發布時間：2022-05-23 11:07:41
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的1篇概率統計論文，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
1精選案例，重組教學內容
在教學內容的選編中，所選內容應突出“厚基礎”“重應用”的應用型特色。綜合考慮學生的就業方向，側重論述概念、方法、原理的歷史背景和現實背景在金融等方面的應用，對于冗長難懂的理論證明可以用直觀易懂的現實背景來解釋。例如講解全概率公式時，學生雖可以比較容易地應用，但不容易理解公式的本質，所以并不覺得引入這些公式有什么必要性，大大降低了學生的學習興趣。但如果在課堂引入“敏感事件調查”這個例子，會對經管類的文科學生具有很強的吸引力，從而為學生提高市場調查和問卷設計能力提供有益借鑒。在介紹貝葉斯公式時，可以根據經管類專業，引入貝葉斯公式應用在風險投資中的例子。在介紹期望的概念時，從賭博游戲介紹概念來源的背景，再將期望用到實際生活中去，可以引入其在投資組合及風險管理等方面的應用。這樣能使學生真正理解概率論中許多理論是取之于生活而用之于生活，并能自覺將理論運用到生活中去。在介紹極大似然思想時，可以從學生和獵人一起打獵的案例進行引入。
2設計趣味案例，激發學生學習興趣2015年1月5日
隨著互聯網的迅猛發展、電腦的普及、各種游戲軟件的開發，很多大學生喜歡在網上玩游戲。教師可以抓住大學生愛玩游戲這一特點，況且概率論的起源就來源于賭博游戲，教師可以在講授知識時，由一個游戲出發，循循誘導學生從興趣中學到知識，再應用到生活中去。例如，在講解期望定義時，可以設計這樣的一個游戲案例:假設手中有兩枚硬幣，一枚是正常的硬幣，一枚是包裝好的雙面相同的硬幣(即要么都是正面，要么都是反面，在拋之后才可以拆開看屬于哪種)。現在讓學生拿著這兩枚硬幣共拋10次，一次只能拋一枚，拋到正面就可以獲利1元錢，反面沒有獲利，問學生選擇怎樣一種拋擲組合，才能使預期收益最大?教師留給學生思考的時間，然后隨機抽一位同學回答，并解釋其理由。大部分學生選擇先拋后面那枚硬幣，如果發現兩面都是正面，那么后面9次都拋這枚，如果是反面，那后面9次都拋前面那枚硬幣。這種拋擲組合確實是最優的，但總是說不清其中的道理來。這時教師可以向學生解釋，其實大家在潛意識中已經用到了期望，然后利用期望的定義為大家驗算不同拋擲組合的期望值來說明大家選的組合確實是最優的，這時學生豁然開朗，理解了期望的真正含義。游戲可以繼續，如果將若干個包裝好的非正常硬幣裝入一個盒子里，比如將5枚雙面都是反面的、1枚雙面都是正面的硬幣裝入盒子里，學生從中摸一個硬幣出來，再和原來那枚正常的硬幣一起共拋10次，也可以選擇不摸硬幣，直接用手中正常硬幣拋10次。這個時候，原來那種拋擲組合還是最優的嗎;如果再改變箱子中兩種硬幣的比例，比如9枚雙面是反的，1枚雙面都是正的，結果又是怎樣等等，這些問題可以留給學生課后思考，并作為案例分析測試題。按照上述設計教學案例，不僅讓學生輕松學到知識，激發學生學習的能動性，還可以提高學生自己動手解決實際問題的能力，培養學生的創新能力。
3精選實用型案例，引導學生學以致用
如在講解全概率公式時引入摸彩模型，中獎的概率是否與抽獎的先后順序有關。利用全概率公式可以證明與順序無關，大家機會是平等的。又如講解事件獨立性可以引入比賽局數制定的案例，如果你是強勢的一方，是采取三局兩勝制還是五局三勝制，這個例子也可以用大數定理來解釋，n越大，越能反映真實的水平。又如設計車門高度問題，公共汽車車門的高度是按成年男性與車門頂頭碰頭機會在0．01以下來設計的:設某地區成年男性身高(單位:cm)X～N(170，36)，問車門高度應如何確定?這個用正態分布標準化查表可解決。合理配備維修工人問題:為了保證設備正常工作，需配備適量的維修工人(工人配備多了就浪費，配備少了又要影響生產)，現有同類型設備300臺，各臺工作是相互獨立的，發生故障的概率都是0．01。在通常情況下一臺設備的故障可由一個人來處理(我們也只考慮這種情況)，問至少需配備多少工人，才能保證設備發生故障不能及時維修的概率小于0．01?這樣的問題在企業和公司經常會出現，我們用泊松定理或中心極限定理就可以求出。學生參與到實際問題中去，解決了問題又學到了知識，從而有成就感，學習就有了主動性。
4運用多媒體及統計軟件進行經典案例分析
在概率統計教學中，實際題目信息及文字很多，需要利用統計軟件及現代化媒體技術。其一，采用多媒體教學手段進行輔助教學，可以使教師節省大量的文字板書，避免很多不必要的重復性勞動中，從而教師就可以將更多的精力和時間用于闡釋問題解決的思路，提高課堂效率和學生學習的實際效果，有效地進行課堂交流。其二，使用圖形動畫和模擬實驗作為輔助教學手段，可以讓學生更直觀地理解一些抽象的概念和公式。如采用多媒體教學手段介紹投幣試驗、高爾頓板釘實驗時，可以使用小動畫，在不占用過多課堂教學時間的同時，又能增添課堂的趣味性。而在分析與講解泊松定理時，利用軟件演示二項分布逼近泊松分布，既形象又生動。如果在課堂教學中使用Mathematica軟件演示大數定律和中心極限定理時，就可將復雜而抽象的定理轉化為學生對形象的直觀認識，以使教學效果顯著提高。在處理概率統計問題過程中，我們經常會面對大量的數據需要處理，可以利用Excel，SPSS，Matlab，SAS等軟件簡化計算過程，從而降低理論難度。不僅如此，在教師使用與演示軟件的過程中，學生了解到應用計算機軟件能夠將所學概率論與數理統計知識用于解決實際問題，從而強烈激發學生學習概率知識的興趣。
5結合實驗教學，培養學生應用技能
由于概率論與數理統計課程是一門應用科學，因而通過一定的實驗來培養學生的實驗動手與動腦能力顯得尤為重要，在教學中，應該設計一些與所學專業相關的案例進行試驗教學。如采用以下幾個實驗:統計全年級該課程考試成績，看是否符合正態分布，并標準化而后排出名次;調查某個城市居民每月生活費用的分布情況，給出一定置信水平的置信區間;利用蒙特卡羅模擬計算定積分，利用蒙特卡羅模擬方法求的值，利用蒙特卡羅模擬對資產組合進行模擬，使學生系統掌握蒙特卡羅模擬這種在金融界得到廣泛應用的主流方法;對保險精算中的案例進行回歸分析。通過開設概率統計實驗課，不僅可以使學生體味生活中的數學，更可以讓學生深刻理解數學的本質和原貌，培養學生的實際操作與應用能力，從而提高學生的數學素養，并為后續課程夯實數學基礎，讓概率統計方法真正成為經濟、金融和管理科學的有力工具。另外，在考試方式上，可以精選案例分析題，考查學生案例分析能力，完善考核制度。在考試命題方式上，打破傳統的客觀題一統天下的格局，引入一定比例的案例分析題;總評成績中，增加課后案例分析思考題或測試成績的權重，考察學生綜合能力。
作者：劉娟單位：廣東金融學院應用數學系
1實驗課教學目標
熟練掌握幾種常用的離散型、連續型隨機變量的函數命令；熟練掌握常用的描述樣本數據特征的函數命令（如最值、均值、中位數（中值）、方差、標準差、幾何平均值、調和平均值、協方差、相關系數等）；掌握常用的MATLAB統計作圖方法（如直方圖、餅圖等）；能用MATLAB以上相關命令解決簡單的數據處理問題；熟練掌握常用的參數估計和假設檢驗的相關的函數命令；能用參數估計和假設檢驗等相關命令解決簡單的實際問題。
2實驗課內容
以51學時的理工科概率論與數理統計課程為例，其中實驗課10學時。
2.1蒲豐投針問題（2學時）。平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一枚長為l的針，求針與平行線相交的概率。設x是一個隨機變量，它服從區間上的均勻分布，同理，φ是一個隨機變量，它服從區間上的均勻分布。要求學生完成以下問題，并通過MATLAB編程解決。a.進行n次抽樣，得到樣本值，統計出滿足不等式的次數,從而計算出p的估計值。b.任意調整n的取值，會發現什么規律？c.參數l,d的不同選擇，會導致什么結果？設計意圖：希望學生能夠掌握各種隨機數產生的方法，了解隨機模擬的方法原理，理解如何用統計模擬的方法近似計算值。
