時間：2023-05-29 17:46:50
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇三角形的面積教學設計，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
【關鍵詞】 梯形面積；教學；設計；反思
一、教材和學生學習能力分析
“梯形的面積”的教學是在學生認識梯形特征，學會平行四邊形、三角形面積計算，形成一定空間觀念的基礎上進行教學的. 它的教學目標：（1）使學生理解并掌握梯形面積的計算公式，能正確地應用公式進行計算.（2）通過操作，滲透旋轉、平移的數學思想，培養學生的遷移類推能力、抽象概括能力和創新能力.（3）培養學生善于動腦、小組合作的良好學習習慣和對數學的學習興趣. 教學重點：理解并掌握梯形的面積計算公式. 教學難點：梯形面積公式的推導過程.
二、教學設計理念及流程
根據教學內容，為了達到教學目標，突出重點，分化難點，教學應在復習舊知識的基礎上提出新問題（如何求梯形面積公式） ，采用小組合作探究的學習方式，通過拼圖、討論、檢驗，推導出梯形的面積. 小組合作探究討論后，采用適當的課件演示輔助教學，幫助學生深入理解梯形與已知圖形間的拼拆關系，再用已經學習過的三角形、平行四邊形等的面積公式，計算出梯形的面積.
三、課件設計
根據教材內容，將整個教學內容設計為五個環節，即復習―設疑導入新課―梯形面積公式推導―例題講解―鞏固提高，用Flash制作課件，采用菜單式界面，由左側菜單進入各個教學環節，由各頁面內的按鈕實現相應分環節或演示的教學. （圖1）（教學中可用相應按鈕隨時跳轉到各個教學環節，選用課件的各個部分）
（一）復習
在此環節內設計三個分環節，分別由復習1、復習2、復習3三個按鈕進入各個分環節：①求出下列圖形面積（圖1）；②平行四邊形面積公式推導（拼圖演示）（圖2-3）；③三角形面積公式推導（拼圖演示）（圖4-5）.
教學中，先讓學生回憶以前學過的圖形面積求法，快速求出復習1的圖形面積，加強學生對平行四邊形、三角形面積公式的記憶.
再讓學生回憶一下平行四邊形面積、三角形面積的推導過程，然后課件展示，復習2：平行四邊形面積公式推導過程中的圖形拆分拼湊，復習3：三角形面積公式推導過程中如何旋轉拼圖，師生一起對已學習知識、方法進行總結，加深學生對已學知識、方法的鞏固.
（二）設疑導入新課
在復習1，2，3的基礎上，課件出示（圖6），教師引導學生觀察分析：要比較它們的面積大小，就必須求出梯形的面積，從而導入新課：梯形的面積.
（三）梯形面積公式推導
先把學生分組，各組根據已經學過的平行四邊形面積、三角形面積的推導方法，拿出預先準備好的梯形紙板拼圖、觀察，討論：如何求梯形的面積？
然后師生一起總結：如何求梯形面積. 課件展示（四種方法）：
方法一：用兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形，設計時讓兩個梯形先重合在一起（上面一個為黃色），再讓上面一個梯形向右平移、旋轉，再向左拼圖（圖7-8）.
讓學生根據拼圖過程探索發現，拼成的平行四邊形與原來的梯形面積之間的關系，從而通過求平行四邊形面積推導出梯形面積公式.
方法二：將一個梯形拆分為兩個小三角形，設計時先讓動態從左上角到右下角畫線拆分梯形為兩個三角形，再將其移動一點距離（圖9-10）.
讓學生看見梯形的面積等于兩個三角形面積和，從而通過三角形面積推導出梯形面積的求法.
方法三：將梯形分為一個三角形和一個平行四邊形，設計課件讓畫面先從左上角起作梯形右邊線的平行線，將梯形分成一個三角形和一個平行四邊形，通過課件的演示，學生看到：梯形面積等于三角形面積和平行四邊形面積之和，從而推導出梯形面積公式（圖11-12）.
方法四：將梯形拆分后拼成一個大三角形. 設計課件：先作梯形一邊CD的中點，再從A點向中點連線，從梯形上分割出一個三角形出來，再將割出的三角形旋轉補于如圖4所示的位置，讓學生通過觀察、分析得出：梯形的面積和大三角形面積一樣大，從而推導出梯形面積公式（圖13-14）.
除了上面四種方法以外，教師可讓學生充分發揮自己的想象力，找出更多推導梯形面積公式的方法.
（四）例題講解
例題講解時先出示題目、圖形，讓學生思考說出解答方法，再一步步講解求解過程（圖15-16）.
（五）鞏固與提高
鞏固與提高中設計如下內容：讓學生能靈活運用梯形面積公式，解決實際問題，了解等底等高的梯形面積相等（圖17-22）.
四、設計反思
（一）這樣的教學設計，不僅使整個教學過程條理清楚，還把學生動手操作與課件輔助教學結合起來，不僅培養了學生動手動腦的能力，還培養了學生分析綜合的能力.
（二）由復習舊知識，采用類比方法推導梯形的面積公式，不僅加強了新舊知識的聯系，同時培養了學生利用舊知識解決新問題的能力，即知識正遷移能力.
（三）梯形面積推導演示課件設計了四種梯形面積推導的方法，不僅達到對學生拼圖活動綜合總結的目的，同時，課間演示形象直觀、化難為易，讓學生在輕松的學習中牢固掌握推導梯形面積公式的多種方法，培養了學生的發散思維能力，滲透了平移、旋轉的數學思想.
（四）課件采用Flash制作，設計了靈活的按鈕，便于教師根據教學情況選用，達到因材施教的目的. 教學中，切忌把課件當成電影放，那樣會適得其反.
關鍵詞：數學課堂；思維訓練；三角形的面積
數學教學的核心是對學生進行思維訓練，而對學生思維能力的培養和訓練，主要是通過課堂教學來實現的。在此我以《三角形的面積》教學為例進行詳盡的闡述。
一、創設情境，激發思維
贊可夫曾說：“凡是沒有發自內心求知欲和興趣的東西，是很容易從記憶中揮發掉的?！苯處熢谡n堂教學中有意識地創設情境（如實物情境），則開門見山，吸引學生的注意力，更能調動學生的思維活動。如：
（出示一個三角形）
師：這是一個什么圖形？
生：三角形。
師：三角形的面積又該怎樣計算？
二、操作交流，發展思維
蘇霍姆林斯基有一句名言：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是個發現者、研究者、探索者，而在兒童的精神世界中，這種需要則更強烈。”教師在教學設計中應針對兒童的這種心理特點，創造機會讓學生去探索，而不能用教師的演示來代替學生的活動。要解決數學知識的抽象性和學生思維的形象性之間的矛盾，關鍵在于動手操作、主動探究。
1.小組合作
師：既然是研究三角形的面積，我們先研究它的計算方法，同學們借助以往的知識和經驗思考一下，我們該如何去探索和研究三角形面積的計算方法？
生：思考片刻。
師：很多同學有想法了，如果還沒有思路可以看看書，或者和老師一起合作完成，同時我給大家準備了一些學具，請大家借助學具探索三角形面積的計算方法。（課件出示教具和要求）
生：探究計算方法，教師個別小組指導。
2.小組展評
一小組：我們組是用兩個銳角三角形拼成了一個平行四邊形，算出平行四邊形的面積再除以2就是三角形的面積，我們組得出的公式是：三角形的面積=底×高÷2
二小組：…
三、適時點撥，拓展思維
作為認識活動的主體――學生，具備豐富個性的能動的主體。封閉式教學容易造成他們思維狹窄、呆板。教師在教學中應注意適時點撥，拓展學生思維的空間，才能培養出學生思維敏捷、思路寬、有創造性等良好的思維品質。如：
師：同學們很能干，通過自主探索，尋找到了三角形的面積計算公式，為了深入地理解公式，并且對以后的探索和研究有所啟發，我想采訪一下大家。
師：請問我們要算的是三角形的面積，為什么要拼成這些圖形？（手指著黑板上的圖形）
生：三角形的面積不會算，拼成會算的圖形然后就能找到三角形的面積。
師：你的意思是，遇到一個新問題，三角形的面積不會算，把它變成，或者說轉化成會算的圖形，這種轉化的思想你們可用的真好！以前用過這種轉化的思想沒有？
生1：用過，平行四邊形轉化成長方形，得到平行四邊形的面積。
生2：小數除法，我們轉化成整數除法。
師：你們真是學以致用的好學生！
四、理解碰撞，思維創新
