發布時間：2022-05-23 11:12:18
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的1篇應用概率統計論文，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
一、正確理解現實中的隨機性和規律性
我們熟知許多科學定律，例如牛頓力學定律，化學中的各種定律等。但是在現實中，事實上很難用如此確定的公式描述一些現象。比如，人的壽命對于個人來說是難于事先確定的。就個體來說，一個有很多壞習慣的人（比如吸煙、喝酒、不鍛煉的人）可能比一個很少得病、生活習慣良好的人活得更長。實際上活得長短是受許多因素影響的，有一定的隨機性。這種隨機性可能和人的經歷、基因、習慣等無數說不清的因素都有關。總體來說，人的平均年齡非常穩定。一般而言，女性的平均壽命比男性多幾年。這就是規律性。一個人可能活過這個平均年齡，也可能活不到這個年齡，這是隨機性。但是總體來說，平均年齡的穩定性，卻說明了隨機之中有規律性。又比如你每天見到什么人是比較隨機的，但規律就是：你在不同的地方一定會見到不同的人，你在課堂上會見到同班同學，你在宿舍會碰到同寢室的室友，你去打球會見到球友，這兩種規律就都是統計規律。
二、巧借實例自然引入新概念
著重培養學生的數學應用意識，教師在教學中的示范作用很重要。概率統計課程的概念是教學的難點，教師上課如果直接寫出來，則學生會感到很突兀，很抽象且難于接受。一個教學經驗豐富的教師應當重視概念引入的教學設計，從學生的認知規律出發，先使學生對概念形成感性認識，揭示概念產生的實際背景和基礎，了解概念形成的必要性和合理性。例如極大似然估計的概念教學，一般引入的第一個例子是有個同學和一個獵人去打獵，一只野兔從前方經過，只聽一聲槍響，野兔就倒下了，這發命中目標的子彈是誰打的？同學們一定會推斷是獵人，你們會說獵人命中目標的概率比同學的大，這個例子說明了你們形成了極大似然估計的初步思想。極大似然估計的思想是在已經得到實驗結果的情況下，應該尋找使這個結果出現的可能性最大的那個θ作為θ的估計θ∧。極大似然估計法首先由德國數學家高斯于1821年提出，英國統計學家費歇于1922年重新發現并作了進一步研究。第二個例子是兩個射手打靶，甲的命中率為0.9，乙的命中率為0.4，現靶面顯示10中6，且是一個人所為，請問是誰打的？一開始學生中會形成不同意見，有的說是甲，有的說是乙，有的不知如何判斷。表面看，甲的命中率高，如果說是甲好像低估了甲的水平，乙的命中率低，如果說是乙又高估了乙的水平，但現在要作一個合理推斷，我們建立一個統計模型：有一個總體為兩點分布，參數為P（0.9或0.4侍定），現有樣本X1，X2，…，Xn（n=10），其中有6個觀察值為1，4個為0，設事件A={10槍6中靶心}若是甲所射，則A發生的概率為P1（A）=C610（0.8）6（0.2）4=0.088，若是乙所射，則A發生的概率為P2（A）=C610（0.8）6（0.5）4=0.21，顯然，P1（A）＜P2（A），故可認為乙所射的可能性較大。從這兩個實例中教師再引出極大似然估計的原理：在已經得到試驗結果的情況下，我們應該尋找使這個結果出現的可能性最大的那個θ作為真θ的估計，顯得水到渠成。
三、合理假設形成模型意識
概率統計學科本來就是為了解決實際問題而產生的，它的起源是對賭博問題的研究。要培養學生的應用意識更應加強模型意識。數學模型是指應用數學的方法和語言符號對現實事物進行數學的假設和合理簡化，可以理解為現實事物在數學世界的抽象存在，也是人們對實際問題的原型進行的數學抽象，它的目的是便于應用適當的數學工具得到對問題的量化研究。在概率統計教學中建立的數學模型應當選擇問題的主要要素，模型相對比較簡單并且易于教學推理和分析。
四、循序漸進培養應用能力
數學應用能力是一種綜合能力，應循序漸進，慢慢培養。在現實中我們要注意：（1）概率是指某件事情發生的可能性大小。例如在天氣預報中會提到晴天與雨天，預報明天下雨，只是說雨天可能性很大，這種概率不可能超過百分之百。（2）有些概率是可以估計的。比如擲骰子，你得5點的概率應該是六分之一，但擲骰子的結果還只可能是六個數目之一。這個已知的規律就反映了規律性，而得到哪個結果則反映了隨機性。（3）應當在大量重復試驗中出現的頻率來估計生活中隨機事件出現的概率。（4）多學習一些統計軟件，充分利用一些直接的或間接的數據來源。
五、結語
數學應用意識的培養是一個長期的過程，不要期望通過一門課程或短時期就會立竿見影，這個過程需要經歷滲透、交叉、反復、螺旋上升，然后才能逐級遞進、不斷深化。總之，在教學中我們要構建師生合作互動的平臺，培養交流與合作精神，逐步提高學生的數學應用意識和能力。
作者：熊淑艷 單位：湖北工業大學
摘 要：在校園數字化建設發展快速的背景下，本文提出了在應用型人才培養模式下，概率統計課程進行網絡平臺建設的必要性和建設的內容以及建設的意義。
關鍵詞：網絡教學平臺；概率統計；課程平臺；考核平臺；實訓平臺
一、引言
近年來，校園數字化建設在我國已有迅猛發展，已基本建設成了以高速校園網為優秀，以開展遠程教育為輻射功能的數字化教育系統。隨著校園網絡化的進程，網絡教學平臺的建設也引起普遍重視。伴隨著2012年慕課（“MOOC”）元年的到來，這是一種旨在增強知識傳播，由具有分享和協作精神的個人或者學校組織的開放課程。這種開放課程需要借助課程教學的網絡教學平臺來實現，由此也再次掀起了網絡教學平臺構建的熱潮。
二、構建概率統計網絡教學平臺的必要性分析
概率統計（probability statistics）又稱數理統計方法，是研究自然界中隨機現象統計規律的數學方法。概率統計隨著現代工農業、近代科技的發展而不斷發展，因而形成了如隨機過程、信息論等許多重要分支，可以說其應用滲透到各個領域，與我們的生活息息相關。而概率統計課程作為理工科和經濟類學生的必修基礎課程，在研究生的入學考試中，數學一和數學三必考的科目，受到V大師生的重視，然而傳統的課堂授課，課下練習的教學模式存在著很多弊端，教師以課堂講授為主，學生學習興趣缺失，課堂學習效率不高，為了應付考試不得不硬著頭皮死記硬背公式等等。而在當今網絡發展迅猛的情況下，有必要充分利用網絡優勢，與傳統教學模式互相融合，取長補短，開發適應于概率統計教學特點的網絡教學平臺顯得尤為重要。
三、構建概率統計網絡教學平臺的內容與步驟
概率統計課程以隨機現象的觀察試驗取得資料作為出發點，以概率論為理論基礎來研究隨機現象。結合概率統計課程的特點，在構建概率統計教學平臺時，我們將著重考慮建設概率統計的課程平臺，考核平臺和實訓平臺。
（一）課程平臺
課程平臺主要包括課堂教學全程錄像、電子教案、演示文稿PPT、教材與參考書、學習指導書、作業庫、文獻庫等，主要為了便于學生在課下能通過課程的教學平臺了解和學習課程的內容，使學生的學習不拘泥于課堂上的學習，而可以在課下自主安排學習的時間，即使在課堂上沒有完全理解的內容，可以在課程平臺上找到相應的內容進行自主學習。
（二）考核平臺
考核平臺主要用于考察學生學習的效果，其中包括網絡作業空間、試題試卷空間、隨機在線測試空間三部分，實現了學生的自我管理、自我監督和自我水平測試，同時也為課堂教學的作業和測試提供了平臺保障。
（三）實訓平臺
實訓平臺針對學生在完成課堂和在線學習的前提下，適當參與實訓教學的環節，時序平臺包括案例實踐教學平臺、實驗實踐教學平臺和競賽實踐教學平臺三個實訓平臺。案例實踐教學平臺提供給學生針對不同專業背景的案例，使學生學習概率統計課程有的放矢，而不是空洞的學習一些理論。實驗實踐教學平臺通過在網絡平臺上引入數學實驗，讓學生更快掌握統計計算和分析方法。競賽實踐教學平臺使學生不僅“學數學”，還要“賽數學”，在平臺上開放和組織學生參與數學建模競賽和大學生創新項目，推動學生創新能力的培養。
四、構建概率統計網絡教學平臺的意義
（一）有利于培養學生學習概率統計課程的興趣
由于互聯網的普及，學生更愿意在相對寬松的環境下自主選擇學習的時間，安排學習內容和計劃，通過網絡教學平臺的構建，學生可以不必拘泥于課堂教學的90分鐘，而靈活安排自己的學習時間，通過借助網絡平臺了解更多概率統計學科的應用，使得學習不是為了考試而學習，變成為了掌握更多的知識和技能而學習，從而讓學生對課程的學習產生興趣。
（二）有利于提高教師素質，提高教學質量和教學水平
概率統計教學平臺的構建，可以更好地發揮教師在教學中的主導作用，從而使教學活動始終處于活躍進取的狀態，不斷推陳出新，提高教學質量和教學水平。
（三）有利于理論和實踐緊密結合，培養學生的多元思維及處理實際問題的應變能力
案例教學平臺為學生設置了結合專業的問題，在處理實際問題的過程中，需要分析、思考、判斷甚至決策，學生可以從中學到掌握應對復雜問題的思路、步驟、程序和方法，在這個過程中可以培養學生學習概率統計的興趣；實驗網絡教學平臺完成概率統計課程與計算機網絡技術的融合。傳統教學的功能都可以通過網絡來實現。
摘要：在現代數學學科基本理論的發展路徑之中，微積分基本理論為概率論與數理統計基本理論的快速有序發展，創造和提供了堅實的支持條件，切實做好微積分理論內容在解決概率論與數理統計問題過程好的應用，對于有效提升我國概率論與數理統計數學理論的發展水平，具備極其深刻的現實影響意義。
關鍵詞：概率論與數理統計；微積分；應用
現代數學學科理論構成體系中的概略倫和數理統計理論內容，能夠針對自然界中出現的隨機事件的統計學規律展開嚴謹的數學運算處理。從數學學科理論體系中不同知識內容之間的相互關系角度展開具體分析，微積分理論不僅是概率論與數理統計理論的基礎，而且概率論與數理統計理論，和高等數學中的微積分理論之間還具備著表征鮮明的相互關聯和相互制約關系，在現代天文科學、生物科學、經濟學、應用工程學、化學，以及物理力學快速有序發展的歷史背景之下，微積分理論和概率論與數理統計理論之間的相互關系呈現了日漸緊密的發展變化特征，為一系列具體化隨機問題的科學化解決創造和提供了堅實的支持條件。有鑒于此，本文將會圍繞概率統計中微積分的應用問題展開簡要闡釋。
