相同，所以也是同類二次根式.
【感悟】七年級時確定同類項的方法：一看字母要相同，二看相同字母的指數分別相同，三不看系數. 現在判斷同類二次根式的方法：一化為最簡，二看被開方數，三不看根號外的系數.
二、 “合并同類二次根式”與“合并同類項”
【感悟】整式的加減的實質就是合并同類項，而二次根式加減的實質就是合并同類二次根式；利用類比的思想可歸納二次根式加減的步驟：一化簡，二尋找，三合并.
三、 “二次根式的乘除運算”與“整式的乘除運算”
【解析】二次根式的乘除運算中，出現了類似多項式乘以單項式、多項式除以單項式，多項式乘以多項式的運算，因此整式的乘法法則和乘法公式仍然適用. 同學們自己嘗試計算.
【感悟】整式的乘除法法則類似地應用于二次根式的乘除法運算，所不同的是二次根式運算的結果不僅要不含同類二次根式，還要化為最簡. 利用乘法公式可以使二次根式運算簡單便捷.
我們“結識新朋友，不忘老朋友”，要展開聯想的翅膀，將新舊知識聯系歸類，積累數學經驗，提升學習能力. “類比思想”方法是解決陌生問題的一種常用策略，它讓我們充分開拓思路，運用已有知識、經驗，將陌生的、不熟悉的問題與已有知識和經驗類比，從而創造性地解決問題. 通過“類比”，可以使一些復雜問題簡單化；有了“類比”，我們的思維將更加開闊，今后我們還期待著會用“類比”來解決其他復雜的新問題.
二、重點、難點分析
本節的重點是：單項式乘法法則的導出.這是因為單項式乘法法則的導出是對學生已有的數學知識的綜合運用，滲透了“將未知轉化為已知”的數學思想，蘊含著“從特殊到一般”的認識規律，是培養學生思維能力的重要內容之一.
本節的難點是：多種運算法則的綜合運用.是因為單項式的乘法最終將轉化為有理數乘法、同底數冪相乘、冪的乘方、積的乘方等運算，對于初學者來說，由于難于正確辯論和區別各種不同的運算以及運算所使用的法則，易于將各種法則混淆，造成運算結果的錯誤.
三、教法建議
本節課在教學過程中的不同階段可以采用了不同的教學方法，以適應教學的需要.
(1)在新課學習階段的單項式的乘法法則的推導過程中，可采用引導發現法.通過教師精心設計的問題鏈，引導學生將需要解決的問題轉化成用已經學過的知識可以解決的問題，充分體現了教師的主導作用和學生的主體作用，學生始終處在觀察思考之中.
(2)在新課學習的例題講解階段，可采用講練結合法.對于例題的學習，應圍繞問題進行，教師引導學生通過觀察、思考，尋求解決問題的方法，在解題的過程中展開思維.與此同時還進行多次有較強針對性的練習，分散難點.對學生分層進行訓練，化解難點.并注意及時矯正，使學生在前面出現的錯誤，不致于影響后面的學習，為后而后學習掃清障礙.通過例題的講解，教師給出了解題規范，并注意對學生良好學習習慣的培養.
(3)本節課可以師生共同小結，旨在訓練學生歸納的方法，并形成相應的知識系統，進一步防范學生在運算中容易出現的錯誤.
教學設計示例
一、教學目的
1.使學生理解并掌握單項式的乘法法則，能夠熟練地進行單項式的乘法計算.
2.注意培養學生歸納、概括能力，以及運算能力.
3.通過單項式的乘法法則在生活中的應用培養學生的應用意識.
二、重點、難點
重點：掌握單項式與單項式相乘的法則.
難點：分清單項式與單項式相乘中，冪的運算法則.
三、教學過程
復習提問：
什么是單項式?什么叫單項式的系數?什么叫單項式的次數?
引言我們已經學習了冪的運算性質，在這個基礎上我們可以學習整式的乘法運算.先來學最簡單的整式乘法，即單項式之間的乘法運算(給出標題).
新課看下面的例子：計算
(1)2x2y·3xy2;(2)4a2x2·(-3a3bx).
同學們按以下提問，回答問題：
(1)2x2y·3xy2
①每個單項式是由幾個因式構成的，這些因式都是什么?
2x2y·3xy2=(2·x2·y)·(3·x·y2)
②根據乘法結合律重新組合
2x2y·3xy2=2·x2·y·3·x·y2
③根據乘法交換律變更因式的位置
2x2y·3xy2=2·3·x2·x·y·y2
④根據乘法結合律重新組合
2x2y·3xy2=(2·3)·(x2·x)·(y·y2)
⑤根據有理數乘法和同底數冪的乘法法則得出結論
2x2y·3xy2=6x3y3
按以上的分析，寫出(2)的計算步驟：
(2)4a2x2·(-3a3bx)
=4a2x2·(-3)a3bx
=[4·(-3)]·(a2·a3)·(x2·x)·b
=(-12)·a5·x3·b
=-12a5bx3.
通過以上兩題，讓學生總結回答，歸納出單項式乘單項式的運算步驟是：
①系數相乘為積的系數;
②相同字母因式，利用同底數冪的乘法相乘，作為積的因式;
③只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數也作為積的一個因式;
④單項式與單項式相乘，積仍是一個單項式;
⑤單項式乘法法則，對于三個以上的單項式相乘也適用.
看教材，讓學生仔細閱讀單項式與單項式相乘的法則，邊讀邊體會邊記憶.
利用法則計算以下各題.
例1計算以下各題：
(1)4n2·5n3;
(2)(-5a2b3)·(-3a);
(3)(-5an+1b)·(-2a);
(4)(4×105)·(5×106)·(3×104).
解：(1)4n2·5n3
=(4·5)·(n2·n3)
=20n5;
(2)(-5a2b3)·(-3a)
=[(-5)·(-3)]·(a2·a)·b3
=15a3b3;
(3)(-5an+1b)·(-2a)
=[(-5)·(-2)]·(an+1·a)b
=10an+2b;
(4)(4·105)·(5·106)·(3·104)
=(4·5·3)·(105·106·104)
=60·1015
=6·1016.