當學生學習新知后，教師應有目的地設計有層次的、有坡度的練習，才能使學生思維能力的發展得到鞏固和螺旋式的提高。同時引導學生產生認知沖突，激發數學學習興趣，感受探索問題的樂趣，培養學生對數學及數學學習的熱愛。
1.操作驗證，完整概念
師：我們這兒有好幾個三角形，是不是任意找兩個三角形都能拼成平行四邊形？
生：不是。
師：你覺得什么樣的兩個三角形才能拼成這些會算的圖形？（手指拼成的圖形）
生：一樣的兩個三角形。
師：能具體說說是三角形的什么一樣嗎？
生1：大小一樣。
生2：還要形狀一樣。
師：同學們真會觀察，在數學上，形狀和大小一樣的三角形我們叫做完全一樣。（板書完全一樣）
師：那請大家想個辦法，讓我們一眼就看出這兩個圖形是完全一樣的？（手指拼成的平行四邊形）
生：把它們重疊起來。（生上臺示范，用重疊的辦法，讓大家看清楚這兩個三角形是完全一樣的）
師小結：同學們剛才通過操作知道了：兩個完全一樣的三角形可以拼成平行四邊形。（補充板書完整這個結論）。當然了這兒的長方形也是屬于平行四邊形的，所以我們可以概括的拼成平行四邊形。
2.精設問題，深入探究
師：再來看看我們的公式？還有沒有什么疑問？
生：為什么要除以2？
師：問得好！底乘高算的是什么？為什么要除以2？
生：底乘高算的是兩個完全一樣的三角形拼成的平行四邊形的面積，要算一個三角形的面積所以要除以2。
師：說得真有道理，底乘高算的是這個平行四邊形的面積，（描一半的虛線框），除以2就等于一個三角形的面積。（取下一個三角形）
師：再看看公式里面的底乘高是誰的底、誰的高？
生1：平行四邊形的底和高。
生2：三角形的底和高。
師：等待……
生：還像是平行四邊形的高，又是三角形的底和高。
師：請一位同學來指拼成平行四邊形的第，再請一位同學指三角形的底，看有什么發現？
生：這個平行四邊形的底就是三角形的底。
師：你們真會觀察，所以以后我們算三角形面積的時候，可以直接運用三角形的底和高進行計算。
3.整理過程，系統思維
師：好我們來一下我們剛才探究公式的過程，我們通過操作，觀察、發現、推理得出三角形的面積公式（邊說邊指板書對應的內容），同桌再具體說說我們是怎樣得出這個公式的？
生說公式的由來，師補充板書。
師：請一位同學給大家完整地說說我們是怎樣得到公式的？
師：我們用兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形，平行四邊形的底和高就是三角形的底和高，平行四邊形的面積等于底乘高，所以一個三角形的面積等于底乘高除以2。
生：掌聲。
4.問題沖突，創新思維
師：同學們真能干，通過用兩個三角形來拼這種方式得到了兩個三角形的面積計算方法。還有沒有用其他思路去探究三角形面積的計算方法呢？
生上臺展示介紹：把一個三角形從中間剪開，可以拼成一個平行四邊形，這個三角形的高變成了原來的一半，所以三角形的面積等于底乘高除以2。
師：大家聽明白了嗎？
生：多數搖頭。
一、導入
上課開始，老師拿出準備的嶄新紅領巾對學生說，學校準備制作質地優良的紅領巾，現在想請大家幫忙：這個紅領巾需要多少布料，大家知道該怎樣計算嗎？
生：求它的面積。
師：我們知道這種圖形的求解公式嗎？（不知道）這是一個什么圖形？（三角形）三角形的面積公式我們學過嗎？（沒有）我們今天就學習“三角形的面積公式”。（板書）請大家回顧一下我們以前學習了哪些圖形的面積公式？
生：長方形、正方形、平行四邊形。
師：誰來說說這些圖形的面積公式是怎樣推導出來的？
生答。
師：誰來說說這些圖形的面積公式？
生答，師板書。
設計意圖：利用生活中的紅領巾所用布料導入，貼近學生生活，讓學生知道，數學問題來源于生活，是解決問題的工具。復習以前學習的圖形面積公式，回憶平行四邊形的面積推導過程，喚醒學生的思維，為進一步探究三角形的面積公式作準備。
二、猜想
師：我們知道平行四邊形的面積公式是把平行四邊形轉化成正方形或長方形，而我們的紅領巾是三角形，如果我們要想得出三角形的面積公式的求法，可以將三角形轉化成什么圖形再進行計算呢？
學生猜測：正方形？長方形？平行四邊形？
師：我們用實踐證明到底三角形轉化后會成為一個什么圖形。
三、探究
活動一：
師：剛才大家知道了我們以前是通過“剪切”的方法把平行四邊形轉化成我們學習過的長方形或正方形推導出面積公式?，F在你們的桌上有老師為你們準備的“紅領巾”（按比例縮小的紅色小紙片）以及一些小工具，想一想，我們要怎樣做，才能推導出這個小“紅領巾”面積的求法？提示：可以兩個人合作。
根據慣性思維，學生在拿到小“紅領巾”之后，首先想到的是對這個三角形進行裁剪。
學生活動（動手裁剪三角形），教師巡視。
學生匯報。
師：你是怎么做的？
生1：我沿著頂點作高，然后用剪刀沿高剪開，成了兩個三角形，再把一個三角形倒過來，拼在一起，成為一個長方形。（邊做邊演示）
老師拿出一個較大的紙質三角形，讓學生上講臺演示。學生沿頂點作高剪成兩個三角形，再拼成一個長方形以后將其貼在黑板上。
師：這兩個三角形有什么特點？
生1：完全相同。
師：你是從哪個地方判斷這兩個三角形完全相同的？
生1：將這兩個三角形重疊，能完全重合在一起。
師：其中一個小三角形與大三角形有什么關系？
生1：小三角形是大三角形的一半。
師：你從哪看出來的？
生1：底是原來的一半。（師板書：底）
師：我們的紅領巾是一個等腰三角形，因此從頂點作高，將底邊分成了兩半。我們可以觀察到現在拼成的長方形的長和寬與三角形的什么有關系？
學生觀察。
生反饋：長方形的長是三角形的底的一半，寬是三角形的高。
長方形的面積=長×高，紅領巾的面積=底
×高。
引導學生歸納：三角形的面積=ah。
活動二：
師：不知大家剛才注意到沒有，我們是把這個小“紅領巾”剪成了兩個完全相同的三角形拼成一個長方形。如果我們有兩個相同的“紅領巾”，用兩個完全相同的三角形直接拼，會怎樣呢？現在大家拿出桌上綠色的三角形，注意：大家拿著手中的三角形和同學進行比較，是否完全相同。請大家進行合作，2個人、3個人、4個人都可以，拼一拼，會得到一個什么結果呢？
學生活動后匯報。
師：你們是幾個人進行的合作？
生2：我們是兩個人，我們把兩個三角形拼在一起，得到了一個平行四邊形。
師：為什么你們只有兩個人合作，老師說的可以3個人、4個人合作？
生：我們只需要兩個人就夠了。
老師請匯報的兩個同學上臺在黑板上把圖形拼出來。
師問生2：這個平行四邊行的面積公式是什么？
生2：S（平行四邊形）=ah。
師：這個平行四邊形的底和高與三角形的底和高有什么關系？
生2：平行四邊形的底和高就是三角形的底和高。
師：這個發現有意思。
課件演示：這個平行四邊形的底和高就是三角形的底和高。
師：這個面積與你的三角形有什么關系？
生2：我的三角的面積是這個平行四邊形的一半，如果要求出我的三角形的面積，要用上面平行四邊形的面積除以2。
三角形的面積=平行四邊形面積？圯S（三角形）=ah。
師：大家看一看，這兩種方法得出來的結果是一樣的。大家說說哪種方法更簡單？
生：兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形。
師：是啊，只要我們開動腦筋，一個問題我們可以找到許多種解決方法，在這些方法中，我們就可以選擇一種最為簡便的方法。
設計意圖：活動一是承接學生思維的延續性，讓學生體驗、感受到思維的完整性，知道三角形的面積公式有兩種方法可推導出。活動二中學生每人只有一個三角形，真實地感受合作來源于需要，只有合作才能解決問題，人數過多的合作是一種資源的浪費。
活動三：
師：剛才大家初步得出了三角形的面積公式，知道三角形只要知道它的底和高，就能求出它的面積?，F在我告訴大家“紅領巾”的底和高，請大家幫忙計算出它所需要的布料。
學生計算。
四、驗證
師：我們的紅領巾是一個等腰三角形，一個特殊的三角形哦，我們還有些什么樣的三角形？
生：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等邊三角形。
師：嗯，老師給你們準備的黃色三角形，是各種各樣的三角形，卻只有一個，自己想，該怎樣做？
學生拿出工具袋，使用拼湊的方法完成三角形面積公式的驗證。