一、微積分理論和概率論與數理統計理論的基本概述
不難理解，概率論與數理統計理論，是在微積分基本理論基礎上發展形成的現代數學理論分支，能夠針對隨機事件發展演化規律和外在表現特征的準確考量和描述，由于在具體開展概率論和梳理統計計算分析處理過程中，本身需要充分引入運用大量的微積分學數學運算知識呢運算技巧，因而導致微積分理論知識內容的掌握和運用質量，對于概率論和數理統計工作實際獲取的文預期效果，具備深刻的影響和制約作用。
從具體涉及的知識內容角度展開分析，所謂概率論與數理統計數學理論，其實質就是針對自然界中存在的不確定現象和不確定事件，以及具備結果不確定特征的，或者是具備偶然性表現特征的現象，以及上述現象在實際出現和發展過程中所表現的集體性規律展開初始刻畫描述，并在此基礎上遵照概率論、以及梳理統計分析的數學處理方法，具體統計分析相關數據要素的規律性表現特征。
對于微積分學而言，其優秀的理論內容，在于針對函數的微分以及積分，和函數相關概念以及應用問題展開詳細的數理分析，其理論體系的建構基礎要素在于實數、極限，以及函數等。微積分理論在建立處理過程中，將現代數論值具備觀化表現特征的無窮小量視作其直接基礎，因而在基本理論的發展路徑層次具備鮮明的不穩固性。在數學家柯西、維爾斯特拉斯創立形成的極限數學理論，以及數學家康托爾創立形成的實數數學理論基礎上，有效促進了現代微積分數學理論的基礎內容不斷發展嚴密。
從概率論與數理統計基本理論的歷史發展路徑角度展開具體分析，微積分理論中相關知識內容的不但發展成熟，為現代概率論與數理統計理論的成熟化和公理化發展，創造和提供了穩定為且堅實的實踐支持條件，現代概率論與數理統計理論的系統化和科學化發展，c微積分理論的發展成熟，具備不容忽視的因果關系。
二、概率論與數理統計過程中微積分知識內容的具體應用
為清晰認識概率論與數理統計理論的基本內涵，以及微積分理論的基本內涵，同時清楚分析概率論與數理統計理論和微積分理論之間的相互關系，應當從一系列的實際案例出發，為有關知識內容認識水平的不斷提升，以及有關數理計算分析方法掌握水平的不斷提升，創造和提供堅實的支持條件，本文將試舉幾例展開簡要揭示：
第一，已知有M個好朋友在一張圓形桌子的周圍隨機就坐，假若有兩個朋友是必須要坐在相鄰的作為之上的，則計算求解這一在隨機性研究視野之下，這一事件的發生概率？、
第二，在針對書架上的書實施整理過程中，已知可以將編號為1、3，以及3的三本書在書架上以隨機順序實施排列，如果在所有的排列順序中，至少保證有一本書的由左到右的空間排列順序，與該書編號相同，求解這一事件的發生概率是多少？
第三，一批產品的次品率為5%，從中任取三件進行檢查，每次取一件，檢查后放回，求：（1）三件中恰有一件次品的概率；（2）三件都是正品的概率；（3）三件中次品不超過一件的概率；（4）至少有一件次品的概率。
三、微積分計算分析方法在求解概率論與數理統計問題中的實際應用
（一）級數求和方法
級數是現代高等數學基礎性學科內容構成體系中的重要組成內容，是表述初等函數解析式的基本方法。在運用裂項相消求解函數級數過程中，其最為關鍵的實施環節，在于如何針對級數運算過程中涉及的通項結構實施針對性的拆開處理，并促使其形成可以實施前后相消計算處理的算術項，而通常運用的計算處理方法，往往涉及了分子有理化、分母有理化，以及三角恒等變換等數學處理應用方法，這些方法與微積分中的基本理論具備不容忽視的相互關聯特征。
在針對三角函數形式的無窮級數實施求和處理過程中，需要應用微積分學的有關處理方法，針對基礎的三角極級數公式實施展開處理，通過恰當的函數表達式形式轉化手段，將其轉化為兩項不定式之間的差值，為后續開展級數求和過程創造支持條件。
（二）極限問題的求解
極限問題也是一種比較典型的概率問題，其本身作為現代微積分學理論的重要基礎，對在微積分學基本理論發生發展的全過程中發揮了不容忽視的重要作用，在具體引用極限法求解數列和問題過程中，要運用微積分學基本理論，對數列通項公式展開針對性的變形處理，確保實際求解過程能夠順利取得預期效果。
四、結語：
針對概率統計中微積分的應用問題，本文具體選取微積分理論和概率論與數理統計理論的基本概述、概率論與數理統計過程中微積分知識內容的具體應用，以及微積分計算分析方法在求解概率論與數理統計問題中的實際應用三個具體方面展開了簡要的論述分析，旨意為相關領域的研究人員提供借鑒。
【摘要】文章圍繞應用型人才培養目標，著眼案例教學，啟動實驗教學，實施網絡教學，對概率統計課程的原有教學模式進行改革，構建了概率統計實踐教學平臺.平臺的構建使概率統計教學內容可視化，概率統計計算軟件化，概率統計方法現實化，培養學生動手能力、科學思維能力和創新能力.特別是實踐教學網絡平臺的建設，使概率統計教學由靜態封閉的課堂討論到動態開放的突破時空限制的網上交流；由師生的雙向溝通到師師、師生、生生等團隊的多向溝通.實現概率統計與現代信息技術的無縫對接，適應數字化環境下應用型人才的培養.
【關鍵詞】概率統計；案例教學；實驗教學；網絡教學；實踐教學平臺
一、引言
隨著信息化、數字化、智慧化與產業的融合，促使許多高校轉型為以應用型人才培養為主.緊緊圍繞應用型人才培養模式的基本構成要素――素質、知識、能力三個方面，科學地構建以能力培養為主線，分層次、多模塊、相互銜接的概率統計實踐教學平臺是當前概率統計課程教學改革的重要任務.
二、概率統計課程的教學現狀
概率統計教學存在下列普遍問題，如內容陳舊，一本教材多專業通用，例題與習題不能較好地結合學生專業，致使學生不了解概率統計課程對后續專業課程的影響和作用，學生學習時缺乏熱情和主動性；同時，概率統計課程教學手段單一，一些教師過度依賴多媒體課件，課件內容固定，學生處于被動聽課狀態；現有教材多關注概率統計理論，對如何操作軟件解決實際問題介紹的很少，由于受學時限制，教師也將主要精力放在理論知識講解和計算上，造成理論與實踐相脫節.
三、概率統計教學平臺的構建
為解決概率統計教學中存在的教學問題，有效提高概率統計課程的教學效果，激發學生學習的主動性，培養應用型本科專業人才，我們構建三個實踐教學平臺，對概率統計課程的原有教學模式進行改革，研究內容如下.
（一）案例教學平臺的構建
構建案例實踐教學平臺，將學習者引入教育實踐的情境中.案例的質量是教學成功的基本條件.教師應根據講授的內容和相關知識要點選用或自行設計教學案例，建立具有專業特色教學案例庫.[1]教學案例的來源可以是教師深入企業實際工作中收集的，也可以是教師依據教學內容、參考有關資料、結合社會經濟的實際情況設計的，還可以是由與學校有合作關系的企業提供的.教師根據所教學生專業的特點，結合各專業背景的案例作為基本教學材料，這樣能較好地讓學時了解該課程對后續專業課程的影響和作用.比如給金融、國貿專業的學生講授數學期望和方差的概念，不妨通過一個風險投資的案例來幫助學生理解.通過教師引導學生對實踐案例進行討論研究，培養學生三種能力――動手能力、科學思維能力和創新能力，開辟教學兩條途徑――課堂教學實踐化、實踐教學網絡化，提升實踐教學的學理層次[2]，拓展實踐教學的內涵.
（二）實驗教學平臺的構建
了解概率論與數理統計基本原理是當代經濟與科技時代對于大學生的基本要求，更重要的就是要擁有能運用概率論與數理統計知識建立數學模型、解決實際問題的能力[3]，此外，隨著大數據時代的到來，運用信息技術對海量數據進行定量分析、計算結果、寫出有一定分量的科技報告，更是大學生必須有的素質，因此在理論教學同時，構建實驗實踐教學平臺，通過數學實驗軟件的應用，實現基礎性、提高性、創新性三級實踐教學目標，使實踐教學全方位、多渠道、多形式展開和梯級化推進，使學生在學習相關理論的基礎上，掌握統計計算和分析，實現理論到實踐的轉化.
通過向我校各專業學生介紹Excel，Matlab等各種科學計算軟件，加強應用概率論與數理統計問題的編程計算能力.如Excel電子表格數值函數計算、運籌模型求解、Excel電子表格隨機問題求解、Excel電子表格宏命令編程；Matlab科學計算編程、初步圖形與統計分析、統計工具箱―數據分析、Matlab金融工具箱―金融分析，以上內容既可靈活穿插在概率論與數理統計課程中選講（4課時），也可在數學實驗全院選修課中針對不同專業學生講授.具體來說可以是教師在課堂上選擇一些題目進行簡單的操作，向學生展示概率計算和統計分析的基本步驟.課后提供相應的練習，促使學生在學習中較自然地掌握計算機的實現過程，解決了實踐與教學相脫節的問題.
（三）網絡教學平臺的構建
借助數苑網研發的數學網絡教學平臺，構建概率統計課程網絡教學實踐平臺.利用網絡平臺整合優秀的教學資源，加強教學資源標準化建設.突破傳統的以“課堂、課本、教師”為中心的教學模式，轉向以學生為中心，重能力培養，激發學生的學習積極性、主動性和創造性的教學模式，實現學習個性化、民主化、終身化.平臺內容主要包含精品課堂、網絡視頻、知識檢索、網絡作業、算法演示、在線答疑、在線測試、概率案例和數學欣賞等版塊，為學生自主學習營造了全方位的網絡空間.特別是使用在線答疑系統、MathQ即時數學交流平臺和網絡考試系統，擴展了傳統的面對面的課程問題平臺，解決了師生溝通受時間、空間限制的問題，實現了師生溝通不受地域限制的無縫銜接，完成了概率統計課程與計算機網絡技術的完全融合.概率統計網絡教學平臺的構建，實現了該課程的可視（觀看網絡教學視頻）、可學（學習系列教學資源）、可搜（知識自動檢索）、可聊（mathQ即時在線答疑）、可用（應用數學實驗平臺）、可練（在線練習網絡作業）、可測（在線進行網絡測試）、可賞（欣賞數學文化）、可管（第二課堂的過程化管理）的建設目標.