2.2各種分布的密度函數與分布函數（4學時）。要求學生完成以下問題，并通過MATLAB編程解決。a.在常見隨機變量分布中選擇3種計算它們的期望和方差（參數自己設定）。b.某人向空中拋硬幣100次，落下為正面的概率為0.5。記正面向上的次數為x，①計算和的概率。②給出隨機數x的概率累積分布圖像和概率密度圖像。c.比較自由度是10的t分布和標準正態分布的圖像（要求寫出程序并作圖）。設計意圖：讓學生通過圖形直觀理解隨機變量及其概率分布的特點；通過觀察和分析實驗結果加深理解數字特征與分布的統計意義；學會用MATLAB求密度函數值、分布函數值、隨機變量分布的上下側分位數；能夠用概率分布函數求各種分布中不同事件的概率。
2.3抽樣分布、參數估計及假設檢驗（4學時）要求學生完成以下問題，并通過MATLAB編程解決。a.給出100名學生的身高和體重（單位：厘米/千克），①求出以下統計量：樣本數，平均值，中位數，截尾平均數，樣本標準差，最大值，最小值。②求出頻率與頻數分布；③作出以上數據的頻率直方圖。b.根據這些數據對學生的平均身高和體重作出估計，并給出估計的誤差范圍；c.該地區學生10年前作過普查，學生的平均身高為167.5cm，平均體重為60.2kg，試根據這次抽查的數據，對學生的平均身高和體重有無明顯變化作出結論。設計意圖：使學生能利用MATLAB求來自某個總體的一個樣本的數字特征，并能由樣本作出直方圖；掌握利用MATLAB求一個正態總體的均值、方差的置信區間的方法；掌握利用MATLAB作一個正態總體的均值、方差的假設檢驗的方法。
作者：武菊單位：內江師范學院數學與信息科學學院
一、教材中有些結論如果推理論證過程是很復雜的，給高職的學生講解很不切合實際，不如用統計軟件畫個圖就一目了然了。
例如卡方分布，當自由度n比較大時，趨向于正態分布。:類似的例子還有二項分布XB(n，p)，當參數n(n≥100)較大，p較小，np≤10時，二項分布近似泊松分布，CknPk(1－p)n－k≈λkk!e－λ(λ=np)，t分布當n較大時趨向于正態分布，大數定理，中心極限定理也都可以通過圖形演示來讓學生信服。
二、上哪個專業的課，就舉與這個專業相關的例子。比如，同樣是學習單樣本假設檢驗，在為給排水監測與評價專業學生上課時。
我舉例如下:例1．已知某標準水樣中CaCO3的含量為20．7mg/L，現在某方法測定該水樣10次，結果為:20．99mg/L、20．41mg/L、20．10mg/L、20．00mg/L、20．99mg/L、20．91mg/L、20．60mg/L、20．00mg/L、23．00mg/L、22．00mg/L，問該法測定結果與真值之間有無顯著差別?為食品營養與檢測專業學生上課時，舉例如下:例2．根據營養學要求，成年女性每日攝取食物的推薦平均熱量為7725kcal。現在隨機抽取11名20歲至30歲成年女性，其每日攝取食物的熱量如下:5260，5470，5640，6180，6390，6515，6805，7515，7515，8230，8770問現今20歲至30歲成年女性每日攝取食物的熱量是否足夠?針對學生的專業，選取具有專業背景的案例。這樣學生才會覺得以后工作離不開概率統計，現在必須學好它。這樣，學生的學習態度自然也就端正了。
三、使用統計軟件輔助教學。
目前，統計軟件有很多，有SAS，SPSS，Mathematic，Matlab等，究竟應該選擇哪個軟件呢?其實，每個軟件都有它的優缺點，關鍵在于我們要根據學生的水平和課時情況，選擇最適合他們的軟件。比如SAS軟件命令和函數煩瑣難懂，太專業，入門不易，普及性就低;matlab軟件系統配置要求高，不適合安裝運行在公共使用的多媒體教室的計算機上。對于非統計專業學生來說，SPSS，Mathematic是不錯的選擇，SPSS一般是英文版本，中文版本還不夠成熟，學生在使用時有一定語言障礙。但是它最顯著的特點是絕大多數操作僅靠鼠標擊鍵就可完成，無需學習專門的程序語言;Mathematic軟件基本數學運算命令簡單易學，對于難度大的算法構造，計算機編程學生就可以適當忽略了。比如例1和例2，用SPSS做，只需選擇工具欄中AnalyzeCompareMeansone－SampleTTest就可以了;用Mathematic做，首先要調用假設檢驗軟件包的命令＜＜StatisticsHypothesisTests．m，然后MeanTest［data，u，SignificanceLevel0．05，TwoSidedTrue，FullReportTrue］此過程還算簡單，但和SPSS比較起來，還是要麻煩一些。
四、結合學生考證來教學，“設置雙證兼顧”的課程體系。
高職雙證書制度，指的是學歷證書+職業資格證書。學生除了重視畢業以外，對于考取職業資格證書也是非常積極的。教師應在教學中結合考證要求來授課，助學生一臂之力，將職業教育的實用性、職業性完整表現出來。我所教的環境監測與評價專業、食品營養與檢測專業學生，一般會考取污水化驗工、固定污染源(煙氣或廢水)連續自動監測系統上崗證、化學檢驗工、ISO9000內審員、食品檢驗工等證書。要考取這些證書就要用到很多概率統計知識，在教學中，按照考證的專業類別和級別層次，整理出職業資格證書覆蓋的知識點，并以此為基礎優化組合概率統計課程，形成對應初級、中級資格兩個層次的模塊組合，會使學生學習積極性大大提高。
五、注重在教學過程中融入數學建模思想。
從數學建模競賽的題目來看，與概率統計有關的知識較多。例如:2000年的DNA序列的分類問題，2005年DVD在線租賃問題，2007年的中國人口增長預測問題，北京奧運會館的人流分布問題，2013年的公共自行車系統研究等都不同程度地涉及概率統計相關知識。教師在教學中，指導學生利用已有的概率統計知識解決相關問題，不但加強了學生對所學知識的理解，激發了學生的求知欲，又拓寬了學生的知識面，培養了學生的建模能力，具有非常重要的意義。
六、總結
綜上所述，概率統計課程的教學改革才剛剛起步，教師在教學過程中只要勇于探索，勤奮鉆研，不斷總結積累，定會開辟一片新天地。
作者：陳本晶單位：廣東環境保護工程職業學院
一、在《概率統計》教學中展示數學思想與數學思維的運用
1.在《概率統計》課程開始導入有關概率論起源的小故事。關于概率論起源的小故事有很多，讓學生自己從網上多搜索，開闊視野。在講解古典概型試驗中古典概率的計算方法時，可以首先引入現實中的生活案例。例如2007年震驚全國的警人故事，即邯鄲農業銀行發生的“巨獎買彩票背后的秘密”，學生對發生在自己身邊的故事特別感興趣，對這部分知識會留下深刻的記憶。在課程初期讓學生意識到《概率統計》這門課程來源于生活實際，體會到事物的發生和發展總是有一定的規律性這一數學思想。
2.極大似然思想是極大似然估計法的應用思想，其基礎為如果在一次試驗中某個事件出現了，我們就認為發生的概率最大的事件是最容易出現的［4］。總體分布中的參數的取值就取使該事件發生最大的參數作為其估計值。我們可以通過法律事實故事引出《概率統計》中的極大似然思想。法律事實曾在中央二臺“今日說法”節目中播出，內容是關于彩票站站長與小學女教師爭搶彩票，由法官裁決彩票所屬的故事。法官利用法律上的高度蓋然性原則，判定小學女教師勝訴這一事實，讓學生深刻理解《概率統計》中的極大似然思想。對于極大似然參數估計法，一定要總結求解步驟，這樣可以清晰地展示思維的發展過程。
3.將數學思想循序漸進地滲透到課堂教學實踐中。加深對基本概念的理解，突出數學思想及解題思路，將每一道題的解決歸結為3—4個步驟。解決問題靈活多樣，情況允許時對某一問題的解決可以引入數學軟件。鼓勵學生參加數學建模等活動，培養學生的實際應用能力。
二、掌握數學思想與數學思維對學習《概率統計》的重要意義
掌握數學思想，就是掌握數學的精髓，數學思想的發展能夠促進科學技術的發展。數學思維的目的在于促使學生運用數學知識、數學思維方法分析和研究各種數學現象。高校數學教師應該有計劃、有目的地傳授數學思想和數學思維過程。注重數學思想研究有助于激發大學生學習數學的興趣，讓大學生真正有興趣主動自覺地傾聽和思考。引導學生在學數學、用數學的過程中，掌握方法、形成思想，促進思維能力的發展。數學思想方法比具體的數學知識更具抽象性和概括性。.