得出結論：所有三角形都可以用兩個完全相同的三角形拼成一個正方形、長方形或平行四邊形，都可以用S（三角形）=ah求三角形的面積。同學們得出的結論是正確的。
五、練習
略（針對相對應的底和高及生活中的問題進行練習）。
六、拓展（拼七巧板）
師：如果讓我們對除等腰三角形外的其他一個三角形用剪切法拼，該怎樣做呢？用我們工具袋里所提供的黃色三角形進行活動。提示：前面我們是把底平均分成兩份，把高平均分成兩份又會怎樣？
設計意圖：提高學生的動手動腦能力，拓展學生視野，體驗數學解決問題多元化之美。
《正弦定理》是中職類數學書第二冊第10章第2節“解斜三角形”第一課學時的內容。它是在學生已學過的直角三角形的邊與角關系上對解斜三角形邊與角關系的進一步深化，也為后面余弦定理的推導與應用設下伏筆。
筆者設計以下教學目標：學會正弦定理及三角形的面積公式，同時滲透數形結合、分類討論的基本數學思想。
本堂課通過精心設計的一個個問題鏈，激發學生的求知欲，最終在教師的指導下解決問題。同時，采用“學案導學”和“多媒體輔助”有機結合的教學模式。
二、教學呈現
1.創設情境，布疑激趣
教師：我的一個三角形教具模型壞了（拿出模型），現在只知道∠A=45°，∠C=30°，AC長為50 cm，我很想修好這個模型。
學生：討論，只要知道AB和BC的長度是多少就可以解決問題。
【設計意圖】創設情境，激發學生的學習欲望。
2.探索新知，證明定理
教師：帶著疑問，一起來探索。問一下同學們，你知道三角形的哪些知識啊？
學生：積極發言。
教師：在三角形中，有六個元素，而剛才的三角形顯然是個斜三角形，ABC的六個元素有何關系？
學生：思考，決定構建直角三角形
教師：分組合作，第一組作AC的高，第二組作BC的高，第三組作AB的高，給出結論。
第一小組學生：作BDAC交AC于D，
在RtADB中，=sinA，
在RtDBC中，=sinC，從而得到BD=csinA=asinC。
第二小組學生：得到AE=bsinC=csinB
第三小組學生：得到CF=asinB=bsina
教師：將三個結論寫于黑板上。那三角形的面積能不能用以上的結論給出？
學生1：可以。SADB=basinC=bcsinA
學生2：SADB=basinC=acsinB
教師：很好。我們可將上述式子連起來寫成SABC=absinC=bcsinA=acsinB，這就是三角形的面積公式。同學們，能不能用文字來敘述一下三角形面積公式呢？
學生：銳角三角形的面積等于任意兩邊與其夾角的正弦乘積的一半。
教師：很好。這個面積公式適用于任何一個三角形。因此，三角形的面積公式可以這樣敘述：任何三角形的面積等于任意兩邊與其夾角的正弦乘積的一半。下面我們來練習：
已知ABC中，a=10，b=12，C=30°，求SABC
學生：思考，口答。
教師：同學們，誰可以試試出些求三角形面積的題目。
學生1：已知ABC中b=15，c=12，A=60°，求SABC
學生2：已知ABC中a=30，c=20，b=45°，求SABC
學生：在紙上快速寫出式子，回答“老師”。
教師：剛才我們用“作高法”進行了三角形面積公式SABC為了不使學生有“頭重腳輕”的感覺，因此，把它寫成。這就是正弦定理。同學們，你能用文字來敘述它嗎？
學生：任何一邊與它的對角的正弦比值相等。
教師：很好。
【設計意圖】讓學生親身經歷推導的過程，及時應用“你編他解”的形式，培養學生舉一反三的能力，用文字敘述，提高學生觀察、歸納的能力。
3.應用定理，解決問題
教師：現在請同學們思考一下，能不能用剛才探討出來的正弦定理解決引例中提出的問題？
學生思考，解決問題。
教師：巡回指導。
學生1：先求∠B=180°-∠A-∠C=105°，求邊c時，可用，同理利用正弦定理。
教師：很好。然后在黑板上規范寫出了過程。同學們，觀察本題，看看六個元素中已知什么求什么？
學生1：已知兩角和第三角的對邊，求另外兩邊和一角。
教師：那么，已知兩角和其中一邊對角呢？同學們會求嗎？
學生：能。
教師：這是正弦定理的第一種應用，已知兩角和任一邊，求其他元素。同學們，請思考一下。例2：已知ABC中，∠B=45°，a，求∠A和∠C。如何解決？
學生：嘗試解決問題。得出了sinA=，∠A=60°。
教師：sinA=，∠A=60°這個答案對嗎？請思考一下特殊角三角函數值。∠A=60°或120°。這是本節課的難點所在?？偨Y本小題，答案也許不唯一。
【設計意圖】通過讓學生思考，解決問題，教師把解題步驟寫到黑板上，起示范作用；關鍵是對角的判斷，答案的不一定唯一，這是本節課的難點所在。
4.課堂練習，提高鞏固
練習1：在ABC中，已知c=10，∠A=45°，∠C=60°，求a，∠B，b（結果保留兩位小數）
練習2：在ABC中，已知∠B=60°，a=，求∠A（結果保留到1°）
學生：完成解題。
教師：巡回指導，用實物投影儀展示學生規范的解題步驟，讓學生校對答案。
【設計意圖】在學生練習過程中老師巡視，對發現的問題及時解答，投影學生答題情況。
5.小結反思，提高認識
教師：引導學生對本節課所學內容進行歸納總結。
學生：選派代表總結歸納。學生總結的三角形面積公式，正弦定理及正弦定理適用的兩種情形。
教師：我們還學會了分類討論的數學方法。剛才，學生總結到已知兩邊和其中一邊對角，能用正弦定理，那已知兩邊和任一角，能解出三角形嗎？比如，∠C=45°，a嗎？
【設計意圖】讓學生歸納總結本堂課所學到的知識，設計問題，激發學生的學習欲望。
6.布置作業，知識延拓
書本第55頁練習1/3，5，6；實踐作業：搜索資料，了解正弦定理還應用于哪些方面？如：航海、軍事等。
【設計意圖】對本節課所學知識進行鞏固，讓學生體會數學來源于生活，又服務于生活。
教學片斷一：“三角形的認識”中頂點和邊的關系的教學
師（教學三角形的組成之后）：用字母來表示三角形的三個頂點，這個三角形就有名字了，叫做三角形ABC。按照老師的要求，找一找AB邊是哪條邊。哪位同學上來指一指？
生1（走到黑板前指）：AB邊是這一條。
師：頂點C呢？
生1（指）：是這個點。
師：來一個有難度的。與AC邊相鄰的兩條邊是指——
生2：AB邊和BC邊。
師：那么，與頂點A相對的邊是誰？與AC邊相對的頂點又是誰呢？
生3：與頂點A相對的邊是BC，與AC邊相對的頂點是B。
師（出示三角形教具）：老師這里還有一個三角形，能給它取個名字嗎？（學生在師的引導下取名為三角形ACD）
師：你能出一道題目給你的同學做嗎？
生4：三角形ACD中，CD邊相對的頂點是誰？
生5：頂點A的對邊是誰？
……
師：在老師發給大家的作業紙上找一個三角形，先給它取個名字，再按照剛才的方式跟你的同桌互相說一說。
……
思考：學生在教師第一次示范講解用字母表示邊和頂點、相鄰的邊、相對邊等知識的環節中獲取的經驗已經較為充分，后續兩個環節完全按照教師的設計進行，雖然學生同桌之間互相提問等方式使課堂氣氛較為活躍，但缺少了學生思維的有效參與。
教學片斷二：“平行四邊形面積”中關于面積計算方法的探索
師：如何計算平行四邊形的面積？
生1：我認為平行四邊形的面積是底乘高，即沿著平行四邊形上邊的端點引出一條高，把它分成一個直角梯形與直角三角形，然后拼成長方形。
生2：我認為平行四邊形的面積是長乘寬（指平行四邊形的斜邊）。
師：哦，你是怎么想的？
生2（邊演示邊回答）：我先圍成一個平行四邊形，然后把它稍微變化了一下，發現它變成了一個長方形，因為長方形的面積是長乘寬，所以平行四邊形的面積也是長乘寬。
師：這位同學探索出了平行四邊形的面積是相鄰兩條邊的乘積，同意他的觀點的同學請舉手。（有近一半的學生同意他的觀點）誰來說說你為什么不同意他的觀點？
生3（指著長方形模型的寬）：如果把平行四邊形拉成長方形，那么它的寬就會變短。（其他學生不知所云）
師（出示平行四邊形的模型）：平行四邊形容易變形，如果把它拉成長方形后，面積有沒有變化？（學生思考）
生4（操作）：把平行四邊形轉化成長方形，它們的長和寬都是一樣的，所以就可以把平行四邊形面積看成是計算長方形的面積，就是用相鄰的兩條邊相乘。（其他學生紛紛點頭贊同）
