發(fā)布時間：2022-04-18 04:04:26
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的1篇數(shù)學勾股定理論文，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
摘要：數(shù)學是一種邏輯性強、抽象性強的學科，在數(shù)學教學過程中，對于一些數(shù)學問題使用常規(guī)的解題方法往往過于繁瑣，而利用一些定理進行求解往往能夠達到事半功倍的效果。在初中數(shù)學當中，勾股定理便是一個非常重要的定理，將其充分利用能夠使諸多數(shù)學問題迎刃而解。本課題筆者結合實際教學案例從多方面對勾股定理在初中數(shù)學中的應用進行了探究，希望以此為初中數(shù)學教學的完善提供一些具有價值性的參考依據(jù)。
關鍵詞：初中數(shù)學 勾股定理 應用
1 引言
勾股定理是初中數(shù)學中非常重要的一個定理[1]。它很好地解釋了直角三角形中三條邊之間的數(shù)量關系，對于幾何學當中有關直角三角形的計算機證明問題，利用勾股定理往往能夠迎刃而解，使學生快速掌握解決方法。同時，在日常生活及工作當中，勾股定理的應用也非常廣泛。因此，在初中數(shù)學教學過程中，充分利用好勾股定理這一有效手段進行解題顯得尤為重要。筆者結合多年的教學經(jīng)驗，利用勾股定理，對初中數(shù)學當中的“線段求長問題”、“求角問題”、“證明垂直問題”及“實際問題”進行了分析與探究，希望以此能夠為初中數(shù)學教學提供有效依據(jù)。
2 勾股定理在線段問題中的應用
在初中數(shù)學中，一些“線段求長”問題使用常規(guī)方面解決常表現(xiàn)的較為棘手，而使用勾股定理往往能夠得以有效解決。
結語
通過本課題的探究，認識到在初中數(shù)學中，對于許多問題可以利用勾股定理進行求解。包括“線段求長問題”、“求角問題”、“證明垂直問題”及“實際問題”等。筆者認為，勾股定理在幾何學當中占有非常重要的地位，它不僅僅只是一種解決數(shù)學問題的定理那么簡單，它還與我們的日常生活息息相關。在數(shù)學教學過程中，學習勾股定理進行解題，不但能夠提高學生解題的效率，而且還能夠讓學生對生活引發(fā)思考，從而在學習數(shù)學過程中，體會到生活與數(shù)學學科的密切聯(lián)系，進一步為數(shù)學在生活中的實際應用奠定良機
[摘 要] 數(shù)學史對于數(shù)學教育的意義不言而喻，它對于踐行新課改的知識與技能、過程與方法以及情感態(tài)度價值觀的三維目標，倡導學生自主探究學習的教學模式等方面具有重要作用. 本文以勾股定理教學為例，探討了上述問題.
[關鍵詞] 數(shù)學史；勾股定理；教育價值
數(shù)學史對于數(shù)學教育的價值已不僅僅停留在理論層面的討論. 翻閱近兩年的數(shù)學教育類雜志可以發(fā)現(xiàn)，越來越多的中小學數(shù)學教師也在撰文闡述自己在教學中使用數(shù)學史的一些體會和教學案例. 在課程改革不斷深入的當下，數(shù)學史融入數(shù)學教學對于踐行課改的理念，培養(yǎng)全面發(fā)展有理想、有道德的高素質(zhì)數(shù)學人才等方面確實有著積極的推進作用. 本文將給出一個基于數(shù)學史的勾股定理教學設計思路，旨在拋磚引玉，期待一線教師在不斷加強自身數(shù)學史修養(yǎng)的同時，開發(fā)出更多基于數(shù)學史的優(yōu)秀教學案例.
提出問題
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 此定理在西方叫做畢達哥拉斯定理，相傳，這是由古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯及其徒眾發(fā)現(xiàn)的，后人更渲染其事，說畢達哥拉斯諸人十分重視這項發(fā)現(xiàn)，特地宰了一百頭牛向天神奉獻答謝，所以中世紀時這條定理被稱作“百牛定理”. 在歷史上，這條定理的名稱特別多，在不同時代、不同地區(qū)都有不同的名稱，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希臘數(shù)學家歐幾里得在公元前300年左右編寫了著名的經(jīng)典之作《幾何原本》，其中一個定理就是畢達哥拉斯定理：
“在直角三角形中，直角所對的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和.”
接下來的這個定理是畢達哥拉斯定理的逆定理：
“如果在一個三角形中，一邊上的正方形等于這個三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在后兩邊之間的角是直角.”
這兩個定理合起來說明了直角三角形a，b，c三邊的平方和關系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.
我國是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國家，據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，我國數(shù)學家早在公元前1120年就對勾股定理有了明確認識. 勾股定理從發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史，在西方，它被稱為畢達哥拉斯定理，但它的發(fā)現(xiàn)時間卻比中國人晚了幾百年. 勾股定理是把直角三角形與三邊長的數(shù)量關系聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想.
定理的證明
在新課程人教版教材（八年級下冊）中，先是引用畢達哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”證明了勾股定理. “弦圖”是以弦為邊長的正方形，在“弦圖”內(nèi)作四個相等的勾股形，各以正方形的邊長為弦. “弦圖證法”是依據(jù)“出入相補原理”，根據(jù)“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理的. 趙爽的“弦圖證法”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學的驕傲，正因如此，這個圖案被選為2002年北京召開的國際數(shù)學家大會會徽.
引導學生探索其他解法
上述是我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”證法，即利用“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理. 這一方法給我們一定的啟示，即圍繞面積相等這一條，把原圖形拆成幾部分，然后根據(jù)面積相等實現(xiàn)定理的證明. 教師可以提示學生圍繞這一觀點，探索其他證明方法，學生提供的證法有可能和歷史上大數(shù)學家的證法一致.
歷史上的經(jīng)典證明方法展示
發(fā)現(xiàn)勾股定理迄今已有五千年，五千多年來，世界上幾個文明古國都相繼發(fā)現(xiàn)和研究過這個定理，幾千年來，人們給出了勾股定理的許多證法，有人統(tǒng)計，現(xiàn)在世界上已找到四百多種證法，下面列舉其中具有數(shù)學思想的一些代表性證明方法. 如（1）歐幾里得《幾何原本》的證法；（2）比例證法；（3）另一種弦圖證法；（4）總統(tǒng)證法；（5）帕斯卡拉二世的證明；（6）畢達哥拉斯的證法；（7）旋轉(zhuǎn)證法. 限于篇幅，這些證明方法的證明過程在本文中省略不寫.
基于上述分析，不難發(fā)現(xiàn)，歷史上的勾股定理證明方法很多，據(jù)統(tǒng)計，有400多種，向?qū)W生展示不同的證明方法有很多益處，具體表現(xiàn)在：首先，給出勾股定理的多種證法，并非是比較證法之優(yōu)劣，而是為了豐富教與學的內(nèi)容知識，這也是數(shù)學史融入數(shù)學教學重要的功能之一. 其次，通過比較、分析各種證法的特色，可以讓教師和學生在教與學上有所比較，以達到取長補短. 通過分析各種證法之不同，可以發(fā)現(xiàn)他們各自對于圖形的依賴程度也不相同. 當我們試圖理解某個版本的證法時，就好比與這位數(shù)學家進行對話，從而產(chǎn)生自我“歷史詮釋”. 再次，歷史上的勾股定理證法還使我們認識到該如何呈現(xiàn)定理及其證明，以便可以兼顧到各個面向. 在教學中，若以歷史文本為師，適時引入古人的原始想法，擷取前人的智慧，乃至前人所犯的錯誤，相信對于數(shù)學思想的發(fā)展與學生的學習過程能有更貼近的牟合，也能讓學生對數(shù)學有更全面的觀照. 最后，基于數(shù)學史數(shù)學教學所追求的目標之一，正是讓學生在通過歷史文本解決問題的過程中獲得學習的樂趣，因此，數(shù)學歷史文本中的任何地方可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發(fā)掘才可能使我們滿載而歸.