1類比法在概念教學中的作用
匈牙利數學家玻利亞說：“類比是一個偉大的引路人。”類比作為一種思維方法，其側重的不是邏輯性、確定性、嚴格性，而是創造性、猜測性、靈活性。概率統計中的許多概念都可以通過類比引出并揭示其本質。此外，我們可利用原有的認知結構借助類比法，有效地掌握新知識，并將這些知識有機系統地統一起來。
1.1隨機事件的關系運算與集合的關系運算的類比由于事件可以看成由某些樣本點構成的集合，因此可將二者類比學習。例如：集合A∪B表示其中任意一個元素x僅屬于A或者僅屬于B或者屬于A和B的公共部分，我們可以形象地用韋氏圖來表示。此時若將A和B看作是事件，則事件A∪B表示“事件A和事件B至少有一個發生”，記作A+B，即概率論中事件的和等同于集合論中集合的并集。同樣的類比方法，我們可將集合論中集合的交集類比到概率論中事件的積中去。在教學中可引導學生先回顧集合之間的各種關系運算，隨之再引出相應的事件間的關系運算，最后歸納總結。此外，事件運算的性質如交換律、結合律、分配律均可對照集合的相應性質進行類比學習。
1.2離散型隨機變量與連續型隨機變量的類比對于離散型隨機變量，學生感覺較容易，但對于連續型隨機變量，往往學生感覺抽象難理解。由于分布列在離散型隨機變量中的地位與密度函數在連續型隨機變量中的地位等同，因此對于離散型隨機變量中的邊緣分布列與聯合分布列的關系可以過渡到連續型隨機變量中邊緣密度函數與聯合密度函數的關系中去，此外諸如隨機變量的獨立性的充要條件以及期望與方差的計算均可輕松過渡。具體我們可通過“把連續的問題離散化”這種方法，實際是將對離散型隨機變量中對分布列的求和變成對連續型隨機變量中的密度函數求積分即可。表1我們將對其中的部分性質及計算作一個簡要的類比。
1.3一維隨機變量與二維隨機變量的降維類比任何學習都是循序漸進的，一般來說低維空間的知識相對簡單，容易被學生接受，所以最好的方法是從低維空間向高維空間過渡學習。降維類比法是將高維空間中的數學對象降低到低維空間中去觀察，利用低維空間中數學對象的性質類比歸納出高維數學對象的性質。我們知道一維離散型和連續型隨機變量的分布函數分別為:在研究二維離散型和連續型隨機變量時，我們可用降維類比法得到其聯合分布函數分別為：通過上面的類比得知抽象的二維隨機變量的分布函數與一維隨機變量有著一致的表達式，從而大大降低了學習的難度。此外，二維離散型隨機變量的聯合分布列與連續型隨機變量的密度函數的性質與計算均可借助一維隨機變量的相關知識引入。
2類比法在習題教學中的應用
類比法是解題的有力工具。在習題教學中，教師若常引導學生用類比思維去尋找解題的方法，會起到事半功倍的效果。我們首先可以利用條件、結論或者結構形式上的類似，聯想與之類似的概念性質從中得到啟發。例如，在概率統計中有這樣一題：已知連續型隨機變量X的概率密度函數為f∪x∪=ae-3xx＞00x≤≤0，求a。分析：此題若由密度函數的性質，通過積分可求得a=3。但是我們若通過與指數分布的密度函數f≤x∪=λe-λxx＞00x≤≤0進行對比，可知a=3。這樣在解題中不需要計算便可得到結果。
3、總結
總之，類比法是創造性地表達思維的重要手段，在概率統計教學中有其特有的地位和作用。在概率論的類比法教學中，不僅要根據學生已有的知識提供恰當的類比對象，更為重要的是引導學生在類比中去發現目標對象與類比對象的本質區別，從而真正地認識和理解目標對象，否則則可能導致錯誤的理解與認識。事實上，類比法在概率統計教學中的應用遠不止于上述幾個方面，這里就不一一贅述。在概率論教學中若恰當應用類比法，可使學生將所學的知識條理化系統化，有利于提高學生分析問題與解決問題的能力，培養學生的創新意識和創新精神。
作者：李燕楠何建營單位：中原工學院理學院
一、對統計意識的認識
（1）認識隨機現象的客觀性和普遍性，形成科學的世界觀和實事求是的工作態度，意識到對隨機現象的統計研究是必要的，也是可能的。在教學中可以舉出大量的隨機現象的例子，例如某網站一晝夜的點擊次數，某保險公司一年內的索賠金額，等等。使學生意識到分析和處理眾多隨機現象的統計規律具有重大的理論意義和現實意義，從而提高學生對統計規律的關注程度。
（2）在教學過程中要將隨機現象的各種形式進行數據化處理，例如，在講到“隨機變量”的概念時，可以通過豐富的實例使學生隨時從網絡、雜志、電視媒體中，有意識地獲得一些隨機數據信息，讓學生理解隨機數據的重要性，從而看到隨機現象的規律是通過隨機數據反映出來的。同時，也可以通過計算機模擬產生一組隨機數，從這組隨機數的不同取值說明隨機變量的隨機性。
（3）培養學生從統計角度思考隨機現象中的各種問題，可以從身邊的各種現象談起，如心血管病是否與職業有關，人的一生是否會遇到強震，等等。從統計的角度進行分析和思考，使學生看到統計思維的合理性，從而產生對統計的興趣，形成統計活動的良好開端。
二、收集和分析數據的作用
統計的出發點是收集數據，然后再科學的分析數據和整理數據。不列顛百科全書對統計學下了如下定義：“統計學是收集和分析數據的科學與藝術”。這就是說，統計學不僅是一門科學，而且是一門收集和分析數據的藝術，要求從數據中挖掘出新的信息，而不是死記硬套現有的公式和定理。為了突出收集和分析數據的重要性，我們在教學的過程中，可以考慮以下幾個方面：
（1）首先展現給學生一系列的實際數據，比如一批電燈泡的壽命、某年級外語考試成績等，讓學生對數據有一個明確的感性認識，意識到統計是從數據出發的，先有數據，然后才有公式和定理。不同的數據具有不同的實際意義，弄清楚這些數據的分布規律和性質是統計的基本任務。
（2）強調如何有效地收集數據是統計中的重要問題，通常是從總體中抽取樣本，抽樣的方法是多種多樣的，在教學中可以結合實例作抽樣試驗，比如從同一種型號的汽車中隨機抽取5輛，測量每公里的耗油量；觀察吞某類藥物的病人的反應情況；調查部分學生的外語考試成績；等等。
（3）分析數據是統計工作的優秀，分析數據就是對數據進行加工處理，從而獲取數據中關于總體的信息。通過構造各種不同的統計量，對所研究的總體進行推斷，達到從部分認識全體的目的。在教學中可以通過計算機軟件對數據的結構、統計量的分布作動畫演示，比如數據頻率直方圖、經驗分布函數曲線、樣本均值分布直方圖等，從而提高學生對分析數據的興趣。
三、結合實例強調統計方法的重要性
概率統計是數學的一個重要分支，它的方法別具一格，無論對自然科學還是社會科學，現代統計方法是必不可少的。在教學的過程中，結合實例強調統計方法的重要性，既能加深對于概率統計理論知識的理解，又能激發學生對這門課程的興趣，具體可從以下幾個方面進行考慮：
（1）結合日常生活實例進行教學，比如統計學生中同生日的人數，隨著統計人數的增加，至少有兩人同生日這一事件的頻率會接近于1，然后將這一結果與理論概率進行比較；統計吸煙與非吸煙人群中患肺癌的比例，檢驗吸煙與患肺癌是否存在某種依賴關系；觀測一天中某人手機的呼喚次數，然后與泊松分布進行擬合優度檢驗；統計某年級的外語考試成績，根據數據進行正態分布的擬合優度檢驗；等等。
（2）結合實例突出統計中的基本方法，參數估計和假設檢驗是進行統計推斷的兩種最基本的方法，其涉及的范圍十分廣泛，在教學的過程中應首先理解方法的基本原理和理論依據，結合典型實例進行分析，比如通過估計湖中魚的條數，使學生了解矩法和最大似然法的原理和步驟；通過檢驗自動包裝機工作是否正常，使學生掌握假設檢驗的方法步驟。
（3）結合實例系統介紹統計中的基本內容，使學生進一步認識到統計方法的實用性和廣泛性，為學生在今后的學習和研究中提供廣闊的應用空間。
四、從統計觀點出發進行概率論的教學
“不確定性”或“隨機性”是概率統計這門學科研究的對象，從統計的觀點來看，“隨機”并非完全“偶然”，其中蘊含內在的規律性，這種規律是對隨機現象經過大量觀察后得到的某種統計規律。隨機事件的概率、隨機變量的概率分布、數字特征等只是這種統計規律在數量上的某種刻畫。目前的教學計劃是先講概率后講統計，在講概率時可從統計的觀點出發進行概率論的教學，這樣有利于對概率論中基本概念的深層次的理解和全面的把握，學生學習起來不容易出現概率和統計前后脫節的問題，有利于整門課程首尾呼應，貫穿一體，具體可把握以下幾個方面：