師：現在，贊成平行四邊形面積用相鄰兩邊的長度相乘的同學請舉手。（絕大多數學生都舉起了手）
師：好。剛才老師把平行四邊形拉成了長方形，現在我繼續來拉，請你們接著看。（師拉動平行四邊形的框架，直到邊幾乎重合）你們發現了什么問題？
生5：兩條邊的長度沒有變，但是面積變小了，這方法好像不行?。?/p>
師（問生2）：現在你覺得平行四邊形的面積可以用鄰邊相乘嗎？
生2：好像不行了。
師：的確，平行四邊形不能用鄰邊相乘的方法來計算它的面積。那么，平行四邊形的面積到底該怎么來計算呢？……
思考：第一個問題，生1的回答是絕大多數教師期望在課堂上得到的，但授課教師卻以生2回答中的錯誤作為切入點進行教學。筆者分析后認為，生2的方法是因知識的負遷移產生的錯誤，直觀演示的過程影響了部分學生的判斷和認知。教師采用因勢利導的教學方法，讓學生主動發現錯誤，使他們的思維發生碰撞并自然地轉向于探尋正確的方式解決問題。
上述兩則教學片斷在我們的課堂實踐中并不鮮見，從教學環節對于課堂內容的作用來看：片斷一的設計旨在突破認識三角形的高和畫高的這一教學難點；片斷二則是讓學生經歷“猜想——操作——驗證”的過程，探索出計算平行四邊形面積的正確方法。從教學設計的角度深入挖掘，也體現了教師的兩種不同思路：前者偏向于課前預設和教學理念，后者更注重課堂生成和教學理解。拋卻這些一概不論，如果僅從課堂上學生注意力的集中程度和思維的參與情況來說，兩個教學片斷的效果是顯而易見的。從這兩個片斷延伸開去，筆者對當前小學數學課堂教學中存在的一些問題，結合自身的教學實踐進行了反思。
1.傾向于回歸理性的數學課堂，是否應該更多點激情？
小學數學課堂的教學改革是一個持續和漸進的過程，正所謂褪盡浮華始見真，數學學科的本質和自身特點決定了課堂教學要回歸理性，這在當前已逐漸成為廣大一線教師的共識。于是，在眾多的公開課和展示課上，我們更傾向于關注教學設計如何為達成教學目標服務、重難點的突破采用了什么方法，在教學效果的檢測上也單純地通過練習或作業的反饋獲得。以上種種本無可厚非，但這樣的思路在教學實踐中體現過甚，則會忽略課堂教學最基本的一些要素，其中非常重要的一點就是激情。古希臘哲人普羅塔戈說過：“頭腦不是一個要被填滿的容器，而是一把要被點燃的火把。”因此，在學生第一次接觸某個知識點時，教師應該強化對正確方法的刺激。但在教學片斷二中，教師一句最平常不過的提問反而使學生的錯誤得到了看似合理的呈現和強化，該教師敏銳地捕捉到了學生的這一錯誤，利用課堂生成的教學資源激發了學生的思考熱情。這樣的做法有助于幫助學生突破思維定式，使他們的認識更加深刻。真實的數學課堂，類似的錯誤比比皆是，在錯誤碰撞中激發出的思維火花，恰恰會成為點燃頭腦這個火把的火種。
2.逐步走入模塊化的數學課堂，是否應該更多點活力？
不可否認，經過較長時間的課堂教學改革也會有所沉淀，并逐步成為教師的一種主動意識和習慣，如各個課堂環節的設置和意圖越來越清晰、強調環節之間的銜接和過渡等。其中，教學設計也成了依據不同教學內容的照方抓藥，或是在出現多種選擇方案時的對號入座，如教學片斷一中對頂點和對邊關系的教學在一定程度上體現了這種模塊化課堂教學的缺陷，因為本課教學的主要目標是理解三角形的意義、掌握三角形的特性和畫高，其中又以畫高作為教學難點。這樣看來，教師設置該環節的實際功能顯得單一，在具體實施的過程中，“教師示范講解——指名學生回答——互相提問解決”的模式化進程，讓學生經歷的卻是對一個簡單問題多次重復探究的低效活動，導致學生思維發展的機會和主動參與的激情也在不知不覺間溜走?；谡n堂教學中出現的這種現象，筆者認為教師應該切實關注學生的實際需求，主動尋求打破模式化課堂教學的途徑，從而為小學數學課堂注入更多的活力。
3.各種理念禁錮下的數學課堂，是否應該更多點自由？
（一）地位和作用
本課為湘教版八年級上冊第二章第五節《全等三角形》第一課時所教授的內容，在三角形的相關知識中具有重要的地位和作用：它是探究三角形全等條件的基礎，是證明線段相等、角相等的重要依據，也是滲透對應思想的重要一課，同時為學生之后學習三角形相似奠定基礎，而學生之前已經學習了三角形和圖形平移、旋轉、翻折的基礎知識，因此，該課在有關三角形的知識結構中具有承上啟下的作用.
（二）教學目標
1.知識與技能：（1）理解全等圖形、全等三角形的概念及全等三角形的表示方法；（2）能熟練找出全等三角形的對應頂點、對應邊和對應角；（3）掌握全等三角形的對應邊、對應角相等的性質，并能運用該性質進行簡單的幾何推理.
2.過程與方法：（1）讓學生經歷觀察、猜想、合情說理、歸納總結的過程，獲取全等三角形的基礎知識；（2）讓學生觀察、分析圖形變換的規律，尋找全等三角形經過圖形變換后的對應關系，提高學生的識圖能力和簡單的幾何推理能力，積累數學活動經驗.
3.情感態度與價值觀：（1）通過引導學生觀察圖形的平移、旋轉、翻折過程，培養其運動觀點；（2）通過引導學生觀察圖形變換及親自動手操作，發展其空間觀念，培養其幾何直觀；（3）通過組織學生經歷觀察、分析、交流、討論的過程，培養其獨立思考和團隊合作的意識與能力.
（三）教學重難點
1.重點：探究全等三角形的性質，準確辨認全等三角形的對應元素.
2.難點：運用全等三角形的性質進行簡單的推理和計算.
二、教學設計
（一）教法選擇
本課屬于幾何類新知課，教法上我們擬采用新知課的四環節教學模式進行設計：第一環節“問題導入”，旨在設疑激趣；第二環節“新知探究”，重點是合情歸納；第三環節“變式應用”，重點是圖形變換；第四環節“總結升華”，重點是應用思維導圖溝通新舊知識間的聯系.
（二）教學內容的考量因素
1.基礎性.學習三角形全等，是之后學習三角形相似的基礎，因此，在課中滲透對應思想至關重要.
2.關聯性.全等三角形與圖形變換息息相關，圖形變換就是一種全等變換，所以在運用全等三角形解決問題時，常?？梢酝ㄟ^圖形變換來尋找或構造全等三角形.
3.拓展性.全等三角形是幾何圖形由線、角的開放圖形到封閉圖形的過渡，研究范圍可拓展到對圖形形狀、周長、面積的多元探究，因此在教學素材的選取上，我們擬選擇平移、旋轉、翻折三種圖形變換作為變式教學的載體，將全等三角形的概念和性質融合在具體的問題中，通過問題解決培養學生的識圖能力和計算說理能力，進而突破教學的重、難點.當然，對于本文所呈現的教學設計，我們還可以根據學情的不同做適當的刪減.若學生基礎好，整體水平高，可選擇梯度大的問題進行教學；若學生基礎薄弱，整體水平較低，可選擇坡度緩的問題進行教學.變式教學的宗旨是更精確地因材施教，讓不同層次的學生都能得到相應的發展.
（三）教學過程
1.問題導入：設疑激趣，操作導入
在“問題導入”環節，讓學生觀察、猜測老師手中的紙片有幾張（看似只有一張，但又似乎不止一張；圖片形狀如圖1所示），使學生的直覺與教師的提問暗示產生沖突，在這似是而非的情境中，學生的探究興趣被激發，而全等圖形“完全重合”的概念已巧妙地隱含在這個猜測游戲中.
問題1：猜猜老師手中的紙片有幾張？
2.新知探究：合情說理探究法
在“新知探究”環節設計兩個小問.第一小問引導學生從整體角度觀察全等圖形與全等三角形的特點，使之從中發現兩組圖形“完全重合”的共性；第二小問引導學生從微觀元素觀察全等三角形的對應點、對應邊、對應角的關系，進而運用“合情說理”進行新知歸納.
問題2：（1）觀察老師手中的兩組圖形（見圖2、圖3），說說它們有什么共同特點？（2）若老師將圖3中的兩張圖片重疊在一起，請觀察這兩個三角形，說說它們有哪些對應關系？
引導學生歸納全等三角形的概念及性質.
（1）全等圖形定義.能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形.
（2）全等三角形的概念及性質.定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.表示：用符號“”連結，如ABCDEF，讀作“ABC全等于DEF”.點的對應與線的對應分別如圖4、圖5.全等三角形的性質如圖6.
3.變式應用：幾何變式中的“圖形變換”變式
在這個環節，共設計四個問題，從問題3到問題6.