四、結束語
通過以上三個實踐教學平臺的建設，實現概率統計課程多平臺、立體化、全方位的實踐教學大平臺，為學校應用型人才的培養提供優質的成長環境，為省內同類高校概率統計課程實踐教學體系建設和改革起到一定的借鑒作用.
摘 要：國際經貿是一個無硝煙的戰場，各方之間都是為了利益而進行互相利用。在信息化時代，信息的生產如此迅速，導致信息不對稱出現幾率大幅增加，而信息的不對稱就是經貿合作風險出現的主要原因。本文認為基于或然率和事物規律的概率統計可以應用于國際經貿合作風險的決策，并通過概率統計在風險合作應用中的原理、意義以及案例來論證其適用性。
關鍵詞：概率統計；國際經貿合作；風險決策；應用
一、引言
國際經貿合作風險決策指的是在國際經貿合作的世界貿易環境中，針對合作行為及其原因、過程與結果可能出現的潛在風險進行決策，甚至預測。國際經貿是一個無硝煙的戰場，各方之間都是為了利益而進行互相利用。在信息化時代，信息的生產如此迅速，導致信息不對稱出現幾率大幅增加，而信息的不對稱就是經貿合作風險出現的主要原因。概率統計是基于或然性，預測必然性的數學工具，它在管理、工程、建筑、博彩等行業中起到了一定的作用，其實，概率統計也可以在國際經貿合作風險的決策中發揮巨大的作用。
二、概率統計在國際經貿合作風險決策中應用的原理
1.概率統計原理
概率也稱作或然率，表明了事物不確定性。概率統計則是在廣泛地分析不確定性背后支撐事物分布的規律。一枚硬幣有兩面，拋一次，出現的結果一般只有兩個，正面和反面，并且每一面每一次出現的概率都為0.5。但是我們連續拋三次都是正面，并不能得出一枚硬幣怎么拋都是正面的結論。因此，概率統計是要基于一定數量的重復、一定數量的事件作為分析基礎，才能得出具有科學性、預測性的規律。
2.國際經貿合作風險決策中的概率統計
如前所說，國際經貿合作決策的風險來源于決策雙方信息的不對稱、不透明，當然不可否認也會來自社會環境的變化。風險決策是是在不確定的情況下，對于至少2個以上的行動方案作出決策的一種概率行為、風險行為。每一種行動方案都可能存在風險，這是必然性的風險，但是風險決策的風險是來自于選擇的風險，這種在信息不對稱的情況下，以概率的形式進行分布。決策風險分為概率型決策和不定型決策，二者的主要區別在于事物的統計規律和特性是否被深刻、準確地掌握。
三、概率統計在國際經貿合作風險決策中應用的意義
1.確定風險決策的類型
如前所f，風險決策分為概率型和不定型，并且二者的區別主要是在于事物的統計規律和特性是否被深刻、準確地掌握。不同的風險決策類型最終采取的解決措也相差甚遠。因此，在實際操作過程中，如果在國際貿易合作風險決策中，能夠掌握合作方的規律，那么在進行風險決策時，就會大幅提高準確率，降低損失。比如中國和哈薩克斯坦的國際貿易合作。中國與哈薩克斯坦經貿合作中遇到的風險可分為兩大類以及其他小類，具體情況如下：
分析不同類型的風險，我們可以發現，非經濟風險的可能性比經濟風險要低一些。在1997年-1999年，以石油作為主要貿易國的哈薩克斯坦由于石油市場價格的萎靡而導致國內的石油市場價格的變動，一定程度上導致國內經濟風險的出現。2008年的全球性的經濟危機再一次導致石油國的經濟風險，同樣影響了中國的市場的經濟穩定。
2.概率統計在國際經貿合作風險決策中的最優化選擇
風險決策的條件是必須至少有2個可以備選的情況，那么概率統計在準確認識事物的基礎上，就可以得出在至少2種及其以上情況中得到一個最優化選擇。以中國的對外的多邊貿易為例，中國是一個外貿大國，與多個國家進行了國際經貿合作。國家間交往的一切行動都是為了國家利益，因此把國家看作是追求利益的理性選擇體。具體以中國與美國和英國之間的經貿合作為例。
據統計，2004年中美兩國的貿易總額達到1696億美元，并且在2001年-2003年間，美國對中國出口貿易增長了76個百分點，同時，對其他國家的出口下降9個百分點。可以看出，中美兩國之間的經貿合作是互利的，呈現互相傾向的態度。在2015年，中國對美國出口3960億元，進口1590億元，美國是中國的第二大貿易伙伴；美國對中國出口1240億元，美國自中國進口4666億元，中國是美國第二大貿易伙伴。
那么，中國在國際經貿合作中，具有一定程度的自主選擇權，但是這種自主選擇權必須是基于科學的規律基礎上。以中國與美英兩國的經貿合作為例，我們看到中美之間的經貿一直處在持續增長的增段，而和英國之間的經貿增速總體呈現下降趨勢，在2015年甚至出現了負增長。在二者（美英）及以上的多重因素中，基于概率統計的風險決策起到了這樣的指導作用：保持、加速與美國的經貿合作，盡量維持與英國的經貿合作，最終區分了在二者之間的風險決策的最優結果。
當然，由于概率統計的準確性與多邊經貿的復雜性之間，存在一定的張力，而且多邊貿易不是你死我活的零和博弈，而是雙贏局面。但是，問題在于一個國家的經貿水準、資源擁有量等在一定時期內是相對穩定的，因此經貿資源有限，只能選擇更有優勢的一方，進一步降低國際經貿的決策風險。
四、結束語
本文通過簡化多變國際經貿關系，利用概率統計原理、特性對中國與美英之間的國際經貿的決策風險進行了探討和分析，最終得以證明了基于或然率和事物特性的基礎上的概率統計對國際經貿風險決策的重要應用意義。在這一具有開拓性領域中，如何進一步論證概率統計的應用范圍及其合理性，值得探討。
摘要：本文利用基于國際上非常流行開源軟件R和python進行實驗設計給出圓周率的實驗設計讓同學們感受學習概率論與數理統計如何解決實際問題，這樣的實驗課教學實驗設計教學都有非常好的借鑒意義，還探討了軟件在概率論與數理統計課程實驗教學中應用有幾個應該注意問題，這些都有利于概率論與數理統計教學效果的提高和教學目標的實現。
關鍵詞：課程設計；R軟件；Python軟件
一、大類招生背景下軟件在概率論與數理統計課程教學中應用需求分析
概率論與數理統計課程教學改革隨著大學從專業招生到大類招生的轉變，課程教學諸多改革逐步展開，為了激發同學們的學習興趣，克服概率論與數理統計抽象難懂的特點，借助軟件進行數學實驗課的引入顯得尤為突出。關于數學實驗課的教學不少專家進行了研究[1]，早在本世紀初，西安郵電大學李昌興、史克崗[2]（2003）在總結西安郵電學院多年的數學實驗和建模教學的基本內容上探索出了較好的數學實驗課的教學方法，近年來隨著統計軟件的發展和推廣，相信軟件的加入會對數學課程的教學增加新的活力和創新性的方法；朱旭[3]（2004）在文獻中也探討了如何通過開展數學實驗教學來加強學生科學素質培養，如何通內容體系和教學方式的改革、通過在數學實驗的教學實踐中充分發揮課程的育人作用培養提高學生的科學素質；趙禮峰[4]（2011）研究了數學實驗課程在實際中對大學生素質培養的一系列重要作用；張序萍、韓曉峰、呂亞男[5]（2011）研究了煤炭院校大學數學實驗教學體系的構建，談到了概率論與數理統計等課程實驗教學的組織實施。《概率論與數理統計》作為重要公共課程數學類的課程之一，是全國研究生入學課程的考試課程之一，也是今后工科類、經濟類、醫學類等領域的重要基礎課程，如何借助統計軟件加深對概率論與數理統計教學概念、方法的認識，引導更加科學的教學方法就要借助較好的教學工具才能激發學生的學習興趣，培養學生的學習熱情，進而養成好的學習習慣，這就為能力的培養奠定基礎。
現在流行的軟件非常多，比如商用軟件統計軟件SAS、SPSS、Stata，還有開源軟件R、Python，通用數學軟件matlab等，商用軟件進行統計分析效果好，但是對學生來說負擔太重并不可取，我們想借助國際上比較流行的兩款開源軟件R、Python，結合具體的內容比如如何引導學生編程來實現圓周率的計算，圓周率最早由我國古代數學家祖沖之求出較為精確的數值，后來西方數學家也計算出圓周率，那么我們就想引導學生自己通過這兩款軟件編程實現圓周率的近似計算，同時也對近似概率加深了理解。
二、以基于R、Python芍秩砑編程實現圓周率的計算為例引導學生進行興趣學習
1.基于Python軟件的圓周率編程計算分析。Python是1989年由荷蘭人Guido van Rossum研發的一種面向對象的解釋型計算機程序設計語言，早在1991年就有公開發行版問世。其語法既簡潔又清晰，它的庫非常豐富和強大。它能夠把用其他語言制作的各種模塊輕松地聯結在一起。Python的官網地址：https：///，Python可以從其官方網站獲取各種資源，且大多數都是免費的，有利于學生們的安裝及下載。（1）圓周率計算機軟件近似計算的建模分析。在學生學習隨機事件和隨機數的基礎之上，給學生強調我們計算機產生的隨機數和物理方法得到的隨機數還是有一些不同，但通過仿真模擬可以達到所要求的精度，所以我們可以通過偽隨機數進行仿真模擬實驗。設X、Y獨立并且都在（0，1）區間上服從均勻分布，首先我們定義示性變量I：I=1，X+Y≤10，其他，則E（I）=P（X+Y≤1）。根據幾何概率論所學概念我們知道隨機點落在四分之一圓內的概率即為P（X+Y≤1）=π/4，而概率我們可以用大量重復事件的頻率來近似代替，進而計算出圓周率的近似值，隨實驗次數的增多可以達到要求的精度。（2）圓周率計算機軟件近似計算的Python編程分析。Python有3.5版和2.7版，本程序可用2.7.11版本完成，進入python官方網站可以下載Python的2.7.11版進行免費安裝，調用python的numpy、random、pandas等模塊后就可以運行如下的程序得到近似的計算值，精度要求可通過改變模擬次數達到，如果模擬次數是千萬次級的運行比較快但精度稍差，如果模擬次數是億次級或更高的得到的精度就比較高，但是運行的時間比較慢，實踐教學中希望教師引導學生各種情況都嘗試一下，激發他們的學習興趣。程序中充分利用了Python提供的求和函數sum，并且程序非常簡潔，程序如下：[1]import numpy [2]import pandas [3]import random [4]from random import random [5]n=10**8 [6]pi=sum（1 if random（）**2+random（）**2