（1）從統計的觀點出發講清楚概率論中幾個最基本的概念。
（2）從統計的觀點出發理解概率論中幾個最基本的定理。比如從數據的分散程度理解切比雪夫不等式的含義；由頻率的穩定性和觀測數據的平均值的變化趨勢看大數定律的意義；從大量數據的疊加的波動性理解中心極限定理的含義；等等。
（3）從統計數據出發利用現代化的教學手段進行概率論的教學。比如通過繪制數據的直方圖來理解概率密度函數；由二維數據的平面散點圖看相關系數的大小；通過動畫演示高爾頓釘板實驗來揭示中心極限定理的奧秘；等等。
五、總結
總之，在高等院校概率統計課程的教學過程中，充分認識統計意識的作用，加強統計意識和統計能力的培養，將有助于學生對這門課程獨特的思想方法和應用前景有比較全面的認識，對傳統的公式和定理有嶄新的理解和看法，形成善于思考、勇于創新、靈活運用概率統計方法的學習氣氛，為造就高素質的創新型人才奠定基礎。
作者：李金玉陳興同周圣武章美月單位：中國礦業大學
1.調整了概率統計的教學內容
作為數學與應用數學專業一門重要專業課，首先在教學內容上突出了師范性。這是培養中學合格數學師資的基本要求，主要做了以下兩方面工作：一是為適應素質教育和社會發展的要求，加強了中學數學中概率統計內容的教學，例如古典概型、事件的獨立性等。突出了中學數學中概率統計的隨機性思想方法的教學。二是為適應教育科研的需要，滲透了教育統計的相關內容，增加了試卷統計分析的基本方法，為學生今后從事教育科研打下了一定的基礎。其次在教學內容突出了先進性。先進性是概率統計課程教學改革的根本要求，而目前高師概率統計的教學內容對新知識體現不夠，缺乏先進性和時代性。因此，在教學內容中增加了統計方法在解決經濟中問題的有關內容。第三，突出了本學科的實際應用性。應用性是由這門學科的特點所決定，這門學科可以說是一門應用性非常強的學科，是一種工具和方法。因此，我們調整了教學內容，加大了應用性方面內容的教學，例如用假設檢驗方法解決實際問題等。
2.改進了概率統計的教學方法
目前高師概率統計的課堂教學仍在采用傳統的“滿堂灌”的教學方法，無視學生的表現和教學效果，教學的目的往往只針對最后的統一考試，教學過程中只是簡單地把知識灌輸給學生，強調對解題能力的訓練，忽視了學生對知識理解和應用的掌握，忽視了對學生創新能力的培養。因此，我們改進了概率統計的教學方法，首先在概率統計課堂教學中突出了的數學思想的教學。概率統計中的數學思想的教學主要有隨機思想、統計調查思想、統計描述思想、統計推斷思想等。在概率統計教學過程中，我們注重了數學思想方法的教學，注意了各種統計方法的使用條件及注意事項，而且分析它們與一般的數學思想方法的異同，突出概率統計思想方法的特點。其次在概率統計教學中采用了類比方法進行教學。類比是一種從特殊到特殊的推理，具有推理的猜測性、聯系的廣泛性、探索性等特點。概率統計中有許多內容可以作類比教學，例如，多維隨機變量的教學可與一維隨機變量的進行類比，連續型隨機變量的教學與離散型隨機變量進行類比。
3.加強了現代信息技術與課程內容的整合
現代信息技術的發展對數學教育的影響是不言而喻的。在實際課堂教學中，教師們充分利用計算機的優勢，使得概率統計這門學科學生學起來更便利，使得課堂更加多樣和豐富多彩，現在在我們這個學科的課堂上，計算機已經成為了學習的有力工具。對于概率統計的教學，除了采用多媒體教學之外，還讓學生通過數學軟件或統計軟件，如MatLab、SAS等上機操作實驗，體驗概率統計的思想，如概率中的蒲豐投針問題、馮-諾依曼用數學程序在計算機上模擬等給我們上機操作提供了有趣的題材。我們在概率統計課堂教學中強調了學生動手能力的培養，在教師指導下運用所學的知識和計算機技術，分析解決一些實際問題，寫出分析報告。例如，在回歸分析這部分內容的學習過程中，通過讓學生收集本校大學生學習投入與學業成績的相關數據，指導學生運用統計軟件，建立大學生學習投入與學業成績之間關系的回歸模型。這樣做大大提高了實踐教學的效果，在實驗中，通過動手能幫助學生理解該課程中一些抽象概念和理論，同時利用所學的方法和技巧，讓學生獨立完成研究型的小課題，從而培養學生的創新精神和實踐能力。
4.改革了考核方法
課程的考核方法是教學中重要的一個環節。現在該課程的考核方式與其他課程基本上類似，期末考試成績占80%（或70%），平時成績占20%（或30%）。現行的考核方式不盡合理，不能全面的評價學生的整體成績，所以我們進行了改進。我們在實際工作中采取了靈活多樣的多種方式相結合的考核方法。就是將傳統的單一閉卷考試方式改為閉卷與開卷相結合、平時考核與期末考試相結合的靈活多樣的考核方法。閉卷考試主要考查學生對概率統計概念、理論的掌握程度；開卷考試主要考查學生對概率統計方法的掌握程度，通過設計一些與教學相關的、應用性的綜合型案例，采用數學建模的形式，讓學生完全自主的運用所學方法去分析、討論和解決實際問題。平時考核的方式采取多種形式，包括平時的作業訓練、學習小結及撰寫課題小論文等。課題小論文是教師在教學過程中設計一些小課題，通過學生對這些課題的分析、討論、總結及撰寫論文的過程，達到了調動學生學習主動性、促進了自主學習的目的。多樣的考核形式，既增強了教師教學的靈活性，又讓學生真正體會到學習的樂趣，增加學習的積極性，真正培養了學生的應用能力和創新思維，達到了明顯的教學效果。
5.總結
總之，為了時代的要求，為適應素質教育和社會發展的要求，概率統計的教學改革是勢在必行。但是這門學科在教改的道路上任重道遠，仍需我們從事這門學科的一線教師不斷的探索，不斷努力。
作者：張愛武單位：鹽城師范學院數學科學學院
一、教學內容中融入應用題目，從根本上體現數學建模的思想
“概率統計”是一門具有實踐性與理論性的重要學科，在不斷發展的過程中已經成為數學科目不可或缺的組成部分，并且對此起到重要的作用。在根據課程的相關特點中，利用現代科學進行審視與組織，從而使數學概率統計中融入新鮮元素，在教學內容上引入有趣的應用題目，并且要對科學方法以及相關技術、概率統計知識進行聯系。學生在運用“概率統計”知識的基礎上們能夠建立數學模式，對“概率統計”的知識也會產生興趣愛好。除此之外，還能促進學生學習習慣的改變，變被動為主動，從根本上提高學習效率。將數學建模的思想積極融入到數學概率統計之中，能夠在不打破傳統知識的同時，應用案例進行解決。通常情況下，學習通過對案例的學習，能夠親自體驗在使用概率統計知識進行數學建模的整個過程，從而加深對概率統計知識的認知與理解，促進學生的學習興趣與學習習慣。從另一個角度而言，學生在努力學習數學概率知識的同時，能夠真正做到“學以致用”，由于數學概率統計是一門重要且復雜的課程，在不影響到教學大綱的情況下利用多種手段進行教學，可以增強學生數學建模的基本能力，從根本上體現數學建模的思想。
二、教學方法得以改進，促進開放式學習方式的形成
（一）改變傳統教學模式，探索新型教育方式通過實踐證明，傳統的教學模式與方式無法適應社會的需要，不能滿足現代化的教學要求，因此無法在傳統教育模式中取得滿意的教學效果。通過將數學建模融入到數學概率統計之中，可以在傳統的教學模式中融入新鮮元素，并且結合相關案例，采用啟發式教學模式進行教學，實現由淺入深、由難到易，使學生掌握數學概率統計的基本概念以及相關方法，從而對數學學習產生興趣，變被動學習為主動學習，從根本上加深學生對數學概率統計知識與建模思想的認識與理解。
（二）改變傳統學習方式，建立開放型學習形式在數學概率統計的教學內容上，認可教師不可以按照傳統的教學模式作為基本模式，不能按照教科書進行照本宣科。眾所周知，數學建模是沒有固定模式的，在進行數學建模時，要積極利用各種方式、各種技巧，因此，教師在對學生傳授相關知識的同時，要積極引導學生如何學習，如何正確的使用建模技巧，并且要讓學生對問題發生的背景以及過程進行探索，從根本上提高學生的自主創新能力。除此之外，在對習題進行處理時，學生也不能局限于比較充分的問題上，要不斷引用條件不充分的問題進行研究，并且要自己動手對材料、信息，對數據進行分析，建模，并且還要對較為抽象的問題進行具體化，從而增強自身對學習的興趣與能力。此外，教師要不斷開展討論課，讓學生積極發表自己的建議，對問題的見解進行回答，加強與同學之間的交流與學習，從而使學生在開放型學習環境中不斷成長。