歷史上涉及勾股定理應用的古算題很多，在學習勾股定理的同時，如果能盡可能多地向?qū)W生呈現(xiàn)這些古算題，會使我們的教學起到事半功倍之效. 向?qū)W生呈現(xiàn)古算題原題，學生首先會接受很多那個時代的社會、人文信息，包括古算題涉及的真實情景、古算題的出處、涉及的數(shù)學家等. 學生還要將文言文翻譯成現(xiàn)代白話文，然后去理解題意，考慮其解題方法. 接著給學生呈現(xiàn)古人解決此類問題的“術”，又會使學生感受到他們的解法與歷史上的解法其實有異曲同工之妙. 在這個過程中，新課程所涉及的“知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀”三維目標可以自然地達成. 誠然，教師在這個過程中需要適時地進行引導和點撥，它要求教師具備一定的數(shù)學史知識和修養(yǎng).
結語：數(shù)學史在數(shù)學教育中的作用不言而喻，亟須一線教師開發(fā)出更多的教案和案例. 數(shù)學史對于數(shù)學教育的重要指導和引領作用，正如我國老一輩數(shù)學教育家、珠算算具改革先驅(qū)的余介石先生所說：“歷史之于數(shù)學，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學高山仰止之恩，收聞風興起之效，更可指示基本概念之有機發(fā)展情形，與夫心理及邏輯順序，如何得以融合調(diào)劑，不至相背，反可相成，誠為教師最宜留意體會之一事也”.
在數(shù)學教學過程中，近階段發(fā)現(xiàn)不少學生對勾股定理逆定理掌握不是太透徹.對于下面的題目不少同學給出如下錯誤的解法.
如果說一兩個是巧合，可我?guī)У陌嘀胁簧賹W生是這么解答的，讓我陷入困惑中，通過幾個學生的調(diào)查后，有個學生說：“在RtΔABC中可以求得AC=5，而ACD中，5、12、13是一組勾股數(shù)，那么ACD是個直角三角形.”另一個同學說：“我感覺ACD是一個直角三角形，不然面積就不好求了.”還有一同學說：“我記得老師好像也是這么寫的吧.”
本來打算重新講一遍，可想想這樣效果或許不太好，何不將錯就錯，讓學生自己去探索求證，我把這樣的解題過程寫在黑板上讓學生自己來評價是否合理.這時不少同學笑了， 其中一中等生說：“這過程不合理，因為在ACD中，如果說由勾股定理得的話，前提已經(jīng)是直角三角形了，而題目中有沒有直接告訴我們，需要我們驗證.”
“那我們該怎么驗證它是不是一直角三角形呢？”我及時的問，這時班級調(diào)子不一致了，有的說勾股定理，有的說勾股定理逆定理.我又問誰能告訴我勾股定理和它的逆定理到底有什么不一樣，他們各自目的一樣嗎？這樣又有幾個同學作了回答.
我問道：“現(xiàn)在我們在求AC的長度時，用的是勾股定理還是其逆定理？”
學生一致答道：“勾股定理.”
“而在判斷三角形ACD的形狀時，是用勾股定理還是其逆定理？”
學生又一致答道：“逆定理.”
“那我們怎么用勾股定理逆定理判斷三角形是否為直角三角形呢？”
這時班級安靜了一小會，一平常表現(xiàn)活躍的學生說：“看兩邊平方和與第三邊平方是否相等？如果相等就是直角三角形，不相等就不是直角三角形.”
“任意兩邊平方和嗎？”我問道
“這個……，好像不是吧.”
問題好像出來了，我感覺有點高興.
這時一較好同學站起來說：“應該是兩個較小邊的平方和與第三邊平方進行比較.”
“為什么是較小兩邊平方和呢？大家討論交流一下.”
那個表現(xiàn)活躍的學生又站起來說：“老師我知道，如果不選擇較小兩邊平方和與第三邊平方作比較，那結果肯定是不相等的.”
“能否舉個例子？”我問道
“例如3、4、5為三角形的三邊，我們知道它肯定一直角三角形，但如果我們不選擇
32+42與52相比較的話，就會得到不等的結果.”
“不知道其他同學有沒聽懂他的意思？”
“懂了！”其他同學大聲說道.
“那現(xiàn)在老師就板書一下，同學說，老師寫”
題目等腰直角三角形有上述性質(zhì)，其他的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎？圖1中，每個小方格的面積均為1，請分別算出圖中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面積，看看能得出什么結論.(提示：以斜邊為邊長的正方形的面積，等于某個正方形的面積減去4個直角三角形的面積.)
探究勾股定理的發(fā)現(xiàn)S正方形A=22=4，S正方形B=32=9，
S正方形C=52-12×2×3×4=25-12=13，
所以S正方形A+S正方形B=S正方形C.
S正方形A′=32=9，S正方形B′=52=25，
S正方形C′=82-12×3×5×4=64-30=34，
所以S正方形A′+S正方形B′=S正方形C′.
由于正方形A，B(或A′，B′)的面積分別等于直角三角形的兩直角邊的平方，正方形C(或C′)的面積等于直角三角形的斜邊的平方，于是我們得出：
勾股定理直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
反思1為什么直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方？
探究勾股定理的證明在計算正方形C(或C′)的面積時，我們發(fā)現(xiàn)：正方形C(或C′)的面積等于大正方形的面積減去四個全等的直角三角形的面積，由此我們受到啟發(fā).如圖2，若設直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，根據(jù)大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個直角三角形的面積，得(a+b)2=c2+12ab×4，整理，得a2+b2=c2.所以直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
說明上述證明勾股定理的方法用到的圖形，叫做“趙爽弦圖”.運用“趙爽弦圖”證明勾股定理，簡捷巧妙.為了開闊同學們的視野，下面再介紹一種利用全等三角形和面積的證明方法.
如圖2，以RtABC的兩直角邊AC，BC向外作正方形ACGF和正方形BCLK，以RtABC的斜邊向外作正方形ABED，過點C作CIDE，垂足為I，CI交AB于點H，則四邊形ADIH和HIEB都是矩形.
由AF=AC，AB=AD，∠FAC+∠CAB=∠DAB+∠CAB，即∠FAB=∠CAD，得FAB≌CAD，所以SFAB=SCAD.
而S正方形ACGF=2SFAB，S矩形ADIH=2SCAD，
所以S正方形ACGF=S矩形ADIH.
同理S正方形BCLK=S矩形HIEB.
所以S正方形ACGF+S正方形BCLK=S矩形ADIH+S矩形HIEB，
即S正方形ACGF+S正方形BCLK=S正方形ABED.
所以直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
探究勾股定理的拓展
由探究勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，我們不難得出：
拓展1以直角三角形的兩直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積.
反思2如果分別以直角三角形的各邊為斜邊作等腰直角三角形，那么以兩直角邊為斜邊的等腰直角三角形的面積和等于以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積嗎？
探究設直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，
那么
以a為斜邊的等腰直角三角形的面積等于12a?12a=14a2，
以b為斜邊的等腰直角三角形的面積等于12b?12b=14b2，
以c為斜邊的等腰直角三角形的面積等于12c?12c=14c2，
因為a2+b2=c2，所以14a2+14b2=14c2.
于是我們得出：
拓展2分別以直角三角形的各邊為斜邊作等腰直角三角形，那么以兩直角邊為斜邊的等腰直角三角形的面積和等于以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積.
說明如果能夠注意到等腰直角三角形正好是以它的斜邊為一邊的正方形的四分之一，運用拓展1的結論很容易得到拓展2.
下面請同學們運用拓展2的結論解決：
問題1已知：以RtABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形.若斜邊AB=3，則三個等腰直角三角形的面積和為.
提示：如果對等腰直角三角形的面積公式(用等腰直角三角形的斜邊表示)不熟悉，可先將每個等腰直角三角形補成正方形，這樣所求的面積就等于兩個等腰RtABE的面積，而兩個等腰RtABE的面積正好等于以AB為一邊的正方形的面積的一半，從而所求部分的面積=12×32=4.5.
反思3如果分別以直角三角形的各邊為邊向外作等邊三角形，那么以兩直角邊為邊的等邊三角形的面積和等于以斜邊為邊的等邊三角形的面積嗎？
勾股定理及逆定理是數(shù)學中的一個重要互逆定理，它的應用極為廣泛，我們在解題時若能正確的運用數(shù)學思想和方法，將會使你的解題思路更為開闊。希望同學在學習數(shù)學知識，求解數(shù)學問題時，要注意領悟和掌握蘊含其中的數(shù)學思想。
1、數(shù)形結合的思想。
數(shù)形結合是一支雙刃劍，利用“數(shù)形結合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡。N M
例1 右圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是
A.13 B.26 C.47 D.94
解析：由勾股定理可知所以故應選C.