例2計算以下各題(讓學生回答)：
(3)(-5amb)·(-2b2);
(4)(-3ab)(-a2c)·6ab2.
=3x3y3;
(3)(-5amb)·(-2b2);
=[(-5)·(-2)]·am·(b·b2)
=10amb3
(4)(-3ab)·(-a2c)·6ab2
=[(-3)·(-1)·6]·(aa2a)·(bb2)·c
如果一個多項式的各項都含有公因式，就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，由于分解因式與整式乘法有著互逆的關系，把乘法公式反過來就可以用來把某些多項式分解因式。
把一個多項式在一個范圍(如實數范圍內分解，即所有項均為實數)化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。因式分解是中學數學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，在數學求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應用，是解決許多數學問題的有力工具。
（來源：文章屋網 ）
一、單項式
1、單項式的系數：單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數，如：2a中的數字因數2就是它的系數。
注意：
1單項式的系數包括其前面的符號，如單項式-25X的系數是-25，而不是25。
2當系數是1或-1時，1常省略不寫，但符號是負號時不能省略。如1×a=a，-1a=-a，它們的系數分別是1和-1。
3π是一個常數，而不是字母，如2π 的系數是2π，而不是2。
4特別注意判斷分數形式的單項式的系數，如 也可寫成 ，其系數是 ，而不是-3。
5單項式系數是帶分數時，要寫成假分數，如
。
2、單項式的次數
單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數。
如： 的次數是1+1=2， 次數是6。
二、多項式的項
多項式中，每個單項式叫做這個多項式的項，其中，不含字母的項叫常數項。注意：多項式的項包括其前面的符號。
如：中， 中， ， ，-2是它的項，
-2是常數項。
三、同類項
1、定義：所含字母相同，相同字母的指數也相同的項叫同類項。
含相同字母
2、判斷同類項的兩個標準
相同字母指數相同
如： 與 是同類項。
注意：
1同類項與各項系數無關，如： 與 是同類項。
2同類項與字母順序無關，如： 與 是同類項。
3所有的常數項是同類項。如：2和π是同類項。
四、合并同類項
1、把多項式中的同類項合并成一項，叫合并同類項。
2、合并同類項的理論依據：乘法分配律的逆運用。
如 ，反過來
，
3方法：把同類項的系數相加作為新的系數，而相同字母及字母指數不變。如：
五、去括號法則：
1、如果括號外的因數是正數，去括號后原來括號內各項的符號不變。如
2、如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項符號改變。如：
3、去括號時，要注意乘法分配律的應用，括號內的每一項都要乘以括號前的因數。
六、整式加減的運算法則
一般，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。
七、例題講解。
例：已知 ，求
的值。
解：
且
=
=
當 ， 時
原式=
注：對于一個形式復雜的式子，先化簡，然后再代入求值可以簡化計算。
預習策略
【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A
【文章編號】0450-9889（2015）07A-
0108-01
在當前的“自主、合作、探究”的學習模式下，“預習”這一環節在不知不覺中被教師和學生所遺忘。很多學生課前不預習，教師也不重視，課堂上教師講得頭頭是道，學生卻不知所云。主要原因是大部分學生對預習沒有主動性，沒有正確的預習方法，只是把預習當成一種任務來做。但隨著自主探究教學模式廣泛應用，課前預習的重要性已不容置疑。
一、課前預習的意義背景
數學具有自身的邏輯嚴密性，知識的系統性、抽象性、邏輯性、科學性都比較強，數學知識必須先經過學生的自主探究，再經過周密細致的思考，與已掌握的相關知識緊密聯系，同化到已有的知識結構中去，才能更好地掌握新的知識，形成數學能力。離開了學生的自學、思考，教師傳授的知識就是死板的、零星的，不能為學生傳道解惑，達不到相應的教學目的。因此，指導學生進行課前預習是非常有必要的。
二、課前預習的地位價值
本校是一個縣級民族中學，農村孩子占80%以上，學生學習能力水平參差不齊。調查結果顯示，經常預習的學生的數學平均成績要高于不預習的學生的成績，而且差異是顯著的。經過多年的教學實踐，筆者認為課前預習的學生有三大收獲：①可以了解下一節數學課要學習的內容。②運用已有知識獨自解決一些問題，鞏固舊知。③通過長期的預習有利于提高學生的自主學習能力、閱讀能力和培養學生良好的學習習慣。綜上所述，課前預習是提高學生數學知識效率的保證。
三、課前預習的方法運用
從調查結果看，造成學生在預習中存在的問題有主觀因素，也有客觀因素，不同年齡階段的學生有不同程度的學習問題，只有找出原因，才能更好地解決問題。
（一）致力于培養學生的預習習慣
從調查統計來看，對“你覺得有預習的必要嗎”的問題絕大多數學生的回答是肯定的。但是，因為沒有養成良好的預習習慣，沒有一定的預習經驗，導致學生的預習是時有時無，根本達不到預習的要求。這時需要教師給學生提供一些預習方向，可以印發一些預習學案，根據學習內容設計一些聯系新舊知識的解答題。比如學習分式的基本性質，可以類比分數的基本性質提出有關問題，并于課前分發給學生，為學生提供了獨立思考的條件，逐步培養學生發現問題、分析問題和解決問題的能力，進一步養成良好的預習習慣。
（二）注重有效預習方法的指導
預習不只是圈一圈、讀一讀、畫一畫定理、法則和公式，同學之間相互合作探究數學規律也是很重要的，只有親歷知識的形成過程，才能真正發現并掌握數學規律，總結出重要的性質定理。筆者認為，在瀏覽整節內容后，學生還要具體做到以下兩點：①找出主要知識點，熟記概念、公式、法則、公理和定理等教材中的藍體字。比如在預習《整式乘法》中的平方差公式時，筆者舉出幾道具有平方差特征的例子，讓學生運用多項式乘以多項式的法則來計算，然后引導學生觀察算式和計算結果的特征，總結出具有這種特征的式子的運算規律，并用自己的語言表達出來。學生親自體驗和經歷了知識的形成過程，加深了對公式和法則的理解，增強了學習的信心。②教材中的問題、例題、思考、探究等也要求學生類比舊知動手算一算，經歷一番思維訓練，才能發現問題，才會有目的地聽課，提高整體聽課的效率。比如在分式方程的學案中，筆者先舉出一個含有分數系數的一元一次方程讓學生復習其解法和步驟，然后進行變式把分數的分母添上未知數得出一道分式方程，引導學生參照一元一次方程的解法互相探索討論，歸納分式方程的解法。
四、課前預習取得的效果
有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式，而預習正是數學活動的開始，做好預習就是給學生的數學學習活動起了個好的開頭。①對沒有掌握好的舊知及時補缺；②掌握新知重難點，提高聽課效率；③提高自主學習能力。例如，在預習《因式分解》時，學生首先復習整式的乘法概念，結合例子容易觀察出是把幾個整式的乘積化為一個多項式的形式，也就是積化和差的形式，把這樣的形式反過來，就是和差化積，這樣的形式就是因式分解。學生很自然地理解了因式分解的概念，也容易得出因式分解與整式乘法是互逆的過程，明白了因式分解的結果也可以用整式的乘法來檢驗，有了這樣的認知基礎，學生就會積極主動地參與因式分解的學習。
二、重點、難點分析
本節教學的重點是冪的乘方與積的乘方法則的理解與掌握，難點是法則的靈活運用.