三、改善教材中的理論學習，加強實踐學習
在學生的實踐活動之中，為了能夠使學生對知識有所了解，那么教材僬僥設計有關學生訓練的習題。一般而言，數學概率統計中的教材在教學內容的處理上過于理論化，對習題的次序與搭配卻不符合學生的基本特點，甚至有部分教材在設計的習題中難度過高，從而導致學生在學習中遇到困難，對數學概率統計與數學建模失去興趣。從實際角度而言，數學概率統計作為數學教材，習題是非常重要的，大量的習題可以鍛煉學習的邏輯性與思維型，因此，在對數學教材進行編寫時要按照由淺入深的基本原則，對練習題進行分門別類的編寫，從而滿足不同層次與不同對象的基本需求。在現有的數學概率統計習題之中，還需增加比較有趣、與生活有關的系統，并且該類習題要對數學建模的思想進行體現。與此同時，在教材中還應該添加應用性強的概率案件與統計案件，比如像數據的統計、數據的擬合等，讓學生能夠學會數學建模，在豐富學生課余知識的同時，也在一定程度上提高了學生的應用能力。
四、結語
數學概率統計作為一門實用性較強的學科，在數理統計的題目中，很多學生為了獲取良好的成績，從而對內容死記硬背，這種情況會導致學生的學習興趣得到下降，無法從根本上促進學生的創新能力與應用能力。與此同時，在數學概率統計中融入數學建模思想，使數學概率的學習具備實踐性與理論性。除此之外，在數學概率理論中融入建模思想與建模案例，在一定程度上促進概率統計課程的創新性改革，從根本上促進其發展。
作者：吳玉杰單位：寶雞文理學院
摘要:隨著我國課程改革的不斷深入,對數學教學的文化性的探討不斷展開。本文從概率統計發展歷史,到其內、外部的文化性等方面,探討了概率統計教學的文化特征。
關鍵詞:概率統計數學教學文化性
數學的文化性特征應該具有多元性、開放性和動態性等特點。概率論是研究大量隨機現象規律性的一門數學分支。而隨機現象的兩個重要特征即不確定性和規律性,卻經常使得學生在直覺與科學之間無所適從,給學習與教學帶來一定的困難。正是因為如此,從文化的角度重新審視概率統計的教學,既能促進教學,又符合新課程的理念。
1.概率統計理論的發展史略
縱觀歷史,自文藝復興時期的數學家,醫學教授Cardan在其熱衷的賭博游戲中開始思考獲得7點和在一副牌中獲得“A”的概率開始,數學的一個新的分支——概率論,便在對游戲的思考中展開了它的宏偉畫卷。我們知道,在自然界和現實生活中,隨機現象十分普遍,它表面上雜亂無章,但在多次實驗后卻隱藏著規律性。續Cardan之后大約100年,另一位賭徒Mere繼續研究了上述賭博問題,但是由于他數學知識的局限性,不得不求助當時數學奇才Pascal,而Pascal在與Fermat的通訊討論中逐步明確了概率值的確定方法等理論問題,從而將游戲問題上升到了數學問題。而十七、十八世紀之后,由于商業保險、產品檢驗,以及軍事、選舉、審判調查和天氣預報等大量隨機問題的涌現,概率論逐步從最初為給賭徒提供咨詢,轉變成為急需解決的數學理論問題。自1713年Bernouli到1917年Kolmogorov,以及十九世紀二三十年代的凱特勒更是將概率統計理論不斷系統化、公理化,從而確立了概率統計成為數學的一個邏輯嚴謹的分支。
在教學中,特別是講授概率統計概念的教學中,還原它的文化性,將歷史再現出來,既能夠讓學生在有趣的游戲中了解概率統計的源頭,也可以讓學生體驗到概率統計源于生活,服務于生活的科學本質,并了解人類在認識這一問題的過程中所付出的巨大努力,從而在學習知識的同時潛移默化地感受到數學文化的存在性。
2.概率統計教學文化性的外部表現
2.1豐富有趣的生活問題,為概率統計教學的文化性增加了多元性元素。
概率統計的生活背景可謂豐富多彩,這為課堂教學提供了十分豐富的情景基礎。
在概率定義理解教學中,賭博游戲的下注問題、贖金分配問題、比賽優先權問題、無法投遞信件比例問題、商場結賬快慢問題等。
古典概型教學中,拋硬幣問題、生日問題、天氣預報問題、男女出生比例問題等。
幾何概型教學中,有轉盤中獎問題、蒲風投針實驗問題、會面問題等。
隨機變量及分布教學中,有中獎問題、銀行卡密碼問題、感冒指數問題等。
正態分布教學中,智力分布問題、線段測量誤差問題、一天的氣溫平均值問題等。
這些問題來自我們生活的方方面面,而且許多問題都是歷史經典問題,因此問題本身的數學思維性加上歷史背景性,其文化的氣息更加濃厚,甚至童年故事“狼來了”問題,成語故事“三個臭皮匠頂個諸葛亮”問題,評分術語“去掉一個最高分,去掉一個最低分”問題,等等,都滲透著概率統計的思想,這無不體現著數學來源于生活,服務于生活的文化思想。
2.2大量動手操作性的實驗學習活動,是概率統計教學文化性的又一體現。
在拋硬幣實驗中,學生在拋擲中收集數據,通過操作方式學習數學的結論。
在義務教育階段,通過收集同學的體質健康情況,年齡,身高數據進行數據學習。
在變量的相關關系教學中,收集同學使用計算機時間,物理成績與數學成績等,學習變量的相關性。
在隨機抽樣教學中,設計調查問卷等。
可以看到,以上這些實驗性學習方式,是其他數學學習中較少出現的,然而正是這些帶有操作性的學習方式,豐富著學生的思維,增加著他們的心理感受,認識到所學的東西有用,能解決現實問題,學習熱情高漲,從情感上豐富著他們對數學的感受。
3.概率統計教學文化性的內部表現
3.1科學思維的深刻提升。
概率統計的優秀是認識隱藏在隨機現象背后的統計規律性,強調隨機現象的個別觀察的偶然性與大量觀察中的統計規律性之間的聯系。必然性通過偶然性表現出來,偶然性背后總是隱藏著必然性。通過這種必然性去認識和把握隨機現象,而不確定與確定,可能與不可能的集中體現,更是辯證思想的體現,是人類思維成熟的體現。因此概率統計的學習實際上是對學生過去習慣的確定性思維的一次挑戰,是一次思維文化的碰創。例如拋一次硬幣的結果是無法確定的,學生可以理解,但是大量拋擲的結果卻是一個概率確定值,這里具有辯證統一的思想,為了讓學生能夠理解這樣的事實,實驗是必不可少的,這又使得學生經歷了從具體到抽象及歸納的邏輯思維形式。在學生使用概率模型解決問題的同時,歸納思維、合情推理等思想方法與隨機思想方法的交融,都是數學化意識的體現,它深入到內部,不斷完善他們的思維,使其日趨成熟,這正是數學的學科特征。
3.2人文精神的不斷升華。
概率統計的產生就像它的理論那樣帶著大量的偶然因素,但是因為有眾多優秀數學家的鉆研,其產生與發展又是一個必然的結果,并不斷系統化、條理化。如今,概率統計已經滲透到了自然科學和社會科學的方方面面,而對于大量來源于生活的概率統計問題,必將教會學生主動利用所學的知識去認識世界、改造世界,有助于培養學生將數學理論應用于解決實際問題的能力和創新意識。
一、創建愉快和諧的課堂環境
愉快和諧的課堂環境是上好一門課的基礎。課堂教學除了知識交流外，還要有情感交流，教學活動是在知識、情感這兩方面互相作用、互相制約下完成的。只注重知識講解，而忽視與學生的情感交流是不可能取得理想的教學效果的。教師微笑的面容、溫柔的目光、落落大方的儀表會給課堂奠定愉快而和諧的基調，為學生的學習創造良好的心理環境。在講課過程中要用眼神與學生交流，當看到學生聽懂后的喜悅表情時，會受到激勵，使自己振奮；如果學生抬頭率低，或者表示疑惑，就要想辦法再講一講。教學中不能妄自尊大，要以學生為主體，以人為本，以調動學生的學習主動性、積極性為手段，以提高學生的學習興趣、學習能力和創新意識為宗旨，在激發學生潛能、啟迪學生思維的過程中傳授知識與技能，促進學生知識、能力和素質的綜合協調發展。
二、針對課程特點運用高效的教學方法與手段
針對課程特點運用高效的教學方法與手段是上好一門課的關鍵。概率論與數理統計是研究和探索客觀世界中隨機現象的一門數學學科，在金融、保險、經濟與企業管理、工農業生產、軍事、氣象與自然災害預報等方面起到非常重要的作用。作為一門應用性很強的學科，它已經成為高等學校工、農、經管等專業的一門重要基礎課程。概率論與數理統計的教學內容要求講授五章概率論，兩章數理統計。由于概率論與數理統計的課時一般為48學時，加上這門學科的文字性描述很多，僅僅采用傳統黑板加粉筆的教學手段，會促使老師拼命趕進度、加大課堂信息量，以便完成教學任務，這種“滿堂灌”的教學模式忽視學生的感受，導致這門趣味性極強的課程達不以應有的教學效果。如果合理采用PPT講授這門課程，就可以節省許多當堂板書時間，這樣教師在有限的教學時間中可以進行更多的教學活動，從而達到意想不到的效果。