2.基于R軟件的圓周率編程計算分析。（1）R語言產生發展簡介。R語言產生于1980年前后，在統計領域使用廣泛，R語言是源于S語言，兩者有著千絲萬縷的聯系。AT&T貝爾實驗室開發了S用來進行數據探索、統計分析和作圖。后來Robert Gentleman和Ross Ihaka（新西蘭奧克蘭大學）及其他志愿人員一起開發了一個R語言系統，由“R core team”進行研發。由于R語言的開源性和廣泛的兼容性使得R在國際學術及研究機構快速流行起來，官方網址是：https：///，可以從R官方網站獲取各種資源，大多數都是免費的，有利于學生們的安裝及下載，下面我們就基于R軟件的圓周率編程計算分析進行探討。即首先用計算機可以計算出落在四分之一圓內的模擬點數，它與所有落在正方形內的點數之比，當模擬次數非常多時，即近似為π/4，模擬頻率的四倍就是π近似的計算值。（2）圓周率計算機軟件近似計算的建模分析。（3）圓周率計算機軟件近似計算的R程序模擬500次的近似結果是3.112（程序略）。
通過實際的計算機編程模擬學生會對概率中的相關概念比如：隨機事件、概率與頻率的關系、大數定律與中心極限定理、如何把所學知識糅合在一起，而且有了更深刻的理解，為將來解決實際問題打下好的基礎。
三、軟件在概率論與數理統計課程教學中應用注意的問題及結論
1.應用軟件幫助學生理解難點，突出教師的主導與學生主體相結合，不論是單開數學實驗課還是在教學中穿插引用，教學手段上都離不開突出軟件的吸引力，使學生學習更加有興趣、更加易于激發學生創新能力。
2.現在流行的軟件都有比較好的界面、可視化功能更加強大，更易于抽象問題形象化；但也要注意基礎完整理論體系的學習仍然非常重要，不能過分依賴軟件，運用軟件要和實際結合，比如進行實際數據的統計分析，不能簡單地運用軟件求出數值結果，要結合實際意義去進行解釋；引導學生發掘自我的創造性。
3.無論是驗證式教學還是探索式教學，都要選擇選擇合適的軟件，我們推薦的兩款軟件都可以非常方便地下載安裝，如果是慰式課程就要認真設計好組織考核，好的組織考核形式也是督促同學們學好基礎知識的重要方法。
總之，通過這些方法培養學生的求知欲，帶著問題通過自己編程獨立地解決實際問題；大類招生下，由于沒有分具體的專業，大一學年是剛入學的大學生必須抓住的重點學年，尤其是大學的教學和管理體制和中學差異非常大，引導學生自主獨立地去學習、去解決困難更值得提倡，這也使概率論與數理統計的教學更加易于理解、更加利于接受，從而使教學效果全面提高。
摘要 對普哇松分布的概率計算中的POISSON函數的應用及注意事項進行闡述，在POISSON函數的提示框中最后選項如果選“false”，則結果是顯示P（X=x）的概率，而當最后一項選擇“true”，則顯示的概率是P（X≤x） 。普哇松分布的概率計算上來看，Excel統計分析功能略勝于SAS和SPSS。
關鍵詞 Excel；生物統計學；普哇松分布；POISSON函數
生物統計學是研究數據資料的收集、整理、分析、解釋的一門科學[1]，也是畜牧、獸醫、農學、微生物、醫學等領域中不可缺少的統計工具，越來越多的數據分析離不開生物統計學的原理。在生物統計學中的上機實習是提高學生動手能力和解決問題能力的重要環節，在本次的教學改革與實踐中，已經把二項分布、正態分布、普哇松分布等的概率計算納入生物統計學的實踐教學中。一方面可以讓學生針對不同數據清楚其分布類型，針對不同分布類型選用不同的Excel函數模塊，另一方面通過不同分布的概率計算，可以將課本上所學的知識很好地應用于實踐數據分析。本文主要介紹利用Excel中的POISSON函數來計算普哇松分布的概率，現就POISSON函數的具體應用情況及注意事項進行介紹。
1 普哇松分布
普哇松分布（Poisson，也稱泊松分布）是二項分布的一種極端形式，就是說某種試驗結果或某種事件發生的概論極低（P很小）。因此，在應用中很容易將普哇松分布與二項分布混淆，普哇松分布的特點就是λ=π=σ2。普哇松分布的概論函數為[1]：
2 普哇松分布的概率計算示例
例題：已知某地區的牛群中每年出現怪胎的次數服從普哇松分布，每年出現怪胎的次數的平均數為2，計算該地區一年中出現3次怪胎的概率以及出現3次和3次以下怪胎的概率。對于這一問題，很顯然牛群中每年出現正常胎和怪胎2種結果，而且怪胎出現的概率極低（平均2次），因此其屬于普哇松分布。由于已經知道“每年出現怪胎的次數的平均數為2”，即就有λ=μ=2，因此該地區為出現3次怪胎的概率為：
2.1 出現3次怪胎的概率
利用以上公式可以直接計算普哇松分布的概率，但是因為需要記住公式，并且需要手動來計算，所以還是比較煩瑣的。對于這一問題，可以借助Excel中的函數來快速計算出其概率。
首先在Excel中，選定空格按照以下順序：插入―fx函數―統計―POISSON，出現圖1提示框，在提示框中從上到下依次輸入3、2、false，點擊確定。就可以獲得該地區出現3次怪胎的概率為0.180 4。
2.2 出現3次及3次以下怪胎的概率
首先在Excel中，選定空格按照以下順序：插入―fx函數―統計POISSON，就會出現圖2提示框，在提示框中從上到下依次輸入3、2、true，點擊確定。就可以獲得該地區出現3次及3次以下怪胎的概率為0.857 1。
3 結語
隨著計算機技術的發展，已經有更多的軟件被應用于生物統計學，如Excel[2]、SAS[3]、SPSS[4-5]等，但是不同統計軟件具有著不同的統計特點，如Excel統計功能更為簡單，適合生物統計學的初學者。SAS統計功能比較寬廣些，因其統計模塊的限制，所以更適合能夠自己編寫程序的學者。SPSS的統計功能更為強大，幾乎具備了所有的統計分析功能，操作相對簡單、直觀[6-8]。
雖然從統計分析上來看，SAS和SPSS的統計分析功能略勝于Excel，但是Excel也具有其獨特的地方，如對二項分布、正態分布、普哇松分布等常用分布的概率計算來說Excel就顯得簡單多了。在普哇松分布的概率計算中雖然就是一個POISSON函數，但是針對不同問題這個函數里最后面的選項卻不同，在POISSON函數的提示框中最后選項如果選“false”，則結果是顯示P（X=x）的概率，而當最后一項選擇“true”，則顯示的概率是P（X≤x）[9-11]。
摘要：在我們這個經濟迅速發展的信息時代，經濟全球化已經實現，因此經濟分析中越來越重視概率和數理統計的應用，這是一門數學的學科，但是它的主要研究對象是一些沒有固定規律的統計規律，并且可以演繹和歸納出經濟中出現的隨機現象的統計規律，因此對于如今經濟發展迅猛的我們來說，在經濟分析中進行概率和數理統計的應用成了十分重要和不可缺少的東西。
關鍵詞：經濟分析；概率；數理統計
對于把概率和數理統計應用到經濟分析中完全是為了可以更好地為經濟發展做貢獻，這是因為概率和數理統計在經濟分析中有高效、實用和簡潔的效果，可以大大提高經濟分析的準確性，便于我們對于經濟進行統計和分析，幫助我們在了解經濟、分析經濟的走向中起到重要的作用。
一、概率與數理統計的含義
概率與數理統計是屬于數學中的一個具有特點的分支，它研究的對象都比較獨特，有自己獨特的思考方法，同時它又與許多的學科尤其是經濟學科有很密切的聯系，內容深刻而豐富，是數學的重要組成部分之一，如今已經得到了廣泛的關注和使用。就目前來說，概率與數理統計已經可以獨立地去看成一個學科，因為它在我們生活中的各個方面都有很大的用處，不管是工業、農業還是對于信息技術要求嚴格的軍事和科技方面，概率與數理統計都得到了廣泛的應用，并且有了很好的效果出來；同時它又不是完全獨立的一門學科，它同時都和很多的基礎學科有相合滲透的作用。因為概率與數理統計涉及的方面比較廣泛，不能逐一的進行解釋，在這里我們主要講到的是概率與數理統計在經濟分析中的應用，以及我們對它的應用評價，簡單地說就是了解和分析在經濟分析中為什么我們要重視概率與數理統計的應用。
二、概率與數理統計對防范金融風險的作用
（一）在管理決策中的應用
經濟屬于一種活動，雖然具有一定的自發性，但是對于各個公司來說，經濟的走向和規律是可以進行探究的，研究出了有利于自己公司的經濟規律就可以很好的發展自己的公司和發展經濟，因此需要做好公司的經濟決策和管理工作，在幫助公司做好管理和決策的過程中，概率與數理統計起到了不可替代的作用。例如我們熟悉的正態概率分布，它的作用是用來描述連續性隨機變量的概率，這個概率被普遍運用在經濟的管理中，因為通過這個概率就可以迅速而有效地找到與這個概率有關的各個方面的信息，而這些信息都是幫助公司的管理階層明白市場經濟狀況，自家公司的經濟規律的現狀，從中可以分析出許多有關經濟的信息，而通過這些信息的輔助，我們可以更好地制定或是調整自己公司的決策和計劃，靈活變通。
（二）在預防投資風險的作用
經濟市場是多變的，不會一成不變地維持原本的樣子，但是在一般情況下這個變化又不會太過離譜，也就是說在進行經濟分析中，我們不能忽略的一個重點就是經濟投資具有一定的風險性，是賺還是賠并不總是固定，但是我們總能夠找到辦法來解決我們的困難，而對于經濟投資的風險，要想預防經濟投資的風險或者是降低這個風險，我們都會使用到概率與數理統計的方法。就拿股票的投資來說，通過概率的計算我們可以很明確和清晰地看出投資的股票數量越多，那么贏得利潤的概率要比買的股票數量少的大得多，這些都是可以用概率和數理統計計算出來的，所以在經濟分析中進行和股票投資有關的各種決策時，大部分有能力的人都會選擇投資盡量多的股票來分散風險，這樣就可以使自己獲得利潤的可能性大大增加了。當然，從股票投資的這個例子就可以看出來，概率與數理統計在經濟分析中的作用是比較有用的。
三、概率與數理統計對控制產品質量的作用
現在的人們都過上了比較好的生活，我們開始要求質量而不僅僅是要求數量，在經濟中 同樣也是這樣，我們的消費者在面對各個商品和消費品時已經更多地考慮到了質量是否合適的要求，因此企業要想打敗競爭對手順利地在經濟市場上站穩腳跟，那么他們企業的產品質量就需要進行嚴格的控制和保證，因此就需要重視概率與數理統計在進行產品質量合格檢測的過程中所起到的作用，這是因為現在科技發展迅速的時代企業進行生產的時候大部分都已經進入了機器自動化生產的時代，這個時候利用概率與數理統計的應用可以定向進行質量控制或者是利用得到的數據進行圖形的分析，清晰明了地反映產品的數量和質量合格的數量或是概率的變化等和產品質量有聯系的各種數據的結果。例如我們都知道的每個產品在出廠時的重量是有要求的，并且這個重量要是超了就會導致生產成本增大，減少了企業的利潤，但是若是少了就會損壞了顧客的利益影響企業的信譽，所以要盡力使產品的重量達到標準，像上面所說的一樣利用概率與數理統計將平均值描繪成條形圖，這樣就可以很清晰地看出產品的重量是否有超出限定的最高值或者是沒有達到限定的最低值。