1.冪的乘方
冪的乘方，底數不變，指數相乘，即
(都是正整數)
冪的乘方
的推導是根據乘方的意義和同底數冪的乘法性質.
冪的乘方不能和同底數冪的乘法相混淆，例如不能把的結果錯誤地寫成，也不能把的計算結果寫成.
冪的乘方是變乘方為(底數不變，指數相乘的)乘法，如;而同底數冪的乘法是變(同底數的冪)乘為(冪指數)加，如.
2.積和乘方
積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.即
(為正整數).
三個或三個以上的積的乘方，也具有這一性質.例如：
3.不要把冪的乘方性質與同底數冪的乘法性質混淆.冪的乘方運算，是轉化為指數的乘法運算(底數不變);同底數冪的乘法，是轉化為指數的加法運算(底數不變).
4.同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方的三個運算性質是整式乘法的基礎，也是整式乘法的主要依據.對三個性質的數學表達式和語言表述，不僅要記住，更重要的是理解.在這三個冪的運算中，要防止符號錯誤：例如，;還要防止運算性質發生混淆：等等.
三、教法建議
1.冪的乘方導出的根據是乘方的意義和同底數冪的乘法性質.教學時，也要注意導出這一性質的過程.可先以具體指數為例，明確幕的乘方的意義，導出性質，如
對于從指數連加得到指數相乘，要根據學生情況多作一些說明.以為例，再一次說明
可以寫成.這一點是導出冪的乘方性質的關鍵，務必使學生真正理解.在此基礎上再導出性質.
2.使學生要嚴格區分同底數冪乘法性質與冪的乘方性質的不同，不能混淆.具體講解可從下面兩點來說明：
(1)牢記不同的運算要使用不同的性質，運算的意義決定了運算的性質.
(2)記清冪的運算與指數運算的關系：
(同底)冪相乘指數相加(“乘”變“加”，降一級運算);
冪乘方指數相乘(“乘方”變“乘法”，降一級運算).
了解到有關冪的兩個重要性質都有“使原運算僅降一級運算”的規律，可使自己更好掌握有關性質.
3.在教學的各個環節中，注意啟發學生，不僅掌握法則，還要明確為什么.三種運算法則全講完之后，學生最易產生法則間的混淆，為了解決這個問題除叫學生熟記法則之外，在學生回答問題和寫作業時，注意解題步驟，或及時發現問題，說明出現問題的原因;要注意防止兩個錯誤：
(1)(-2xy)4=-24x4y4.
(2)(x+y)3=x3+y3.
冪的乘方與積的乘方(一)
一、教學目標
1.理解冪的乘方性質并能應用它進行有關計算.
2.通過推導性質培養學生的抽象思維能力.
3.通過運用性質，培養學生綜合運用知識的能力.
4.培養學生嚴謹的學習態度以及勇于創新的精神.
5.滲透數學公式的結構美、和諧美.
二、學法引導
1.教學方法：引導發現法、嘗試指導法.
2.學生學法：關鍵是準確理解冪的乘方公式的意義，只有準確地判別出其適用的條件，才可以較容易地應用公式解題.
三、重點·難點及解決辦法
(-)重點
準確掌握冪的乘方法則及其應用.
(二)難點
同底數冪的乘法和冪的乘方的綜合應用.
(三)解決辦法
在解題的過程中，運用對比的方法讓學生感受、理解公式的聯系與區別.
四、課時安排
一課時.
五、教具學具準備
投影儀、膠片.
六、師生互動活動設計
1.復習同底數冪乘法法則并進行、的計算，從而引入新課，在探究規律的過程中，得出冪的乘方公式，并加以充分的理解.
2.教師舉例進行示范，師生共練以熟悉冪的乘方性質.
3.設計錯例辨析和練習，通過不同的題型，從不同的角度加深對公式的理解.
七、教學步驟
(-)明確目標
本節課重點是掌握冪的乘方運算性質并能進行較靈活的應用
(二)整體感知
冪的乘方法則的應用關鍵是判斷準其適用的條件和形式.
(三)教學過程
1.復習引入
(1)敘述同底數冪乘法法則并用字母表示.
(2)計算：①②
2.探索新知，講授新課
(1)引入新課：計算和和
提問學生式子、的意義，啟發學生把冪的乘方轉化為同底數暴的乘法.計算過程按課本，并注明每步計算的根據.
觀察題目和結論：
推測冪的乘方的一般結論：
(2)冪的乘方法則
語言敘述：冪的乘方，底數不變，指數相乘.
字母表示：.(，都是正整數)
推導過程按課本，讓學生說出每一步變形的根據.
(3)范例講解
例1計算：
①②
③④
解：①
②
③
④
例2計算：
①
②
解：①原式
②原式
練習：①P971，2
②錯例辨析：下列各式的計算中，正確的是()
A.B.