教師可以根據教學內容，緊密聯系學生的生活環境及專業特色，通過PPT創設學生熟悉與感興趣的教學情境，通過一幅幅熟悉的畫面和精心設計的熱點問題激發學生的學習積極性，讓學生真正成為課堂學習的主體，擁有學習主動權。要注重具體案例的選擇，緊密聯系現實生活，激發學生的求知欲。但在使用PPT的過程中，有些推導、演算的東西，可以用粉筆在黑板上一點點地推導能更好地引導學生思考。通過PPT展示一定數量的課堂練習，關注學生的差異，設計不同水平的題目使每個學生都有機會參與教學活動，可以讓學生集體討論，努力改變原有老師一味講、學生一味聽的被動局面，在集體討論的過程中，教師要在學生中間轉圈，指導他們。每堂課都要用PPT做小結，幫助學生梳理課堂的主要內容和重難點，讓學生做到心中有數，彌補PPT教學容易遺忘的缺陷。
科學完善的評價體系對打造高效的數學課堂也是尤為重要的，它可以讓學生在課堂上始終保持高漲的學習積極性和強烈的主體性。評價的主要目的是全面了解學生的學習歷程，激勵學生學習和改進教師教學。評價學生學習狀況的主要目的是激勵優秀學生努力學習，取得更好的成績，同時鼓勵基礎相對薄弱的學生樹立信心，不斷進步。傳統考核機制實行一卷定終身的閉卷考試模式，忽視基礎條件的差異，只對基礎條件較好的學生起到促進作用，對基礎相對薄弱的很難起到鼓勵作用。教師可以根據授課學生實際情況實行多樣化考核方式，適應不同學生的發展要求。如加大平時成績的權重，重點考察課堂表現和作業情況，幫助基礎薄弱的學生樹立信心，對于基礎好的學生，可以鼓勵他們根據自身發展目標，在參加傳統閉卷考試和撰寫論文之間做出選擇，論文主要是結合專業特色做一篇研究報告，或者做一篇課程論文，可以一人獨撰，也可以多人合作完成。這種考核機制有助于培養優秀大學生的創新意識和團隊協作意識。
作者：聞卉單位：湖北工業大學理學院
1依據歷史發生原理，加速學生對知識的接受進程
歷史發生原理認為個體的數學認識過程與人類的數學認識過程具有相似性．概率統計教學可以從概率統計的發展史中尋求指導，從而借鑒歷史經驗，優化教學設計，加速學生對概率知識和理論的接受過程．概率是一般教材中的基本概念，其處理方式遵循這樣的主線：概率是事件發生可能性大小的度量—頻率的穩定值—古典概率—幾何概率—公理化定義．概率是隨機事件發生可能性大小的一種度量，這一直觀概念已被普遍認可．但這只是概率的功能性解釋，并不是它的數學定義．概率的解釋與定義是在爭議中發展的．客觀概率學派認為任一事件發生的概率是其客觀屬性；相反，主觀學派則認為概率是人的主觀判斷．客觀概率學派以拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理論》中所提出的概率古典定義為代表，即事件的概率等于有利事件的結果數與所有可能的結果數之比．然而，這種定義討論的范疇有明顯的局限性，只適用于隨機試驗所有可能結果為有限等可能的情形；而且，對于同一事件，從不同的等可能性角度考慮可算出不同的概率，從而會產生悖論．此外，對于概率的概念又有頻率學派、貝葉斯學派、信念學派的不同認識和觀點．其中頻率學派的觀點是大多數現行教材所接受的，即概率是頻率的穩定值，頻率穩定于概率又需要在概率的意義下來刻畫．歷史上著名的貝特朗悖論使人們對“何為概率”的困惑放大到了極致，這個問題解決不了，當時所有研究成果就不能整合，概率理論成了不體系，也無法形成一個獨立的學科．而要解決這個問題，就要給出概率的嚴格定義，將概率論公理化，并在此基礎上推演概率的理論體系．公理化是19世紀末以來數學的各個分支中廣泛流傳的一股潮流——將一些假定作為無需證明的公理，其它結論則由公理演繹推出．在這種背景下，1933年俄國數學家柯爾莫哥洛夫在測度論的基礎上綜合了前人的研究結果提出了概率的公理化定義．概率的公理化定義被廣泛地接受使概率論成為嚴謹的數學分支，對近幾十年來概率論的迅速發展起到了積極的作用．教學中，教師必須了解并熟悉概率這一概念的發展歷史，對概念有清晰準確的認識．在教學時穿插這些內容，不僅可以使學生清晰準確地把握概念，還可以增強學生對概率統計的感性認識，從而加深對概念的理性認識，優化知識接受的銜接過程，體會一個學科知識體系建立的嚴謹性、辯證性和復雜性，從而培養學生嚴密的邏輯思維，發展其創新意識，培養其睿智和實事求是的人格．
2還原知識的歷史進程，降低新知識的抽象性
現代數學教材普遍都是按照知識的內在邏輯進行編排，很少按照數學問題的研究進程進行著作．這樣的安排在邏輯結構上是科學的、嚴謹的，但卻忽略了數學問題研究的歷史痕跡．教師在教學過程中，應盡量地還原知識的歷史進程，降低新知識的抽象性．正態分布是概率論中最重要的一種連續型分布，它屬于概率論的研究領域，但也是解決統計學問題的基石，它的提出具有深刻的理論背景和極其廣泛的應用價值．在教學中對正態分布的學習，通常是直接給出概率密度或分布函數，將其稱為正態分布．但這會讓學生感覺接受生硬，理解抽象，記憶困難．理論背景上，正態分布產生于棣莫弗的p?0.5的二項分布極限研究，后來拉普拉斯對p?0.5的情況做了更多的分析，并把二項分布的正態近似推廣到了任意p的情況．二項分布的極限分布形式被推導出來，由此產生了正態密度函數，相應的結果稱為棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理．經拉普拉斯等學者的研究，20世紀30年代獨立變量和的中心極限定理的一般形式最終完成．此后研究發現，一系列的重要統計量在樣本量n??時，其極限分布都具有正態形式．數學家進而合理地解釋了為什么實際中遇到的許多隨機變量或者統計量都近似服從正態分布，可以說這是概率統計中具有里程碑意義的發現．數理統計教材中一般是先認識正態分布，中心極限定理則在此之后學習．在學習正態分布的定義之前，教師可以設計一些具有明顯正態性現象的數據，而后進行描述性統計分析，給出頻率直方圖，并解釋這種具有兩頭小、中間大的分布現象是普遍的，也是常態的．對概率論中常見分布的知識背景的了解和掌握，有助于教師在課程設計和講授過程中注意課程內容的銜接和承上啟下的相互關系．借助數學家研究數學問題的進程史實，可降低新知識的抽象性，使學生易于接受和掌握，并提高應用的靈活性．
3注重統計思想，引導靈活應用
統計學以數據為出發點，是一門應用學科，通常分為應用統計學和數理統計學．在這門學科中，估計和檢驗是其兩大基本問題．極大似然思想是參數估計理論中最為經典的思想之一，極大似然法下得到的參數估計具有優良的性質，但這種思想也是學生在學習時普遍感覺抽象、理解困難的統計思想之一．教學過程中極大似然思想的引入，可以采用問題解決策略中的啟發式教學方法．問題解決策略教學是以教師為主導，以問題作為教學的出發點，激發學生的求知欲和主動思考問題，從而使學生順利地接受新思想的課堂教學方法．問題解決策略教學方法的關鍵是設計好引出統計思想的問題，設計的問題應帶有趣味性，以激發學生探索的興趣；問題應貼近生活實際，使學生感受到該思想的應用價值；根據學生的認知程度設計問題的難度，問題不要過于簡單，要讓學生有思考的空間．從數據出發進行歸納和推斷是概率統計這一學科所特有的研究手段，而假設檢驗又是統計推斷的基本手段．在統計學中，假設檢驗有實施的基本步驟和針對一些經典問題的檢驗方法，即檢驗法則，例如：正態總體參數的假設檢驗．假設檢驗的基本原理，即小概率事件原理在頻率的觀點下是容易令學生理解和接受．學生掌握了檢驗法則，在解決問題時，首先要考慮該問題是否可以用學到的檢驗法則進行解決．在應用正態總體參數的檢驗法則時，往往假定或默認了考察的總體是正態的，而這個假定是否合理會關系到檢驗結果的可靠性．假設檢驗的法則固然重要，但其統計思想則更為重要．只有理解了假設檢驗的統計思想，才能真正地掌握統計推斷的精髓，在實際應用中才能舉一反三，從而培養學生的創新意識和探索能力．在假設檢驗的教學過程中，可采用案例教學法，借助當前的熱點問題，使學生不僅學習了假設檢驗的基本概念和檢驗法則，更重要的是通過案例教學培養學生利用假設檢驗策略解決問題的思維方法，使學生認識到假設檢驗策略的應用價值，并培養其應用意識和創新能力．