2、方程思想。
方程是解決數(shù)學問題的重要工具，許多數(shù)學問題都可以轉(zhuǎn)化為方程來求解，勾股定理的靈活運用為用方程解決某些圖形中線段的長度的計算問題構筑了一個極好的平臺。
例2在一棵樹的10 m高處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹走到離樹20 m的池塘A處，另一只爬到樹頂后直接躍向池塘的A處，如果兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，試問這棵樹有多高？
解析：如圖所示，一只猴子經(jīng)過的路徑BCA，共走了10+20=30（m），另一只猴子經(jīng)過的路徑是BDA，也走了30 m，且樹垂直于地面，于是此問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用勾股定理解決.
3、轉(zhuǎn)化思想。
轉(zhuǎn)化是求解問題的一種辦法，往往會收到“山叢水復疑無路，柳暗花明又一村。”的效果。
例3有一根13dm長的木棒，要放在長、寬、高分別是4dm，3dm，12dm的木箱中，能放進去嗎？
解析：木箱即為長方體，因此若能求出長方體的對角線的長，再與13dm長的木棒比較即得答案. 由勾股定理，得這個木箱對角線長的平方=32+42+122=169=132，而木棒長的平方為132，即木箱對角線長的平方=木棒長的平方，所以13dm長的木棒剛好能放在長、寬、高分別是4dm，3dm，12dm的木箱中。
說明 本題的求解過程中，利用勾股定理將問題轉(zhuǎn)化為比較兩條線段的大小.另外，在運用勾股定理求解問題時，有時會遇到不是直角三角形，這時，我們必須通過作高線的方法，將此轉(zhuǎn)化成直角三角形，這樣就便于解決問題.
4、分類討論思想。
“分類討論”是一種重要的數(shù)學思想，也是一種邏輯方法，同時又是一種重要的解題策略，它能揭示數(shù)學對象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學生總結歸納數(shù)學知識，使所學知識條理化。
例4 己知直角三角形兩邊長分別為6和8，試求以第三邊的長為邊長的正方形的面積.
解析： 由于本題的已知條件中并沒有明確6和8是否是直角邊，所以不能想當然地就斷定6和8是直角邊，而要進行分情況討論來解決問題，下面分兩種情況：
（1）當6和8都是直角邊時，那么第三邊的平方為62+82=100，所以以第三邊的長為邊長的正方形的面積100.
（2）當8是斜邊時，第三邊的平方為82-62=28，所以以第三邊的長為邊長的正方形的面積28.
5、數(shù)學建模思想。
數(shù)學建模思想方法不僅是處理數(shù)學問題的一種經(jīng)典方法，又是處理各種實際問題的一般數(shù)學方法，它滲透到現(xiàn)實世界的各個領域，廣泛應用于工程施工、投資經(jīng)營、航海運輸和規(guī)劃設計等實際問題的解決。
例5 在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°方向以每小時8海里速度前進，乙船沿南偏東某方向以每小時15海里速度前進，2小時后甲船到M島，乙船到P島相距34海里，你能知道乙船沿哪個方向航行嗎？
B北東 MP 60°
解析：根據(jù)題意建立數(shù)學模型，可以看出，由于甲船的航向已知，如果能求出兩漁船的航向所成的夾角，那么就可以知道乙船的航向了.
解：在圖中，BM=8×2=16，BP=15×2=30，MP=34.
因為162+302=342，即BM2+BP2=MP2，所以∠MBP=90°.
又由甲船沿北偏東60°方向航行可知，∠PBC=30°，即乙船沿南偏東30°方向航行。
摘 要：勾股定理是中國幾何的根源。中華數(shù)學的精髓，諸如開方術、方程術等技藝的誕生與發(fā)展，尋根探源，都與勾股定理有著密切關系。通過“勾股定理”的學習，讓學生了解我國古代數(shù)學的成就以及它在生活中的重要運用，從而激發(fā)學生熱愛數(shù)學學習的樂趣。
關鍵詞： 勾股定理 教學方法 實際運用
中國最早的一部數(shù)學著作――《周髀算經(jīng)》的第一章，就有這條定理的相關內(nèi)容：周公問：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問古者包犧立周天歷度。夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？”商高答：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤。得成三、四、五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也。”就是說，矩形以其對角相折所稱的直角三角形，如果勾（短直角邊）為3，股（長直角邊）為4，那么弦（斜邊）必定是5。從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理這一重要的數(shù)學原理了。中國古代數(shù)學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學創(chuàng)新的重大意義。在教學中反思如下：
一、通過教學“勾股定理”的學習，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的濃厚興趣
在教學中我是這樣引入新課的：教師用多媒體課件演示FLASH小動畫片：“某樓房三樓失火，消防隊員趕來救火，了解到每層樓高3米，消防隊員取來6.5米長的云梯，如果梯子的底部離墻基的距離是2.5米，請問消防隊員能否進入三樓滅火？”這樣的問題設計有了一定的挑戰(zhàn)性，其目的是為了激發(fā)學生的探究欲望，引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，也就是“已知一直角三角形的兩邊，求第三邊？”的問題。學生會感到一些困難，從而老師指出學習了這節(jié)課的內(nèi)容后，同學們就會有辦法解決了。這種以實際問題作為切入點導入新課，不僅自然，而且也反映了“數(shù)學來源于生活”，把生活與學習數(shù)學緊密結合起來，從而提高了學生學習數(shù)學的興趣。
新課標要求老師一定要改變角色，變主角為配角，把主動權交給學生，讓學生提出問題，動手操作，小組討論，合作交流，把學生想到的，想說的想法和認識都讓他們盡情地表達，然后教師再進行點評與引導，這樣做會有許多意外的收獲，而且能充分發(fā)揮挖掘每個學生的潛能，久而久之，學生的綜合能力就會與日劇增。
二、教學過程中，轉(zhuǎn)變師生角色，讓學生自主學習
學生學會了數(shù)學知識，卻不會解決與之有關的實際問題，造成了知識學習和知識應用的脫節(jié)，感受不到數(shù)學與生活的聯(lián)系，這是當今課堂教學存在的普遍問題，對于學生實踐能力的培養(yǎng)非常不利的。“教師教，學生聽，教師問，學生答，教室出題，學生做”的傳統(tǒng)教學摸模式，已嚴重阻阻礙了現(xiàn)代教育的發(fā)展。這種教育模式，不但無法培養(yǎng)學生的實踐能力，而且會造成機械的學習知識，形成懶惰、空洞的學習態(tài)度，形成數(shù)學的呆子，就像有的大學畢業(yè)生都不知道1平方米到底有多大？因此，新課標要求老師一定要改變角色，變主角為配角，把主動權交給學生，讓學生提出問題，動手操作，小組討論，合作交流，把學生想到的，想說的想法和認識都讓他們盡情地表達，然后教師再進行點評與引導，這樣做會有許多意外的收獲，而且能充分發(fā)揮挖掘每個學生的潛能，久而久之，學生的綜合能力就會與日劇增。
三、學習“勾股定理”，讓學生體會數(shù)形結合的思想
教學中教師關注學生是否積極參加探索勾股定理的活動，關注學生能否在活動中積思考，能夠探索出解決問題的方法，能否進行積極的聯(lián)想（數(shù)形結合）以及學生能否有條理的表達活動過程和所獲得的結論等； 同時關注學生的拼圖過程，鼓勵學生結合自己所拼得的正方形驗證勾股定理. 注意引導學生體會數(shù)形結合的思想方法，培養(yǎng)應用意識。勾股定理描述的是直角三角形的三邊關系，應用勾股定理的前提是這個三角形必須是直角三角形。應強調(diào)通過圖形找出直角三角形三邊之間的關系，要從代數(shù)表示聯(lián)想到有關的幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關的代數(shù)表示。
四、學與用結合，體會到“勾股定理”在生活中的實際運用
作為學生，除了考試，勾股定理很少用到.，但是工程技術人員用的比較多，比如修建房屋、修井、造車等等，就可以用勾股定理來計算，設計工程圖紙也要用到勾股定理，也經(jīng)常用到“勾股定理”。在教學中，教師要培養(yǎng)學生“數(shù)學來源于生活”，把生活與學習數(shù)學緊密結合起來的思想。例如：
總之，勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結論，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來，理論上占有重要的地位它有著悠久的歷史，在數(shù)學發(fā)展中起過重要的作用，在現(xiàn)實世界中也有著廣泛的應用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗證和應用蘊含著豐富的文化價值。是幾何中重要定理，是學生后續(xù)學習的重要基礎。