結語
概率與數理統計在經濟分析中的作用是顯著的，這一點從我們這篇文章中所提到的各種內容中可以看出來，概率與數理統計在經濟分析中不僅僅是一種輔助的工具，同時也是經濟分析的一個重要分析手段，在概率與數理統計的幫助下，對于經濟的各種走向、過程、制造效果等和經濟有掛鉤的各種方面都成了我們進行經濟分析所要去分析的對象。如今我國的經濟發展勢頭已經不如之前的發展速度快，開始趨于平緩，因此我們應該利用好概率與數理統計做好經濟分析，幫助我國經濟發展可以持續穩定地繼續發展。
作者簡介：
何志華（1964.10- ），男，四川南充，工學學士，講師，研究方向：數學在證券、金融、管理、計算機等領域的應用。
摘 要 “概率論與數理統計”是最重要的公共基礎課程之一，其理論嚴謹，應用廣泛。采用案例教學法，能充分調動學生的學習積極性。本文討論了案例教學法應用于“概率論與數理統計”課程的意義，方法與步驟以及案例的選用準則。
關鍵詞 概率論與數理統計 案例教學法 準則
0引言
“概率論與數理統計”是一門研究隨機現象規律的學科。它用統計的思維和方法探索不確定性的客觀世界，用隨機性思維認識人類社會中各個領域的非確定性事物。它特有的探索思想滲透于現代生活的方方面面，成為眾多學科領域不可替代的常用分析工具。通過學習該課程，學生既可以獲得概率論與數理統計較為全面的基礎知識和方法，又能學到觀察客觀世界的隨機性思維方式，掌握處理不確定性問題的隨機分析、統計分析和數據處理技術，培養用隨機性思維分析、解決問題的能力。
目前，在該課程教學中，仍存在“填鴨式教學”現象，教師占據著絕對權威地位，學生則被動接受。而“概率與數理統計”這門課程具有理論方法獨特、抽象的特點，使得這門學科的思維方式與以往學生們接觸的數學基礎課程有較大的區別。若一味機械地進行定義、定理等講解，會讓學生感到該課程枯燥乏味，無法取得良好的教學效果。
怎樣激發學生的積極性與主動性，培養能把理論與實踐相結合，具有創新精神的人才，是我們必須面對的重要課題。在上世紀初，美國教育學家杜威針對傳統教育的弊端，提出了“明了―聯想―系統―方法”教學四個階段的創造性觀點，注重培養學生發現問題、解決問題的技能，即“確定問題情境―提出解決方案―搜集資料驗證、假設―得出結論。”強調將實際案例融入到教學中，通過讓學生緊密合作來解決實際案例問題，再學習案例背后隱藏的科學知識，形成解決現實問題的技能，并培養自主學習能力。案例教學法起源于上世紀20年代，最早由哈佛商學院提出，當時他們采用的案例都是來自經濟管理中的真實事件。到了20世紀80年代，由于美國卡內基小組于1986年提出了《準備就緒的國家：二十一世紀的教師》報告，報告中特別指出了案例教學法在師資培育課程的價值，并提出案例教學法是一種相當有效的教學模式，案例教學法才得到重視。案例教學法于1990年起開始在我國教育界受到重視，發展至今已頗具成效，現在我國每年還舉辦全國應用統計專業碩士案例大賽。下面就案例教學法的意義、步驟及選用標準進行闡述。
1 案例教學法的意義及作用
案例教學法主要有三個作用：一是激發學生的學習興趣和主動性；二是提高學生解決實際問題的能力；三是提高學生的創新能力及團隊合作能力。總之，它是一種既能提高學生的綜合素質，又能將理論與實踐相結合的有效教學模式。①
（1）激發學生的學習興趣和主動性。案例教學法將現實世界中的實際案例帶入課堂，讓學生獨立思考與分析，此時教師已轉變了角色，教師不再是絕對權威者，成為學生主動學習的引導者，這樣不僅能激發學生的學習動力，還能培養學生的學習興趣。
（2）提高解決實際問題的能力。“概率論與數理統計”課程的許多內容都與生活和生產實踐緊密相關，案例教學法不僅能使學生更加深入地理解理論知識，還能促使學生把所學的理論知識運用于實踐。針對實際案例，結合統計計算軟件，從而能提高學生解決實際問題的能力。
（3）提高創新能力及團隊合作能力。案例教學法應用于課堂的過程中，學生的主體地位得到了尊重，教師則起到引導作用。一般情況下教師將學生分成若干個學習小組，每個小組圍繞教師提供的實際案例展開討論，各成員進行積極思考與發言，在教師的引導下提出解決問題的有效方法。這樣不僅可以培養學生的團結協作能力，又可以從不同角度理解掌握理論知識，最終獲得創新能力與團隊協作能力的提高。
2 方法及步驟
2.1 案例精選
教師要結合“概率論與數理統計”課程中的理論知識點，有針對性地精選現實世界中典型的案例，再在教學中以恰當的方式展示給學生，激發學生的積極性及主動性，讓學生帶著案例去理解消化課本中的理論知識，有效提升學習效果。在精選案例后，教師要注意三個方面的內容：一是確定案例的展示形式，以使學生能充分理解案例內容；二是教師要根據案例設置出能體現教學重點及難點的問題，讓學生容易將課本理論知識融入案例中，去發現問題、提出問題，進而提出解決問題的方法；三是教師結合案例提出的問題要能體現課本中的知識點，要易于學生接受。問題要由淺入深地展示給學生，使得課本中的理論知識充分融入案例教學中。
2.2 案例討論
實施案例教學法的關鍵是激發學生主動參與案例討論。教師在教學前精選一個典型案例，然后依據教學目的，整理出相應問題，調動學生的探討興趣，促使學生利用課內外所學的理論知識對案例展開積極討論。每個人在討論過程中要發表各自的思想與觀點，然后各組或班級對討論的結果進行總結，最后教師對學生的討論結果進行點評，從而使學生得到啟發，培養了學生解決實際問題的能力。
2.3 案例總結
教師總結是實施案例教學法的最后一步，也是關鍵一步。在案例總結中，教師要及時評價學生的優缺點，分析案例的疑難點，有針對性地進行擴展分析。教師要從不同角度對學生討論中存在的問題加以指導，用不同方法來解決案例中的問題，結合常用的統計軟件（R、SAS等）編程來解決問題，再總結出最佳方案。希望通過案例總結，使學生學會運用所學知識來解決問題，最終讓學生能舉一反三、觸類旁通，使所學到的理論知識得以延伸及應用，解決現實中的相關問題，也可以提高學生的計算能力。
3 選用準則
3.1 趣味性
興趣是最好的老師。概率論與數理統計中有很多有趣的典故和例子都來源于生活。教師可以引用實際案例，激發學生的學習興趣。比如在講古典概型時，可以給學生舉賭徒分賭金的例子：甲、乙兩賭徒分別下賭金500，約定誰先贏5局，誰就能獲得全部賭金。賭了半天，甲贏了4局，乙贏了3局，他們不想賭下去了，應該怎樣公平地分配賭金？有些例子可以用玩游戲的方式呈現出來，例如關于有獎競猜的蒙提霍爾問題。教師可以給學生設置場景，假如學生在參加一個電視有獎競猜節目，教師給學生三個箱子，編號分別為A、B、C，其中有一個箱子里有獎（教師知道哪個箱子有獎），學生選擇了其中一個箱子（假如是A箱），教師打開了B箱，并讓學生看到B箱里沒有獎，此時教師可以問學生：“給你一次機會，你改變自己的主意，會選C箱嗎？”這些是有趣的例子，學生期待找到答案，學習動力會更足。
3.2 典型性
案例是為教學目標服務的，所選案例應該與相應的理論知識有直接聯系，因此它應該具有典型性。比如討論抽簽公平性問題，講古典概型時可以提問題：盒中有a個黑球，b個白球，把球隨機地逐個取出（不放回），那么事件A：“第k（1≤ k ≤ a+b）次取到黑球”的概率？講解條件概率時，可以提問：5張簽中有3張“有”，2張“無”，5人依次抽簽（不放回），那每人抽到“有”的概率是多少？ 所以教師應該精心選擇有代表性的案例，并且給學生歸類總結，舉一反三，會達到事半功倍的效果。
3.3 知識性
有一些概率統計問題，可利用別的數學知識來加以分析解答。反過來，其它一些數學問題，也可以利用概率統計的知識來解決。因此教師可以列舉一些表面上不屬于概率統計范疇內的問題，利用概率統計的思想方法，建立適當的概率模型，通過統計軟件編程去解決這些問題。如利用概率統計模型可以求解很難直接計算的積分、極限等數學問題，增加概率論與數理統計的知識性，激發學生的學習興趣。
3.4 實用性
在案例選取過程中，還要注意增加與實際生活貼近的例子，如：電影院設座問題、捕魚問題、諸葛亮與臭皮匠問題、庫存與收益問題、彩票中獎率問題等。對這些案例的背景、解決方法、所涉及的知識點等進行講解，再介紹用統計軟件解決這些實際問題，不僅能提高學生的積極性，也能使學生明白概率統計是建立在現實生活基礎上的一門應用性很強的學科，從而使學生認識到這門課的重要性。引入案例后，要引導學生對每一個案例進行分析，思考下列問題：（1）要解決的問題是什么？（2）有些什么方法可以來解決這個問題？（3）怎樣運用這些方法來解決問題？（4）如何用統計軟件編程來解決實際問題？這樣能使學生理清思路，從整體上把握概率統計的基本思想。
4 小結
總之，在“概率論與數理統計”課程中應用案例教學法，無論是在教學內容上，還是在教學形式、方法和手段方面，都是對傳統數學教學模式的一種發展和補充。案例教學法充分體現和尊重了“從實踐到認識，再從認識到實踐”的發展規律，使抽象的理論易于接受和理解，是教學改革中的有益嘗試。
摘 要：概率與統計是最能反映數學應用的教學內容，在注重數學應用能力培養的當下，對教學設計提出了更高要求。通過基礎概念、數學模型、解題方法、實際應用的逐層深入教學，能幫助學生由淺入深地進入學習角色，從而實現數學能力的提升和數學邏輯的養成。
關鍵詞：高中數學 概率 統計 教學策略
概率與統計作為高中數學的重要教學模塊，是數學邏輯、數學能力的重要載體。同時概率與統計知識作為生活實際的數學抽象與科學升華，也是解決實際問題的重要方法。隨著教學改革對借助數學思維解決實際問題能力要求的提升，概率與統計問題越發受到師生的重視。通過對蘇科版高中數學教材中概率與統計內容的研究，我發現，本部分內容涵蓋概念性內容多，介紹的統計方法全，整合的概率模型廣，這對于學習與教學而言，難度大、任務重、教學矛盾突顯。然而，概率與統計知識的規律性強，方法普適，所以我提倡在教學中注重教學層次的剖析，以促進內容教學的邏輯性和框架感，實現知識的內化。