作者：周影高鶴劉海東王化琨張繼民單位：黑龍江大學數學科學學院哈爾濱師范大學數學科學學院
1類比法在概念教學中的作用
1.1隨機事件的關系運算與集合的關系運算的類比由于事件可以看成由某些樣本點構成的集合，因此可將二者類比學習。例如：集合A∪B表示其中任意一個元素x僅屬于A或者僅屬于B或者屬于A和B的公共部分，我們可以形象地用韋氏圖來表示。此時若將A和B看作是事件，則事件A∪B表示“事件A和事件B至少有一個發生”，記作A+B，即概率論中事件的和等同于集合論中集合的并集。同樣的類比方法，我們可將集合論中集合的交集類比到概率論中事件的積中去。在教學中可引導學生先回顧集合之間的各種關系運算，隨之再引出相應的事件間的關系運算，最后歸納總結。此外，事件運算的性質如交換律、結合律、分配律均可對照集合的相應性質進行類比學習。
1.2離散型隨機變量與連續型隨機變量的類比對于離散型隨機變量，學生感覺較容易，但對于連續型隨機變量，往往學生感覺抽象難理解。由于分布列在離散型隨機變量中的地位與密度函數在連續型隨機變量中的地位等同，因此對于離散型隨機變量中的邊緣分布列與聯合分布列的關系可以過渡到連續型隨機變量中邊緣密度函數與聯合密度函數的關系中去，此外諸如隨機變量的獨立性的充要條件以及期望與方差的計算均可輕松過渡。具體我們可通過“把連續的問題離散化”這種方法，實際是將對離散型隨機變量中對分布列的求和變成對連續型隨機變量中的密度函數求積分即可。表1我們將對其中的部分性質及計算作一個簡要的類比。
1.3一維隨機變量與二維隨機變量的降維類比任何學習都是循序漸進的，一般來說低維空間的知識相對簡單，容易被學生接受，所以最好的方法是從低維空間向高維空間過渡學習。降維類比法是將高維空間中的數學對象降低到低維空間中去觀察，利用低維空間中數學對象的性質類比歸納出高維數學對象的性質。通過上面的類比得知抽象的二維隨機變量的分布函數與一維隨機變量有著一致的表達式，從而大大降低了學習的難度。此外，二維離散型隨機變量的聯合分布列與連續型隨機變量的密度函數的性質與計算均可借助一維隨機變量的相關知識引入。
2類比法在習題教學中的應用
類比法是解題的有力工具。在習題教學中，教師若常引導學生用類比思維去尋找解題的方法，會起到事半功倍的效果。我們首先可以利用條件、結論或者結構形式上的類似，聯想與之類似的概念性質從中得到啟發。例如，在概率統計中有這樣一題：總之，類比法是創造性地表達思維的重要手段，在概率統計教學中有其特有的地位和作用。在概率論的類比法教學中，不僅要根據學生已有的知識提供恰當的類比對象，更為重要的是引導學生在類比中去發現目標對象與類比對象的本質區別，從而真正地認識和理解目標對象，否則則可能導致錯誤的理解與認識。事實上，類比法在概率統計教學中的應用遠不止于上述幾個方面，這里就不一一贅述。在概率論教學中若恰當應用類比法，可使學生將所學的知識條理化系統化，有利于提高學生分析問題與解決問題的能力，培養學生的創新意識和創新精神。
作者：李燕楠何建營單位：中原工學院理學院
1三個典型性結論及其反例
在教學過程中，隨機事件及其概率這一章節中的可以歸納出很多個理論公式和結論，本文中只是舉三個典型性結論，然后舉出反例加以推理驗證，刺激學生的好奇心和興趣，從而使得學生更加透徹的理解數理統計概念，更加好學，更加具有專研精神，更有助于學生數學思維的培養。符號：A，B，C：隨機事件Ω：必然事件；樣本空b間；覫：不可能事件定理1用事件的運算關系表示事件的方法不一定唯一例如，用A，B，C的運算關系表示事件D={A，B，C中不多于一個事件發生}，根據事件的和、差、積及其逆事件的概念，可以寫出下面四種不同的表示法：按照概率的公理化體系可知，樣本點是樣本空間Ω的元素，而事件是事件域中F中的元素，它是樣本點的某些子集.在古典概型中，樣本空間Ω只含有窮個點，所以Ω也是有窮的.此時常常把Ω的一切子集都視為事件.但卻不能由此認為樣本點一定是事件.實際上，并不把Ω的一切子集都當作事件來研究。我們只考慮事件覫，A，A，Ω時，容易驗證F={覫，A，A，Ω}為一事件域，于是Ω中的樣本點B={所取球的號碼為4}就不是事件域F中的元素，即B={4}不是F中的事件。
定理對“等可能性”的理解不同，得到的概率不一定相同在概率論發展的早期，大部分的人都相信，只要找到適當的等可能性描述，就可以給概率問題唯一的解答，但事實上確并非如此，這是個經典的著名反例，貝特朗（Bertrand）奇論（貝特朗在1887年出版的《概率論教程》一書中構造了這個例子）：在半徑為1的園內隨意畫一條弦，問它的長度超過其內接正三角形的邊長的概率等于多少？從不同的方向的理解，貝特朗對這個問題給出了三種不同的解法。解法二：如圖2，在圓中任意畫出一條弦AB，再作與AB垂直的直徑CF，并以C為頂點作圓的內接正ΔCDE，由圖可見，要AB>DF，必須AB和直徑CF的交點M落在GH內，這里G是CF三種解法推理看起來都無懈可擊，不同的理解得到了三種完全不同的答案，從而使得問題得到了奇論的美稱，也就是數學上的貝特朗悖論。同一個問題得到不同的結論的原因是什么呢？原因在于每種解法對于“等可能性”作出了不同的理解和假設：解法一假定了弦的端點落在圓周上各點是等可能的；解法二假定了弦的中點落在直徑上各點是等可能的；解法三假定了弦的中點落在圓內各點上是等可能的。對于各自不同的假設，上面三種解法和結果都是正確的，這個例子提醒學生，在解答概率問題時，一定要弄清楚等可能性的條件，以免發生混淆。
2結束語
在概率論與數理統計的教學過程中的引人各種反例教學，會使得上課更加生動有趣，不同于常規的思維推理一定會引起學生的好奇心和好勝心，從而激發學生對概率統計的極大興趣，然后可以引導學生專研問題，思考結論。在教學中插入恰當的反例，即是簡明有力的否定方法，又是加深學生對概念和定理的理解的重要手段，它有助于發現問題，活躍思維、避免常犯易犯的錯誤。從而達到教學上的最高水平，取得令人滿意的教學效果。
作者：梅芳曾春華王巧玲單位：江西農業大學理學院
一、弱化理論，加強實踐教學
《概率論與數理統計》是一門注重理論的數學課程，在教學中讓學生掌握基本理論是必要的，但在教學過程中也不能僅僅以此作為目標。那么，一方面，在教學中我們就要做到有取有舍，基本的定理和公式要講清楚，而對于這些定理和公式的證明可以對學生降低要求，通過多舉例子，多給實際案例，讓學生學會使用這些公式和定理;另一方面，將一部分學時單獨列為實踐學時，目前數學軟件在統計領域的使用非常廣泛，比如常見的:Mtlab、SAS、SPSS等，在教學中將理論與相關數學軟件相結合，進行上機教學。讓學生通過實踐認識到本門學科在實際中如何應用，也讓學生能夠掌握一到兩門數學軟件的使用，方便他們今后專業學習。
二、結合專業，注重案例教學
在地質類專業中，很多實際問題都直接用到了《概率論與數理統計》中的內容，比如:區間估計、假設檢驗、參數估計等，都是在地質類專業教學中常用的數理統計方法。那么，我們在《概率論與數理統計》的課堂教學中就可以有的放矢地將地質類學科中的案例與數理統計中的這些方法相結合，把地質學中的實際問題當作例子在《概率論與數理統計》課堂中進行講解，地質類專業的案例在很多時候就是在具備專業背景下的統計學的應用，用這類問題來替換課本上枯燥的數學例子，一方面可以增強課堂的趣味性，提高學生的學習興趣和積極性，另一方面也為將來學生在專業課中使用概率論與數理統計知識打下基礎，幫助學生順利地完成從基礎課到專業課的自然過渡。
三、將數學建模的思想融入日常教學中
《概率論與數理統計》是大學數學課程中應用性最強的一門，也是數學建模的基礎課程。在地質類學科中《概率論與數理統計》的應用實質上就是利用《概率論與數理統計》的知識結合地質專業背景建立數學模型，然后對數學模型的結果在專業背景下進行解讀，所以學生在后續地質類專業課學習中用到的就是利用數學知識建立數學模型，那么，我們在《概率論與數理統計》教學過程中融入數學建模的思想，首先可以讓學生建立應用型的思維模式，方便專業課的學習;其次利用講解數學建模思想的過程可以更好地讓學生理解《概率論與數理統計》的基本理論和方法，更扎實地掌握如何應用這些基本理論和方法，使學生達到學以致用的境界。概率論與數理統計是一門重要的數學基礎課，根據概率論與數理統計課程的特，通過以上幾點思考并根據日常教學，為地質類高校的該學科教學提供有益的借鑒，即最終也將服務于日常教學，筆者相信通過我們教師對教學方法、教學思維的不斷改進，《概率論與數理統計》必將成為服務學生專業發展，助力學生奔向更高層次的基石。