C.D.
(四)總結、擴展
同底數冪的乘法與冪的乘方性質比較：
1．數感主要是指關于數與數量表示、數量大小比較、數量和運算結果的估計等方面的直觀感覺。建立“數感”有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情景中的數量關系。
數感可以理解為能夠進行“數學地思考”．數學教學中發展學生的數感主要是指，培養學生具有應用數字表示現實中的數量關系的能力；在不同情況下能夠選用適當的方法進行心算、筆算、機算或估算的能力；對所得數據進行檢驗，分析其現實意義和精確性的能力。
通過實際背景理解數的意義，是發展學生數感的有效手段．如學生理解－2可以表示后退兩步， ■可以表示邊長為1的正方形的對角線長等，有助于在學生頭腦中確立有理數、實數等數的概念。能將這些數的概念與它們所表示的實際含義準確聯系起來，就是學生的數感得到了發展的體現。
對數的大小及運算結果的估計，都與學生的數感有密切的聯系。如用平方夾逼法來計算■ 的大小，用有理數估計2－■的范圍等，有助于學生對無理數的理解。指導學生每做完一道題目，先估計一下數值，然后與實際計算所得的答案比較，能夠使學生及時覺察出錯誤并加以更正。這樣的良好估算習慣的形成過程也是學生的數感得到發展的過程。
2．符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行一般性的運算和推理。建立“符號意識”有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式。
數學課程的一個任務就是使學生感受和擁有使用符號的能力。然而數學教學中，理解“符號運算”似乎是一個極大的難關。例如，在解決“每千克蘋果的價格為6元，用代數式表示n千克蘋果的總價。”這一問題時，有的學生總希望n是一個具體的數值，而不是一個大小不確定的字母．換言之，樹立用字母表示數的意識，是學生建立符號意識的必由之路。
事實上，學生已有的生活經驗中潛藏著“符號意識”，這是發展學生的“符號意識”的重要基礎。比如，當他們看到店門前精致的“M”時，立刻就可想到麥當勞．這種生活中的符號意識對數學中的符號意識的形成起著積極的促進作用。如遇到“每千克蘋果的價格為6元，用代數式表示n千克蘋果的總價”這一問題時，可以先給出一些具體的數值進行計算，然后用6×來表示每個運算的結果，學生一般易于接受這一表示形式．此時再將換作n，突出這里的n的符號作用，從而使學生理解，原來這些符號只是在自己頭腦中挖掘出來的．教師引導學生經歷這樣的探索、體驗的過程，有利于學生的符號意識的形成。
教師要盡可能在實際問題情境中幫助學生理解符號以及表達式、關系式的意義，在解決實際問題中發展學生的符號意識。例如對于公式a2－b2=(a+b)(a－b)，可以通過圖形的剪拼幫助學生理解其實際意義，加深學生對公式的理解．重要的不是結果的正誤，而是在解決問題的過程中是否進行了正確運用了符號意識進行思考。
3．運算是“數與代數”的重要內容，運算是基于法則進行的，通常運算滿足一定的運算律。學習這些內容有助于理解運算律，培養運算能力。
初中數學課程標準淡化了推理證明，隨之而來的就是對運算能力的要求相對突出。
數與式的運算是中學階段所有運算最基礎的內容．方程(組)、不等式、函數等運算都是建立在數與式的運算基礎之上．這部分運算包括有理數及實數的運算、整式及分式的運算、整式乘法的逆運算――因式分解等。
數學教育理論認為數學概念教學應該注重概念產生的背景、提出（引入）過程等環
節[1];數學概念學習APOS理論模型認為學生學習數學概念進行心理建構的第一階段就是操作或活動階段[2]，即在一定背景下引入概念;在教科書的演變過程中，因式分解內容也從講解式發展到啟發式，尤其注重從實際的例子引入，以便學生理解[3]。不難看到，概念的背景和引入是概念教學非常重要的起步。至此，筆者將因式分解概念的背景介紹和引入作為備課的重點之一，讓學生通過這節課體會因式分解概念學習的必要性和重要性。
一、基于概念背景的因式分解教學設計
為更好地引入因式分解這一概念的背景，筆者進行了如下的教學設計片段：
二、基于概念背景的因式分解思考
筆者將課程的引入設計為以上三重思考，通過一些例子來滲透因式分解這一概念的必要性和重要性，讓學生在一個大的背景下學習因式分解概念。
1. 因式分解與學科內容的邏輯關系
因式分解是對整式的一種變形，是把一個多項式轉化成幾個整式乘積的形式，它與整式乘法是互逆變形的關系。因式分解是后續學習分式、二次根式、一元二次方程、二次函數等知識的基礎，是解決整式恒等變形和簡便運算問題的重要工具。因此，“思考1”的設計是想讓學生體會到因式分解和后續學習的密切關系。筆者選擇從分式化簡的角度來引導學生思考，學生通過和很容易想到了要想化簡，只需要將分子 寫成乘積的形式。
2. 因式分解與實際應用
“思考2”展示了長方形草坪和長方體紙盒的設計問題：當長方形草坪的面積一定時，如何設計它的長和寬，當長方體包裝盒的體積一定時，如何設計它的長、寬、高。盡管這樣的設計不唯一，但學生通過12=4×3和ab=a b也容易想到將a2-b2寫成兩個式子乘積的形式，將a3+2a2b+ab2寫成三個式子乘積的形式，這樣的問題讓學生切實感受到生活中的一些實際問題也需要用到“將某個式子寫成乘積的形式”，同時讓學生感受因式分解有其幾何背景。
3. 因式分解與思維訓練
在評課活動中，老師們曾提到，“思考1”和“思考2”的設計是在他們意料之中的，但“思考3”的設計在他們意料之外。有老師問到，這樣的問題學生在學完本課之后能解決嗎？筆者認為“思考3”的設計目的并不是讓學生一定會對n4+4進行因式分解，而是想讓學生感受因式分解在數學史中的地位和作用，同時用這樣一個數學史的問題引起學生的興趣和思考，帶著這個問題學完本章，在章節結束時順其自然地解決這個問題。在實際授課過程中，筆者感受到學生對“思考1”和“思考2”的回答很流暢，而對“思考3”的回答就沒那么順暢了。筆者提示學生從具體的數入手計算，學生們行動起來，并把得到的數進行質因數分解，說明它是合數，也由此想到了是否能把n4+4也寫成一些式子乘積的形式。
三、小結
至此，學生已經對“把某個式子寫成乘積形式”這一變形的印象非常深刻了，此時提出因式分解的概念便水到渠成。后續教學過程就是圍繞因式分解與整式乘法是互逆變形的關系歸納概括因式分解的概念，然后辨析概念，最后講解了一種因式分解的基本方法―提公因式法。在本課的最后，筆者又回到了課程起始的三個思考，學生恍然大悟，要解決這三個問題，其實就是對a2-b2、a3+2a2b+ab2和n4+4進行因式分解。