一、借助生活實踐，滲透基本概念
教材中關于概率和統計的內容可劃分為兩個章節，對于相關知識點的介紹較為全面，其中相關概念較多。概率與統計所涉及的概念具有表述相似性高、概括性強的特點，很容易混淆。基于概率與統計實質源于生活又高于生活的特點，我建議在概念型知識的講解中，應廣泛借助生活經驗的規律，以輔助概念理解。因此，在備課階段，教師要對概念性的內容進行深入剖析，掌握其實質與內涵，簡化為數學模型；然后甄選出生活中的常識與現象，結合數學模型進行科學演化，實現概念與嘗試的有機結合；最后利用生動的語言及動畫演示來輔助教學，實現概念的教學。
例如，所謂簡單隨機抽樣是指從個體數為N的總體中不重復地取出n個個體（n
在課堂教學活動中，對隨機抽樣概念中涉及的總體、個體、抽樣方法和要求進行“對號入座”。通過經歷抽樣過程，幫助學生更直觀地理解概念。在講解的過程中，教師可通過多媒體向學生列舉生活中的抽樣過程。如煮餃子時，通過試吃來判斷整鍋的成熟度；如質檢員對產品質量抽檢的過程，等等，以此幫助學生加深對概念的掌握和理解。
摘要： 討論了案例式教學法在概率論與數理統計課程教學中的應用，并給出了幾個具體的教學案例。
0 引言
概率論與數理統計是理工科各專業的一門重要的基礎課程，其理論方法獨特，抽象，既有嚴密的數學基礎，又與眾多學科有著密切的聯系，其理論方法已廣泛應用于自然科學，社會科學及人文科學的一切領域。隨著科學技術的迅速發展，它在經濟，管理，工程，技術，金融，物理，化學，地理，天文，生物，環境，教育，語言，國防等領域的作用愈益顯著。隨著計算機的普及，概率統計思想方法已成為信息處理，制定決策，試驗設計等的重要理論與方法。可以說，凡是有數據出現的地方，都不同程度地應用到了概率統計提供的模型與方法。為了更好地促進學科的發展，適應經濟，社會迅速發展的需要，文獻[1，2]對本課程的改革與實踐做了一些探索。本文對案例式教學法在概率論與數理統計課程的教學改革作一些探討。
1 概率論與數理統計課程的特點
概率論與數理統計課程是研究隨機現象統計規律性的數學分支。其理論方法獨特，抽象，它建立在公理化結構之上，理論嚴密，體系完整，同時，它的實踐性又很強，很多重要的統計思想，方法都是來自于實踐，又運用于實踐。概率論與數理統計課程的這種實踐特點決定了在本課程的教學過程中有必要通過引入案例分析，以問題解決為驅動，提高學生的以發現問題、分析問題、解決問題為主的實踐能力。
2 案例式教學法
現在，有一種流行的教育教學方法稱為“案例教學”。“案例教學”就是通過實際問題的描述、假設、建模與求解，演示理論與方法的應用過程。數學上，這樣的教學方式就是所謂的“問題解決”的數學建模的思想。這種方法不拘泥于對理論和方法的闡述，更注重對理論與方法的實際應用過程的展示：包括問題的描述、所涉及的變量及其相互關系、問題的假設與簡化、問題的數學模型的建立與求解。即案例式教學是以問題為中心的一種教學方法，以問題為主線，發現問題，分析問題，解決問題，以問題開始，以解決問題結束。通過這種教學方式，可強化學生對基本概念、方法的理解，激發學生的學習興趣。
3 案例式教學法在概率論與數理統計課程中的應用
在概率論與數理統計課程教學中，在介紹完每一章的基本概念、理論、方法之后，適當的引入一些相關的教學案例，可以激發學生的學習興趣，加深學生對所學基本知識的理解，通過對案例的深入分析，可以強化學生發現問題、分析問題、解決問題的能力。下面介紹幾個在本課程中使用的案例。
3.1 運氣問題 此問題通過對日常生活中的運氣問題的分析，加深了大家對古典概型中相關知識與方法的理解[3，4]。問題如下：日常生活中，我們經常遇到某件事（結果）連續發生，如打牌時連續摸到好牌（或臭牌），是否存在我們所說的運氣？下面運用古典概型相關方法對此進行深入分析，以使學生對此問題有更深入的理解。
我們運用擲硬幣試驗對打牌問題進行描述：第i次擲出正面表示第i次得到好牌，用“1”表示；第i次擲出反面表示第i次得到臭牌，用“0”表示。
【摘要】隨著科學的發展，數學在生活中的應用越來越廣泛，生活的數學無處不在。數學期望同樣在生活中的眾多領域都有著重要的而應用。本文通過一系列的生活實例來說明數學期望從理論到實踐上都具有重要意義！
【關鍵詞】概率統計；數學期望；風險決策
面對隨機現象，優化決策的正確通常是指隨機變量的均值，面對決策方案即將數學期望最大的方案作為最佳方案加以決策。如果知道任意方案Aj（j=1，2…，m）在每個自然狀況（影響因素）Si（i=1，2…n）發生的情況下，實施方案Aj所產生的盈利值P（Si，Aj），及各自然狀況發生的概率P（Si），則可以比較各個方案的期望盈利：EP（Aj）=選擇其中期望盈利最高的為最佳方案。
一、風險決策問題
例1、某商場要根據天氣預報來決定節日是在商場內還是場外開展促銷活動。統計資料表明，每年國慶節商場內促銷可獲經濟效益2萬元，場外促銷活動中遇到有雨天氣則帶來經濟損失4萬元，無雨可獲得經濟效益10萬元，9月30日氣象臺預報國慶節當地有雨的概率是40%，商場應該選擇哪種促銷方式？
二、投資決策問題
例2：某人有10萬元，有兩種投資方案：一是購買股票，二是存入銀行獲取利息。買股票的收益取決于經濟形勢，假設可分三種狀態：形勢好、形勢中等、形勢不好（即經濟衰退）。若形勢好可獲利4萬元，若形勢中等可獲利1萬元，若形勢不好要損失2萬元。如果是存入銀行，假設年利率為8%，即可得利息8000元，又設經濟形勢好、中、差的概率分別為30%、50%和20%，試問選擇哪一種方案可使投資的效益較大？
三、方案決策問題
例3、某冷飲店需要制定某種冷飲在七、八月份的日進貨計劃。該品種冷飲的進貨成本為每箱30元，銷售價格為每箱50元，當天銷售后每箱可獲利20元，但如果當天剩余一箱，就要因冷藏費及其他原因而虧損10元。現有前兩年同期共120天的日銷售量資料，其中日銷售量為130箱有12天，日銷售量為120箱有36天，日銷售量為110箱有48天，其余24天的日銷售量也達100箱。請對于進貨量分別為100箱、110箱、120箱、130箱四個方案給予決策。
根據前兩年同期日銷售量資料，進行統計分析，可確定不同日銷售量的概率。
四、求職決策問題
中國社會市場化進程越來越快，用人單位在招聘人才時，除了明確所招人員的學歷條件和能力之外，一般還會重點申明所招不同崗位人員的年薪值.而當今社會的價值取向主流是，勞動者盡其所能付出勞動后，希望獲得盡可能大的薪酬回報，我們認為這是推動社會向前發展的重要因素.現在大學畢業生以年薪期望值作為擇業決策的主要依據正是這種價值取向主流的具體體現. 大學生在求職面試多個機會過程中，其年薪期望值是一個動態數據，只有在其擇業決策做出后才能相對確定下來，因此，做出好的擇業決策就顯得相當的重要.以下為了說明問題，通過一個已簡單化了的實例，通俗說明如何把握這個動態的年薪期望值來準確做出擇業決策的方法.。
例4：有三家公司都為碩士畢業生李宏提供了就職面試的機會，按面試的時間順序，這三家公司分別記為A、B、C，每家公司都可提供極好、好和一般三種職位，每家公司將根據面試情況決定給予求職者何種職位或拒絕提供職位，若規定求職雙方在面試以后要立即決定提供、接受或拒絕某種職位，且不容許毀約。咨詢專家為李宏的學業成績和綜合素質進行評估后認為，他獲得極好、好、一般職位的可能性分別為0.2、0.3、0.4。三家公司的工資數據如下：
五、試驗決策問題
例5：某新工藝流程如投產成功可收益300萬元，但投產之前，必須經過小型試驗和中型試驗，試驗經費分別需2萬元和36萬元，小型試驗的成功率為0.7，如果連做兩次小型試驗，則成功率可提高到0.8，在小型試驗基礎上的中型試驗的成功率為0.7，如果直接搞中型試驗的成功率為0.5，應該如何決策，才能獲利最多？
作者簡介
1.李桂范（1963--），女，黑龍江哈爾濱人，副教授。
2.蘇敏（1963--），女，黑龍江哈爾濱人，副教授。
摘要：本文以吉林農業科技學院為例，對應用型本科院校《概率論與數理統計》課程的教學模式從教學思想、教學內容、教學方法、手段等方面進行了探索和研究。
關鍵詞：應用型本科；概率論與數理統計；教學模式
從目前每年畢業的本科院校畢業生學歷層次上來看，本科的教育不再是精英教育，而是大眾化教育，培養出來的大學生也不再是高級人才，而更趨向于應用型人才。在某種程度上來說，本科教育培養出來的畢業生是職業型人才。
《概率論與數理統計》課程是大學重要的基礎課程之一，有著深刻的實際背景，在自然科學、社會科學的幾乎所有分支都有廣泛的應用。在發達國家，《概率論與數理統計》是一門幾乎所有的大學生都必須學習的基礎課。《概率論與數理統計》是研究隨機現象的數量規律性的學科，不同于高等數學、線性代數等研究確定性現象的數學分支，有其鮮明的特殊性。
作為應用型本科院校，《概率論與數理統計》已有教學模式并不適用，也不能滿足培養應用型人才的要求，這就需要進行相應的教學改革，來更好的為國家及地方培養應用型人才，使《概率論與數理統計》發揮出更好的作用。本文希望對《概率論與數理統計》教學模式進行研究，來探索應用型本科院校如何進行《概率論與數理統計》教學模式進行改革，使其更適用于應用型人才的培養。
一、教學思想的轉變
以往在本科院校的《概率論與數理統計》的教學過程中，教師的教學理念還停留在“重理論、輕應用”，“重講授、輕互動”等思想。仍然將教師做為教學的主體，以傳授知識為主，強調理論的嚴謹性，教師常常在課堂上花大量時間用于定義的講解，定理的證明，方法的推導和習題的演算，只注重知識的傳授，往往缺乏重要數學思想的傳遞，特別是知識的應用，如果在教學中，教師不讓學生了解概率論與數理統計在他們所在學科專業的應用，不加強學生用概率論與數理統計知識解決實際問題的能力，這顯然不符合應用型本科院校培養高水平應用型人才的目標，也不可能培養出合格的應用型人才。
所以在學校轉型的過程中就需要我們第一線的教師先要轉變教學思想，將課程還給學生，以學生為主體，考慮到的不是我要講什么，而是學生需要什么樣的知識，如何將這些知識應用到他們的專業中去。當然，我們也要注意不要過猶不及，要注重理論與實際的結合，強化培養學生的應用能力.