一、分類討論思想
例1 已知直角三角形的兩邊的邊長分別為3和5，求該三角形的第三邊的邊長。
分析 已知直角三角形的兩邊，未指明是直角邊還是斜邊，因此邊5可能是直角邊，也有可能是斜邊，所以要進行分類討論求解。
解 根據(jù)三角形的邊角大小關系可知，3一定是直角邊，而5可能是直角邊，也可能是斜邊，故可分類求解。
（1）當邊5為直角邊時，三角形的第三邊為斜邊，長度為==。
（2）當邊5為斜邊時，三角形的第三邊為直角邊，長度為===4。
所以這個三角形的第三邊的邊長為或4。
點評 直角三角形的第三邊分為兩類：直角邊和斜邊。當已知兩邊求第三邊時，要分析其邊是直角邊還是斜邊，若題目未指明，則要進行分類討論求解。
二、方程思想
例2 如圖1所示，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8 cm，BC=10 cm，求EF的長。
分析 折疊就是軸對稱，因為ADE與AFE關于AE對稱，知AD=AF=10 cm，DE=EF。在RtABF中，根據(jù)勾股定理得BF=6 cm，所求EF在
RtECF和在RtAEF中，但都只知道一邊，不能求解。而在RtECF中，F(xiàn)C=4 cm，EF+EC=8 cm，利用勾股定理建立方程即可求得EF。
解 因為ADE與AFE關于AE對稱，所以AD=AF，DE=EF。
因為四邊形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，在RtABF中， AF=AD=BC=10 cm，AB=8 cm，
所以BF===6 cm。
所以FC=BC-BF=10-6=4 cm。
設EC=x cm，則EF=DE=（8-x）cm。
在RtECF中，EC 2+FC 2=EF 2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3。
則EF的長為5 cm。
點評 勾股定理只能用于已知直角三角形的兩邊求第三邊。當在直角三角形中，只知一邊，又知另兩邊的相應關系時，可用勾股定理建立方程（組），通過解方程（組），即可求得該三角形的邊長。
三、化歸思想
例3 如圖2，已知：在ABC中，∠B=60°，AC=70，AB=30。求BC的長。
分析 題中的三角形未確定是直角三角形，不能用勾股定理，由條件∠B=60°，想到構造含30°角的直角三角形，為此作ADBC于D（如圖3所示），則有∠BAD=30°，BD=AB=15，再由勾股定理計算出AD、DC的長，進而求出BC的長。
解 作ADBC于D，因為∠B=60°，所以∠BAD=90°-60°=30°，所以BD=AB=15。
根據(jù)勾股定理，在RtABD中，AD===15。
根據(jù)勾股定理，在RtACD中，CD===65。
所以BC=BD+DC=65+15=80。
點評 利用勾股定理計算線段的長，是勾股定理的一個重要應用。當題目中沒有垂直條件時，經(jīng)常作垂線構造直角三角形以便應用勾股定理。
四、轉(zhuǎn)化思想
例4 如圖4所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF，若BE=12，CF=5。求線段EF的長。
分析 已知BE、CF，要求EF，但這3條線段不在同一三角形中，所以關鍵是轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征以及三角形中線的特殊性質(zhì)，不妨先連接AD。
解 連接AD。
因為∠BAC=90°，AB=AC。又因為AD為ABC的中線，
所以AD=DC=DB，ADBC，且∠BAD=∠C=45°。
因為∠EDA+∠ADF=90°。又因為∠CDF+∠ADF=90°。
所以∠EDA=∠CDF。所以AED≌CFD（ASA）。
所以AE=FC=5。同理，AF=BE=12。
在RtAEF中，根據(jù)勾股定理得，
EF2=AE2+AF 2=52+122=132，所以EF=13。
點評 此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識。通過對本題的解答，我們可以知道：當已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時，應通過適當?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解。
數(shù)學思想方法是以具體數(shù)學內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學內(nèi)容的一種指導思想和普遍適用的方法.它能使人領悟到數(shù)學的真諦，并對人們學習和應用數(shù)學知識解決問題的思維活動起著指導和調(diào)控的作用.日本數(shù)學教育家米山國藏認為，學生在進入社會以后，如果沒有什么機會應用數(shù)學，那么作為知識的數(shù)學，通常在出校門后不到一兩年就會忘掉，然而不管他們從事什么業(yè)務工作，那種銘刻在人腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思想方法，會長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮重要作用.靈活運用數(shù)學思想方法解決問題，往往可以化難為易、化腐朽為神奇，事半功倍.下面以勾股定理中滲透的數(shù)學思想為例說明.
一、分類思想
例1.（2013年貴州黔西南州）一直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊的長為（ ）
點評：本題的易錯點是受“勾三股四弦五”的影響，直接把邊長為4的邊當作直角邊，從而誤選A，犯了考慮問題不全面的錯誤.
二、方程思想
例2.（2013年山東濟南）如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計）為（）
A.12mB.13mC.16mD.17m
分析：觀察圖形，當繩子末端拉到距離旗桿8m處，可過繩子末端向旗桿作垂線，這樣可以得到一個直角三角形，然后設旗桿的高度為未知數(shù)，進而運用勾股定理列方程求解.
解：如圖2，設旗桿的高度為x，則AC=AD=x，AB=x-2，BC=8.
在RtABC中，由勾股定理，得（x-2）2+82=x2.
解得x=17m，即旗桿的高度為17m，答案選D.
三、整體思想
例3.（2013年江蘇揚州）矩形的兩鄰邊長的差為2，對角線長為4，則矩形的面積為____________.
分析：設矩形的兩鄰邊長分別為a、b（a>b），則依據(jù)題意有a-b=2，a2+b2=16.而矩形的面積等于ab，關鍵要設法將兩個等式轉(zhuǎn)化為含有ab的式子.
解：設矩形的兩鄰邊長分別為a、b （a>b），則a-b=2.
五、數(shù)形結合思想
例5.（2013年湖南張家界）如圖4，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（10，0）、（0，4），點D是OA的中點，點P在BC上運動.當ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為________.
分析：易知OD=5，要使ODP為腰長為5的等腰三角形，可以點O為圓心，OD為半徑作圓；也可以點D為圓心，OD為半徑作圓.
解：由C（10，0）可知OD=5.
（1）以點O為圓心，OD為半徑作圓交邊
六、構造思想例6.同例3
分析：根據(jù)已知條件，聯(lián)想到證明勾股定理的弦圖，本例便有如下巧妙解法.
【摘要】 在數(shù)學課堂發(fā)現(xiàn)學生的興趣點，激發(fā)學生的學習興趣，利用多樣的手段去促進學生提高學習成績，是老師的主要任務. 因此，我們必須把握自主、探究、合作的學習模式. 本文以三角形勾股定理的證明為例，簡要地談談幫助學生完成學習任務的幾點看法.
【關鍵詞】 初中數(shù)學；三角形；勾股定理
《義務教育階段數(shù)學課程標準》提出，“在義務教育階段，數(shù)學必須面向全體學生，必須注重基礎性、普及性和發(fā)展性”.學生邏輯思維能力和抽象思維能力的培養(yǎng)是數(shù)學教學的重要目標，因此調(diào)動各方面的課程資源，才能最大限度地發(fā)掘?qū)W生的學習能力.
一、歐幾里得的證明方法
如圖1，這是早在兩千多年前的數(shù)學名著《幾何原本》中提出的關于勾股定理的證明，通過邊長為a，b，c的三個正方形搭建一個直角三角形，并作輔助線CD，CL，F(xiàn)B，其中CL垂直于DE并與AB交于M點，還需要確保HB垂直于FH.
因為AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠CAD，所以 FAB ≌ CAD，因為FAB的面積等于 a2，CAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，所以 矩形ADLM的面積為a2. 同理可證，矩形MLEB的面積為b2.