問題3安排一組根據圖形變換設計的變式圖，由平移（沿BC邊平移，點B的對應點E分別在BC邊上、在BC的頂點C處、在BC的延長線上，見圖7、圖8、圖9）旋轉（繞ABC的頂點A旋轉，旋轉角分別小于∠BAC、等于∠BAC、大于∠BAC，見圖10、圖11、圖12）翻折（沿BC邊翻折，沿過點B的任意一條直線如BF、BD翻折，分別見圖13、圖14、圖15）；
問題4選取平移變換所得的圖7進行問題設計，設計思路是由找對應邊、對應角已知一個角求對應角已知兩個角求其余角已知一條邊求對應邊用字母變式線段的長度（由特殊到一般）找與BE（平移距離）相等的線段（問題由封閉到開放）；
問題5選取旋轉變換所得的圖10進行問題設計，設計思路是由找對應邊、對應角已知一個角求角已知兩個角求角找與∠1（旋轉角）相等的角；
問題6選取軸對稱變換所得的圖13進行問題設計，設計思路是由找對應相等的線段找等腰三角形判定線的位置關系已知垂線段求面積問題，問題設計由淺入深、層次推進.
設計以上4個問題，旨在引導學生通過觀察圖形變換，培養識圖能力，進一步探究圖形在變換過程中蘊含的變化規律和數量關系.
問題3：請同學們運用圖形的平移、旋轉、翻折規律，分析下列圖形分別是經過了怎樣的變換得到的.
問題4：如圖7，將與重合的沿邊向右平移至如圖所示的位置，指出圖中的對應邊、對應角.
變式1：若∠A=100°，則∠D=________.
變式2：若∠A=100°，∠B=40°，你能求出圖中哪些角？
變式3：若AB=5cm，則DE=_______.
變式4：若BC=acm，將DEF由點B出發，沿BC平移bcm，你能用a、b的代數式表示哪些線段長度？
變式5：連接AD，圖中與BE相等的線段有_______.
問題5：如圖10，將與重合的繞點旋轉至如圖所示的位置，指出圖中的對應邊、對應角.
變式1：若∠B=50°，你能求出哪個角，它的值是多少？_______.
變式2：若∠B=50°，∠C=30°，你能求出圖中的哪些角？
變式3：圖中與∠1相等的角是_______.
問題6：將與重合的沿翻折至如圖13所示的位置，并連結，請找出圖中對應相等的線段.
變式1：請寫出圖中所有的等腰三角形.
變式2：試判定AD與BC的位置關系，并說明理由.
變式3：若OA=2cm，BC=5cm，你能求出哪些量？
經過以上變式應用教學，可引導學生歸納全等三角形性質的以下應用.
（1）全等變換.平移、旋轉、軸對稱都是全等變換.
（2）對應關系.圖形位置：通過圖形形狀確定對應關系；符號位置：通過字母位置確定對應關系.
（3）數量和位置.平移：對應點的連線相等且平行（或共線）；對應邊相等且平行（或共線）；對應角相等.旋轉：對應邊相等；對應角相等；對應邊的夾角等于旋轉角.翻折：對應點的連線被對稱軸垂直平分；對應邊相等；對應角相等.
4.總結升華：思維導圖歸納法
在這個環節，用三個小問引導學生回顧本節課的學習內容，溝通新舊知識間的聯系，強化圖形變換在全等三角形中的應用，在圖形變換變式應用中掌握平移、旋轉、翻折的特征.
問題7：通過本節課的學習，你掌握了哪些新的知識？這些新知與哪些舊知之間有緊密聯系？通過問題解決，你從中收獲了什么？
細細品味10位青年教師的教學風采，我真切感受到教學設計所折射出的教育理念和教育思想，不禁被他們的改革精神和教育智慧深深折服。下面僅以無錫安鎮實驗小學黃芳老師執教的《認識三角形》為例，談自己的感受，以饗讀者。
1.視角上：體現一個“融”字。
首先是幾何知識與現實生活的“融”。教學中，黃老師不僅借助課件讓學生欣賞生活中的三角形（如各種交通標志的面等），還通過“生活中還有哪些地方也能看到三角形？”等話題的追問，把空間與圖形的學習“融”入學生的真實生活，在幾何世界與現實生活之間打開了想象的“通道”，讓學生在空間和圖形知識的現實背景中理解幾何概念、探索幾何秘密、發現幾何規律。其次是數學知識與探究方法之間的“融”。教學中，黃老師不滿足于學生找到“從學校到少年宮走哪一條路近”的答案，而是引導學生說出“你是怎樣想的”，從而滲透可以從“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”這兩種不同的思考角度去解決同一個問題，不僅如此，黃老師還引導學生“用以前學過的‘兩點之間線段最短’來解釋‘三角形中任意兩條邊長度的和大于第三邊’的結論”，溝通了知識之間內在的聯系，使所學知識融會貫通。
2.教學中：突出一個“做”字。
黃老師讓學生通過畫一畫感知三角形頂點、邊和角的特征；通過圍一圍發現不是任意三條線段都能圍成三角形；特別是當教師追問“是不是任意三條線段都能圍成三角形”、而從未涉及這一問題的學生都傻眼了時，黃老師隨即巧妙地組織學生“把一根小棒任意折成三段，圍一圍看是否一定能圍成三角形”……在就地取材但卻卓有成效地“做”數學活動的過程中將原本難以想象的結論直接呈現在學生面前，學生在強烈的認知沖突中引發新的探究欲望，帶著新的問題、新的期盼進入探究活動。
3.設計上：呈現一個“新”字。
黃老師緊扣三角形三邊關系，引導學生展開“質疑——猜想——驗證——發現規律”的數學探究活動。在學生通過“做”數學已經證實了“不是任意三條線段都能圍成三角形”這個事實后，黃老師緊追不放——“圍不成的困難在哪里？”引發學生對“怎樣的三條線段才能圍成三角形？”的自覺追問和探究欲望；當學生初步得出“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”時，黃老師又引導學生“反過來想圍不成的例子，另外兩條邊長度的和也大于第三邊，為什么還是圍不成呢？”使學生的數學思維朝著概念的本質特點不斷生長、生長……為了讓學生更有效地開展猜想驗證活動，黃老師引導學生“用數學式子”表示三條線段之間的關系（圍成或圍不成）。伴隨著“做”數學的不斷深入，學生的活動經驗不斷積累，直觀感知不斷豐富，數學表象更加清晰，為抽象概念的本質特征提供了可能。
4.互動中：彰顯一個“美”字。
精心的教學設計和良好的專業素養使黃老師的課堂教學呈現出美的意蘊?！皬倪@個句號中，你又能看出問號嗎？”“如果紅邊和黃邊長度不變，藍邊長度在什么范圍內就能圍成三角形了呢？”“先由問號經歷猜想驗證后變成句號、再由句號看出新的問號……”互動中的每個設問和總結都涵蓋著豐富的數學思想和推理空間，彰顯出教師的創造之美和智慧之美。
細細品味黃老師執教的“認識三角形”，在靜悄悄的思維體操中能真切地感受到她對數學研究的執著與熱愛。作為同行，在欽佩的同時，更愿意像黃老師所說的那樣：從句號中發現新的問號。在此，就相關問題與黃老師作進一步探討與商榷，僅供參考。
1.體驗替代，自主建構欠火候。
學生是學習的主體，所有的新知識只有通過學生自身的“再創造”活動，才能納入其認知結構中，才可能成為有效的知識。從這個意義上說，學生的學習具有“不可替代性”。對三角形概念的建立、特征的把握，需要在大量材料感知的基礎上，通過聚類分析、對比發現和抽象概括，才能提煉出三角形的本質特征，進而進行定義和命名。在三角形概念的教學中，教師只是借助實物上抽象出來的三個三角形，通過用簡單的“觀察”替代了學生“做”三角形過程中對邊、角、頂點等要素特征的豐富體驗，學生沒有經歷透過不同形狀三角形的表面現象進行辨析比較、發現共同特點、抽取本質屬性的過程。在三角形三邊關系的探究中，教師也是以“個別”回答替代了“全班”同學的探究活動，而后的小組實驗只是在得出結論基礎上進行的運用與判斷，并非實質性的猜想、驗證和發現。因而，學生對三角形的認識還沒有實現真正意義上的自主建構。
2.過于精細，方法結構欠清晰。
【關鍵詞】教學語言；語言藝術；習慣性用語；思維；人格
師，以身正令其行，以學高為其范，以睿語啟其心智，以諄諄教誨而不忘于子弟，以貽誤子弟而遺臭于世人.所謂“窺一斑而知全貌”，往往從教師的教學語言，就能品評出教師的高風師德，判別出教師的學術修養，也能推測出教師的學眾民意.數學教師的教學語言尤其應注意嚴謹、精準，因數學學科知識更顯理性，教師的教學語言更要注意表達的藝術，極力形成自己的語言風格.