二、教學內容改革
1、調整概率論與統計之間的教學比例，增加統計學比重
由于學時等原因，傳統的《概率論與數理統計》的教學中，講授的內容主要是以概率論的知識為主，關于統計部分的內容只是涉及到一部分，像方差分析和回歸分析等內容更是沒有涉及到。而統計才是與現實聯系最為密切的，哪里有數據，哪里就有統計，它已廣泛應用于各個學科，特別是方差分析和回歸分析更是無處不在的重要統計分析方法。所以在轉型的過程中應該適當地減少概率論部分的理論性和難度，在講數理統計部分應增加參數估計、假設檢驗，特別是方差分析和回歸分析的比重，著重介紹方差分析和回歸分析這兩種統計方法的思想和原理，培養和加強學生分析和處理數據的能力。
2、對不同專業進行分類教學
從學生的專業性質來看，各專業對學生數學知識的要求也不一樣.我校信息、機械、食品、經管等專業的后續課程和專業研究與《概率論與數理統計》聯系比較緊密，對學生分析處理數據的能力的要求相應的也較高，即使是這些專業中，不同學科專業對《概率論與數理統計》的要求也是不一樣的。為了適應不同專業對統計學知識的需求，我們對不同專業的學生進行分類教學。學時設60學時和40學時兩種模式供各專業進行選擇，期末分開進行考核。教學內容根據不同專業的需求進行調整，以滿足各不同專業的需要。
3、加強教材建設
學校轉型以來，原有的傳統教材已經不能適應教學的需求，為了更好的適應應用型本科院校的需求，《概率論與數理統計》課程組于2015年編寫并出版了由杜宇靜主編，上海交通大學出版社出版的《概率論與數理統計》教材。該教材在內容上調整了概率論與統計的比例，加重統計學知識的講解，增加了實踐應用的內容，加強了理論與實際的結合，強化培養學生的應用能力。
4、將統計建模的思想融入到《概率論與數理統計》教學過程中
數學家李大潛指出：如果數學建模的精神不能融合進數學類主干課程，仍然孤立于原有數學主干課程體系之外；數學建模的精神是不能得到充分體現和認可的；數學建模思想的融入宜采用漸進的方式，力爭和已有的教學內容有機地結合，充分體現數學建模思想的引領作用；為了突出主旨，也為了避免占用過多的學時，加重學生負擔，對數學課程要精選數學建模內容。《概率論與數理統計》課程是一門應用性很強的課程，涉及到隨機因素的實際問題都可以利用《概率論與數理統計》的相關知識進行建模并進行求解，但很多學生在處理分析實際問題數據時，不管什么數據，不研究其統計意義，只知道直接利用統計軟件的模塊程序進行分析，根本不知道用的是什么基本統計知識.這樣對數據進行分析處理，得到的結果，其正確性和可信度是令人懷疑的。所以，教師在《概率論與數理統計》教學時，有必要融入統計建模思想，把基本知識和應用聯系起來，如敏感性問題調查、隨機庫存問題等都是《概率論與數理統計》在建模中的重要應用。
三、教學方法、手段的改革
關于教學方法，在課堂教學中要突出“教師為主導，學生為主體”教學理念，在啟發式教學思想的指導下，針對不同的教學內容采用與之相適應的教學方法，如“案例教學法”、“類比教學法”、“問題教學法”、“形象化教學法”等。例如：在假設檢驗和方差分析時，可以引用與所教專業相關的數據，讓學生對所得結論進行統計分析，這樣既可以激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，同時有利于培養學生的統計思想和應用 利用統計知識分析和解決問題的能力。
在教學手段上，引進多媒體教學。《概率論與數理統計》教學過程中是否利用多媒體進行教學一直頗有爭議。其實用多媒體進行教學并沒有問題，問題是如何用，多媒體應該用來輔助教學，他有板書不可比擬的優勢。多媒體輔助教學可以加大課堂信息量，節約板書時間；另外，能達到課本文字達不到的直觀、動態效果，使難以理解的抽象理論形象化、生動化，將學生帶入模擬場景，增強學生學習興趣。如：全概率公式應用演示、正態分布、多維正態分布的分布等問題的直觀演示等。
什么樣的《概率論與數理統計》教學模式更適用應用型本科院校的需求，這需要我們經歷長期的教學實踐和教學研究。在這里我們只是對教學思想、教學內容、教學方法和手段進行了初步的探索和研究。
概率統計指的是研究自然界中隨機現象的統計規律的數學方法，這是一個從生活中高度概括總結出來的數學知識體系，因此它是以生活為基本點的，所以概率統計必然是要回歸于生活、服務于生活的，在生活實踐中也必然會發揮著不可或缺的巨大的作用.在蘇教版高中數學的知識體系中，概率統計也是相當重要的一個組成部分，作為教師的我們一定要教會學生們學以致用.巧用概率統計知識可以簡單解決生活中的中獎問題，活用概率統計知識可以靈活應對生活中的優化選擇問題，而妙用概率統計知識又可以輕松列舉生活中的選購方案問題.這三個與生活緊密相關的問題無一不在印證著概率統計的知識在生活實踐中發揮的重大作用.
一、巧用知識，簡單解決中獎問題
中獎問題是生活中再為平常不過的問題了，而我們也都必然了解中獎問題是離不開概率統計的知識的，只要先攻破理論方面，讓學生們學好概率統計的知識，并巧用知識，一定可以簡單解決生活中的中獎問題，讓知識真正服務于生活.
在蘇教版高中數學教材必修三第三章中我們會講解到第一節《隨機事件及其概率》和第二節《古典概型》以及選修當中《數學期望》的知識，這兩節的知識就可以讓學生們非常簡單地解決生活中的中獎問題.比如在這樣一個生活問題中：集市上有一個人在擺攤“摸彩”，他手中有一個黑色的袋子，袋子中有完全相同的20只白球，且編號為1-20，還有一只紅球，每花1元錢可以摸一次球，且先在紙上寫下一個號碼，如果摸到紅球獎5元，摸到號碼球與所寫號碼相同的獎10元，那么這個時候我們就需要利用所學概率統計的知識來思考摸球對我們而言是不是有利.經過簡單的分析計算，我們可以得出我們可能中獎的概率為2/21，很明顯這對我們是不太有利的，但是真正得到結論的還是對數學期望值的計算.計算之后，我們得出我們平均每次的收益為1/21×5+1/21×10-19/21=-4/21，而這個數很明顯是小于0的，這也就是說，我們平均每摸彩一次，就會損失4/21元，所以這個游戲對我們不利.這樣一來，經過一個簡單的分析計算，我們對這個摸彩游戲就掌握得非常透徹了，經過利用所學知識進行理性分析，我們還得出了我們平均每次游戲要損失多少錢.概率統計的知識在生活實踐中的運用在這個例子中就被很好地體現了出來.
在這個生活實踐問題當中，通過巧用概率統計的知識就讓我們變得非常理性，而不是同以往一樣被中獎問題的表面利益所蒙蔽就去參與對自己無益的中獎環節，概率統計知識的作用在中獎問題中體現的非常明顯，起到了不可或缺的重要作用.
二、活用知識，靈活應對優化選擇
優化選擇問題更是生活中非常普遍而且沒那么簡單的問題，在生活中遇到有時候我們可能會覺得手足無措，但是如果學會活用概率統計的知識，我們一定可以靈活應對優化選擇問題，讓概率統計在生活實踐中發揮巨大作用.
在學習高中數學蘇教版必修三第二章和第三章的內容時，我們一定會講到畫樹狀圖來列舉所有等可能事件的結果的知識，也就是古典概型.在這樣一個優化選擇的生活問題中，就通過畫樹狀圖來靈活解決了，問題是這樣的：小華和小明在用一個罐子做游戲，罐子中裝著四個一樣大小的球，兩個黑色、兩個白色，其中一個人使勁搖罐子，使其中的小球位置打亂，小球落定之后，如果球是黑白相間排列就是甲方贏，否則乙方贏，這個時候問題就出現了，應該選擇當甲方還是乙方勝的幾率大一些.這時候這樣一個優化選擇的實踐問題就需要用到概率統計的知識了，我們可以先給每個球進行編號以方便表示，然后我們可以通過畫樹狀圖來表示小球的位置排列方式，通過畫樹狀圖我們可以得到小球排列方式共有24種等可能的結果，其中黑白相間占8種，這個結果出來之后我們就可以輕易知道應該選擇乙方勝的幾率大一些.這樣一來，這個問題又被靈活地解決了，概率統計的知識也得以在生活實踐中得以充分應用，真正做到了學以致用.
在上面的這個例子中，如果沒有概率統計的知識，可能會讓人覺得一頭霧水，無從下手，但是通過活用概率統計的知識，這個優化選擇問題就被靈活解決，而這又一次體現了概率統計在生活實踐中的作用，體現了學以致用的重要性.
三、妙用知識，輕松列舉選購方案
選購方案問題在生活中無處不見，對于生活中的實踐問題，我們通常會面臨不只一種情況，這時就需要列舉各種選購方案并對每種方案加以分析，而概率統計知識在這時又會起到非常重要的作用.