因為正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積，所以可以得出結論：c2 = a2 + b2，即a2 + b2 = c2.
這一證明方法，給學生提供了通過圖形的面積去分析邊長關系的重要方法. 首先，就是在于∠BCA必須是直角，這樣才能維持點H，B，C在同一條直線上，從而建立一個直角三角形ABC；其次，必須給學生指出給交點命名一個字母符號，才不會遺忘一些關鍵信息；最后，確定直角三角形ABC三邊之間的關系.
數(shù)學的教學不僅需要圍繞“知識與能力”展開，更重要的是需要讓學生產(chǎn)生“情感態(tài)度和價值觀”上的共鳴. 歐幾里得在《幾何原本》中，以這個定理為中心，開啟了自己的數(shù)學框架體系，也為后人在學習數(shù)學的提供了寶貴的財富. 這些情感也需要教師在談及圖形引導時進行潛移默化的教育.
二、美國總統(tǒng)的證明方法
時間倒回到1876年，當時正值黃昏，在公園里，有兩個孩子嘈雜的吵鬧聲驚動了周圍許多人，其中也包括未來的美國總統(tǒng)加菲爾德. 兩個孩子正在為直角三角形的邊長討論著，這激發(fā)了他仔細研究“勾股定理”的興趣. 不久之后，他公開發(fā)表了自己的證明方法. 加菲爾德身為總統(tǒng)卻為孩子的數(shù)學問題苦思冥想，這對于總是抱怨成績不好卻不愿意努力學習的學生來說，應該說是非常好的教育案例.
如圖2，圖形ABCD是一個直角梯形，以∠DAE為直角的三角形和以∠CBE為直角的三角形是全等三角形，兩個三角形的三條邊a，b，c完全相等，圖形的基本關系確定之后，下面便可以開始證明.
第一步，尋找等式關系，根據(jù)已知條件，DAE和CBE是全等三角形，所以它們對應的每一條邊和每一條角都相等，∠AEB為平角180°，加上∠DAE和∠EBC都為直角，證明∠DEC為直角便不是什么難事了. 緊接著依據(jù)邊EC和DE為長度相等的邊，判定DEC為等腰直角三角形也就順理成章了. 證明如下：因為RtEAD ≌ RtCBE， 所以∠ADE = ∠BEC. 同時∠AED + ∠ADE = 90°，所以 ∠AED + ∠BEC = 90°，還能得出∠DEC = 180° - 90° = 90°，最終可以確定DEC是一個等腰直角三角形，它的面積等于 c2.
第二步，建立破題的等式關系，根據(jù)邊長的關系算出DEC的面積的根本目的還是在于建立另外一個等式關系， 那就是直角梯形ABCD的面積等于三個直角三角形面積之和，即直角梯形ABCD的面積 = DAE的面積 + EBC的面積 + DEC的面積. 因為∠DAE = 90°， ∠EBC = 90°，所以AD∥BC，并可以證明ABCD是一個直角梯形，它的面積等于 （a + b）2，即 （a + b）2 = 2 × ab + c2 . 最終可以得出結論a2 + b2 = c2.
通過這兩個等式，我們便很容易地證明出了“勾股定理”，這個方法十分簡便地描述出了三角形各個邊長的關系，還確定了各個面積之間的關系.
三、課堂通常的證明方法
雖然說相對于歐幾里得在《幾何原本》當中記錄的方法，總統(tǒng)證明法已經(jīng)要簡單許多，但是從初中生的知識基礎而言，課堂通常使用的方法要更加簡便易懂. 這是為學習基礎薄弱的同學準備的，也是為學習能力較強的同學打好基礎的重要手段.
如圖3，將四個全等三角形進行組合，拼湊出一個邊長為a + b的正方形，這樣便形成了一個明顯的面積相等的等式，再根據(jù)邊角關系可以確定中間的圖形為邊長為c的正方形
四、小 結
初中數(shù)學教學是一個動態(tài)生成的過程，教師應該盡可能多地為學生提供學習資源和平臺. 從“勾股定理”的證明來看，教師提供多種證明的方法和思路，對于開拓學生的圖形思維能力有很大的幫助. 結合知名數(shù)學人物在學習和研究數(shù)學時表現(xiàn)出來的積極與進取的精神進行教學，對于激勵學生學好數(shù)學，實現(xiàn)情感態(tài)度的升華有重要作用.
摘要：創(chuàng)造性地使用教材主要表現(xiàn)在對教材的靈活運用和對課程資源的綜合、合理、有效利用。它需要教師具有較強的課程意識，準確把握教材編寫意圖和教學目的，避免形式化、極端化傾向。在創(chuàng)造性地使用教材的過程中教師的專業(yè)化水平將得到飛速提高。
關鍵詞：教師；教材使用；創(chuàng)造性；勾股定理
本次課程改革無論是在課程設置上還是在課程內(nèi)容及教材編排方式的更新上都給教師提供了廣闊的創(chuàng)造空間。它帶來教學觀念、方式的一大改變，就是要求打破原有的教學觀、教材觀，創(chuàng)造性地使用數(shù)學教材。這就要求教師在充分了解和把握課程標準、學科特點、教學目標、教材編寫意圖的基礎上，以教材為載體，靈活有效地組織教學，拓展課堂教學空間。創(chuàng)造性地使用教材是教學內(nèi)容與教學方式綜合優(yōu)化的過程；是課程標準、教材內(nèi)容與學生生活實際相聯(lián)系的結晶；是教師智慧與學生創(chuàng)造力的有效融合。
一、創(chuàng)造性的使用教材的內(nèi)涵
創(chuàng)造性地使用教材主要表現(xiàn)在對教材的靈活運用和對課程資源的綜合、合理、有效利用。它需要教師具有較強的課程意識，準確把握教材編寫意圖和教學目的，避免形式化、極端化傾向。在創(chuàng)造性地使用教材的過程中教師的專業(yè)化水平將得到飛速提高。
那究竟如何來創(chuàng)造性地使用教材呢？筆者擬通過人教版八年級下冊《勾股定理》一課來具體闡述。在人教版的教學建議中，明確指出：《勾股定理》一課的教學目標是使學生了解勾股定理的歷史背景，體會勾股定理的探索過程，掌握直角三角形的三邊關系。為了達成教學目標，不同的教師創(chuàng)設任務的方式也有所不同。
二、課堂再現(xiàn)
課例1
1.提出問題。T：相傳兩千五百多年前，古希臘畢達哥拉斯去朋友家做客，在宴席上，其他的賓客都在盡情地歡樂。只有畢達哥拉斯卻看著朋友家的方磚發(fā)呆，原來朋友家的地面是用直角三角形形狀的磚鋪成的，黑白相間美觀大方。主人看到畢達哥拉斯的樣子非常奇怪就過去詢問，誰知畢達哥拉斯突然站起來，大笑著跑回家了，他發(fā)現(xiàn)了直角三角形的某一些性質(zhì)。同學們，你知道畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了什么性質(zhì)？你能發(fā)現(xiàn)什么？S1：我發(fā)現(xiàn)圖中有直角三角形，而且是等腰直角三角形。S2：我發(fā)現(xiàn)以直角邊為邊做出的正方形的兩個面積之和等于斜邊為邊做出的正方形面積。T：我們發(fā)現(xiàn)A+B=C，由于這個三角形為特殊的直角等腰三角形。我們再來看幾個直角邊為整數(shù)的三角形，它們的面積是否依然存在這樣關系？
2.解決問題。T：接下來我們一起來做個實驗，大家看下圖。A、B、C面積之間有什么關系？邊長a、b、c之間存在什么樣的關系？
老師發(fā)現(xiàn)有的同學不會算C的面積，于是請會算的同學說說計算思路。
S：我用的方法是補的，就是把這樣以c為邊的斜的正方形補成一個正放的大正方形。
先算出大正方形的面積，減去4塊直角三角形的面積就得出C的面積了。
T：非常好，有沒有不同的方法？
S：我用的是分割的方法。我把這個大的正方形割成4個直角三角形和1個小的正方形。我們可用三角形的面積加上中間小正方形就是大的正方形的面積。
T：非常好。接下來，請大家仔細觀察表格中的數(shù)據(jù)，請想一下，直角三角形三邊可能存在哪些數(shù)量關系？
S：a2+b2=c2