一、慎思習慣性用語是數學教師語言藝術修煉的必修課
語言是思維的高級形式，習慣性的語言背后往往意味著思維的固化.習慣成自然，如果對自己習慣性語言所造成的負面影響渾然不覺，教學無疑逆水行舟.
在“平行四邊形的面積計算”教學中，常常聽到教師問：“要計算平行四邊形的面積，必須知道平行四邊形的什么？”學生答：“要計算平行四邊形的面積，必須知道平行四邊形的底和高.”在“三角形的面積計算”教學中，教師問：“要計算三角形的面積，必須知道三角形的什么？”學生答：“要計算三角形的面積，必須知道三角形的底和高.”以此類推，在計算梯形、圓形、長方體、正方體、圓柱體等圖形的周長、面積或者體積時，教師習慣于使用“必須”一詞提問，而學生也渾然不覺，似乎“底和高”是滿足于“必須知道”的唯一條件.
知道底和高就是計算這類圖形問題的必須條件嗎？當然不是.在現實生活中，根據圖形之間的關系，很多時候是可以進行巧妙作答的.比如，一個等腰直角三角形，知道斜邊長8 cm，求三角形的面積？此三角形不知道底和高，那么是不是就不能解答呢？事實上，解答此題的方法非常多.用四個完全一樣的等腰直角三角形拼合成邊長為8 cm的正方形，求出正方形面積為64平方厘米，再除以4就可以求出一個三角形的面積是16平方厘米.除此以外，還可以用翻折法、剪拼法、拼合法等多種方法解答.早在南宋時期的數學家秦九韶就在《數學九章》中指出了“已知三角形的三邊長求其面積”的秦九韶公式.在國外，阿基米德也發表了“已知三角形的三邊長求其面積”的海倫公式.
馬立平在《小學數學的掌握和教學》一書中，把退位減法中的“退一當十”和向高位“借一當十”兩種習慣性用語做過深刻的分析.從中不難看出習慣性用語對學生思維的潛在影響：“退”這個術語就暗示了它與“進”的概念的關系……我的學生中有些可能已經從他們的父母那里學到“借一當十”.我會向他們解釋我們不是借一個10，而是分解一個10.“借數”不能解釋為什么可以拿一個10到個位上，但是“退位”可以.在說退位的時候，蘊含的是高位上的阿拉伯數字確實是由低位上的數值組成的.它們是可以轉換的.術語“借數”絕沒有意味著進位——退位的過程.“借一個單位并把它變成10”聽起來是隨意的.我的學生會問我怎么能從十位上借？我們如果借了什么東西以后是要還的.我們怎么還，又還什么？
又如，在六年級分數除法教學時，老師常常預設類似“67÷3，57÷3，57÷34”的式子.學生往往會習慣性的計算67÷3=6÷37=27，而在計算57÷3=5÷37，57÷34=5÷37÷4時學生會覺得無法計算，甚至很多老師也確認無法計算.于是，師生往往得出結論“分子、分母除不盡，沒辦法計算”，從而認定這樣的計算方法行不通.其實不然，以上兩題可以利用分數的基本性質繼續計算.如，57÷3=5÷37=5÷3×37×3=521，57÷34=5÷3×3×47÷4×3×4=2021.把該算法和“除以一個數等于乘以一個數的倒數”進行溝通，能讓學生更明白算理和算法.
習慣性語言的背后是慣性的思維.有些語言在我們渾然不覺的習慣下，既束縛了自己又束縛了學生的思維發展.數學教師要慎思習慣性用語對思維的禁錮.
二、準確、簡潔是數學教師教學語言的基本要求
一堂精彩的課，創新的教學設計固然重要，教師的語言和學生的童言妙語也令其增色不少.同理，教師一句不恰當的、不準確的教學語言也能令聽者興致大敗，猶如一盅美味佳肴突然浮出一粒耗子屎.
以三角形單元的教學為例.在一次市級賽課中，有一節“三角形分類”的課例.老師制作了大量的三角形卡片，顏色各異.在給三角形制定分類標準時，大家討論得出了按邊分類、按角分類、按顏色分類.整個過程熱熱鬧鬧，教學流暢.可是，三角形能按顏色分類嗎？顏色是三角形的屬性嗎？顏色是三角形卡片的屬性，就三角形而言，沒有顏色這樣的屬性，更不能成為分類的標準.同理，老師常常要求：“請大家拿出一個三角形.”試想，三角形能否拿出來？
又如，在小學階段，三角形被定義為“由三條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點相連）叫做三角形”.一部分老師對概念使用了“圍成”后為什么要繼續使用括號“（每相鄰兩條線段的端點相連）”做備注感到困惑.這種教學語言困惑的背后暴露的恰恰是教師們專業素養的欠缺.我們知道：以“組成”描述的圖形包括不封閉的平面圖形，以“圍成”描述圖形包括了形如“”類的圖形，單獨使用兩者都不能準確定義三角形.同理，在教學三角形穩定性時，老師們較為傳統的做法是制作三角形木框，組織學生拉一拉，體會一下三角形比較穩固，常常聽到的教學語言是“拉得動嗎？”“拉不動，所以三角形很穩固”等.試想，拉不動是三角形穩定性的本質嗎？如果能換一換教學語言“拉一拉，變形了嗎？”是否更能扣住三角形不易變形的本質呢？
在 “觀察物體”公開課聽課中，老師強調了“觀察物體一次最多只能看到三個面”.這時，有學生舉手發問：“老師，看鉆石，可以看到多個面呢，看多棱柱也能看到多個面呢.”面對如此問題，教師當場陷入了僵局，不知如何應對.教師的失語暴露出教師對“投影與視圖”數學知識的欠缺.如果說失語暴露的是教師專業素養的缺失，那么，語言錯誤暴露的就是專業素養出錯.在平移和旋轉的公開課教學里，老師現場舉例：摩天輪的吊椅是旋轉現象.摩天輪的吊椅怎么會是旋轉現象呢？在三角形拼擺教學中，常聽到教師使用“用兩個不一樣的三角形圍成的圖形是不規則圖形”的語言.用兩個三角形圍成的多邊形怎么不是規則圖形呢？很明顯教師對規則圖形和基本圖形的概念造成了混淆.這些教學語言的錯誤令聽課者情何以堪.
準確、簡潔是數學的美，數學教師的語言必須準確、簡潔.教師準確的、簡潔的數學語言不僅彰顯專業素養扎實，更是對學生語言能力發展進行良好熏陶和培養，所謂言簡意賅，潛移默化.
三、提升教學語言藝術，應形成自己的鮮明風格
如果說準確簡潔的語言反映著教師的術業修養，那么語言的風格折射出的就是教師的人格魅力.現代的學子們，靈性靈動，喜歡新事物，追求鮮明的個性，排斥單一和枯燥的說教.如何開啟他們的內心世界，如何調動他們的學習興趣，教師的教學言語風格將最先被他們所甄選.教師的語言風格很大程度上左右著課堂學習的效率，那些專業知識造詣深厚但教學語言生硬的教師，是很難駕馭現代的課堂.