整堂課下來，學生給筆者的感覺是他們多多少少體會到了學習因式分解概念的必要性，概念的產生也沒有那么突兀。這使筆者感到這樣的思考和備課是很有意義的。回顧已有學者、研究者對數學概念教學的研究，我們看到，概念的背景和引入雖然只是概念教學的一部分，但它卻是概念教學非常重要的起步。在數學教科書的演變過程中，我們洞察到因式分解概念教學越來越注重從實際例子引入，從大的背景出發，啟發學生思考，使概念在課堂中的產生順理成章。
概念的背景也許并不止這些，但只要教師在教學時或多或少地設計一些有關概念背景的教學并持之以恒，就能對學生的學習和教師的成長大有裨益。
參考文獻：
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關于任何事物的知識都有五個層次或者要素：事物的名稱、定義、形象，有關事物的智識或者知識，以及事物本身，下面給大家分享一些關于八年級上冊數學復習提綱2020，希望對大家有所幫助。
八年級上冊數學復習提綱1分式及基本性質
一、分式的概念
1、分式的定義：如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2、對于分式概念的理解，應把握以下幾點：
(1)分式是兩個整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分數線起除號和括號的作用;(2)分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式;(3)分母不能為零。
3、分式有意義、無意義的條件
(1)分式有意義的條件：分式的分母不等于0;
(2)分式無意義的條件：分式的分母等于0。
4、分式的值為0的條件：
當分式的分子等于0，而分母不等于0時，分式的值為0。即，使=0的條件是：A=0，B≠0。
5、有理式
整式和分式統稱為有理式。整式分為單項式和多項式。
分類：有理式
單項式：由數與字母的乘積組成的代數式;
多項式：由幾個單項式的和組成的代數式。
二、分式的基本性質
1、分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變。
用式子表示為：==，其中M(M≠0)為整式。
2、通分：利用分式的基本性質，使分子和分母都乘以適當的整式，不改變分式的值，把幾個異分母分式化成同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分。
通分的關鍵是：確定幾個分式的最簡公分母。確定最簡公分母的一般方法是：(1)如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數的最小公倍數、相同字母的次冪、所有不同字母及指數的積。(2)如果各分母中有多項式，就先把分母是多項式的分解因式，再參照單項式求最簡公分母的方法，從系數、相同因式、不同因式三個方面去確定。
3、約分：根據分式的基本性質，約去分式的分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分。
在約分時要注意：(1)如果分子、分母都是單項式，那么可直接約去分子、分母的公因式，即約去分子、分母系數的公約數，相同字母的最低次冪;(2)如果分子、分母中至少有一個多項式就應先分解因式，然后找出它們的公因式再約分;(3)約分一定要把公因式約完。
三、分式的符號法則：
(1)==-;(2)=;(3)-=
分式的運算
一、分式的乘除法
1、法則：
(1)乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。(意思就是，分式相乘，分子與分子相乘，分母與分母相乘)。
用式子表示：
(2)除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，再與被除式相乘。
用式子表示：
2、應用法則時要注意：(1)分式中的符號法則與有理數乘除法中的符號法則相同，即“同號得正，異號得負，多個負號出現看個數，奇負偶正”;
(2)當分子分母是多項式時，應先進行因式分解，以便約分;(3)分式乘除法的結果要化簡到最簡的形式。
二、分式的乘方
1、法則：根據乘方的意義和分式乘法法則，分式的乘方就是把將分子、分母分別乘方，然后再相除。
用式子表示：(其中n為正整數，a≠0)
2、注意事項：(1)乘方時，一定要把分式加上括號;
(2)在一個算式中同時含有乘方、乘法、除法時，應先算乘方，再算乘除，有多項式時應先因式分解，再約分;(3)最后結果要化到最簡。
三、分式的加減法
(一)同分母分式的加減法
1、法則：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。
用式子表示：
2、注意事項：(1)“分子相加減”是所有的“分子的整體”相加減，各個分子都應有括號;
當分子是單項式時括號可以省略，但分母是多項式時，括號不能省略;(2)分式加減運算的結果必須化成最簡分式或整式。
(二)異分母分式的加減法
1、法則：異分母分式相加減，先通分，轉化為同分母分式后，再加減。
用式子表示：。
2、注意事項：(1)在異分母分式加減法中，要先通分，這是關鍵，把異分母分式的加減法變成同分母分式的加減法。
(2)若分式加減運算中含有整式，應視其分母為1，然后進行通分。(3)當分子的次數高于或等于分母的次數時，應將其分離為整式與真分式之和的形式參與運算，可使運算簡便。
四、分式的混合運算
1、運算規則：分式的加、減、乘、除、乘方混合運算，先乘方，再乘除，最后算加減。
遇到括號時，要先算括號里面的。
2、注意事項：(1)分式的混合運算關鍵是弄清運算順序;
(2)有理數的運算順序和運算規律對分式運算同樣適用，要靈活運用交換律、結合律和分配律;(3)分式運算結果必須化到最簡，能約分的要約分，保證運算結果是最簡分式或整式。
可化為一元一次方程的分式方程
一、分式方程基本概念
1、定義：方程中含有分式，并且分母中含有未知數的方程叫做分式方程。
2、理解分式方程要明確兩點：(1)方程中含有分式;
(2)分式的分母含有未知數。
分式方程與整式方程區別就在于分母中是否含有未知數。