3.揭示本質(zhì)。T：我們剛才進一步驗證我們的猜想a2+b2=c2是成立的。那對于一般的直角三角形，兩直角邊為a、b斜邊為c，是否都有a2+b2=c2？不要忘記，剛才我們在求大正方形的面積是如何求的？它給我們什么啟示？其實歷史對證明勾股定理有許多種，而我們中國古代數(shù)學家的證明思想是“以盈補虛，出入相補”。
T：2002年國際數(shù)學家大會放在北京舉行，大會的會徽正是三國時期的數(shù)學家趙爽關于勾股定理證明的草圖。同學們，請拿出紙筆證明一下。
S：我用大的正方形的面積等于四個直角三角形加上小正方形的面積。
T：運用面積不變，用割補的方法我們可以得到a2+b2=c2。
4.描述定義。T：下面我們給出勾股定理的表述。
命題：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
數(shù)學語言：ABC為直角三角形，∠C=90°AC2+BC2=AB2
5.教學總結。T：同學們，今天這節(jié)課我們學了勾股定理，那你學到了什么？S：用割補法進行勾股定理的證明。T：對，我們講了中國古代以盈補虛的數(shù)學思想，那這種以面積來證明勾股定理的方法同時也體現(xiàn)了我們的數(shù)學上的數(shù)形結合的思想。這節(jié)課你還學到了哪些數(shù)學方法？S：從特殊到一般。T：我們從特殊的等腰直角三角形入手再探究有整數(shù)邊的直角三角形，最后到一般直角三角形的證明。
分析：張老師本節(jié)課的重點放在定理的證明上，讓學生充分體驗邏輯推理的魅力。讓學生自主探索、小組合作交流，直觀理解勾股定理規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，重視學生獨立思考和探索能力的培養(yǎng)，在與同學交流學習中，通過取長補短，吸收同學意見，修正、完善自己的想法，探討出利用割補法求面積的方法，就本節(jié)課的教學內(nèi)容而言，掌握方法（割補法）和滲透學科思想（轉(zhuǎn)化的思想）與知道結果同樣重要。
課例2
1.引入課題（第一次活動）。T：請在方格紙上畫面積最小的格點RtABC，教師用實物投影展示一位學生作品即如圖ABC，并隨即提問：RtABC中，BC=1，AC=1，你能否用計算面積法求AB的長？
S：可以把四個三角形拼成一個大正方形，得到正方形的面積為2，那正方形的邊長也就是AB的長為■。
T：對于一個特殊的Rt確實有a2+b2=c2，但對于一般直角三角形能成立嗎？
2.深入探究（第二次活動）。T：請各組利用手中的四個全等Rt紙板，拼出一個邊長為C的正方形。（設定兩直角邊、斜邊分別是a，b，c）學生合作后擺出了如下的兩種圖案：
T：對于擺法1，大正方形面積可有幾種表示法？S：兩種，一種是c2，另一種為4個直角三角形和與一個小正方形的面積。
T：小正方形邊長為多少？S：b-a，把兩種表示法等同起來（b-a）2+2ab=c2，化簡整理得a2+b2=c2。
S：對于擺法2，也可得出a2+b2=c2。
3.強調(diào)定義。如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
4.總結拓展。T：關于勾股定理的證明方法有五百余種，在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。下面我們來看幾組勾股定理證明的簡單介紹（介紹劉徽圖、加菲爾德圖），希望同學們課下也去思考一種證明勾股定理的方法。
分析：課例2中的兩次活動都運用了動手操作的形式，非常符合中學生好奇性強的心理特點，幾乎所有的學生都興趣盎然地參與了整個學習活動，并在教師的提問下進行積極的思考與探索。新課程下的學生不希望老師經(jīng)常給他們一些輕而易舉就能解決的問題，有時他們渴望做一個探索者、研究者、論證家。而上面的兩個活動正是為學生提供了這樣的氛圍與平臺，使學生在合作學習中體會了從特殊到一般的論證思想，整個設計提倡多樣化問題解決的思維方式，在活動中完成了思維的不斷發(fā)展。最后老師展示了一些較為典型的證明方法激發(fā)學生思考，也為學生課下學習奠定基礎。
三、創(chuàng)造性地使用教材
上述兩位老師都在課堂中創(chuàng)造性地使用教材，那創(chuàng)造性地使用教材究竟有哪些可取之處呢？筆者認為有三點：首先，它要求教師要進一步樹立課程意識，以新的課程觀（學生觀、教材觀、課程資源觀）來重新審視、規(guī)劃教學目標、內(nèi)容和方法——以更高、更寬的眼光來設計教學、看待孩子，而不僅僅局限在教材和一時的教學效果。其次，教師在創(chuàng)造性使用教材中應充分認識明確教學目的的重要性。每節(jié)課、每次活動都應有明確的教學目的，而不是為了創(chuàng)造性地使用教材而輕率、刻意地去更改教材內(nèi)容等等。教學手段與教學目的和諧一致的原則是創(chuàng)造性教材使用的基本著眼點與歸宿。最后，希望教師們在創(chuàng)造性地使用教材的過程中獲得專業(yè)成長。一是廣泛吸收各種教材的精華與長處，進行合理整合，逐步形成自己的東西；二是結合個人教學經(jīng)驗、研究成果和本地實際，嘗試編制富有時代氣息和地方特色的校本教材，從而進一步豐富和完善現(xiàn)行的教材體系。當教師在自己的教學活動中有了明顯的課程意識和研究、探索意識，教師就不再是普通的“教書匠”，而是已經(jīng)步入到學者型、專家型的實踐研究者行列，其專業(yè)化教學水平必然得到全面發(fā)展與提高。
【摘 要】勾股定理是數(shù)學歷史上最為古老的定理，也是初中數(shù)學中的一個非常重要的定理，其相關歷史在《數(shù)學》書中以引入、例題、作業(yè)題、閱讀材料等多種形式體現(xiàn)，為數(shù)學史融入課堂教學奠定了基礎，使教學方式和處理方法更加靈活多樣.鑒于此，本文以“勾股定理”的教學為例，結合自己教學實踐和學習思考，闡述數(shù)學教學中勾股定理歷史的融入.
【關鍵詞】數(shù)學史；勾股定理歷史；融入；教學策略
1.勾股定理歷史融入教學的意義
1.1 有利于激發(fā)興趣，培養(yǎng)探索精神
勾股定理的證明是一個難點.在數(shù)學教學中適時引入數(shù)學史中引人入勝和富有啟發(fā)意義的歷史話題或趣聞軼事，消除學生對數(shù)學的恐懼感，可使學生明白數(shù)學并不是一門枯燥無味的學科，而是一門不斷發(fā)展的生動有趣的學科，從而激發(fā)起學生學習數(shù)學的興趣.
1.2 有利于培養(yǎng)人文精神，加強歷史熏陶
學習數(shù)學史可以對學生進行愛國主義教育.浙教版新教材對我國勾股定理數(shù)學史提得很少，其實中國古代數(shù)學家對于勾股定理發(fā)現(xiàn)和證明在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位，尤其是其中體現(xiàn)出來的數(shù)形結合思想更具有重大意義。
2.勾股定理歷史融入教學的策略
在勾股定理教學的過程中，要求我們在教學活動中，注意結合教學實際和學生的經(jīng)驗，依據(jù)一定的目的，對勾股定理歷史資源進行有效的選擇、組合、改造與創(chuàng)造性的加工，使學生容易接受、樂于接受，并能從中得到啟發(fā).在實踐過程中，發(fā)現(xiàn)以下幾種途徑與方法是頗為適宜的.
2.1在情景創(chuàng)設中融入勾股定理歷史
建構主義的學習理論強調(diào)情景創(chuàng)設要盡可能的真實，數(shù)學史總歸是真實的.情景創(chuàng)設可以充分考慮數(shù)學知識產(chǎn)生的背景和發(fā)展歷史，以數(shù)學史作為素材創(chuàng)設問題情景，不僅有助于數(shù)學知識的學習，也是對學生的一種文化熏陶.