一、 暗示情境不能主觀臆斷，要科學驗證
蘇教版數學一年級上冊第28頁《有趣的拼搭》有這樣一幅插圖，看哪個滾得最快？
球滾得最快，所以教材就用插圖暗示我們：球在最下面，它應該滾得最快。但我們仔細分析一下，怎樣才能說明球滾得最快呢？這個插圖中的暗示有點問題，要說明球和其他物體相比滾得最快，應該這四個物體放在同一高度，并且同時放手，讓它們滾下，看哪一個最先到底，從而看出誰滾得最快。筆者對該插圖的暗示還有一個疑問：球和圓柱同時從很低的高度滾下，學生的肉眼能看清楚它們誰滾得更快嗎？這些都需要我們用實驗來驗證?？赡苡行┙處熣J為這個實驗是物理實驗，作為數學課不需要重點研究這些問題。在這里，我想強調暗示不能主觀臆斷，要通過科學的方法去驗證，要讓學生養成一種科學的態度，用科學的態度處理數學規律與結論。
二、 暗示引導不能喧賓奪主，要緊扣教材
蘇教版數學四年級下冊第53頁《找規律》有這樣一個插圖：
要解決這個問題，教材暗示：先在下面用線連一連，再回答。如果按照這個暗示，學生可以比較容易解決該問題。但這一節課的內容是找規律，是關于排列與組合的問題。教材插圖的暗示與組合關系有關系，但學生可能體會不到組合的含義。教師要讓學生體會到組合的含義以及它和排列的區別，我個人覺得教材可以去掉這個暗示。教學時，可以讓學生把每一場的對陣雙方寫下來：紅隊――黃隊，紅隊――藍隊，紅隊――綠隊，黃隊――藍隊，黃隊――綠隊，藍隊――綠隊，得出結論：一共比賽六場。如果有學生寫出多于六場的比賽，如出現了黃隊――紅隊等，教師正好抓住這個機會，讓學生來探討：紅隊――黃隊和黃隊――紅隊是不是同一場比賽？通過討論與交流，學生肯定會對組合的含義有一個初步的理解。這個插圖的暗示作用為什么會喧賓奪主？筆者覺得教材插圖的暗示沒有體現組合的含義。
三、 暗示方式不能過于明顯，要潤物無聲
這是蘇教版數學五年級上冊第12頁《平行四邊形的面積》一節的插圖。教學時，筆者總是覺得這種暗示太明顯，為什么要轉化成長方形？如果可能直接得到平行四邊形面積計算公式（事實上，這樣的公式是有的），那么還要轉化做什么呢？教學設計時，我們是不是可以這樣改：教師先給出一個平行四邊形，再引導學生用數格子的方法（回到定義去）來數出平行四邊形的面積，這樣的暗示讓學生感覺到很自然，然后把這個平行四邊形放在透明方格紙下，也就會出現象例2這樣的圖形。這時候，教師不要急著提問：你能把例2的平行四邊形轉化成長方形嗎？而是讓學生想辦法得出它的面積。如果學生用不滿一個算半格的方法得出平行四邊形的面積，教師則可以提醒學生，這種方法得出的面積可能不精確，能不能有一種方法得到它的精確面積呢？這樣學生就會真正理解為什么要把平行四邊形轉化成長方形，這樣學生才能從一個簡單操作者變成一個積極思考者。
四、 暗示形式不能畫蛇添足，要講究自然
蘇教版數學五年級上冊第15頁《三角形的面積》有這樣一個插圖：
例4后面是例5，例5：從第127頁上照下圖選兩個完全一樣的三角形剪下來，看看能不能拼成平行四邊形……從例5我們可以看出，例4中插圖的作用就是暗示兩個完全相同的三角形可以拼成一個平行四邊形。筆者有一個想法，能不能去掉插圖中沒有涂色的直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形，教學就從直角三角形入手，提問學生：你能說出這個直角三角形的準確面積嗎？學生很自然考慮把這個直角三角形和它右上方的直角三角形拼成一個長方形，涂色的直角三角形的面積是這個長方形面積的一半。一般情況下，不會考慮如插圖所示的那個直角三角形。雖然長方形是特殊的平行四邊形，教材的插圖只想暗示我們：兩個完全相同的三角形都可以拼成一個平行四邊形。雖然這樣的理由有一定的道理，但是按照學生的思維習慣，一般都會考慮拼成長方形，而且這種研究問題的過程也符合人們的認識規律：先考慮特殊的三角形――直角三角形，得出一個猜想，當三角形是銳角三角形或鈍角三角形時，再進行類比，從而歸納出一般性的結論。這樣，在解決問題的過程中學生可以積累更多的數學基本活動經驗，也可以體會到直角三角形作為一種特殊三角形它也有其特殊的性質。
五、 暗示效果不能急于求成，要理解消化
【關鍵詞】 數學教學 空間思維 能力培養
數學教學有著豐富的歷史和文化內涵，結合具體的定理介紹一些相關的數學史實是十分必要的。教學設計要有彈性，給學生的發展提供足夠的空間考慮到學生的差異，教學設計的編寫要體現一定的彈性，滿足學生在 “空間與圖形”內容方面的不同需求，使全體學生都能得到相應的發展。簡要談談我在數學教學過程中，是如何培養學生的空間思維能力的。
一、教學內容盡量體現空間與圖形的學習過程
內容的呈現要突出對實踐活動過程的體驗和幾何活動經驗的積累空間與圖形的學習過程，包括對圖形的觀察、操作、歸納和類比等大量實踐活動。學生空間觀念的培養，推理能力的發展，對圖形美的感受，幾何發現等都是在數學實踐活動中進行的。這樣，既能夠提高學生的興趣，也能夠使他們體會定理的形成過程及證明的必要性和價值。圖形與變換的內容包括用變換研究圖形的性質，用變換認識、解釋現實世界中有關現象，以及利用變換設計圖案等過程。教學設計要充分設計多種實踐活動，使學生體會利用圖形變換能夠更好地認識圖形與現實世界的廣泛聯系，積累運用變換的方法解釋或處理實際問題的活動經驗。
二、教學素材與實際相結合
素材的選取宜注意選擇那些具有現實背景的、有趣的、富有挑戰性的，同時有豐富的數學內涵的內容空間與圖形的內容具有豐富的實際背景，在現實世界中有著極其廣泛的應用，因此，教學設計應盡量以現實世界中有關空間與圖形的問題作為學習素材。例如，變換的研究對象不僅包括長期以來人們所習慣的標準的幾何圖形，而且包括豐富多彩的現實世界中的二維、三維圖形。充分選擇和展現具有現實背景、能夠體現變換思想的素材，將是這部分內容教學設計的重點。例如，在安排軸對稱內容時，可以選擇徽標、楓葉、雪花等現實的圖案為研究對象，可以設計 “利用簡單的圖案，選擇不同的對稱軸設計對稱圖案”等數學實踐活動，也可以選擇一些有趣的問題作為素材。如，某汽車的車牌被前面的物體擋住，但從地面的水面上可以看到車牌的影子。你能從影子中確定該車的牌照號碼嗎？在教學設計中，不僅要展現對稱 （二維圖形的對稱和三維圖形的對稱）給人的視覺上的美感，而且應當反映其中的一些科學道理 （例如，飛機、輪船的對稱能使飛機、輪船在航行中保持平衡；建筑上的對稱多半是為了美觀，但有時也考慮到使用上的方便和受力平衡等問題）。
三、教學內容做到圖文并茂
選擇圖文并茂、形式多樣的呈現方式多彩的圖形是這部分內容學習的重要素材。教學設計應該增加插圖，做到圖形與啟發性問題相結合，圖形與必要的文字說明和推理論證相結合，數與形相結合，計算與推理相結合，充分發揮圖形直觀與坐標表示的作用，使教學設計案例圖文并茂，富有啟發性。內容的呈現方式應當多種多樣。例如，在編寫 “圖形的放大或縮小”教學設計時，可以利用圖形之間的相似關系，也可以利用坐標的方法。注重教學設計呈現方式的多樣化，可以激發學生的興趣，豐富學生對內容的理解。
四、緊跟新課標的課改精神
把握 《全日制義務教育數學課程標準》的基本要求《全日制義務教育數學課程標準》中列出的目標是面向全體學生的，教學設計時應充分考慮這一點。處理變換內容時，不能照搬變換幾何的理論，而是用變換的方法和思想處理圖形問題，盡量體現變換的工具作用，而不是刻意追求對變換性質的研究，尤其是不刻意追求對變換性質的嚴格證明。關于幾何證明的內容是圍繞三角形、四邊形的基本性質而展開的，其中包括作為推理依據的幾何概念和公理，以及由此推出的一些結論 （如 “三角形內角和等于180度”及 “三角形的外角等于不相鄰的兩內角的和”），這樣做可以使學生更關注定理本身和證明的基本過程?！皥D形與坐標”的學習重點是對坐標法的體會和簡單應用，不要任意擴大范圍和難度。例如，由已知頂點坐標求三角形、四邊形的面積是指，在坐標系中用割補法處理圖形。這樣的處理形象直觀，既聯系學生的已有知識和經驗，又體現出用坐標法求非常規圖形面積的作用。在平面直角坐標系中探究圖形之間的對稱、平移和相似關系，主要運用點對稱、點平移和三角形相似的判定來幫助理解。
五、教學設計要有彈性
關鍵詞：信息技術自主能力探究能力。
在信息時代的今天，信息技術的作用越來越廣，尤其是與學科整合后，教師將信息技術作為一種先進的教學工具，為學生的學習內容提供了豐富多彩的呈現形式，可跨越歷史長河，縮短時空距離；可創設生活情境，激發學生自主探究的興趣和精神，在動態的演示過程中理解知識的形成與發展，達到突破重點、解決難點的目的。
一、創設情境，提出問題
“問題是數學的心臟”。如果問題獨立存在，那它是孤立、抽象的。只有把問題賦于生活情境中，用多媒體課件進行動態演示，通過聽覺、視角，才能激發學生自主探索的興趣。我們知道，數學源于生活，用于生活，問題情境不僅包含與數學知識有關的信息，還包括那些與問題聯系在一起的生活背景，它是溝通現實生活與數學學習、具體問題與抽象概念之間聯系的橋梁。因此，在教學設計時，我們應根據不同的教材內容創設不同的生活情境，讓學生從生活原形中提出數學問題，體會身邊處處有數學，從而了解數學的價值，增強應用數學的意識。