在蘇教版高中數學教材必修三第二章和第三章中，我們會講解到統計學與概率論的知識，而選購方案問題則會綜合運用到各種知識，選購方案問題與生活實踐緊密相關，因此只要妙用概率統計知識，一定可以輕松列舉選購方案，達到學以致用的效果.比如這樣一個問題：某公司有A、B、C三個型號的甲品牌電腦，還有D、E兩個型號的乙品牌電腦，已知每個電腦的價格，某學校要選購甲乙兩種品牌的電腦各一種型號，列舉出所有的選購方案.通過概率統計知識，所有選購方案可以輕松列舉完全，這個步驟雖然簡單，但是列舉選購方案只是解決生活實踐問題的一個基礎，而且只要解決好這個問題，后面的問題無論多難都可以用概率統計的知識加以解決，所有與這個選購方案有關的生活實踐問題都可以迎刃而解.在這個選購方案的問題中，只要輕松列舉出所有選購方案并進行分析，所有問題都會迎刃而解，因此妙用概率統計知識在生活實踐中的作用不言而喻.
在這個案例中，通過學以致用，妙用概率統計的相關知識，不但輕松列舉并分析了所有選購方案，而且快速解決了生活中的更多更復雜的問題，真正做到了學以致用，因此概率統計在生活實踐中的作用在這里便被完全凸顯出來了.
綜上所述，巧用概率統計知識可以簡單解決生活中的中獎問題，活用概率統計知識可以靈活應對生活中的優化選擇問題，而妙用概率統計知識又可以輕松列舉生活中的選購方案問題.通過從不同方面來分析概率統計的學以致用，更可以多角度立體地體現出概率統計在生活實踐中的重要作用，這也更加體現了學以致用的重要性.概率統計的知識是這樣，別的知識也是這樣，因此作為教師的我們一定要教會學生們學以致用，要教會他們運用概率統計的知識，乃至更多的知識來解決生活實踐中的問題，將學以致用貫徹到每一點知識中去，真真正正做到學以致用！
摘 要 《概率論與數理統計》課程內容抽象課程，學員缺乏興趣。案例教學法使《概率論與數理統計》課堂教學變得通俗易懂，貼近生活，趣味十足，增進學員對課程的深入理解，提高課堂效率，活躍數學思維，提高學習興趣，從而改善教學效果，提高教學質量。
關鍵詞 案例教學法 概率論與數理統計 課程教學
《概率論與數理統計》是一門從數量上研究隨機現象統計規律性的科學。該學科與生活緊密聯系，是很多前沿學科的基礎，直接影響著我們的生活。但該課程普遍存在課程內容抽象、教學方式單一、授課過程枯燥、學員缺乏興趣等問題。很多學員都認為該課程的基本概念難以理解，對那些定理“從哪兒來，要到哪兒去”更是不解，解題的時候無從下筆，毫無頭緒，因而學員提不起興趣。基于這種狀況，我們從生活化和直觀化對概率論課堂教學進行改革，加強案例教學法，以使概率論與數理統計課堂教學變得通俗易懂，貼近生活，趣味十足，增進學員對概率論的深入理解，提高課堂效率，活躍數學思維，提高學習興趣，從而改善教學效果，提高教學質量。
案例教學法是指教員為達到教學目的，完成教學任務，根據學員的實際情況，精選案例，再課堂上組織學員對案例進行分析、討論和解答，提高學員的認知能力、綜合解答實際問題的能力，培養學員的創新能力和團隊協作能力。《化歸思想在概率論教學中的運用》討論了以連續型隨機變量的概率教學為例，探討化歸思想方法在數學專業課程教學中的運用。《在概率論課程的教學中培養學員能力的探討》總結了作者多年從事概率論教學的經驗，提出了培養學員觀察與分析能力、邏輯推理能力的一系列措施，包括恰當選擇教學內容、講授方式、思維方式的訓練等。《在概率論的教學中加強與實際的聯系》探討了教學與實際的聯系，由數學的特點決定，數學與實際的聯系，是數學發展的必然.在概率論教學中加強與實際的聯系，使學員樹立理論聯系實際的學風，提高對現實的認識，提高解決問題的能力。《概率論教法初探》通過《概率論》教學方法研究和教學實踐，總結出全概率公式和貝葉斯公式教法模式，取得較好的教學效果，深受學員歡迎。
1案例教學法的作用
俗話說興趣是最好的老師，有興趣，學習積極性自然高。案例教學法的使用，不僅能培養學員分析問題和解決問題的能力，而且能提高學員的創新能力與團隊協作能力。在課堂上注意觀察學員的表情，了解學員掌握內容的情況，盡量以幽默的語言幫助他們克服困難，鼓勵他們在聽不懂時不要過于急躁，帶他們走出畏難情緒。課堂上注意調節學習氣氛，調整課堂節奏，在每一節的內容講解完后，稍作停頓，讓學員理清思路，慢慢吸收，再接著給例題。關于講解例題的方式可以采用多種形式可以由教師講解，也可以與學員共同做，或先由學員討論，再講解，或是直接請學員作答，再總結，等等。總之，案例教學法注重學員能力的培養，提高學員的綜合素質。因此我們在教學過程中應增加案例教學，增強學員學習的積極性，使學員由怕學到樂意學，由被動接受到主動思考。
1.1抽象概念要以具體事物為依托
可以說數學是抽象的，正因為它抽象才有廣泛的應用，數學來源于實踐，是由實際問題升華出來。因此，要學習數學又害怕接觸抽象概念，正如學工程的人不愿接觸實際操作一樣，是無法學好的。在教學過程中，在講解概念中，始終要抓住概念的本質。
例如，講授概率的定義、性質和運算法則，首先考慮的是概率這個概念的直觀性，從日常生活中能感受到的現象出發，引導學員去發現新的規律，歸納出一個數學模型（或稱概率模型），而不能從抽象的東西談起。而講概率的加法公式和乘法公式時，引導學員將概率的加法公式和事件的加法的區別弄清楚，講清兩個加法公式和乘法公式，再引導學員自己推導多于兩個事件的加法公式和乘法公式，指出“容斥原理”即為加法公式所依托的思考方法。
1.2 提高學員應用數學的能力
數學本身就是實踐的抽象，正好案例還原了數學的應用性。這時數學就不再是抽象的符號，而是具體的問題。課堂上舉出日常體驗中容易引起人錯覺的例子可以激發學員的好奇心。例如同月同日出生是很難得的緣分嗎？先抽簽占便宜嗎？體檢時結果是陽性真的可怕嗎？這些問題留給學員去思考，讓他們課后去找出正確答案，激發學員的探究欲望。通過對這些直覺誤區的解決和澄清，學員對概率的認識也會得到相應的提高，同時培養了學員發現問題、分析問題和解決問題的能力。
當介紹基本概念時，盡量用通俗易懂的語言表述，同時配以直觀的圖示或者形象的例子。比如，隨機試驗是人們認識隨機世界的手段，隨機試驗的結果稱為隨機事件，如“明天的最高溫度為℃”，“某夫婦的胎兒是男孩”，“向一個水平桌面拋擲一顆均勻骰子”等等都是隨機事件。在介紹概率論應用時，可以舉二戰期間的一個例子：1943年以前，美英運輸船隊在大西洋上常常受到德國潛艇的襲擊，損失慘重。有何法子減少損失呢？一位美國海軍將領請教了幾位數學家。數學家運用概率論分析后認為，艦隊與敵潛艇相遇，從數學角度來看，是一個隨機的問題。船只被擊沉的概率，與船隊數目成正比，與船隊規模成反比。美國海軍對過去的艦隊編隊和編次規則作了重大調整，命令船隊在指定海域集合，再集體通過危險海域。結果奇跡出現了：美英艦隊遭遇德國潛艇并被擊沉的概率大幅減少，由原來25%下降到1%，大大減少了損失，保證了物資的及時供應。針對這類問題，學員通過獨立思考，學生之間相互交流討論，培養學員靈活運用所學的數學知識解答實際問題，提高了學員應用數學的能力。
1.3提高學員觀察思維能力和自主學習能力
通過對案例的獨立思考和分析，激發學員學習的內在動機，調動學員學習的主動性和積極性，此時教員不再是純粹的知識傳輸者，而是學員學習的引導者，引導學員感知知識、認知知識。本課程內容既具有數學的嚴謹性，又具有隨機性。因此，正確處理嚴謹性與生動直覺之間的關系，讓學員既有嚴謹的抽象思維能力， 對能對隨機性產生敏感，具有概率統計的直覺，是教員在教學過程中應該處理好的重要問題。這不僅有助于培養學員的觀察思維能力，而且能提高自主學習的能力。
比如在介紹概率中的公理化定義時，學生可能覺得這個定義很怪、難以理解，教師就在課堂上還原概率論發展的歷史背景：貝特朗悖論推翻了之前概率所有的定義，包括統計定義、古典定義和幾何定義等等，原有的概率論理論大廈岌岌可危。1933年，前蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫給出了概率的公理化定義，即通過規定概率應具備的基本性質來定義概率。柯爾莫哥洛夫提出的公理為數很少且極為簡單，但在此基礎上建立起了概率論的宏偉大廈，有了這個背景，學員對概率的公理化定義就容易理解了。
1.4提高學員表達能力和團隊協作能力
傳統教學法主要是以教員在課堂上傳授知識為主進行的，此時學員完全處于被動狀態，如果傳授的知識量大，學員就可能會“消化不良”，時間久了，會出現惡性循環，教學效果、學習效果都不理想。在整個教學活動中，學員個體是被灌輸者，完全談不上自我表達和團隊協作。
案例教學法以培養學員解決問題的綜合能力為目標。采用案例教學法，體現了“學員為主，教員為輔”，教員整個教學過程中起引導作用，給出案例，學員可以通過獨立思考，踴躍發言，也可以分小組（一般四至六人為佳）團結協作共同作戰，然后選派代表發言，其余組員輔助補充。這種方式讓學員能夠自由地與不同性格的人交流、協作，提高團隊協作能力。
2《概率論與數理統計課程》案例教學舉例
數學是一種工具，用這一工具發現實際現象背后的規律，并解釋和說明實際現象，從而最終解決實際問題。用實例的講解知識是培養學員運用數學知識解決實際問題的一種重要方法。概率論是一門應用性很強的學科，在概率論教學過程中加強案例講解是非常必要的。這一方面可以增強學員應用數學知識的意識；另一方面可以增加學員的學習興趣，提高課堂教學效果。
在講授《概率論與數理統計》課程的時候，教師會把案例融入相應的知識點中進行講解。比如，在講解小概率事件時，可以引入“過馬路需小心”這個應用實例。對于每個人來講，每次過馬路出現事故的概率，即 p 值是很小的，但每個人在一生中過馬路的次數，即n是很大的。每次過馬路都可以被看作一個隨機試驗，在一生中過馬路的情形可以被看作一個 n 重貝努里概型，那么一生中出現事故的期望值為 np。為了減少出現事故，可以采用兩種方法。一種是減少過馬路的次數，另一種是減小過馬路出現事故的概率。顯然，減少過馬路的次數似乎不太現實，所以我們必須增加自己的安全意識，從而減少過馬路出現事故的概率。