二、分式方程的解法
1、解分式方程的基本思想：化分式方程為整式方程。
途徑：“去分母”。
方法是：方程兩邊都乘以各分式的最簡公分母，約去分母，化為整式方程求解。
2、解分式方程的一般步驟：
(1)去分母。即在方程兩邊都乘以各分式的最簡公分母，約去分母，把原分式方程化為整式方程;
(2)解這個整式方程;
(3)驗根。驗根方法：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不等于0的根是原分式方程的根，使最簡公分母為0的根是原分式方程的增根，必須舍去。這種驗根方法不能檢查解方程過程中出現的計算錯誤，還可以采用另一種驗根方法，即把求得的未知數的值代入原方程進行檢驗，這種方法可以發現解方程過程中有無計算錯誤。
3、分式方程的增根。
意義是：把分式方程化為整式方程后，解出的整式方程的根有時只是這個整式的方程的根而不是原分式方程的根，這種根就是增根，因此，解分式方程必須驗根。
三、分式方程的應用
1、意義：分式方程的應用就是列分式方程解應用題，它和列一元一次方程解應用題的方法、步驟、解題思路基本相同，不同的是，因為有了分式概念，所列代數式的關系不再受整式的限制，列出的方程含有分式，且分母含有未知數，解出方程的解后還要進行檢驗。
2、列分式方程解應用題的一般步驟如下：
(1)審題。理解題意，弄清已知條件和未知量;
(2)設未知數。合理的設未知數表示某一個未知量，有直接設法和間接設法兩種;
(3)找出題目中的等量關系，寫出等式;
(4)用含已知量和未知數的代數式來表示等式兩邊的語句，列出方程;
(5)解方程。求出未知數的值;
(6)檢驗。不僅要檢驗所求未知數的值是否為原方程的根，還要檢驗未知數的值是否符合題目的實際意。“雙重驗根”。
零指數冪與負整數指數冪
一、零指數冪
1、定義：任何不等于零的實數的零次冪都等于1，即a0=1(a≠0)。
2、特別注意：零的零次冪無意義。
即00無意義。若問當x=_____時，(x-2)0有意義。答案是：x≠2。
(2)按照定義分為：
二、負整數指數冪
1、定義：任何不等于的數的-n(n為正整數)次冪，都等于這個數的n次冪的倒數，
即a-n=(a≠0，n為正整數)
2、注意事項：
(1)負整數指數冪成立的條件是底數不為0;
(2)正整數指數冪的所有運算法則均適用于負整式指數冪，即指數冪的運算可以擴大到整數指數冪范圍;
(3)要避免像5-2=-2×5=-10的錯誤，正確算法是：。
三、用科學計數法表示絕對值小于1的數
1、規則：絕對值小于1的數，利用10的負整式指數冪，把它表示成a×10-n(n為正整數)，其中1≤|a|
2、注意事項：
(1)n為該數左邊第一個非零數字前所有0的個數(包括小數點前的那個零)。如-0.00021=-2.1×10-4
(2)注意數的符號的變化，在數前面有負號的，其結果也要寫符號。
(3)寫科學記數法的關鍵的是確定10n的指數n的值。
八年級上冊數學復習提綱2第一章一元一次不等式和一元一次不等式組
一、一般地，用符號“”(或“≥”)連接的式子叫做不等式。
能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解.不等式的解不，把所有滿足不等式的解集合在一起，構成不等式的解集.求不等式解集的過程叫解不等式.
由幾個一元一次不等式組所組成的不等式組叫做一元一次不等式組
不等式組的解集:一元一次不等式組各個不等式的解集的公共局部。
等式基本性質1：在等式的兩邊都加上(或減去)同一個數或整式，所得的結果仍是等式.基本性質2：在等式的兩邊都乘以或除以同一個數(除數不為0)，所得的結果仍是等式.
二、不等式的基本性質1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個整式，不等號的方向不變.(注：移項要變號，但不等號不變。)性質2：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數，不等號的方向不變.性質3：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數，不等號的方向改變.不等式的基本性質、若a>b,則a+c>b+c;、若a>b,c>0則ac>bc若c
不等式的其他性質：反射性：若a>b,則bb,且b>c,則a>c
三、解不等式的步驟:1、去分母;2、去括號;3、移項合并同類項;4、系數化為1。四、解不等式組的步驟:1、解出不等式的解集2、在同一數軸表示不等式的解集。五、列一元一次不等式組解實際問題的一般步驟：(1)審題;(2)設未知數，找(不等量)關系式;(3)設元，(根據不等量)關系式列不等式(組)(4)解不等式組;檢驗并作答。
六、常考題型：1、求4x-67x-12的非負數解.2、已知3(x-a)=x-a+1r的解適合2(x-5)8a,求a的范圍.
3、當m取何值時，3x+m-2(m+2)=3m+x的解在-5和5之間。
第二章分解因式
一、公式：1、ma+mb+mc=m(a+b+c)2、a2-b2=(a+b)(a-b)3、a2±2ab+b2=(a±b)2二、把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式。1、把幾個整式的積化成一個多項式的形式，是乘法運算.2、把一個多項式化成幾個整式的積的形式，是因式分解.3、ma+mb+mcm(a+b+c)4、因式分解與整式乘法是相反方向的變形。
三、把多項式的各項都含有的相同因式，叫做這個多項式的各項的公因式.提公因式法分解因式就是把一個多項式化成單項式與多項式相乘的形式.找公因式的一般步驟：(1)若各項系數是整系數，取系數的公約數;(2)取相同的字母，字母的指數取較低的;(3)取相同的多項式，多項式的指數取較低的.(4)所有這些因式的乘積即為公因式.
四、分解因式的一般步驟為:(1)若有“-”先提取“-”，若多項式各項有公因式,則再提取公因式.(2)若多項式各項沒有公因式,則根據多項式特點,選用平方差公式或完全平方公式.(3)每一個多項式都要分解到不能再分解為止.
五、形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子稱為完全平方式.分解因式的方法：1、提公因式法。2、運用公式法。
第三章分式
注：1°對于任意一個分式，分母都不能為零.