作者:陳帆 單位:長江大學工程技術學院
一、引言
如本校數學與應用數學專業和信息與計算科學專業，該課程實踐教學主要是利用計算機對理論知識的模擬和實證。這樣的實踐教學對理論知識的理解有一定的幫助，但對于實際的運用卻缺少訓練。基于此，在實踐教學過程中，我們設計了一些與專業實踐應用相結合的實踐教學內容，并在教學中嘗試使用，取得了良好的效果。
二、設計思路
1.實驗內容與專業特點相結合。作為師范類數學，畢業后主要從事教育教學工作。在教育教學工作中，免不了要對教學質量、教學效果等進行分析，需要用到統計知識。因而在設計實踐教學內容時，應根據學生就業后的需求情況，結合教育統計與教學測評等內容，設計專業特點較強的實驗題目（內容），如調查當地學生數學能力狀況、調查某一教學內容教學效果情況等。通過實際操作，使學生掌握教育統計研究的方法，不僅提高學生的能力，也為今后在教育教學工作中開展科學研究打下基礎。2.軟件的選用。目前，專業的統計軟件有SAS、SPSS、Eviews、R等，這些軟件的專業性很強，功能也非常強大。但本人認為作為非專業的一般使用者，選用Excel就可以了，其原因主要有以下幾個方面：第一，專業軟件對于非專業人員要運用自如有一定難度；第二，專業軟件不少需要購買，且價格昂貴，一般人難以承受；第三，Excel軟件是一款使用廣泛的辦公軟件，且較易學；最后，Excel軟件提供了豐富的函數，可以進行數據處理、統計分析和決策輔助以及制圖等功能，完全能夠滿足基礎的統計分析工作。因此，在實踐教學中建議選用Excel軟件。3.突出實用性，增加綜合運用。《概率論與數理統計》課程的實驗主要以模擬和實證分析為主，缺乏結合實際、應用性強的實驗。在設計實驗內容時，應結合實際的應用，設計綜合性、操作性較強的實驗題目，以項目的形式組織學生分組開展實驗實訓活動。例如設計題目《中學生數學能力的調查研究》，在此題之下可以分多個小題，如《中學生空間想象能力的調研》、《中學生性別差異對空間想象能力的影響研究》等等，讓學生6～8人一組，每組選擇一題開展研究。
三、實踐實例
在完成理論學習的基礎上，利用實踐教學環節，結合教育工作的需要，設計綜合性的實踐教學內容，并通過組織學生分組開展實驗，從而加深學生對理論知識的理解，同時提高學生的實際應用能力。下面通過三個案例說明實踐教學的設計和開展。實例1：2011年全國五個自治區教育經費投入情況對比分析。實驗目的：（1）使學生學會利用相關資源收集、整理數據；（2）利用Excel軟件描繪柱形圖。實驗過程設計：1.數據的收集。根據收集方式的不同，統計數據可分為間接數據和直接數據。實例1中的數據為間接數據，其收集的主要方法有：（1）通過《中國統計年鑒》、《中國統計摘要》及各省、市、地區的統計年鑒等公開出版物收集數據；（2）利用中華人民共和國國家統計局、中國經濟信息網等網站查詢數據；（3）到各地方統計局查詢統計數據。在此實驗中要求學生按5人一組，通過中華人民共和國國家統計局網站，查詢相關數據（如圖1所示），并對數據進行篩選、整理，得到2011年全國五個自治區教育經費投入情況數據。最后利用Excle軟件繪制數據表，并錄入所需數據，得到2011年全國五個自治區教育經費投入情況數據表（見表1）。由圖2可知，2011年全國五個自治區中，廣西的教育經費投入最多，西藏投入最少；另外內蒙古、廣西、新疆的教育經費相差不大，西藏、寧夏相對較少。實驗小結：該實驗是統計分析中的一個基礎性實驗，主要教會學生利用網絡、圖書、雜志等途徑收集數據，并利用Excle軟件對數據進行預處理，最后根據繪制統計分析圖，得出分析結論。類似的還可練習繪制餅狀圖、折線圖、直方圖等圖形。另外，根據學生情況還可以適當深入（如三維數據圖，多變量數據分析圖等），但應保持與專業特點相結合。實例2：對學生考試成績進行統計分析。實驗目的：（1）學會制作統計表格；（2）學會利用Excel軟件進行描述性統計；（3）學會使用Excel軟件中的相關函數進行統計匯總。實驗過程設計：1.制作統計表并錄入本班學生某次考試成績（表格前6行如圖3所示）。2.在“工具”菜單中選擇“數據分析”子菜單，并在彈出的窗口中選擇“描述統計”，點擊“確定”后將需要進行描述統計的數據選入“輸入區域”，依次選定輸出區域以及需要輸出的統計值（如匯總統計、平均置信度等），確定之后可生成描述統計表（如表2）。3.利用COUNTIF等函數求出學生各分數段人數、優秀率、及格率等數據（如表3）。實驗小結：該實驗通過對學生成績的統計分析，教會學生利用Excel軟件中的相關函數和數據分析工具進行統計，對學生今后在事教育工作中進行教學質量分析有一定幫助。在此基礎上，還可以進行拓展，如分析多門課程成績情況；分析各班級間成績是否存在顯著性差異；男、女生學習成績是否存在顯著性差異等問題。實例3：中學生數學能力調查分析。實驗目的：（1）使學生學會調查問卷的設計，并了解開展問卷調查的流程；（2）利用Excel軟件對問卷數據進行方差分析。實驗過程設計：1.設計問卷。中學生數學能力主要包括：數學的運算能力、空間想象能力、邏輯思維能力、實際應用能力等，在設計問卷時，讓學生分成4組，每組設計一類能力測試題。學生人數較多時，可分成8組，每兩組負責一類試題，各組分別完成設計。各組設計好的試題，由大家討論，挑選出部分題目，綜合成為中學生數學能力測試卷。2.分組調查。學生分組到各中學進行問卷調查。在實施調查前，先根據該校學生名錄，采用隨機數表法抽取被調查學生名單，然后根據抽樣名單完成問卷調查，以保證數據的有效性。最后，根據收回的有效問卷整理出相關數據。3.方差分析。利用Excel軟件數據分析中的方差分析模塊，對整理好的數據進行方差分析。分析內容可設置為性別對學生各種能力是否存在顯著性影響；年齡對學生各種能力是否存在顯著性影響；民族對學生各種能力是否存在顯著性影響；等等。學生分組選擇一個內容進行分析，并完成分析報告。在之后的小組交流中，每組派一名代表闡述本組的分析過程和分析結果，大家再討論分析是否正確、結果是否合理等。實驗小結：該實驗綜合性加強，在實驗過程中涉及到抽樣調查、數據預處理、統計分析等內容。該內容以項目進行，大項目中分子項目，由學生分組合作完成，在這樣的實驗活動中，學生既學到了專業知識，鍛煉了專業技能，又培養了團結協作、互相交流的品質。
四、認識與思考
經過幾年的教學實踐和探索，本人對《概率論與數理統計》實踐教學有一些初略的認識，歸納起來主要有以下幾個方面。1.實踐教學的課時安排。由于概率統計的廣泛應用，在《概率論與數理統計》課程中應該安排實踐教學環節，特別是應用型本科院校，更應加強學生的實踐操作訓練。經過幾年的教學實踐，建議《概率論與數理統計》課程在師范類數學與應用數學專業中總課時設置在80學時左右，實踐教學課時占總課時的1/4左右，以保證基本統計方法的學習和實踐教學能收到實效。另外，由于實踐教學是建立在理論教學的基礎之上，學生在掌握理論知識的前提下通過親身實踐，進一步掌握統計方法。因此建議《概率論與數理統計》課程實踐教學環節集中在理論教學之后。2.實踐教學的內容選擇。對于非統計專業學生，在教學中不必過分強調對概率統計理論的理解，重要的是統計方法的應用，因此實踐內容要結合他們的專業特點突出應用性，在設計時選擇那些在他們今后的工作中能真正有用的教學內容進行實驗，讓學生通過實驗能夠掌握基本的操作方法，切實提高他們的實踐能力。3.實踐教學的組織形式。在《概率論與數理統計》課程實踐教學過程中，除了個人完成的基本實訓內容外，應適當設計項目形式，有學生分組開展的實踐內容。在完成項目的過程中，學生能培養協作、溝通等能力，對學生今后融入社會，順利開展工作有一定的幫助。
作者:盧鈺松韋艷肖單位:河池學院