案例1：
師：同學們知道勾股定理嗎？
生：勾股定理？地球人都知道！（眾笑）
師：要我說，如果有外星人，也許外星人也知道.大家知道世界上許多科學家都在探尋其他星球上的生命，為此向宇宙發(fā)射了許多信號：如語言、聲音、各種圖形等.我國數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)建議向宇宙發(fā)射勾股定理的圖形，并說：如果宇宙人是文明人，他們一定會認識這種“語言”的.（投影顯示勾股圖）
可以說，禹是世界上有文字記載的第一位與勾股定理有關的人.中國古代數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載有商高這樣的話：……我們做成一個直角三角形，這形亦稱曰[勾股形].它的距邊名叫[勾]，長度為三；另一邊名叫[股]，長度為四；斜邊名叫[弦]，長度為五.勾股弦三邊，若各自乘，我們就可由其中任何兩邊以求出第三邊的長……
《周髀算經(jīng)》卷上還記載西周開國時期周公與商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時提到“勾廣三，股修四，經(jīng)偶五”，這是勾股定理的特例.卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀）的對話中，則包含了勾股定理的一般形式：“以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并兒開方除之，得邪至日.”
由此看來，《周髀算經(jīng)》中已經(jīng)利用了勾股定理來量地測天.勾股定理又叫做“商高定理”.畢達哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學家，他是公元前五世紀的人，比商高晚出生五百多年.希臘另一位數(shù)學家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個定理稱為"畢達哥拉斯定理"，以后就流傳開了.
2.2在定理證明中融入勾股定理歷史
數(shù)學史不僅給出了確定的知識，還可以給出知識的創(chuàng)造過程，對這種過程的再現(xiàn)，不僅能使學生體會到數(shù)學家的思維過程，還可以形成探索與研究的課堂氣氛，使得課堂教學不再是單純地傳授知識的過程.
案例2.：
劉徽（公元263年左右）的證明：
劉徽用了巧妙的“出入相補”原理證明了勾股定理，“出入相補”見于劉徽為《九章算術》勾股數(shù)──“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”所作的注：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也.”如何將勾方與股方出入相補成弦方，劉徽未具體提示，學界比較常見的推測是如下圖.
③剪拼法（學生動手驗證）
證明方法之特征：數(shù)形結合證法，建立在一種不證自明、形象直觀的原理上，主要是用拼圖的方法證明，使數(shù)學問題趣味化.
翻開古今的數(shù)學史，不僅勾股定理的歷史深厚幽遠，所有的數(shù)學知識都蘊涵著曲折的道路、閃光的思想、成功的喜悅和失敗的教訓.將數(shù)學史的知識融入數(shù)學教學中，發(fā)揮數(shù)學史料的功能，是數(shù)學教育改革的一項有力的措施.正象法國數(shù)學家包羅·朗之萬所說：“在數(shù)學教學中，加入歷史具有百利而無一弊.”
摘要：對人教版和北師大版數(shù)學教材中“勾股定理”一章數(shù)學史編排模式的比較發(fā)現(xiàn)：兩版本教材在數(shù)學史的設計上各具特色，都力求以多種方式呈現(xiàn)數(shù)學史，北師大版比人教版更加注重學生的實踐操作能力和交流能力的培養(yǎng)，人教版更關注學生的情感；反思發(fā)現(xiàn)兩版本教材在數(shù)學史融入教學中的弱點：數(shù)學史的運用過于淺顯、缺乏與信息技術的整合。
關鍵詞：數(shù)學史；勾股定理；教材比較
一、引言
數(shù)學史與數(shù)學課程的整合已成為當今數(shù)學教育界的一個熱點話題。張奠宙先生指出：在數(shù)學教育中，特別是中學的數(shù)學教學過程中，運用數(shù)學史知識是進行素質(zhì)教育的重要方面。《全日制義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》明確提出，“數(shù)學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中，教材可以適時地介紹有關背景知識，包括數(shù)學在自然與社會中的應用，以及數(shù)學發(fā)展史的有關材料”。數(shù)學是積累的科學，“它的發(fā)展并不合邏輯，數(shù)學發(fā)展的實際情況與我們學校里的教科書很不一致”。根據(jù)歷史發(fā)生原理，學生對數(shù)學的理解與數(shù)學本身的發(fā)展有很大的相似性。一套好的教材若要返璞歸真地反映知識的來龍去脈、思想方法的深刻、內(nèi)涵以及科學文化的進步，就必須融入一些簡略的數(shù)學史以啟發(fā)思維、開闊視野、激發(fā)興趣。這就使得在教材的編寫與修訂過程中，合理設計數(shù)學史內(nèi)容及其編排方式顯得尤為重要。基于以上認識，本文僅對人民教育出版社和北京師范大學出版社初中數(shù)學教材（以下簡稱“人教版”、“北師大版”）中勾股定理一章的數(shù)學史進行比較分析。
二、調(diào)查與分析
首先對人教版《義務教育課程標準實驗教科書?搖數(shù)學（八年級下冊）》和北師大版《義務教育課程標準實驗教科書?搖數(shù)學（八年級上冊）》勾股定理一章中的數(shù)學史進行了統(tǒng)計，具體見下表1。
從表1可以看出，在勾股定理這一章中兩版本教材都呈現(xiàn)了大量史料，但在數(shù)學史的呈現(xiàn)方式和選材上，又各有側(cè)重點。據(jù)表1，兩版本教材在本章各出現(xiàn)數(shù)學史11處、13處，主要分布在正文、習題、專題和閱讀材料中。（人教版以“閱讀與思考”呈現(xiàn)數(shù)學史料，北師大版以“讀一讀”這一欄目呈現(xiàn)史料，為統(tǒng)一起見，統(tǒng)稱閱讀材料；這里的“專題”多是指在相關知識旁邊以框架的形式對某些內(nèi)容作簡要介紹。）此外，北師大版第一節(jié)（探索勾股定理）和第三節(jié)（螞蟻這樣走最近）的引入是在歷史名題“折竹抵地”和“蜘蛛與蒼蠅”問題的基礎上改編的，雖然表面文字上看不出歷史的影子，但是我們在統(tǒng)計時仍把這兩處歸為數(shù)學史料。
三、章前內(nèi)容和數(shù)學家的設計
人教版在章前圖文并茂，不僅呈現(xiàn)了2002年北京國際數(shù)學家大會的會標“趙爽弦圖”，還簡要解釋了勾、股、弦所表示的含義，并在此基礎上提出了兩個問題，進而交待了這一章所要學習的主要內(nèi)容。這樣的設計不僅激起了學生的求知欲、好奇心，還能讓學生在學習新知識之前對本章要干啥有一個大概的了解，同時也便于學生在學習完這章后的自我評估。比起北師大版在章前簡單列出各文明古國關于勾股定理說法的設計更為人性化。
兩版本教材在介紹數(shù)學家時，都是簡要的說明數(shù)學家的生平（如國籍、年代、出生地等）及做出的貢獻，并沒有體現(xiàn)數(shù)學家遭遇的困惑、挫折、失敗的經(jīng)歷。使學生覺得數(shù)學家所想到的定理是理所當然的，未能體現(xiàn)數(shù)學家在創(chuàng)作過程中斗爭、挫折以及數(shù)學家所經(jīng)歷的艱難漫長的道路。相比北師大版，人教版在此有一個特色，也是人教版整套教材的特色，即在介紹數(shù)學家時附有數(shù)學家的頭像（本章附有畢達哥拉斯圖像），這樣能喚起學生對數(shù)學家及數(shù)學史的親近、肅穆之感。而北師大版在這方面就稍顯遜色，根據(jù)劉超的統(tǒng)計，在初中六本教材中人教版有五處附有數(shù)學家圖像，而北師大版僅有一處（并不是此章）。
四、對兩版本教材的思考
人教版在勾股定理及其逆定理的開始分別以數(shù)學家的故事和古埃及人得到直角的方法引入數(shù)學知識，而北師大版在第一、三節(jié)都是以實際問題情境引入數(shù)學內(nèi)容的，但這兩處的情境都來源于數(shù)學歷史名題。兩版本在此對數(shù)學史用的都比較淺顯，沒有深挖史料背后隱藏的數(shù)學思想方法，數(shù)學史只是作為一個情景用來引出相關內(nèi)容的。這只是數(shù)學史融入教學的初級階段，但我們并不能說這種融入方式是低級的或是不好的。一方面，初級階段是數(shù)學史融入教學，進入高級階段不可逾越的階段，具有重要意義，比如激發(fā)學習興趣、調(diào)動積極性；另一方面，教材的這種設計也體現(xiàn)了教材的靈活性和多樣性，便于教師對內(nèi)容的重新加工。因此，對這兩種引入方式我們不可妄加斷言其好壞，唯獨希望各相關領域人員對數(shù)學思想、方法做認真的思考，對數(shù)學史料進行加工和創(chuàng)造，深挖史料背后隱含的價值，充分發(fā)揮數(shù)學史的作用和價值。