2°分式與整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母.
3°分式的值為零含兩層意思：分母不等于零;分子等于零。(中B≠0時，分式有意義;分式中，當B=0分式無意義;當A=0且B≠0時，分式的值為零。)
常考知識點：1、分式的意義,分式的化簡。2、分式的加減乘除運算。3、分式方程的解法和其利用分式方程解應用題。
第四章相似圖形
一、定義表示兩個比相等的式子叫比例.假如a與b的比值和c與d的比值相等，那么或a∶b=c∶d,這時組成比例的四個數a,b,c,d叫做比例的項，兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內項.即a、d為外項，c、b為內項.假如選用同一個長度單位量得兩條線段AB、CD的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比(ratio)AB∶CD=m∶n，或寫成=，其中，線段AB、CD分別叫做這兩個線段比的前項和后項.假如把表示成比值k，則=k或AB=kCD.四條線段a,b,c,d中，假如a與b的比等于c與d的比，即,那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段，簡稱比例線段.黃金分割的定義：在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，假如,那么稱線段AB被點C黃金分割(goldensection),點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.其中≈0.618.引理：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例.相似多邊形：對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形:各角對應相等、各邊對應成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。相似比：相似多邊形對應邊的比叫做相似比.
二、比例的基本性質：1、若ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么.假如(b,d都不為0)，那么ad=bc.2、合比性質：假如,那么。3、等比性質：假如=…=(b+d+…+n≠0)，那么。4、更比性質：若那么。5、反比性質：若那么
三、求兩條線段的比時要注意的問題：(1)兩條線段的長度必需用同一長度單位表示，假如單位長度不同，應先化成同一單位，再求它們的比;(2)兩條線段的比，沒有長度單位，它與所采用的長度單位無關;(3)兩條線段的長度都是正數，所以兩條線段的比值總是正數.
四、相似三角形(多邊形)的性質：相似三角形對應角相等，對應邊成比例,相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比都等于相似比。相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.
五、全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外再加HL
六、相似三角形的判定方法，判斷方法有：1.三邊對應成比例的兩個三角形相似;2.兩角對應相等的兩個三角形相似;3.兩邊對應成比例且夾角相等;4.定義法:對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。5、定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似。在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.1、兩個全等三角形一定相似.2、兩個等腰直角三角形一定相似.3、兩個等邊三角形一定相似.4、兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似.
七、位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比。假如兩個圖形不只是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫位似中心，這時的相似比又稱為位似比。
八、常考知識點：1、比例的基本性質，黃金分割比，位似圖形的性質。2、相似三角形的性質和判定。相似多邊形的性質。
八年級上冊數學復習提綱3變量與函數
一、變量與常量
1、變量：在某一變化過程中，可以取不同的數值，級數值發生變化的量，叫做變量。
常量：在某一變化過程中，取值(數值)始終保持不變的量，叫做常量。
2、注意事項：
(1)常量和變量是相對的，在不同的研究過程中有些是可以相互轉化的;
(2)離開具體的過程抽象地說一個量是常量還是變量是不允許的;
(3)在各種關于變量、常量的例子中，變量之間有一定的依賴關系。如三角形的面積，當底邊一定時，高與面積之間是有關聯的，不是各自隨意變化。
二、函數概念
1、定義：在某個變化過程中，如果有兩個變量x和y，對于x的每一個確定的值，y都有的值與其對應，那么，我們就說y是x的函數，其中x叫做自變量，y叫做因變量。
2、對函數概念的理解，主要抓住三點：
(1)有兩個變量;
(2)一個變量的數值隨另一個變量的數值的變化而變化;
(3)自變量每確定一個值，因變量就有一個并且只有一個值與其對應。
三、函數的表示法：(1)列表法;(2)圖象法;(3)解析法。
四、求函數自變量的取值范圍
1.實際問題中的自變量取值范圍
按照實際問題是否有意義的要求來求。
2.用數學式子表示的函數的自變量取值范圍
例1.求下列函數中自變量x的取值范圍
(1)解析式為整式的，x取全體實數;
(2)解析式為分式的，分母必須不等于0式子才有意義;
(3)解析式的是二次根式的被開方數必須是非負數式子才有意義;
(4)解析式是三次方根的，自變量的取值范圍是全體實數。
3.函數值：指自變量取一個數值代入解析式求出的數值，稱為函數值;
實際上就是以前學的求代數式的值。
函數的圖象
一、平面直角坐標系
1、定義：平面內畫兩條互相垂直且有公共原點的數軸，就組成了平面直角坐標系。
其中水平的數軸叫做橫軸(或x軸)，取向右為正方向;豎直的數軸叫做縱軸(y軸)，取向上為正方向;兩軸的交點O叫做原點。在平面內，原點的右邊為正，左邊為負，原點的上邊為正，下邊為負。
2、坐標平面內被x軸、y軸分割成四個部分，按照“逆時針方向”分別為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限
注意：x軸、y軸原點不屬于任何象限。
3、平面直角坐標系中的點分別向x軸、y軸作垂線段，在x軸上垂足所顯示的數稱為該點的橫坐標，在y軸上垂足所顯示的數稱為該點的縱坐標。
點的坐標反映的是一個點在平面內的位置。
寫坐標的規則：橫坐標在前，縱坐標在后，中間用“，”隔開，全部用小括號括起來。
如P(3，2)橫坐標為3，縱坐標為2。
特別注意坐標的順序不同，表示的就是不同位置的點。
所以點的坐標是一對有順序的實數，稱為有序實數對。
4、平面直角坐標系中的點與有序實數對一一對應。
5、坐標的特征
(1)在第一象限內的點,橫坐標是正數,縱坐標是正數;在第二象限內的點,橫坐標是負數,縱坐標是正數;
在第三象限內的點,橫坐標是負數,縱坐標是負數;在第四象限內的點,橫坐標是正數,縱坐標是負數;
(2)x軸上點的縱坐標等于零;y軸上點的橫坐標等于零.