如在教《三角形的認識》一課時，我先拍攝生活中有關三角形的實物圖片（如自行車、房屋頂、電線桿上的三角架等）制成課件。課始，讓學生觀察帶有音、畫的課件，提出觀察的要求：“請同學們認真觀察，你發現什么共同特征？”一會兒，學生異口同聲說：都有“三角形”，再通過動畫效果，從這些實物圖上抽取數學模型“三角形”。師：這就是我們這節課要探究的“三角形”。你想了解“三角形”的哪些知識？有的學生說：為什么自行車、房屋頂都有“三角形”？“三角形有什么作用？”有的說：我們學過長方形、正方形的特征，“三角形”又有什么特征呢？有的說：“怎樣求‘三角形’的面積和周長？”……真是“一石激起千層浪”。學生一下子提出了很多有價值的問題。心理學研究表明，“意識到問題的存在是思維的起點，也為主動參與提供了可能。”有了問題，思維才有方向；有了問題，思維才有動力。因此，好的問題情境，不僅在新課導入時，而且要在整個教學過程中，使學生有“一波未平，一波又起”之感，自始至終主動參與學習活動。
二、自主探索，解決問題
蘇霍姆林斯基說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需求，這就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者，而在兒童的精神世界中，這種需求特別強烈?！薄稊祵W課程標準》指出，“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者和合作者?！边@些理念都特別強調教學要以學生為主，為學生搭建自主探索的平臺，讓學生盡情地發揮他們的探索欲、好奇心和創造潛能。杜絕教師一手包辦，端“現成的飯”給學生吃。
如：在解決“為什么自行車、房屋屋頂都有三角形？”這一問題時，我讓學生用學具中的小棒搭一個長方形，再搭一個三角形，分別用力拉一拉這兩個圖形，你發現了什么？通過動手操作、比較，學生馬上就會發現：“三角形不容易變形，具有穩定性”這一特征。
又如：在解決“三條線段圍成的圖形叫三角形”，是不是任意三條線段都能圍成三角形呢？這一問題時，我讓學生在游戲中探究原因，先讓學生將一根吸管任意剪成三段。問：你剪成的三小段能擺成三角形嗎？有的學生大聲回答說：能！。也有的學生卻小聲說：不能。這時我說：“為了驗證你們的猜想是否正確，請將剪成的三小段在桌上擺一擺吧?！弊寣W生利用學具，在操作中自主探究，尋找答案，如果遇到困難，同桌可以討論，商量解決。給學生充分的探究時間和空間，這時教師以合作者的身份參與學生的探討，對學困生給予及時的點撥和指導。學生通過動手操作、探討有了新發現，爭著匯報。再利用多媒體課件進行演示：當兩邊之和小于或等于第三邊時，圍不成三角形；當兩邊之和大于第三邊或三邊相等時，能圍成三角形，通過演示驗證學生的探索結果，在演示中修正操作方法，在交流中完善自己的觀點和論述。著名數學家波亞利認為，“學習任何知識的最佳途徑都是由自己去發現，因為這種發現理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系?！睂W生在解決問題的過程中，體驗著科學的探究方法感受著成功的喜悅與合作學習的快樂。
三、展示過程，突破難點
教育心理學告訴我們：“人們從聽覺獲得的知識能夠記憶約15%，從視角獲得的知識能夠記憶約25%。如果同時使用這兩種傳遞知識的工具，就能接受知識約65%?！币虼?，在解決教學中的重、難點時，一定要充分利用信息技術，通過聲音、動畫，把教師講不清道不明，學生不容易理解的知識，一一展示出來，才能加深理解、便于記憶，達到突破重點，解決難點的目的。
實現素質教育的主渠道是課堂教學，課堂教學的好壞對素質教育的成敗有著最直接的關系?？墒?，長久以來，我們小學課堂教學一貫采用的是“講解加練習”的教學模式，而這在農村小學教育中則更為普遍。這種教學模式的主要弊端是忽視了培養學生的主體性、創造性和實踐性能力，僅僅把學生當成了被動接受知識的容器。在現代教育中要使學生學習能力得到培養，必須從加強課堂實踐性做起，讓學生既動腦又動手，理論聯系實際，在實踐操作中培養能力。在這方面陶行知先生有過精辟的論述，提出了“生活教育”理論，指出：教學做合一，是生活法，是實現生活教育之方法。一切生活的教育，要以“做”為中心，教和學都要圍繞著“做”。它是對“重教輕學、重書本輕實踐”的一種反抗，對我們今天的課堂教學改革有深刻的啟示。
一、在做中教：改變傳統授課方式，引導學生積極主動學習
《數學課程標準（2011版）》指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。數學教學，要緊密聯系學生的生活實際，從學生的生活經驗和已有知識出發，創設生動有趣的情境，引導學生開展觀察、操作、猜想、推理、交流等活動……”。在教學中，我們應從生活實際出發，創設情境，激發學生的學習興趣和探索欲望。
“貪玩好動，嗜愛游戲”是小學生的天性，如果把數學做成一種游戲，旨在尊重利用學生這一天性，讓其主動地、自覺自愿地去學習。教師可以讓學生帶著好奇心在玩樂中認識事物，吸取數學知識和經驗，并應用于實際生活。例如，在教學“元、角、分的認識”時，教師可拿出標有價格的鋼筆、文具盒、玩具飛機、排球等物品，讓學生模擬生活情境，扮演成營業員或顧客進行買賣，在游戲中加深對人民幣的認知，體驗成功的快樂。
又例如在蘇教版三年級下冊《平移和旋轉》的教學中，在導入環節，播放一段錄像：教師帶領學生在優美的旋律中走進游樂園，屏幕上出現各種游樂項目：激流勇進、波浪飛椅、彈射塔、勇敢者轉盤、滑翔索道等。學生熱情高漲，一張張小臉上露出興奮的表情，隨著影片中的聲音時發出“嗖--嗖”的聲音。有趣的導入吸引了學生們的注意力，激起學生的好奇心：老師怎么會在數學課上放這么一段視頻？這就吸引學生們愿意積極主動地去學習。真正做到在做中教，與實際生活相聯系，體會生活中處處有數學，生活中處處用數學。
二、在做中學：改變被動接受方式，在實踐中主動探究和學習知識
陶行知先生說“做就是實施，是親自動手調查研究，分析解決問題”，新《課標》強調學生的學習是一個動手實驗，自主探索，合作交流的過程，強調讓學生親歷知識產生的過程，這樣，陶行知關于“教學做合一”的思想就具體為實踐，自主探索?，F代教學論認為“要讓學生動手做數學，而不是用耳朵聽數學”，教學中教師應重視學生的直接經驗，極力將教學設計成看得見，摸得著的物質化的實踐。
我在教學三角形面積公式的推導時，并不是把“兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形”這種做法強行灌輸給學生，而是讓學生回憶以前的舊知識，想平行四邊形的公式是怎樣推導的，能否用割補法將三角形轉化為長方形、正方形、平行四邊形。學生通過實踐，有如下方法。
1.用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，每個三角形面積是平行四邊形面積的一半。
2.將三角形的腰中點割開，再拼成一個平行四邊形。
平行四邊形的底是三角形的底，高中有三角形的一半，平行四邊形的面積等于底*高/2，三角形面積等于平行四邊形面積，所以三角形面積等于底×高÷2
3.三角形割補成長方形，高不彎，底縮小一半。
長方形的面積等于（底÷2）×高，三角形面積=底×高÷2
“教學作合一”的思想強調教的方法根據學的方法，學的方法根據做的方法，具體體現為教師教學的過程不是把知識強灌給學生，而且巧妙地經過引導和討論和交流，讓學生觀察、操作質疑和調整中逐步領悟其中的道理。讓學生參與知識產生的過程。這樣做不但切實地突出學生的主體作用，而且為知識的理解運用打下了堅實的基礎。
例如我在教學圓的認識這一課時，關于直徑、圓心的知識并不直接告訴學生，而是將一些大小一樣的圓紙片發給學生，要求學生對折，并將折痕用水彩筆描下來，并且用直尺量一量每一條折痕的長度，讓學生思考，你發現了什么，學生通過折量，會發現，白痕都一樣長，多條折痕交于一個中心點，折痕的兩端都在圓上，老師再教學圓心、直徑的概念，學生就能理解得非常深刻，這個教學過程，通過讓學生自己折、猜想，逐步發現直徑的本質，教師的教學只起引路的作用，充分發揮學生的主體作用，讓他們自主地探究，去發現。
當今時代，創新是民族進步的靈魂，是社會發展的不竭動力。陶行知的“教學做合一”思想實際上就是以培養學生的創造力為最高目的的。我們的課堂教學要緊緊圍繞這一點，不斷提出新方法，新課題，用“做”培養學生的創造力。所以說，做是課堂教學中的中心環節，也是實踐性的體現。我們在課堂教學中時時處處都應該把有利于學生創造潛力的發揮當作教學的第一要義，讓學生真正成為教學的主人，鼓勵他們既要動手又要動腦。實踐才能出真知，實踐才能有創造。
（作者單位：張家港市白鹿小學）
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