現(xiàn)代信息技術的發(fā)展使得計算機已經(jīng)成為數(shù)學文化與數(shù)學教育現(xiàn)代化之間的橋梁。兩版本教材除了讓學生自己上網(wǎng)搜索相關內(nèi)容外，并沒有涉及與信息技術有關的內(nèi)容。“勾股定理”作為幾乎是全世界中學都要介紹的定理，其證明方法就有400多種，這些證法反映了東西方不同的文化。這應引起兩版本教材編寫者的重視，以便在教材修訂時注重相關數(shù)學史與信息技術的整合。
摘 要：勾股定理是一個最基本、最重要的定理，它揭示了直角三角形的三邊關系． 勾股定理這部分內(nèi)容蘊涵著豐富的數(shù)學思想，若能結合運用一些數(shù)學思想方法，轉(zhuǎn)換思維角度，便可使思路開闊，從而使數(shù)學更容易理解和記憶，更好地提高學生的學習效果． 本文以勾股定理的教學為例，從五個方面淺談其教學中體現(xiàn)的數(shù)學思想．
關鍵詞：化歸思想；數(shù)形結合思想；方程思想；分類討論思想；整體思想
隨著新課程標準的逐步實行與推廣，數(shù)學教學在培養(yǎng)學生基礎知識和基本技能的同時，更加注重培養(yǎng)學生的思維能力． 本文以勾股定理的教學為例，探討在新課程教學中結合運用一些數(shù)學思想方法，通過轉(zhuǎn)換思維角度，達到滲透數(shù)學思想、訓練學生思維的目標．
化歸思想
所謂化歸思想，就是把一個實際問題轉(zhuǎn)化、歸結為一個數(shù)學問題，把一個較復雜的問題轉(zhuǎn)化、歸結為一個簡單的問題，這種化歸思想不同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”，它具有不可逆轉(zhuǎn)的單向性．
例1 已知ABC中，∠B=60°，∠C=45°，AB=4，求BC的值．
圖1
評析：ABC為斜三角形，利用化歸思想可化斜三角形為直角三角形，轉(zhuǎn)化為用勾股定理解決的問題． 過A點作BC邊上的高AE，將ABC分成兩個特殊的直角三角形ABE與ACE，根據(jù)勾股定理，由AB=4，∠B=60°，先分別求出BE=2，AE=2，再由∠C=45°，得AE=CE，求出CE=2，從而得到BC的值為2+2．
例2 小剛同學代表學校在北京參加航模比賽，這天小剛與老師興沖沖地來到機場，卻遇到了一個大問題：機場規(guī)定旅客隨機攜帶的物品的長、寬、高不得超過一米，而小剛的飛機模型卻有1.6米長，飛機模型不能折斷、拆卸，托運又來不及，怎么辦呢？正當他們發(fā)愁的時候，小剛靈機一動，利用課堂上學到的知識將飛機模型完整地帶上了飛機． 同樣聰明的你，想到什么辦法嗎？并請你講出其中的道理．
圖2
評析：這是一個生活實際問題，我們可以將它轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題．先在底面ABCD的RtABD中利用勾股定理由AB=AD=1，求出對角線BD=；再在對角平面D′DBB′的RtDBD′中，由DD′=1，BD=，求出BD′=，又因為≈1.7＞1.6，因而便可判斷能將飛機模型完整地帶上飛機．
例3 如圖3所示是一個三塊臺階，它的每一塊的長、寬、高分別為20 dm、3 dm、2 dm，點A和點B是這個臺階兩個相對的點，A點有一只螞蟻，想到B點吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階爬到B點的最短路程是________dm．
評析：求幾何體表面的最短路程時，通常可以將幾何體表面展開，把立體圖形轉(zhuǎn)換成平面圖形（如圖4），在RtACB中，AC=20 dm，BC=15 dm，由勾股定理易求出AB=25 dm，即螞蟻沿著臺階爬到B點的最短路程是25 dm．
數(shù)形結合思想
數(shù)形結合是把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形有機結合來思考，是抽象思維與形象思維的結合． 通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而達到優(yōu)化解題途徑的目的．
例4 A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向320 km的B處，以每小時40 km速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風中心200 km的范圍內(nèi)是受臺風影響的區(qū)域．
（1）A城是否受到此次臺風的影響？為什么？
（2）若A城受到這次臺風的影響，那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？
評析：本題的情景與人們的日常生活密切相關，其思維深度具有一定的挑戰(zhàn)性，如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型（數(shù)形結合），是解決本題的關鍵．
如圖5所示構造數(shù)學模型，作APBF，在RtABP中∠ABP=30°，AB=320 km，所以AP=160 km＜200 km，即A城受到這次臺風的影響．
設AD=AC=200 km，在RtADP中，應用勾股定理，得DP= ==120 km，所以A城遭受風暴影響的時間為=6（小時）．
方程思想
方程思想就是根據(jù)問題的條件或結論，列出方程或方程組，通過解方程或方程組，從而使問題得到解決．
例5 折疊長方形的一邊AD，點D落在BC邊的點F處，AE為折痕． 已知AB=8 cm，BC=10 cm，試求EC的長．
評析：由折疊重合可知ADE≌AFE，從而AD=AF=10 cm，DE=EF． 在RtABF中，AB=8 cm，由勾股定理容易求出BF==6 cm． 又因為BC=10 cm，易求CF=4 cm，再在RtCEF中，若設CE=x，則EF=DE=8-x，由勾股定理得CE2+CF2=EF2，可構造方程x2+16=（8-x）2． 只要求出方程的解，問題便水到渠成．
分類討論思想
分類討論可以使解答更為嚴密完整，避免漏解的情況發(fā)生，分類時要引導學生按一定的標準，將問題分成既不重復又不遺漏的類別．
例6 已知在ABC中，AB=20，AC=15，高AD=12，求：（1）BC的長；（2）求ABC的面積．
評析：由于三角形的高線的位置隨其形狀的不同而改變，本題中若ABC為銳角三角形，則其高線在三角形的內(nèi)部；若ABC為鈍角三角形，則其高線在三角形的外部；若ABC為直角三角形，則其高線在三角形邊上且與AC重合，而AC≠AD，所以ABC不為直角三角形．故本題只須分兩種情況討論（如圖7）．
整體思想
整體思想就是把考慮的對象作為一個整體看待，進而解決問題的一種數(shù)學思想． 應用整體思想解題，往往能化難為易，化繁為簡，起到事半功倍的效果．
例7 已知直角三角形的周長為18，斜邊長為8，求直角三角形的面積．
評析：若設兩直角邊長分別為a，b，因為a+b=10， 則b=10-a，由勾股定理得a2+b2=64，所以要直接求出a，b的值，只要用一元二次方程a2+（10-a）2=64可解．
但解這個方程較繁，而由S=ab聯(lián)想到可運用整體思想：將ab視為一個整體，因為（a+b）2= a2+b2+2ab，所以2ab=（a+b）2-（a2+b2）=100-64=36，所以ab=18，所以S=ab=9，問題便順利獲解．
例8 在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖8所示），已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=________．
評析：此題不可能分別求出S1，S2，S3，S4，但我們可以分別求出S1+S2，S3+S4． 例如S3+S4可用以下方法求得：易知RtABC≌RtCDE，所以AB=CD，BC=DE． 又CD2+DE2=CE2，而CD2=AB2=S3，DE2=S4，CE2=3，所以S3+S4=3，同理S1+S2=1，所以S1+S2+S3+S4=1+3=4．
以上是僅在勾股定理中體現(xiàn)的數(shù)學思想，只要我們平時多加留意，引導得當，學生的數(shù)學思維能力就會提高．