6、對稱點的坐標特征
(1)關于x軸對稱的兩點：橫坐標相同，縱坐標絕對值相等，符號相反;
(2)關于y軸對稱的兩點：橫坐標絕對值相等，符號相反，縱坐標相同;
(3)關于原點對稱的兩點：橫坐標絕對值相等，符號相反，縱坐標也絕對值相等，符號相反。
(4)第一、三象限角平分線上點：橫坐標與縱坐標相同;
(5)第二、四象限角平分線上點：橫坐標與縱坐標互為相反數。
7、點到兩坐標軸的距離
點A(a，b)到x軸的距離為|b|，點A(a，b)到y軸的距離為|a|。
二、函數的圖象
1、意義：對于一個函數，如果把自變量x與函數值y的每對對應值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在坐標平面內描出相應的點，這些點所組成的圖形，就是這個函數的圖象。
2、作函數圖象的方法：描點法。
步驟：(1)列表;(2)描點;(3)連線。
3、一般函數作圖象，要求橫軸和縱軸上的單位長度一定要一致，按照對應的解析式先計算出一對對應值，就是坐標，然后描點，再連線;
畫實際問題的圖象時，必須先考慮函數自變量的取值范圍.有時為了表達的方便，建立直角坐標系時，橫軸和縱軸上的單位長度可以不一致。
一次函數
一、一次函數的概念
之所以稱為一次函數，是因為它們的關系式是用一次整式表示的。學習此概念要從兩個方面來理解。
(1)從其表達式上：
一次函數通常是指形如：y=kx+b(k、b為常數，k≠0)的函數，凡是成這種形式的函數都是一次函數。而當b=0時，即y=kx(k≠0的常數)，則稱為正比例函數，其中k為比例系數。
(2)從其意義上：
它們表示的是兩個變量之間的關系，這種函數關系具有特定的意義，如，如果說兩各變量之間具有一次函數關系，我們就可按照概念設出函數關系式，成正比例關系的也同樣，如，若s與t成正比例關系，我們便可設s=kt(k≠0，t為自變量)
“正比例函數”與“成正比例”的區別：
正比例函數一定是y=kx這種形式，而成正比例則意義要廣泛得多，它反映了兩個量之間的固定正比例關系，如a+3與b-2成正比例，則可表示為：a+3=k(b-2)(k≠0)
二、一次函數的圖象
正比例函數和一次函數的圖象都是一條直線，所以對于其解析式也稱為“直線y=kx+b，直線y=kx”。因為一次函數的圖象是一條直線，所以在畫一次函數的圖象時，只要描出兩個點，在通過兩點作直線即可。
1、畫正比例函數y=kx(k≠0的常數)的圖象時，只需要這兩個特殊點：(0，0)和(1，k)兩點;
2、畫一次函數y=kx+b(k、b為常數，k≠0)的圖象時，只需要找出它與坐標軸的兩個交點即可。
一次函數與x軸的交點坐標是：(0，b)，與y軸的交點坐標是：(-，0)
3、若兩個不同的一次函數的一次項的系數相同，則這它們的圖象平行。
4、將y=kx的圖象沿著沿著軸向上(b>0)或向下(b
5、求兩一次函數的交點坐標：聯立解兩各函數解析式得到的二元一次方程組，求的自變量x的值為交點的橫坐標，求出的y的值為交點的縱坐標。
三、一次函數的性質
一次函數的性質是由k來決定的。
1、正比例函數y=kx(k≠0的常數)的性質
(1)當k>0時，圖象經過一、三象限，y隨x的增大而增大，這時函數圖象從左到右上升。
(2)當k
2、一次函數y=kx+b(k、b為常數，k≠0)的性質
(1)當k>0時，①當b>0時，圖象經過一、三、二象限，y隨x的增大而增大，這時函數圖象從左到右上升。②當b
(2)當k0時，圖象經過二、四、一象限，y隨x的增大而減小，這時函數圖象從左到右下降。②當b
四、確定正比例函數好一次函數的解析式
1、意義：
(1)確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數y=kx(k≠0的常數)中的常數k;
(2)確定一個一次函數，需要確定一次函數y=kx+b(k、b為常數，k≠0)中常數k和b。
2、待定系數法
(1)先設待求函數關系式(其中含有未知的系數)，再根據條件列出方程或方程組，求出未知系數，從而得到所求結果的方法，叫做待定系數法。
(2)用待定系數法求函數關系式的一般方法：①設出含有待定系數的函數關系式;②把已知條件(自變量與函數的對應值)代入關系式，得到關于待定系數方程(組);③解方程(組)，求出待定系數;④將求得的待定系數的值代回所設的關系式中，從而確定出函數關系式。
五、一次函數(正比例函數)的應用。與方程的應用差不多，注意審題步驟。
反比例函數
一、反比例函數
1、定義：形如y=(k≠0的常數)的函數叫做反比例函數。
2、對于反比例函數：
(1)掌握其形式y=，且k為常數，同時不能為0;等號左邊是函數y，右邊是一個分式，分子是一個不為0的常數，分母是自變量x，若把反比例函數寫成y=kx-1，則x的系數為-1;自變量x的取值范圍是x≠0的一切實數，函數y的取值范圍也是不為0的一切實數;
(2)將y=轉化為xy=k，由此可得反比例函數中的兩個變量的積為定值，即某兩個變量的積為一定值時，則這兩個變量就成反比例關系。
(3)“反比例函數”與“成反比例”之間的區別在于，前者是一種函數關系，而后者是一種比例關系，不一定是反比例函數，如說s與t2成反比例，可設為s=(k≠0的常數)，但這顯然不是反比例函數。
二、用待定系數法求反比例函數表達式。由于反比例函數y=中只有一個待定系數，因此只需要一組對應值，即可求k的值，從而確定其表達式。
三、反比例函數的圖象
1、意義：
(1)名稱：雙曲線，它有兩個分支，分別位于一、三或二、四象限;
(2)這兩個分支關于原點成中心對稱;
(3)由于反比例函數自變量x≠0，函數y≠0，所以反比例函數的圖象與x軸和y軸都沒有交點，無限接近坐標軸，永遠不能到達坐標軸。
2、畫法(描點法)：(1)列表。
